Calculo da armadura tranversal composta

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CÁLCULO DA ARMADURA TRANSVERSAL 
Uma viga na eminência de colapso pode ser representada por uma treliça, em 
equilíbrio, com as forças internas e externas representadas na figura 1. Para o cálculo das 
forças nas barras da treliça e, consequentemente, das expressões que possibilitam determinar 
a quantidade de armadura, devem ser feitas as seguintes hipóteses: 
a) A treliça é isostática; 
b) Os banzos são paralelos; 
c) A inclinação das fissuras e, portanto, das bielas comprimidas é de 45°; e 
d) A inclinação (α) da armadura transversal pode variar entre 45° e 90° 
 
 
Equilíbrio das forças externas e internas atuantes na treliças, figura 1, em que: 
P – forças externas aplicadas aos nós; 
R1 – reação de apoio; 
Fc – resultante das tensões no concreto do banzo comprimido; 
Fat = W - resultante das tensões nas barras da armadura transversal que cortam 
uma fissura; e 
Fs - resultante das tensões na armadura longitudinal de tração. 
Equilíbrio das componentes verticais: R1 - 3∙P = Fat∙senα 
Força cortante solicitante na seção S: VS = R1 - 3∙P 
Dessas equações resulta equação 1: 
𝐹𝑎𝑡 ∙ sin 𝛼 = 𝑉𝑠 
Mas, na ruptura, temos a equação 2 
𝐹𝑎𝑡 = 𝐴𝑠𝑤 ∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑦𝑑 
Em que: 
Asw – área da seção transversal de uma barra da armadura de cisalhamento; 
Treliça de Mörsch com os esforços atuantes e internos em uma seção S 
Figura 1 
R1 
n – número de barras que cruzam uma fissura; e 
fyd – resistência de cálculo do aço à tração. 
Também na ruptura a força cortante que atua é a solicitante de cálculo Vsd (VSd = 
1,4∙ VS), que, leva à equação 1, resulta na equação 3: 
𝐹𝑎𝑡 ∙ sin 𝛼 = 𝑉𝑆𝑑 → 𝐹𝑎𝑡 =
𝑉𝑆𝑑
sin 𝛼
 
Das equações 2 e 3, obtém-se a equação 4: 
𝐴𝑠𝑤 ∙ 𝑛 ∙ 𝑓𝑦𝑑 =
𝑉𝑆𝑑
sin 𝛼
 
O número de barras (n) que cruzam a fissura, sendo s seu espaçamento, ver 
figura 2, é expresso por: 
𝑛 =
𝑧 + 𝑧 ∙ cot 𝛼
𝑠
=
𝑧 ∙ (1 + cot 𝛼)
𝑠
 
 
 
 
Colocando o valor de n na equação 4, tem-se: 
𝐴𝑠𝑤 ∙
𝑧 ∙ (1 + cot 𝛼)
𝑠
∙ 𝑓𝑦𝑑 =
𝑉𝑆𝑑
sin 𝛼
 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
𝑉𝑆𝑑
sin 𝛼
∙
1
𝑓𝑦𝑑 ∙ 𝑧 ∙ (1 + cot 𝛼)
 
Como é mais conveniente trabalhar com valores adimensionais, define-se agora uma 
porcentagem volumétrica de armadura ρsw,α , observando que d = l∙senα (figura 3): 
 
𝜌𝑠𝑤,𝛼 =
volume de aço
volume de concreto
=
𝑙 ∙ 𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑤 ∙ 𝑑 ∙ 𝑠
=
𝑙 ∙ 𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑤 ∙ 𝑠 ∙ 𝑙 ∙ sin 𝛼
=
𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑤 ∙ 𝑠 ∙ sin 𝛼
 
 
Verifica-se que a porcentagem volumétrica é numericamente igual à porcentagem 
geométrica. 
Para usar esse resultado na equação 4, divide-se por (bw∙senα) os dois membros dessa 
equação, obtendo a correlação entre a área da armadura transversal e o esforço 
interno, por causa da força cortante de cálculo: 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑤 ∙ 𝑠 ∙ sin 𝛼
=
𝑉𝑆𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑧
∙
1
𝑓𝑦𝑑 ∙ sin 𝛼 ∙ sin 𝛼 ∙ (1 + cot 𝛼)
 
