gab mp5 2007 1 miniprova avlc cin

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Universidade Federal de Pernambuco 
Centro de Informática 
Álgebra Vetorial e Linear Para Computação – 2007.1 
 
Quinta Mini-prova 
 
 
 
1.Abaixo são ilustrados o domínio e o contra-domínio de um operador linear (IR2) e 
seu efeito num desenho de uma casa: 
 
 
 
Encontre T(x,y). 
 
T(4,2) = (2,4) 
T(4,7) = (0,7) 
 
(x,y) = a(4,2) + b(4,7) 
 
 4 4 x 1 1 x/4 1 0 (7x – 4y)/20 
 2 7 y 2 7 y 0 1 (2y – x)/10 
 
a = (7x – 4y)/20 
b = (2y – x)/10 
 
T(x,y) = (7x – 4y)/20 (2,4) + (2y – x)/10 (0,7) 
T(x,y) = ((14x – 8y)/20, (28x – 16y)/20 + (14y – 7x)/10) 
T(x,y) = ((7x – 4y)/10, (7x + 6y)/10) 
 
 
 
2. Considere o operador do IR3 dado por T(x,y,z)=(y+2z,3z,0). Encontre Nu(T), 
Im(T), Nu(T2) e Im(T2) e suas dimensões. Qual é: dim(Nu(Tn)), para qualquer n>2? 
 
 
T(x, y, z) = (y+2z, 3z, 0) 
 
Nu(T) : 
 
 0 1 2 
 0 0 1 
 0 0 0 
 
 Nu(T) = {(x, y, z) є IR3 | y=0, z = 0} 
 Nu(T) = [(1,0,0)] 
 dim(Nu(T)) = 1 
 
Im(T): 
 
 T(x, y, z) = (y+2z, 3z, 0) 
 T(x, y, z) = y(1, 0, 0) + z(2, 3, 0) 
 
 Im(T) = [(1,0,0) , (2, 3, 0)] = [(1,0,0) , (0,1,0)] 
 Im(T) = {(x, y, z) є IR3 | z = 0} 
dim(Im(T)) = 2 
 
 
T2 = ToT = T(T(x, y, z)) = T(y + 2z, 3z, 0) = (3z, 0 ,0) 
 
Nu(T2): 
 
 0 0 3z 
 0 0 0 
 0 0 0 
 
 z = 0 
 
 Nu(T2) = {(x, y, z) є IR3 | z = 0} 
 Nu(T2) = [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] 
 dim(Nu(T2)) = 2 
 
Im(T2): 
 
 T(x, y, z) = (3z, 0, 0) = z(3, 0, 0) 
 Im(T2) = [(3, 0, 0)] = [(1, 0, 0)] 
 Im(T2) = {(x, y, z) є IR3 | y = 0, z = 0} 
 dim(Im(T2)) = 1 
 
 T3 = ToT2 = T(T2(x, y, z)) = T(3z, 0, 0) = (0, 0 ,0) 
 T4 (x, y, z ) = (0, 0, 0) 
 . 
 . 
. 
Tn (x, y, z) = (0, 0, 0) 
 
 dim(Nu(Tn)) para n > 2, será 3, pois a imagem de todo vetor do domínio é o vetor 
nulo.