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TO´PICOS DE MATEMA´TICA - TM31M - 2017 Professor: Geovani Raulino 1ª LISTA DE EXERCI´CIOS - MATRIZES 1. Construir as seguintes matrizes: A = (aij)3×3, tal que { 1, se i = j 0, se i 6= j. e B = (bij)3×3, tal que { i + j, se i = j i− j, se i 6= j. 2. Determine x, y, w e t de modo que se tenha:[ x2 2x y 4 5 t2 ] = [ x x 3 z 5t t ] 3. Determine o valor de x, de tal forma que a matriz 0 x 2 − 1 −3 x + 1 2 x2 + 4 −3 4x −1 seja sime´trica. 4. Dadas as matrizes A = [ 1 5 7 3 9 11 ] , B = [ 2 4 6 8 10 12 ] e C = [ 0 −1 −5 1 4 7 ] . Calcular: (a) A + B + C (b) A−B + C (c) A−B − C (d) −A + B − C 5. Calcular a soma C = (cij)3×3 das matrizes A = (aij)3×3 e B = (bij)3×3 tais que aij = i2 + j2 e bij = 2.i.j. 6. Seja C = (Cij)2×3 a soma das matrizes A = [ 0 1 2 3 4 5 ] e B = [ 6 7 8 9 10 11 ] . Calcule a soma c21 + c22 + c23. 7. Determinar x e y de modo que se tenha:[ y3 3x y2 4x ] + [ −y x2 2y x2 ] + [ −1 1 2 2 ] = [ 5 1 10 −1 ] 8. Dadas A = [ 1 2 2 3 ] , B = [ 0 5 7 6 ] e C = [ −1 7 5 −2 ] , determine a matriz X tal que X + A = B − C. 9. Obter a matriz X tal que X + 14 7 = 57 2 + 1−1 −2 1 10. Prove que se A e B sa˜o matrizes sime´tricas, enta˜o A + B tambe´m e´ sime´trica. 11. Dadas as matrizes A = [ 1 1 5 7 ] e B = [ 0 6 9 3 ] . Calcular: (a) 2A (b) 1 3 B (c) 1 2 (A + B) 12. Dadas as matrizes: A = 1 −2 3 1 7 −4 5 9 , B = [ 1 3 −5 −7 6 2 −8 3 ] , C = [ 2 4 −3 5 ] e D = 1 7 3 −8 −3 −1 −1 −3 4 1 9 0 5 3 2 −3 , calcule: (a) A.B; (b) A.C; (c) A.(B.D); (d) At e Bt; (e) C.C; (f) (B.A)t. 13. Se A e´ uma matriz triangular superior, o que podemos dizer sobre A2. 14. Se for verdadeiro deˆ uma breve justificativa, se for falso deˆ um contra-exemplo. (a) (A + B)t = Bt + At. (b) Se A e B sa˜o matrizes sime´tricas enta˜o AB = BA. (c) Se A.B = 0m×n, enta˜o B.A = 0m×n. (d) Se podemos efetuar o produto A.A, enta˜o A e´ uma matriz quadrada. 15. Sendo A = [ 1 1 0 1 ] , calcular A2, A3, A4 e An, com n ∈ N. 16. Calcule A.B.C, sendo A = [ 1 2 5 1 ] , B = [ 1 1 1 3 2 1 ] e C = 3 11 0 2 −1 17. Sendo A = [ 1 −1 0 2 ] , qual das matrizes abaixo comuta com a matriz A? B = [ 2 3 ] , C = [ 1 3 2 4 5 1 ] , D = [ 0 0 1 0 ] e E = [ 5 2 0 3 ] 2 18. Determinar x e y de modo que as matrizes comutem: A = [ 1 2 1 0 ] e B = [ 0 1 x y ] 19. Sendo A e B matrizes comuta´veis prove que: (a) (A + B)(A−B) = A2 −B2 (b) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (c) (AB)n = An.Bn (induc¸a˜o!!) 20. Dadas as matrizes A = 2 −3 −5−1 4 5 1 −3 −4 , B = −1 3 51 −3 −5 −1 3 5 e C = 2 −2 −4−1 3 4 1 −2 −3 (a) Mostre que A.B = B.A = Om×n, A.C = A e C.A = C; (b) Use os resultados de (a) para mostrar que A.C.B = C.B.A. 3 Refereˆncias Bibliogra´ficas [I] IEZZI, G.; HAZZAN, S. Fundamentos de Matema´tica Elementar: sequeˆncias, ma- trizes, determinantes e sistemas. 2. ed. v.4. Sa˜o Paulo: Atual, 1985. [B] BOLDRINI, J. L.; COSTA, S.I.R.; FIGUEIREDO, V.L. et al. A´lgebra Linear. 3. ed. Sa˜o Paulo: Harbra Ltda, 1986. 4
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