 
 
 
 
Supondo que o braço de alavanca z possa ser tomado, aproximadamente, igual a z=d÷1,10, 
usando a definição de porcentagem volumétrica e verificando que senα∙(1+cotα)=(senα+cosα), 
encontraremos: 
𝜌𝑠𝑤,𝛼 = 1,10 ∙
𝑉𝑆𝑑
𝑏𝑤 ∙ 𝑑
∙
1
𝑓𝑦𝑑 ∙ sin 𝛼 ∙ (sin 𝛼 + cos 𝛼)
 
Chamando 
𝑉𝑆𝑑
𝑏𝑤∙𝑑
= 𝜏𝑆𝑑(tensão convencional solicitante de cisalhamento, de cálculo, na alma da 
peça) tem-se finalmente: 
𝜌𝑠𝑤,𝛼 =
1,10 ∙ 𝜏𝑆𝑑
𝑓𝑦𝑑
∙
1
sin 𝛼 ∙ (sin 𝛼 + cos 𝛼)
 
Conhecendo a seção de uma viga (𝑏𝑤 , 𝑑), a força cortante máxima e o tipo de aço a ser 
empregado (fyd), as equações:[ 𝜌𝑠𝑤,𝛼 =
𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑤∙𝑠∙sin 𝛼
 ]e [ 𝜌𝑠𝑤,𝛼 =
1,10∙𝜏𝑆𝑑
𝑓𝑦𝑑
∙
1
sin 𝛼∙(sin 𝛼+cos 𝛼)
] 
possibilitam calcular, para uma área Asw de armadura transversal predefinida, seu 
espaçamento s necessário ou vice-versa. 
s 
A partir da equação 
𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑤∙𝑠∙sin 𝛼
=
𝑉𝑆𝑑
𝑏𝑤∙𝑧
∙
1
𝑓𝑦𝑑∙sin 𝛼∙sin 𝛼∙(1+cot 𝛼)
 , com z=d÷1,10, calcula-se 
diretamente o valor do espaçamento s: 
𝑠 =
𝐴𝑠𝑤∙𝑑∙𝑓𝑦𝑑∙(sin 𝛼+cos 𝛼)
1,10 ∙ 𝑉𝑆𝑑
 
 
No caso mais usual, em que são empregados estribos verticais, ângulo de inclinação da 
armadura é α = 90°, e as equações: 𝜌𝑠𝑤,𝛼 =
𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑤∙𝑠∙sin 𝛼
; 𝜌𝑠𝑤,𝛼 =
1,10∙𝜏𝑆𝑑
𝑓𝑦𝑑
∙
1
sin 𝛼∙(sin 𝛼+cos 𝛼)
 e 
𝑠 =
𝐴𝑠𝑤∙𝑑∙𝑓𝑦𝑑∙(sin 𝛼+cos 𝛼)
1,10∙𝑉𝑆𝑑
 ficam bastante simples, reduzindo-se a: 
 𝜌𝑠𝑤,𝛼 =
𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑤∙𝑠
; 
 𝜌𝑠𝑤,𝛼 =
1,10∙𝜏𝑆𝑑
𝑓𝑦𝑑
; 
 𝑠 =
𝐴𝑠𝑤∙𝑑∙𝑓𝑦𝑑
1,10∙𝑉𝑆𝑑
 
