Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
a) Para que a transformação seja linear devemos ter: I. II. Sendo assim: Sejam u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2) I. T(u+v) = T[(x1+x2),(y1+y2),(z1+z2)] = [(x1+x2+y1+y2+z1+z2),(x1+x2-y1-y2+z1+z2),(x1+x2+y1+y2-z1-z2)] = [(x1+y1+z1)+(x2+y2+z2), (x1-y1+z1)+(x2-y2+z2), (x1+y1-z1)+(x2+y2-z2) = T(u)+T(v) II. T(au) = T(ax,ay,az) = (ax+ay+az, ax-ay+az, ax+ay-az) = [a(x+y+z),a(x-y+z),a(x+y-z)] = a(x+y+z, x-y+z, x+y-z) = a.T(u) Por I e II temos que a transformação é linear. b) O núcleo de uma transformação linear é dados pelos vetores de T tais que T(0)=0 Somando as linhas 2 e 3 encontramos x = 0 e por isso y = 0 e z = 0. A solução do sistema é a solução trivial, a terna ordenada (0,0,0). N(T) = {(0,0,0)} c) A dimensão do núcleo é dada pelo número de vetores do núcleo. Como só tem um vetor que pertence a este, a sua dimensão é 1 Dim(N(T)) = 1 A transformação também é injetora, sendo o único vetor do núcleo de T é o vetor nulo. d) Como T(x,y,z)=(x+y+z, x-y+z, x+y-z) = x(1,1,1)+y(1,-1,1)+z(1,1,-1) Sendo assim os vetores (1,1,1), (1,-1,1) e (1,1,-1) formam a imagem da transformação linear. Portanto, Im(T) = {(1,1,1); (1,-1,1); (1,1,-1)}. e) Como a transformação é de R³ em R³ então: dim R³ = dim N(T) + dim Im(T) 3 = 1 + dim Im(T) dim Im(T) = 2 A transformação não é sobrejetora pois as dimensões da imagem (2) e do conjunto de chegada R³ (3) são diferentes. f) A matriz de transformação é dada pela imagem da Transformação. Para determinar os auto-valores e auto-vetores devemos obter Que são os auto-valores os quais fornecem os seguintes auto-vetores (0,1,-1); (1,-1,-1); (2,1,1).
Compartilhar