Séries Infinitas

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Introduc¸a˜o
Se´ries Infinitas
Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Se´ries Infinitas
Orlando Batista de Almeida
Instituto Federal de Campina Grande - IFCG
15 de marc¸o de 2014
Orlando Batista de Almeida IFCG - Construc¸a˜o de Edif´ıcios
Introduc¸a˜o
Se´ries Infinitas
Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Se´ries Infinitas
teorema
3 Propriedades das Se´ries Infinitas
Se´rie de Termos Na˜o-Negativos
Convergeˆncia e Divergeˆncia de uma p-Se´rie
4 Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Teste da Integral
Teste da Comparac¸a˜o Direta
Convergeˆncia Absoluta e Condicional
Teste da Raza˜o
Teste da Raiz
5 Bibliografia
Orlando Batista de Almeida IFCG - Construc¸a˜o de Edif´ıcios
Introduc¸a˜o
Se´ries Infinitas
Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Se´ries Infinitas
teorema
3 Propriedades das Se´ries Infinitas
Se´rie de Termos Na˜o-Negativos
Convergeˆncia e Divergeˆncia de uma p-Se´rie
4 Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Teste da Integral
Teste da Comparac¸a˜o Direta
Convergeˆncia Absoluta e Condicional
Teste da Raza˜o
Teste da Raiz
5 Bibliografia
Orlando Batista de Almeida IFCG - Construc¸a˜o de Edif´ıcios
Introduc¸a˜o
Se´ries Infinitas
Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Objetivo
A ide´ia ba´sica da exposic¸a˜o do objeto matema´tico se´rie infinita e´
estudarmos esse assunto no que diz respeito a sua Definic¸a˜o,
Convergeˆncia, Tipos de se´ries, Propriedades das Se´ries Lineares,
Se´ries Alternantes e Se´ries de termos na˜o negativos, Convergeˆncia
e Divergeˆncia de uma Se´rie, Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
e Fazermos algumas Aplicac¸o˜es sobre Se´ries explorando todo o
assunto.
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Introduc¸a˜o
Se´ries Infinitas
Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o de Se´ries Infinitas
Dada a sequeˆncia (an), chama-se se´rie infinita ou se´rie a soma
indicada de todos os termos da sequeˆncia (an), isto e´,
a1 + a2 + a3 + a4 + · · ·+ an−1 + an + an+1 + · · ·
Notac¸a˜o:
a1 + a2 + a3 + a4 + · · ·+ an−1 + an + an+1 + · · · =
∞∑
k=1
ak
Leˆ-se somato´rio do ak com k variando de 1 ate´ o infinito ∞.
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Introduc¸a˜o
Se´ries Infinitas
Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o de Somas Parciais de uma Se´rie Infinita
A soma (Sn) dos n primeiros termos de uma se´rie
∞∑
k=1
ak e´
chamada de n-e´sima soma parcial da se´rie. Assim,
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + · · ·+ an−1 + an =
n∑
k=1
ak .
Importante: A sequeˆncia Sn e´ tratada como a sequeˆncia das somas
parciais da se´rie
∞∑
k=1
ak .
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Se´ries Infinitas
Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Importante
Para cada n inteiro positivo maior que 1, temos que
Sn = Sn−1 + an.
Nas se´ries infinitas, algumas vezes e´ interessante construir uma
se´rie
∞∑
k=1
ak atrave´s de uma sequeˆncia pre´-determinada (Sn) de
suas somas parciais. Em relac¸a˜o ao exposto, a identidade
an = Sn − Sn−1
que deve ser verificada para todo n > 1, junto com o fato de que
a1 = S1, nos leva a se´rie procurada.
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Se´ries Infinitas
Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Exemplo
Considere a se´rie
∞∑
k=1
(
1
2k−1
) = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ · · ·+ 1
2k−1
+ · · ·.