 
É oportuno destacar que os resultados aqui encontrados pelo método de treliça 
complementam a teoria de flexão vista anteriormente. 
Uma vez obtidas as expressões que permitem calcular a quantidade de armadura transversal 
necessária para resistir ao esforço cortante, surge a pergunta natural: em uma viga de seção 
retangular, de dimensões bw e d, em que atua uma força cortante VSd, e para o mesmo tipo de 
aço, é mais econômico utilizar estribos verticais ou armadura inclinada a 45° (o custo da mão-
de-obra utilizada para executar o serviço não será computado)? Para responder, basta calcular 
para cada caso (barras a 90°e 45°) a porcentagem de armadura necessária. 
 Para α = 90°, a porcentagem de armadura é expressa pela equação 𝜌𝑠𝑤,𝛼 =
1,10∙𝜏𝑆𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
 Para α = 45°, a porcentagem de armadura pode ser calculada por meio da equação 
𝜌𝑠𝑤,𝛼 =
1,10∙𝜏𝑆𝑑
𝑓𝑦𝑑
∙
1
sin 45∙(sin 45+cos 45)
=
1,10∙𝜏𝑆𝑑
𝑓𝑦𝑑
∙
1
√2
2
∙(
√2
2
+
√2
2
)
=
1,10∙𝜏𝑆𝑑
𝑓𝑦𝑑
 
Assim, conclui-se que, sendo a taxa de armadura igual em cada caso, o volume de aço é o 
mesmo nos dois casos, e, portanto, o custo é igual. Entretanto, deve-se considerar que: 
Barras dobradas 
 A execução é mais difícil; 
 Devem ser utilizadas junto aos estribos e só podem resistir no máximo a 60% do 
esforço cortante (NBR 6118:2003, item 17.4.1.1.3); 
 Como são executadas a partir da armadura longitudinal, têm bitola maior que os 
estribos, e o controle da fissuração fica prejudicado; 
 A ancoragem das bielas de concreto da treliça, junto à região tracionada, é deficiente; 
e 
 Havendo apenas barras dobradas, há um efeito de “fendilhamento” do concreto junto 
à ancoragem da biela 
Estribos verticais 
 Apresentam maior facilidade de execução e montagem; 
 Podem ser melhor distribuídos (elementos independentes) e podem ter diâmetro 
menor que as barras longitudinais, favorecendo a aderência e fissuração; 
 Auxiliam na montagem da armadura longitudinal; 
 Podem resistir sozinhos a todo o esforço cortante; e 
 Auxiliam na distribuição de tensões de tração produzidas pela transmissão de 
esforços entre concreto e aço. 
EXEMPLO 1 
Calcular o espaçamento s de estribos simples necessários em uma viga de seção retengular 
submetida a um esforço cortante VS = 1.300 kN. 
Dados: bw = 70 cm; d = 200 cm; fck = 26 MPa; aço CA-50 (500 MPa ou 50 kN/cm
2). 
a) Adotando um diâmetro φ = 12,5 mm (1,25 cm²) e destacando que em um estribo 
simples duas barras cruzam uma fissura, tem-se: 
𝑠 =
𝐴𝑠𝑤∙𝑑∙𝑓𝑦𝑑
1,10∙𝑉𝑆𝑑
= 𝑠 =
2∙1,25∙200∙50
1,10∙1,15∙1,4∙1300
= 10,9 𝑐𝑚 
Assim, adotado um valor para o diâmetro da armadura, verifica-se se o espaçamento 
necessário de estribos é razoável; caso contrário, deve-se aumenta-lo ou até mesmo 
fazer uso de estribos compostos(duplos ou triplos). 
Dessa forma, no exemplo, pode-se usar estribos simples de φ = 12,5 mm a cada 10 cm 
ou estribos duplos de φ = 12,5 mm a cada 20 cm; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTADO-LIMITE ÚLTIMO DE ELEMENTOS LINEARES SOB FORÇA CORTANTE (NBR 6110:2003) 
Serão apresentadas a seguir o cálculo da armadura transversal e a verificação das tensõesnas 
bielas comprimidas, em elementos lineares sujeitos à força cortante, de acordo coma s 
