prova 3 2001.1 cálculo I area II CIn UFPE

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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE
CA´LCULO I - A´REA II
PRIMEIRO SEMESTRE — 2001
Data: 19 de junho de 2001
GABARITO DO 3o. EXERCI´CIO ESCOLAR
1. a) Fac¸a x = 2 tan θ enta˜o:∫
1
4 + x2
dx =
∫
2 sec2 θ
sec θ
dθ = ln |
√
4 + x2
2
+
x
2
|+ C.
b) Note que: x
3+5x+2
x−1 = (x
2 + x+ 6) + 8
x−1 , logo∫ 4
2
x3 + 5x+ 2
x− 1 dx =
(
x3
3
+
x2
2
+ 6x
)
|42 + 8 ln |x− 1||42 =
110
3
+ 8 ln 3.
c) Por partes:∫
exsen(x)dx = −ex cos(x) +
∫
ex cos(x)dx.
Integrando a u´ltima integral, por partes, novamente, tem-se∫
ex cos(x)dx = −excos(x) + [exsen(x)−
∫
exsen(x)dx],
assim∫
exsen(x)dx =
ex
2
[sen(x)− cos(x)] + C.
d) Como 2
1−x2 =
1
1+x
+ 1
1−x ,∫
2
1− x2dx =
∫
2
1 + x
dx+
∫
2
1− xdx = ln |1 + x| − ln |1− x|+ C = ln |
1 + x
1− x |+ C.
e) Ponha u = cos x, assim du
dx
= −sen(x), e portanto∫ pi/2
0
sen(x)
1 + cos2(x)
dx = −
∫ 0
1
1
1 + u2
du =
∫ 1
0
1
1 + u2
= arctan(u)|10 =
pi
4
.
1
2. Fazendo as intersecc¸o˜es, vemos que a a´rea de D e´ dada por:∫ 2
0
[(−x2 + 5x)− (x3 − x)]dx =
∫ 2
0
(−x3 − x2 + 6x)dx =
[
−x
4
4
− x
3
3
+ 3x2
]2
0
=
= −4− 8
3
+ 12 =
−12− 8 + 36
3
=
16
3
un. de a´rea.
3. a) O comprimento L de arco e´ dado por:
L =
∫ 1
0
√
1 +
(
3
2
x1/2
)2
dx =
∫ 1
0
√
1 +
9
4
xdx =
4
9
(
1 +
9
4
x
)3/2
|10
= 8
27
(
13
√
13
8
− 1
)
.
b) O volume e´:
V = pi
∫ 1
0
(x3/2)2dx = pi
∫ 1
0
x3dx =
pi
4
.
4. a)∫ 1
0
1
(1− x) 32 dx = lim²→0+
(∫ 1−²
0
1
(1− x) 32 dx
)
= lim
²→0+
(
−(1− x)−12
−1
2
|1−²0
)
= lim
²→0+
2√
1− x |
1−²
0
= lim
²→0+
(
2√
²
− 2
)
= +∞
b)∫∞
1
lnx
x
dx = lim
R→∞
(∫ R
1
lnx
x
dx
)
= lim
R→∞
(ln x)2
2
|R1 = lim
R→∞
(lnR)2
2
− (ln 1)
2
2
= lim
R→∞
(lnR)2
2
= +∞
2