A sequeˆncia (Sn) das somas parciais da se´rie e´ dada por:
A primeira soma parcial e´ S1 = 1
A segunda soma parcial e´ S2 = 1 +
1
2 =
3
2 = 1, 5
A terceira soma parcial e´ S3 = 1 +
1
2 +
1
4 =
7
4 = 1, 75
A quarta soma parcial e´ S4 = 1 +
1
2 +
1
4 +
1
8 =
15
8 = 1, 875
A quinta soma parcial e´
S5 = 1 +
1
2 +
1
4 +
1
8 =
15
8 +
1
16 = +
31
16 = 1, 9375, e assim,
sucessivamente. Logo, a sequeˆncia Sn e´:
(1; 1, 5; 1, 75; 1, 875; 1, 9375; · · · ).
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Note que, a sequeˆncia (Sn) das somas parciais tende a se
aproximar de 2, como um limite, por exemplo
S25 = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ · · ·+ 1
224
= 1, 99999998.
Podemos mostrar que, a sequeˆncia das somas parciais converge
para o limite 2, assim
2 = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ · · ·+ 1
2k−1
+ · · ·.
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Definic¸a˜o
Convergeˆncia de uma Se´rie Infinita
Se a sequeˆncia (Sn) das somas parciais da se´rie
∞∑
k=1
ak converge
para um limite lim
n→∞Sn = S , dizemos que a se´rie infinita
∞∑
k=1
ak
converge e sua soma e´ S .
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Definic¸a˜o
Se´rie de Encaixe ou Telesco´pica
A se´rie ∞∑
k=1
[
1
k(k + 1)
],
quando restrita a forma
∞∑
k=1
[
1
k
− 1
k + 1
]
e´ chamada de se´rie de encaixe ou telesco´pica, devido ao
cancelamento no ca´lculo de suas somas parciais.
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Definic¸a˜o
De um modo geral, se (bn) e´ uma sequeˆncia, enta˜o uma se´rie da
forma ∞∑
k=1
[bk − bk+1]
e´ chamada SE´RIE DE ENCAIXE ou TELESCO´PICA. A sua
ene´sima soma parcial e´ dada por
Sn =
n∑
k=1
[bk−bk+1] = (b1−b2)+(b2−b3)+(b3−b4)+. . .+(bn−bn+1),
ou seja,
Sn = b1 − bn+1.
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Definic¸a˜o
Portanto, se
lim
n→∞ bn+1
existe, digamos
lim
n→∞ bn+1 = b
enta˜o, temos que,
∞∑
k=1
[bk − bk+1] = lim
n→∞Sn = limn→∞ (b1 − bn+1) = b1 − b.
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Exerc´ıcios
(01) Para cada se´rie dada abaixo, calcule os seus cinco primeiros
termos, calcule os cinco primeiros termos da sequeˆncia das somas
parciais, determine uma fo´rmula para a ene´sima soma parcial,
verifique se a se´rie converge ou diverge e, se convergir, calcule sua
soma.
(a)
∞∑
k=1
[
1
k(k + 1)
]
(b)
∞∑
k=1
[k(k − 1)].
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
(02) Mostre que a se´rie converge
∞∑
k=1
[
3
9k2 + 3k − 2] converge, e
calcular a sua soma.
(03) Determine a se´rie infinita, cuja sequeˆncia de somas parciaise´
(
3n
2n + 1
), verifique se a se´rie converge, e se convergir, calcular a
sua soma.
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Definic¸a˜o
Se´rie Geome´trica
Uma se´rie geome´trica e´ uma se´rie da forma
∞∑
k=1
[a.rk−1] = a+ a.r + a.r2 + a.r3 + . . .+ a.rk−1 + . . .,
onde r e´ a sua raza˜o, que e´ uma constante, e a e´ o coeficiente da
raza˜o.
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Exemplos
(01) Se a = 1 e r = 12 temos:
∞∑
k=1
[
1
2k−1
] = 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ . . .+
1
2k−1
+ . . .
(02) Se a = 1 e r = 1 temos:
∞∑
k=1
[1] = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + . . .+ 1 + . . .
(03) Se a = 1 e r = −1 temos:
∞∑
k=1
[(−1)k−1] = 1− 1+ 1− 1+ 1− 1+ 1− 1+ . . .+ (−1)k−1+ . . .
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Exemplos
(04) Se a = 1 e r = 2 temos:
∞∑
k=1
[2k−1] = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + . . .+ 2k−1 + . . .