hipóteses e os modelos apresentados pela NBR 6118:2003, no item 17.4. 
Hipóteses básicas 
As prescrições da Norma aplicam-se a elementos lineares armados ou protendidos, 
submetidos a forças cortantes, eventualmente combinadas com outros esforços solicitantes. 
Não se aplicam a elementos de volume, lajes, vigas parede e consolos curtos. 
As condições de cálculo, para elementos lineares, admitem dois modelos que se fundamentam 
na analogia com o modelo em treliça, de banzos paralelos, associados a mecanismos 
resistentes complementares (treliça generalizada) desenvolvidos no interior do elemento 
estrutural e que absorvem uma parcela Vc (ou τc em termos de tensão) da força cortante. Esses 
mecanismos correspondem ao engrenamento que ocorre entre as partes de concreto 
separadas pelas fissuras inclinadas e a resistência da armadura longitudinal que serve de apoio 
às bielas de concreto (efeito de pino). 
O ângulo de inclinação α das armaduras transversais (item 17.4.1.1.5 da Norma) em relação ao 
eixo longitudinal do elemento estrutural deve estar situado no intervalo 45° ≤ α ≤ 90°. 
Verificação do Estado-limite Último 
A resistência da peça, em determinada seção transversal, será satisfatória quando forem 
verificadas, simultaneamente, as seguintes condições: 
VSd ≤ VRd2 
VSd ≤ VRd3 = Vc + Vsw 
Em que: 
VSd – força cortante solicitante de cálculo na seção; 
VRd2 – força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de 
concreto, de acordo com os modelos de cálculo I ou II; 
VRd3 = Vc + Vsw – é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal; 
Vc – parcela da força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça; e 
Vsw – parcela de força cortante resistida pela armadura transversal, de acordo com os modelos 
I ou II. 
Na região dos apoios, os cálculos devem considerar a força cortante agente na face deles, 
considerando as reduções no item 17.4.1.2.1 da Norma para cargas próximas aos apoios. 
Cargas próximas aos apoios 
De acordo com o item 17.4.1.2.1 da Norma NBR 6118:2003, para o cálculo da armadura 
transversal, no caso de apoio direto (carga e reação de apoio aplicadas em faces opostas do 
elemento estrutural, comprimindo-o), é permitido: 
a) Considerar a força cortante oriunda de carga distribuída, no trecho entre o apoio e a 
seção situada à distância d/2 da face do apoio, constante e igual à desta seção – figura 
1; 
b) Reduzir a força cortante proveniente de uma carga concentrada, aplicada à distância 
a ≤ 2 ∙ d do eixo teórico do apoio, nesse trecho de comprimento a, multiplicando-a 
por a/(2 ∙ d) – figura 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essas reduções não se aplicam à verificação da resistência à compressão diagonal do concreto, 
ou seja, para comparação de VSd com VRd2 nos modelos I e II. No caso de apoios indiretos, as 
reduções também não são permitidas. 
Modelo de Cálculo I 
O modelo I (objeto do item 17.4.2.2 da Norma) admite que as diagonais de compressão são 
inclinadas de θ = 45° em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e, admite ainda, 
que a parcela complementar Vc tem valor constante, independente de VSd. 
Nesse modelo, a resistência da peça é assegurada por: 
a) Verificação das tensões de compressão nas bielas (compressão diagonal do concreto): 
 
