Algebra Linear e vetorial

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ÁLGEBRA LINEAR 
E VETORIAL
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Debora Cristiane Barbosa Kirnev
Renata Karoline Fernandes
Álgebra linear e vetorial
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Fernandes, Renata Karoline
F363a Álgebra linear e vetorial / Renata Karoline Fernandes, 
 Debora Cristiane Barbosa Kirnev – Londrina: Editora e 
 Distribuidora Educacional S. A., 2015.
 192 p.
 ISBN 978-85-8482-109-9
1. Matrizes. 2. Operações. I. Kirnev, Debora Cristiane 
Barbosa. II. Título.
 CDD 510
© 2015 por Editora e Distribuidora Educacional S.A 
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida 
ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, 
incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e 
transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Editora e 
Distribuidora Educacional S.A.
Presidente: Rodrigo Galindo
Vice-Presidente Acadêmico de Graduação: Rui Fava
Diretor de Produção e Disponibilização de Material Didático: Mario Jungbeck
Gerente de Produção: Emanuel Santana
Gerente de Revisão: Cristiane Lisandra Danna
Gerente de Disponibilização: Everson Matias de Morais
Editoração e Diagramação: eGTB Editora
Unidade 3 | Vetores e transformações lineares
Seção 1 - Vetores bidimensionais e tridimensionais
Seção 2 - Introdução aos espaços vetoriais euclidianos
Seção 3 - Transformações lineares
Sumário
Unidade 1 | Conhecendo matrizes
Seção 1 - Matriz, propriedades e classificações 
1.1 Definição de Matrizes 
Seção 2 - Operações com matrizes
Seção 3 - Determinantes de matrizes de diferentes ordens
3.1 Determinantes 
Unidade 2 | Sistemas lineares e sua relação com matrizes
Seção 1 - Matrizes inversas e escalonamento de matrizes
1.1 Matrizes inversas
Seção 2 - Métodos para resolver sistemas lineares e relação de 
sistemas lineares com matrizes 
Seção 3 - Resolução de sistemas lineares e classificações 
7 
11
11 
21 
33 
33
51
55
55
67
85
101 
105
113
135
Unidade 4 | Operações vetoriais 
Seção 1 - Espaços vetoriais 
Seção 2 - Transformações lineares
Seção 3 - Espaços vetorias com produto interno
147 
151
167
177
Apresentação
Este livro trata de uma disciplina que é indispensável para a formação do futuro 
professor de Matemática, porém, tem também grande importância para todos os 
profissionais que aplicam conceitos matemáticos, a Álgebra Linear e Vetorial. 
No decorrer deste trabalho, perceberemos a importância dos conceitos da 
Álgebra Linear e Vetorial na Educação Básica, ao longo do Ensino Médio, pois alguns 
dos conceitos estudados nos capítulos I e II deste livro são ensinados também no 
Ensino Médio, mas há também aplicações para diversos cursos do Ensino Superior.
Este livro está dividido em quatro unidades, as quais contemplam os conceitos 
da Ementa dessa disciplina, ou seja: Matrizes; Determinantes; Sistemas de Equações 
Lineares; Espaços Vetoriais; Produtos Internos; Autovalores e Autovetores e 
Transformações Lineares.
Na Unidade 1, abordaremos o conceito de matrizes. Ao final dessa unidade, 
espera-se que você, estudante, reconheça uma matriz e saiba realizar operações 
como adição, subtração, multiplicação e divisão de matrizes; consiga identificar as 
principais propriedades das matrizes; conheça e saiba classificar matrizes de acordo 
com o tipo delas; seja capaz de calcular determinantes de uma matriz quadrada; 
consiga realizar escalonamentos em uma matriz qualquer e também calcular uma 
matriz inversa.
A Unidade 2 é destinada para que você conheça e compreenda a relação entre 
matrizes e os sistemas lineares, a forma de solucionar um sistema linear utilizando a 
forma matricial por diferentes métodos; e também consiga classificar um sistema de 
acordo com a quantidade de soluções. 
A Unidade 3 é voltada para a introdução de conceitos de grande importância para 
muitos cursos de graduação, como as engenharias e, com certeza, a Licenciatura 
em Matemática, que são os vetores. Nessa unidade, você será conduzido para a 
compreensão do conceito de vetores, a visualização de vetores no plano e no espaço, 
a compreensão de transformações lineares e a aplicação dessas transformações. 