(05) Se a = 23 e r =
−3
4 temos:
∞∑
k=1
[(
2
3
).(
−3
4
)k−1] =
2
3
−1
2
+
3
8
− 9
32
+
27
128
− 81
512
+. . .+(
2
3
).(
−3
4
)k−1+. . .
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Introduc¸a˜o
Se´ries Infinitas
Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Fo´rmula da Ene´sima Soma Parcial Sn de uma Se´rie
Geome´trica
Teorema
Se uma se´rie geome´trica e´ da forma
∞∑
k=1
[a.rk−1] = a+ a.r + a.r2 + a.r3 + . . .+ a.rk−1 + . . .,
enta˜o
Sn = a.(
1− rn
1− r )
com r 6=−1.
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Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Importantes
Teorema
Temos que,
Sn = (
a
1− r )−(
a.rn
1− r ) com r 6=−1.
(I ) Se |r | < 1, enta˜o
lim
n→∞ r
n = 0.
Assim,
lim
n→∞Sn = limn→∞(
a
1− r )−(
a
1− r ). limn→∞ r
n =
a
1− r ,
isto e´, sua soma e´ dada por S = a1−r com |r | < 1.
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Se´ries Infinitas
Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Importantes
Teorema
(II ) Se |r | > 1, enta˜o a sequeˆncia {rn} diverge. Assim, a sequeˆncia
{Sn} diverge, e consequentemente, a se´rie diverge.
(III ) Se |r | = 1 e, como Sn = n.a, enta˜o a sequeˆncia {Sn} diverge,
consequentemente, a se´rie diverge.
(IV ) Se r = −1, a sequeˆncia {Sn} e´ tal que
S2n = 0 e S2n+1 = a, ∀n∈N∗.
Desta forma, a sequeˆncia {Sn} diverge e, consequentemente, a
se´rie diverge.
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Introduc¸a˜o
Se´ries Infinitas
Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Importantes
Teorema
A se´rie geome´trica
∞∑
k=1
[a.rk−1]
com termo inicial a 6= 0 e raza˜o r converge se, e somente se,
|r | < 1. Assim, a
∞∑
k=1
[a.rk−1] =
a
1− r .
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Se´ries Infinitas
Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
teorema
Exerc´ıcios
Verificar se cada se´rie geome´trica abaixo converge ou diverge e, se
convergir, determinar sua soma.
(1)
∞∑
k=1
[
2
3k−1
]
(2)
∞∑
k=1
[(
3
2
)k ]
(3)− 1 + 23 − 49 + 827 − 1681 + . . .
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Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Se´rie de Termos Na˜o-Negativos
Convergeˆncia e Divergeˆncia de uma p-Se´rie
Teorema
Condic¸a˜o Necessa´ria de Convergeˆncia
Se uma se´rie infinita
∞∑
k=1
ak converge, enta˜o lim
n→∞ an = 0.
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Se´rie de Termos Na˜o-Negativos
Convergeˆncia e Divergeˆncia de uma p-Se´rie
Exemplo
Sabendo-se que, a se´rie infinita
∞∑
k=1
[
2k
k!
] converge, determinar o
lim
n→∞[
2n
n!
].
Soluc¸a˜o:
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Se´rie de Termos Na˜o-Negativos
Convergeˆncia e Divergeˆncia de uma p-Se´rie
Teorema
Condic¸a˜o Suficiente para Divergeˆncia
Se lim
n→∞ an na˜o existe ou se, limn→∞ an existe, mas e´ diferente de
zero, enta˜o a se´rie infinita
∞∑
k=1
ak e´ divergente.
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Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Se´rie de Termos Na˜o-Negativos
Convergeˆncia e Divergeˆncia de uma p-Se´rie
Exemplo
Mostrar que, cada se´rie infinita abaixo e´ divergente.
(1)
∞∑
k=1
[
k + 1
k
]
(2)
∞∑
k=1
[(−1)k ]
(3)
∞∑
k=1
[ln(
k + 1
k
)]
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Se´rie de Termos Na˜o-Negativos
Convergeˆncia e Divergeˆncia de uma p-Se´rie
Teorema
Propriedades Lineares das Se´ries
(I )Se
∞∑
k=1
ak e
∞∑
k=1
bk sa˜o convergentes, enta˜o as se´ries infinitas
∞∑
k=1
(ak + bk) e
∞∑
k=1
(ak − bk),
tambe´m sa˜o convergentes.