VSd ≤ VRd2,I = 0,27 ∙ αv2 ∙ fcd ∙ bw ∙ d 
Com αv2 = 1 − fck 250⁄ , sendo fck em MPa, e VRd2,I, a força cortante resistente de cálculo, 
relativa à ruína das diagonais comprimidas no modelo I. 
Essa verificação pode ser feita em função das tensões tangenciais solicitante de cálculo e 
resistente (última), dividindo as forças cortantes da inequação VSd ≤ VRd2 por bw ∙ d e com 
VRd2,I, de acordo com a equação VSd ≤ VRd2,I = 0,27 ∙ αv2 ∙ fcd ∙ bw ∙ d: 
VSd
bw ∙ d
≤
VRd2,I
bw ∙ d
⇒ 𝜏𝑆𝑑 ≤ 𝜏Rd2,I =
0,27 ∙ (1 − fck 250)⁄ ∙ fcd ∙ bw ∙ d
bw ∙ d
 
RSd 
VSd 
d/2 
Diagrama de cortante 
Fig. 1 
d 
P 
VSd = a/(2∙d)∙RSd 
RSd 
Diagrama de cortante 
RSd 
a<2∙d 
Fig. 2 
𝜏𝑆𝑑 ≤ 𝜏Rd2,I = 0,27 ∙ (1 − fck 250)⁄ ∙ fcd (MPa) 
b) Cálculo da armadura transversal 
Para o cálculo da armadura transversal, a parcela da força cortante (VSw) a ser absorvida pela 
armadura, a partir da equação VSd ≤ VRd3 = Vc + Vsw, pode ser escrita por: 
Vsw = VRd3 − Vc 
Sendo que a força cortante resistente de cálculo VRd3 deve ser no mínimo igual à força 
cortante solicitante de cálculo VSd(VRd3 = VSd). Assim: 
Vsw = VSd − Vc 
Portanto, a parcela da força cortante a ser resistida por armadura transversal é a diferença 
entre a força cortante solicitante de cálculo e a parcela de força cortante absorvida por 
mecanismos complementares ao de treliça, ou seja, a parcela resistida pelo concreto íntegro 
entre as fissuras. O valor de Vc é obtido para diversas situações de solicitações; no caso de 
flexão simples e flexo-tração com linha neutra cortando a seção, vale: 
Vc = 0,6 ∙ fctd ∙ bw ∙ d 
Em que: 
fctd = 
fctk,inf
γc
=
0,7 ∙ fct,m
γc
=
0,7 ∙ 0,3
1,4
∙ fck
2 3⁄ = 0,15 ∙ fck
2 3⁄ 
Onde: 
fctd – valor de cálculo da resistência à tração do concreto; 
d – altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de gravidade da 
armadura de tração; e 
bw – menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d. 
A força cortante resistida pela armadura em certa seção é expressa por: 
Vsw = (
Asw
s
) ∙ 0,9 ∙ d ∙ fydw ∙ (senα + cosα) 
Em que: 
s – espaçamento entre elementos da armadura transversal Asw, medido segundo o eixo 
longitudinal da peça; 
fydw – tensão na armadura passiva, limitada ao valor fyd, no caso de estribos, e a 70% desse 
valor, no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 
435 MPa; e 
α – ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do elemento 
estrutural, podendo tomar 45° ≤ α ≤ 90°. 
No caso de estribos verticais, que é o usualmente empregado, toma-se a equação: 
Vsw = (
Asw
s
) ∙ 0,9 ∙ d ∙ fydw 
Tais equações podem ser escritas em termos de tensões e taxa de armadura transversal. 
Divide-se, então, ambos os membros das equações por bw ∙ d, resultando: 
Vsw
bw ∙ d
=
VSd
bw ∙ d
−
Vc
bw ∙ d
⇒ τSw = τSd − τc 
Em termos de taxa de armadura temos: 
Vsw
bw ∙ d ∙ senα
= (
Asw
bw ∙ d ∙ senα ∙ s
) ∙ 0,9 ∙ d ∙ fydw ∙ (senα + cosα) 
(
Asw
bw ∙ d ∙ senα ∙ s
) =
Vsw
bw ∙ d ∙ senα
∙
1
0,9 ∙ d ∙ fydw ∙ (senα + cosα)
 
Como 
Asw
bw∙senα∙s
= 𝜌𝑠𝑤,𝛼, e 
Vsw
bw∙d
= τSw, resulta: 
𝜌𝑠𝑤,𝛼 = τSw ∙
1
0,9 ∙ d ∙ fydw ∙ senα ∙ (senα + cosα)
=
1,11 ∙ τSw
fydw
∙
1
senα ∙ (senα + cosα)
 
