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UFPB-CCEN Departamento de Matema´tica CVGA Profa. Lu´cia Exerc´ıcios Complentares 1 Esta lista de exer´ıcios pode ser enviada via e-mail [cossi@mat.ufpb.br] ate´ a data de 25/02/2014. 1. Para quaisquer vetores −→u , −→v ,−→w e−→t , valem as seguintes identidades: a) (−→u ×−→v )×−→w = −(−→v • −→w )−→u + (−→u • −→w )−→v b) −→u × (−→v ×−→w ) = −(−→u • −→v )−→w + (−→u • −→w )−→v c) (−→u ×−→v )×−→w + (−→v ×−→w )×−→u + (−→w ×−→u )×−→v = −→0 d) (−→u ×−→v )× (−→w ×−→t ) = −[−→v • (−→w ×−→t )]−→u + [−→u • (−→w ×−→t )]−→v e) (−→u ×−→v )× (−→w ×−→t ) = −[−→w • (−→u ×−→v )]−→t + [−→t • (−→u ×−→v )]−→w f) [−→u ×−→v ,−→w ,−→t ] = ∣∣∣∣∣ −→u • −→w −→u • −→ t −→v • −→w −→v • −→t ∣∣∣∣∣ . g) (−→u ×−→v ) • (−→w ×−→t ) = ∣∣∣∣∣ −→u • −→w −→u • −→ t −→v • −→w −→v • −→t ∣∣∣∣∣ . h) [−→u +−→v ,−→v +−→w ,−→w +−→u ] = 2[−→u ,−→v ,−→w ]. 2. Dado um triaˆngulo ABC qualquer, seja AH a altura relativa ao ve´rtice A do triaˆngulo. Prove que −−→ BC × (−→AB ×−→AC) e´ paralelo ao vetor −−→AH. 3. Se A, B,C, D, E,F sa˜o ve´rtices de um hexa´gono regular, determine a resultante das forc¸as representadas pelos vetores −→ AB, −→ AC, −−→ AD , −→ AF , supondo-as de mesmo mo´dulo. 4. Utilizando as propriedades, prove que: i) Se −→a .−→v = −→b .−→v para todo vetor −→v 6= −→0 , enta˜o −→a = −→b . ii) Se −→a ×−→v = −→b ×−→v para todo vetor −→v 6= −→0 , enta˜o −→a = −→b . 1
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