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Se´rie de Termos Na˜o-Negativos
Convergeˆncia e Divergeˆncia de uma p-Se´rie
Teorema
Propriedades Lineares das Se´ries
(II )Se
∞∑
k=1
ak e´ uma se´rie convergente e c uma constante, enta˜o
∞∑
k=1
c .ak e´ tambe´m convergente e,
∞∑
k=1
c .ak = c .
∞∑
k=1
ak .
(III )Se
∞∑
k=1
ak e´ uma se´rie divergente e c uma constante, na˜o nula,
enta˜o
∞∑
k=1
c .ak e´ tambe´m divergente.
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Se´rie de Termos Na˜o-Negativos
Convergeˆncia e Divergeˆncia de uma p-Se´rie
Exemplo
Determinar a soma da se´rie
∞∑
k=1
[
5
2k−1
+
1
3k−1
].
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
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Se´rie de Termos Na˜o-Negativos
Convergeˆncia e Divergeˆncia de uma p-Se´rie
Teorema
Divergeˆncia de uma Se´rie de Somas
Se a se´rie
∞∑
k=1
ak converge e a
∞∑
k=1
bk diverge, enta˜o a se´rie infinita
∞∑
k=1
(ak + bk) diverge.
Exemplo
A se´rie
∞∑
k=1
[ln(
k
k + 1
)− 1
3k
].
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
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Se´rie de Termos Na˜o-Negativos
Convergeˆnciae Divergeˆncia de uma p-Se´rie
Importante
Duas se´ries infinitas divergentes
∞∑
k=1
ak e
∞∑
k=1
bk podem ter a se´rie
infinita
∞∑
k=1
(ak + bk) convergente.
Exemplo
Considere as se´ries
∞∑
k=1
k e
∞∑
k=1
−k sa˜o divergentes, pore´m
∞∑
k=1
(ak + bk) e´ convergente.
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Se´ries Infinitas
Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Se´rie de Termos Na˜o-Negativos
Convergeˆncia e Divergeˆncia de uma p-Se´rie
Definic¸a˜o
Convergeˆncia de uma Se´rie de Termos Na˜o-Negativos cujas
Somas Parciais sa˜o Limitadas
Considere a se´rie infinita
∞∑
k=1
ak , cujos termos sa˜o todos na˜o
negativos, isto e´, ak≥0, ∀k ∈ N∗. Se a sequeˆncia {Sn} das
ene´simas somas parciais de
∞∑
k=1
ak , e´ limitada superiormente, isto
e´, Sn ≤ M,∀n ∈ N∗, onde M e´ uma constante, enta˜o a se´rie
infinita
∞∑
k=1
ak e´ convergente.
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Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Se´rie de Termos Na˜o-Negativos
Convergeˆncia e Divergeˆncia de uma p-Se´rie
Exemplo
Mostrar que a se´rie
∞∑
k=1
(
k − 1
k.2k
) e´ convergente.
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Se´rie de Termos Na˜o-Negativos
Convergeˆncia e Divergeˆncia de uma p-Se´rie
Definic¸a˜o
p- Se´rie ou Se´rie-p
E´ uma se´rie infinita da forma
∞∑
k=1
1
kp
, onde p e´ uma constante.
Exemplo
Se p = 1, a p- Se´rie e´ da forma
∞∑
k=1
1
k
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+ . . . ,
que e´ chamada de se´rie HARMOˆNICA.
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Se´ries Infinitas
Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Se´rie de Termos Na˜o-Negativos
Convergeˆncia e Divergeˆncia de uma p-Se´rie
Teorema
Convergeˆncia e Divergeˆncia de uma p-Se´rie
A p-se´rie
∞∑
k=1
1
kp
,
onde p e´ uma constante;
(I ) Converge, se p > 1
(II ) Diverge, se p ≤ 1.
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Se´ries Infinitas
Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Se´rie de Termos Na˜o-Negativos
Convergeˆncia e Divergeˆncia de uma p-Se´rie
Exemplo
Verificar a convergeˆncia ou divergeˆncia de cada se´rie.