Sendo que é praticamente a equação 𝜌𝑠𝑤,𝛼 =
1,11∙𝜏𝑆𝑑
𝑓𝑦𝑑
∙
1
sin 𝛼∙(sin 𝛼+cos 𝛼)
 já deduzida, 
destacando que naquela toda a tensão de cisalhamento oriunda da força cortante solicitante 
de cálculo (𝜏𝑆𝑑) deveria ser resistida pela armadura transversal (treliça de Mörsch), e aqui a 
tensão a ser combatida pela armadura é τSw (τSw = τSd − τc), referente à treliça 
generalizada. No caso de estribos verticais, resulta: 
𝜌𝑠𝑤,90 =
1,11 ∙ τSw
𝑓𝑦𝑤𝑑
 
c) Força cortante resistida para determinada quantidade de armadura transversal 
conhecida a quantidade de armadura transversal em uma viga (área Asw e 
espaçamento s) e a resistência característica do concreto à compressão, é possível 
encontrar a força cortante resistida pela viga. Das equações, VSw = VSd − Vce 
Vsw = (
Asw
s
) ∙ 0,9 ∙ d ∙ fydw ∙ (senα + cosα), é possível escrever, trocando VSd por VRd. 
VRd − Vc = VSw = (
Asw
s
) ∙ 0,9∙ d ∙ fydw ∙ (senα + cosα) 
VRd = (
Asw
s
) ∙ 0,9 ∙ d ∙ fydw ∙ (senα + cosα) + Vc 
Com Vc = 0,6 ∙ fctd ∙ bw ∙ d , e dividindo os dois termos da equação acima por (bw ∙ d ∙ senα), 
tem-se: 
VRd
bw ∙ d ∙ senα
= (
Asw
bw ∙ d ∙ senα ∙ s
) ∙ 0,9 ∙ d ∙ fydw ∙ (senα + cosα) +
0,6 ∙ fctd
senα
 
Como 
Asw
bw∙d∙senα∙s
= ρsw,α: 
VRd
bw ∙ d ∙ senα
= 0,9 ∙ d ∙ fydw ∙ (senα + cosα) +
0,6 ∙ fctd
senα
 
A força cortante resistente é encontrada dividindo a de cálculo pelo coeficiente 1,4: 
VR = [ρsw,α ∙ 0,9 ∙ d ∙ fydw ∙ (senα + cosα) +
0,6 ∙ fctd
senα
] ∙
bw ∙ d ∙ senα
1,4
 
