Questões de Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

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Acadêmico: Geovani Alves da Costa (2661048)
Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02)
Avaliação: Avaliação II - Individual FLEX ( Cod.:650600) ( peso.:1,50)
Prova: 26445298
Nota da Prova: 10,00
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por
exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o
módulo (ou norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo,
bastaria dividir este resultado por dois, pois a área do triângulo é a metade da área do
paralelogramo. Baseado nisso, determine a área do triângulo formado pelos vetores u =
(2,2,1) e v = (1,1,2), analise as opções a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
 a) Somente a opção II está correta.
 b) Somente a opção IV está correta.
 c) Somente a opção I está correta.
 d) Somente a opção III está correta.
2. Seja F uma função que transforma vetores do R² em vetores do R³, dada pela fórmula: F(x,y)
= (x + y), (x - y)², x²). O vetor v = (1, -1) de R² terá que coordenadas em R³?
 a) As coordenadas são (0, 4, 1).
 b) As coordenadas são (2, 4, 1).
 c) As coordenadas são (2, -4, 0).
 d) As coordenadas são (2, -4, 1).
3. A matriz a seguir permite que sejam calculados autovalores, a partir de uma Transformação
Linear. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os autovalores desta matriz 2x2:
 a) Não há autovalores reais associados a essa Transformação Linear.
 b) Os autovalores associados são 5 e 3.
 c) Os autovalores associados são 0 e 2.
 d) Os autovalores associados são 1 e -1.
Á
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4. Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito
mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio
característico de uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que
é absolutamente essencial para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como
treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também de sistemas estruturais mais complexos,
dentre os quais podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de
aço de telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de
pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma
dos autovalores da transformação apresentada a seguir, classifique V para as opções
verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a
sequência CORRETA:
 a) F - F - V - F.
 b) V - V - F - V.
 c) F - V - F - F.
 d) V - F - F - F.
5. Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço
vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um
escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é
sempre perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto escalar
entre u = (1,0,4) e v = (1,-1,0), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) u x v = 1.
( ) u x v = -1.
( ) u x v = 4.
( ) u x v = -4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - F - F - V.
 b) V - F - F - F.
 c) F - F - V - F.
 d) F - V - F - F.
6. Uma transformação linear pode ser compreendida e associada ao estudo de funções, que
normalmente já conhecemos desde o Ensino Médio. Isto se deve ao fato de uma
transformação linear ligar dois conjuntos através de uma lei de formação. A grande diferença
é que uma transformação opera com vetores e não com números reais como de costume.
Baseado na transformação linear de R³ em R³ dada por T(x,y,z) = (x + y, 2x, y - z), classifique
V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Uma base para a imagem desta transformação é [(1,2,0),(1,0,1),(0,0,1)].
( ) A sua imagem tem dimensão 2.
( ) O núcleo da transformação possui apenas o vetor nulo.
( ) A dimensão do domínio da transformação é 3.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - V - F - V.
 b) V - V - F - F.
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 c) V - V - F - V.
 d) V - F - V - V.
7. A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor
analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física
envolvida em um dado problema. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que
apresenta a norma (ou módulo) do vetor z = (-2,4):
 a) 2.
 b) Raiz de 10.
 c) Raiz de 20.
 d) 4.
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8. Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços
vetoriais, só que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V. Sobre o
exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) O conjunto dos números irracionais é um subespaço dos números reais.
( ) Um plano é um subespaço de R²
( ) Um ponto é um subespaço de R.
( ) Uma reta que passa na origem é um subespaço de R².
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) F - V - V - F.
 b) V - V - F - F.
 c) F - F - V - V.
 d) V - F - F - V.
9. Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como
estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples
visualização. No entanto, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores
representados por coordenadas, determinar a posição dessas retas não é uma tarefa tão
simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores apresentados, com relação aos
ângulos agudos, analise as opções a seguir:
I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2).
II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1).
III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3).
IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4).
V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3).
Assinale a alternativa CORRETA:
 a) As opções I e IV estão corretas.
 b) As opções I, III e IV estão corretas.
 c) As opções III e V estão corretas.
 d) Somente a opção II está correta.
10.Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de
núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do
problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para o Núcleo deste
operador:
 a) [(1,1,0)].
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 b) [(1,0,1)].
 c) [(0,0,1)].
 d) [(0,1,1)].
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Prova finalizada com 10 acertos e 0 questões erradas.