(1)
∞∑
k=1
[
1
k3
]
(2)
∞∑
k=1
[
1
k
1
5
]
Soluc¸a˜o
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Se´ries Infinitas
Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Teste da Integral
Teste da Comparac¸a˜o Direta
Convergeˆncia Absoluta e Condicional
Teste da Raza˜o
Teste da Raiz
Definic¸a˜o
Teste da Integral
Suponha que a func¸a˜o f e´ cont´ınua, decrescente e, na˜o negativa
no intervalo [1,∞).
(I ) Se a integral impro´pria
∫∞
1 f (x)dx converge, enta˜o a se´rie
infinita
∞∑
k=1
f (k) converge.
(II ) Se a integral impro´pria
∫∞
1 f (x)dx diverge, enta˜o a se´rie
infinita
∞∑
k=1
f (k) diverge.
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Introduc¸a˜o
Se´ries Infinitas
Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Teste da Integral
Teste da Comparac¸a˜o Direta
Convergeˆncia Absoluta e Condicional
Teste da Raza˜o
Teste da Raiz
Exemplo
Utilizar o teste da integral para determinar se cada Se´rie
abaixo converge ou diverge.
(1)
∞∑
k=1
[
1
k2 + 1
]
(2)
∞∑
k=2
[
1
k.(ln k)
1
4
]
Soluc¸a˜o
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Convergeˆncia Absoluta e Condicional
Teste da Raza˜o
Teste da Raiz
Definic¸a˜o
Dominac¸a˜o de Se´ries
Considere as se´ries infinitas
∞∑
k=1
ak e
∞∑
k=1
bk , cujos termos sa˜o todos
na˜o-negativos. Dizemos que, a se´rie infinita
∞∑
k=1
bk domina a se´rie
infinita
∞∑
k=1
ak , se ak ≤ bk ,∀k ∈ N∗.
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Teste da Comparac¸a˜o Direta
Convergeˆncia Absoluta e Condicional
Teste da Raza˜o
Teste da Raiz
Teste da Comparac¸a˜o Direta
Considere as se´ries infinitas
∞∑
k=1
ak e
∞∑
k=1
bk , cujos termos sa˜o todos
na˜o-negativos e, suponha que a se´rie
∞∑
k=1
bk domina a se´rie
∞∑
k=1
ak
ou que,
∞∑
k=1
bk domina eventualmente a se´rie
∞∑
k=1
ak .
(I ) Se a se´rie
∞∑
k=1
bk converge, enta˜o a se´rie
∞∑
k=1
ak converge.
(II ) Se a se´rie
∞∑
k=1
bk diverge, enta˜o a se´rie
∞∑
k=1
ak diverge.
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
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Teste da Comparac¸a˜o Direta
Convergeˆncia Absoluta e Condicional
Teste da Raza˜o
Teste da Raiz
Exemplo
Utilizar o teste da comparac¸a˜o direta para determinar a
convergeˆncia ou divergeˆncia de cada Se´rie abaixo.
(1)
∞∑
k=1
[
1
7k2 + 1
]
(2)
∞∑
k=1
[
1√
k + 2
]
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Teste da Comparac¸a˜o Direta
Convergeˆncia Absoluta e Condicional
Teste da Raza˜o
Teste da Raiz
Convergeˆncia Absoluta e Condicional
(I ) Se a se´rie infinita
∞∑
k=1
|ak | converge, enta˜o dizemos que a se´rie
∞∑
k=1
ak e´ absolutamente convergente.
(II ) Se a se´rie infinita
∞∑
k=1
ak e´ convergente, mas a se´rie infinita
∞∑
k=1
|ak | e´ divergente, enta˜o dizemos que a se´rie
∞∑
k=1
ak e´
condicionalmente convergente.
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Teste da Integral
Teste da Comparac¸a˜o Direta
Convergeˆncia Absoluta e Condicional
Teste da Raza˜o
Teste da Raiz
Exemplo
Determinar se a se´rie infinita
∞∑
k=1
[
(−1)k
k2 + 1
] e´ divergente,
condicionalmente ou absolutamente convergente.