VR =
ρsw,α ∙ fydw ∙ senα ∙ (senα + cosα) + 1,11 ∙ 0,6 ∙ fctd
1,11 ∙ 1,4
∙ bw ∙ d 
Colocando fctd = 0,15 ∙ fck
2 3⁄ , tem-se: 
VR = 0,644 ∙ bw ∙ d ∙ [ρsw,α ∙ fydw ∙ senα ∙ (senα + cosα) + 0,1 ∙ fck
2 3⁄ ] 
Para fydw e fck em MPa, bw e d em metros, resulta, finalmente, para VR em kN: 
VR = 644 ∙ bw ∙ d ∙ [ρsw,α ∙ fydw ∙ senα ∙ (senα + cosα) + 0,1 ∙ fck
2 3⁄ ] 
E, para estribos verticais: 
VR = 644 ∙ bw ∙ d ∙ [ρsw,90 ∙ fydw + 0,1 ∙ fck
2 3⁄ ] 
EXEMPLO 2 
Calcular, usando o modelo de cálculo I da NBR 6118:2003, o espaçamento de estribos 
simples (2 ramos) verticais (α=90°) necessário para os dados do exemplo 1 (V = 1.300 Kn; bw 
= 70 cm; d = 200 cm; fck = 26 MPa = 26000 kN/cm
2; aço CA-50; φ = 12,5 mm 
a) Verificação do esmagamento da biela de concreto 
VSd = 1,4 ∙ V = 1,4 ∙ 1300 = 1820 kN é a força cortante solicitante de cálculo. 
VRd2,I = 0,27 ∙ αv2 ∙ fcd ∙ bw ∙ d = 0,27 ∙ 0,896 ∙
26000
1,4
∙ 0,7 ∙ 2 = 6289,9 kN, com 
αv2 = 1 − fck 250⁄ = 1 − 26 250 = 0,896⁄ (fck em MPa) 
Portanto, VSd ≤ VRd2,I, não havendo perigo de esmagamento do concreto das bielas 
b) Cálculo da armadura transversal (estribos verticais simples, φ = 12,5 mm) 
 Força cortante solicitante de cálculo: 
VSd = 1,4 ∙ V = 1,4 ∙ 1300 = 1820 kN 
 Força cortante (Vc) absorvida por mecanismos complementares ao de treliça: 
Vc = 0,6 ∙ fctd ∙ bw ∙ d = 0,6 ∙ 1320 ∙ 0,7 ∙ 2 = 1108,8 kN, com fctd = 0,15 ∙
fck
2 3⁄ = 0,15 ∙ √262
3
= 0,15 ∙ 8,78 = 1,32 MPa = 1320 kN/m²; 
 Parcela de força cortante resistida pela armadura transversal; 
Vsw = VSd − Vc = 1820 − 1108,8 = 711,2 kN 
 Espaçamento s dos estribos verticais (α=90°) de φ = 12,5 mm 
Vsw = (
Asw
s
) ∙ 0,9 ∙ d ∙ fydw 
711,2 = (
2 ∙ 1,25
s
) ∙ 0,9 ∙ 200 ∙
50
1,15
⇒ s = 27,50 cm 
O espaçamento encontrado deverá, ainda, respeitar a quantidade e o espaçamento mínimos 
definidos pela Norma. Verifica-se que a armadura necessária caiu significativamente (de 
10,9 cm para 27,90 cm) quando se considerou a treliça generalizada, demonstrando que a 
contribuição do concreto não deve ser de maneira alguma desprezada. 
Se a força cortante VSw for negativa, significa que apenas o concreto é suficiente para resistir 
aos esforços de cisalhamento e, portanto, a armadura transversal será apenas construtiva, 
obedecendo aos valores mínimos indicados pela Norma. 
 
EXERCÍCIO 
 
Calcular, usando o modelo de cálculo I da NBR 6118:2003, o espaçamento de estribos simples 
(2 ramos) verticais (α=90°) necessário para resistir a (V = 150 KN; bw = 20 cm; d = 50 cm; fck = 
20 MPa = 20000 kN/cm2; aço CA-50; φ = 8 mm 
 
EXEMPLO 3 
Em termos de tensões e taxa de armadura transversal para o exemplo 2 (mesmos dados)- ((V = 
1.300 Kn; bw = 70 cm; d = 200 cm; fck = 26 MPa = 26000 kN/cm
2; aço CA-50; φ = 12,5 mm) 
a) Verificação do esmagamento da biela de concreto ou diagonal comprimida; 
 τSd =
VSd
bw∙d
=
1,4∙1300
0,7∙2,0
= 1300
kN
m2
= 1,30 MPa 
 τRd2,I = 0,27 ∙ (1 − fck 250⁄ ) ∙ fcd = 0,27 ∙ (1 − 26 250⁄ ) ∙
26000
1,4
= 4493
kN
m2
=
4,49 MPa 
 Portanto, τSd ≤ τRd2,I, e não há perigo de esmagamento do concreto das bielas 
b) Cálculo da armadura transversal (estribos verticais simples) 
 Tensão tangencial solicitante de cálculo: τSd = 1,30 MPa 
 
 Tensão absorvida por mecanismos complementares ao de treliça, em razão do 
concreto: τc =
Vc
bw∙d
=
0,6∙fctd∙bw∙d
bw∙d
= 0,6 ∙ fctd = 0,6 ∙ 0,15 ∙ fck
2 3⁄ = 0,6 ∙
0,15 ∙ √262
3
= 0,6 ∙ 0,15 ∙ 8,78 = 0,79 MPa = 790 kN/m²; 
 
 
 Tensão tangencial a ser resistida pela armadura transversal: 
* τSw = τSd − τc = 1,30 − 0,79 = 0,51 MPa = 510 kN/m² 
 Taxa de armadura transversal: 
* ρsw,90 =
1,11∙τSw
𝑓𝑦𝑤𝑑
=
1,11∙0,51
500 1,15⁄
= 0,0013 
 Espaçamento dos estribos (α = 90°) de φ = 12,5 mm, calculado por: 
* ρsw,90 =
Asw
bw∙senα∙s
⇒ 𝑠 =
Asw
bw∙1∙ρsw,90
=
2∙1,25
70∙0,0013
= 27,50 cm 
 
 
 
EXEMPLO 4 
Calcular, com o modelo I da NBR 6118:2003, a armadura transversal (somente estribos simples 
verticais) da viga 101, na seção junto ao apoio central. 
Dados: aço CA-50; fck = 20 MPa; estribos de φ = 6,3 mm (0,32 cm
2); bw = 0,25 m; h = 0,90 m; d = 
0,8 m; p = 51,1 kN/m (carga uniformemente distribuída atuando na viga); VS,máx = 255,5 kN 
(cortante máxima junto ao pilar P5, sem a redução permitida pela Norma) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Verificação do esmagamento da biela de concreto ou diagonal comprimida; 
 τSd =
VSd
bw∙d
=
1,4∙255,5
0,25∙0,8
= 17890
kN
m2
= 1,79 MPa 
 τRd2,I = 0,27 ∙ (1 − fck 250⁄ ) ∙ fcd = 0,27 ∙ (1 − 20 250⁄ ) ∙
20000
1,4
= 3549
kN
m2
=
3,55 MPa 
 Portanto, τSd ≤ τRd2,I, e não há perigo de esmagamento do concreto das bielas 
b) Cálculo da armadura transversal (estribos verticais simples) 
 Tensão tangencial solicitante de cálculo: τSd = 1,79 MPa 
 
 Tensão absorvida por mecanismos complementares ao de treliça, em razão do 
concreto: τc =
Vc
bw∙d
=
0,6∙fctd∙bw∙d
bw∙d
= 0,6 ∙ fctd = 0,6 ∙ 0,15 ∙ fck
2 3⁄ = 0,6 ∙
0,15 ∙ √202
3
= 0,6 ∙ 0,15 ∙ 7,37 = 0,66 MPa = 660 kN/m²; 
d=80 cm 
p=51,1 kN/m 
viga 
P4 P5 P6 
V101 (25/90) 
Esquema estrutural V101 
p=51,1 kN/m 
L=8,00 m L=8,00 m 
Diagrama de cortante 
153,3 kN 
153,3 kN 
255,5 kN 
255,5 kN 
 
 
 Tensão tangencial a ser resistida pela armadura transversal: 
* τSw = τSd − τc = 1,79 − 0,66 = 1,13 MPa = 1130 kN/m² 
 Taxa de armadura transversal: 
* ρsw,90 =
1,11∙τSw
𝑓𝑦𝑤𝑑
=
1,11∙1,13
500 1,15⁄
= 0,00288 
 Espaçamento dos estribos (α = 90°) de φ = 6,3 mm, calculado por: 
* ρsw,90 =
Asw
bw∙senα∙s
⇒ 𝑠 =
Asw
bw∙1∙ρsw,90
=
2∙0,32
25∙0,00288
= 8,90 cm 
Exercício 
Calcular, com o modelo I da NBR 6118:2003, a armadura transversal (somente estribos simples 
verticais) da viga 100, na seção junto ao apoio central em ambos os tramos. 
Dados: aço CA-50; fck = 20 MPa; estribos de φ = 5,0 mm (0,19 cm
2); bw = 0,15 m; h = 0,50 
m; d = 0,42 m; p = 30 kN/m (carga uniformemente distribuída atuando na viga); VS,máx = 
(cortante máxima junto ao pilar P2, nos dois tramos, sem a redução permitida pela 
Norma) 
 
 
 
 
Esquema estrutural V100 
p=30 kN/m 
P1 
L=8,00 m 
P2 P3 
L=6,00 m 
a b