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Convergeˆncia Absoluta e Condicional
Teste da Raza˜o
Teste da Raiz
Convergeˆncia Absoluta Implica em Convergeˆncia
Teorema
Se uma se´rie infinita
∞∑
k=1
ak e´ absolutamente convergente, enta˜o
dizemos que essa se´rie e´ convergente.
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Bibliografia
Teste da Integral
Teste da Comparac¸a˜o Direta
Convergeˆncia Absoluta e Condicional
Teste da Raza˜o
Teste da Raiz
Exemplo
Determinar se a se´rie infinita
∞∑
k=1
[
senk
k3 + 4
] converge ou diverge.
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Convergeˆncia Absoluta e Condicional
Teste da Raza˜o
Teste da Raiz
Teste da Raza˜o
Seja
∞∑
k=1
ak uma se´rie dada de termos na˜o nulos.
(I ) Se lim
n→∞ |
an+1
an
| < 1, enta˜o a se´rie converge absolutamente;
(II ) lim
n→∞ |
an+1
an
| > 1 ou se, lim
n→∞ |
an+1
an
| =∞, enta˜o a se´rie diverge;
(III )Se lim
n→∞ |
an+1
an
| = 1, enta˜o o teste nada conclui a respeito da
convergeˆncia ou divergeˆncia da se´rie.
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Convergeˆncia Absoluta e Condicional
Teste da Raza˜o
Teste da Raiz
Exemplo
Utilizar o teste da raza˜o para determinar a convergeˆncia ou
divergeˆncia de cada Se´rie.
(1)
∞∑
k=1
[
2k
7k(k + 1)
]
(2)
∞∑
k=1
[
(−1)k+1.5k
k!
]
(3)
∞∑
k=1
[
1.3.5.7.· · ·.(2k − 1)
k!
]
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Bibliografia
Teste da Integral
Teste da Comparac¸a˜o Direta
Convergeˆncia Absoluta e Condicional
Teste da Raza˜o
Teste da Raiz
Teste da Raiz
Seja
∞∑
k=1
ak uma se´rie dada.
(I ) Se lim
n→∞
√
|an| < 1, enta˜o a se´rie converge absolutamente;
(II ) lim
n→∞
√
|an| > 1 ou se, lim
n→∞
√
|an| =∞, enta˜o a se´rie diverge;
(III )Se lim
n→∞
√
|an| = 1, enta˜o o teste nada conclui a respeito da
convergeˆncia ou divergeˆncia da se´rie.
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Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
Teste da Integral
Teste da Comparac¸a˜o Direta
Convergeˆncia Absoluta e Condicional
Teste da Raza˜o
Teste da Raiz
Exemplo
Utilizar o teste da raiz para determinar a convergeˆncia ou
divergeˆncia de cada Se´rie.
∞∑
k=1
(−1)k
[ln(k + 1)]k
.
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Propriedades das Se´ries Infinitas
Testes de Convergeˆncia e Divergeˆncia
Bibliografia
, Ca´lculos A e B - Diva M. Flemming e Mı´rian Gonc¸alves -
Sa˜o Paulo: Makron, 1992.
Ca´lculo com Geometria anal´ıtica - Louis Leithold-Sa˜o Paulo:
Harbra, 1977.
Ca´lculo com Geometria anal´ıtica- Earl W. Swokowski - Sa˜o
Paulo: Makron, 1994.
Um Curso de Ca´lculo - Luis Hamilton Guidorizzi - Rio de
Janeiro: Livros Te´cnicos Cient´ıficos, 1995.
Ca´lculo um curso moderno e suas Aplicac¸o˜es - Laurence D.
Hoffmann. RJ. LTC. 2001.
Ca´lculo - Mustafa´ A. Munen e David J. Foullis. Rio de
Janeiro. Editora Guanabara Dois, 1983.
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	 Séries Infinitas 
	teorema
	Propriedades das Séries Infinitas 
	Série de Termos Não-Negativos 
	Convergência e Divergência de uma p-Série 
	Testes de Convergência e Divergência 
	Teste da Integral 
	Teste da Comparação Direta 
	Convergência Absoluta e Condicional 
	Teste da Razão 
	Teste da Raiz 
	Bibliografia