Na última unidade desse livro, a Unidade 4, você aprenderá a respeito das 
operações vetoriais, ou seja, aprenderá a determinar e conceituar o produto 
interno, bem como suas propriedades; entenderá e identificará uma função como 
produto interno; calculará autovalores e autovetores; compreenderá a importância 
destes conceitos de autovalores e autovetores; aprenderá a calcular o polinômio 
característico de um operador linear T, a diferenciar multiplicidade algébrica e 
geométrica e também a mudar a base de um espaço vetorial.
A disciplina de Álgebra Linear e Vetorial, por meio da associação entre bases 
científicas e aplicações dos conhecimentos nos diferentes níveis de ensino, propiciará 
ao futuro professor uma base sólida de aprendizagem, que será indispensável para 
um bom processo de ensino e aprendizagem destes conceitos.
Com relação a este material impresso, ele utiliza uma linguagem dialógica para 
auxiliar na construção do seu conhecimento. Para melhor aproveitar este material, 
faça as atividades e leituras sugeridas, organize seu tempo e, nos momentos de 
estudo, volte sua atenção apenas para o que está estudando.
Bons estudos!
Prof.ª Renata Karoline Fernandes
Unidade 1
CONHECENDO MATRIZES
Nesta seção, vamos definir o que são matrizes, como utilizá-las e 
aprenderemos algumas aplicações.
As matrizes apresentam algumas propriedades específicas e é 
importante que você conheça essas propriedades e também suas 
classificações, pois elas serão úteis para aprender e compreender melhor 
os conceitos das próximas seções.
Seção 1 | Matriz, propriedades e classificações
Objetivos de aprendizagem: Essa unidade tem por objetivo conduzi-lo 
no processo de aprendizagem a respeito de uma parte muito importante 
dessa disciplina, o conceito de matrizes e operações com matrizes.
Ao final dessa unidade, espero que você reconheça uma matriz e 
saiba realizar operações, como adição, subtração, multiplicação e divisão 
de matrizes, consiga identificar as principais propriedades das matrizes, 
conheça e saiba classificá-las de acordo com seus tipos. Espera-se, também, 
que você seja capaz de calcular determinantes de uma matriz quadrada e 
consiga realizar escalonamentos em uma matriz qualquer e calcular uma 
matriz inversa.
Estes conceitos serão aplicados em várias disciplinas ao longo do curso 
e ao longo da disciplina de Álgebra Linear e Vetorial e também durante o 
exercício de sua futura profissão.
Bons estudos.
Renata Karoline Fernandes
Conhecendo matrizes
U1
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Nesta seção, você aprenderá como operar com matrizes e também a 
respeito da soma, subtração, multiplicação de matrizes por uma constante, 
multiplicação de matrizes e divisão de matrizes.
Essas operações fazem parte do currículo básico do Ensino Médio, sendo 
assim, tem importância tanto para sua formação quanto para a formação 
dos estudantes aos quais você ministrará aulas futuramente.
A terceira seção dessa unidade é destinada ao estudo de determinantes 
de matrizes de diferentes ordens.
Vamos aprender a operar e calcular determinantes por meio de técnicas 
específicas, o que nos permitirá resolver determinantes de matrizes com 
ordem superior a três.
Seção 2 | Operações com matrizes
Seção 3 | Determinantes de matrizes de diferentes ordens
Conhecendo matrizes
U1
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Introdução à unidade
É muito comum ver em computadores programas que utilizem planilhas 
eletrônicas para organizar informações. Algumas dessas planilhas são 
“tabelas” compostas de certa quantidade de linhas (que são horizontais) e 
de certa quantidade de colunas (que são verticais).
Nós chamamos essas “tabelas” de matrizes. As matrizes são formas 
para auxiliar na representação de informações, sendo essas informações 
dados quantitativos.Comumente, para facilitar a realização de cálculos 
que podem ser complexos, utilizamos matrizes numéricas quadradas ou 
retangulares.
Nós podemos utilizar matrizes em diversas áreas, por exemplo, 
Engenharia, Física, Computação, Engenharia, entre outras. 
As matrizes tiveram sua importância dissociada do cálculo de 
determinantes há pouco mais de 150 anos, porém este conceito já é 
conhecido desde, aproximadamente, 1826; entretanto, o nome matriz só 
foi estabelecido em 1850, por James Joseph Sylvester, mas foi Cayley, em 
1858, na obra Memoir on the Theory of Matrices, quem divulgou o nome 
matriz e também iniciou o processo de demonstração de sua utilidade 
(SILVEIRA, 2014).
James Joseph Sylvester utilizou a palavra matriz como sendo o local onde 
algo se gera ou cria, ou ainda: “[...] um bloco retangular de termos [...], o 
que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a 
partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes, ou fixar um 
número p e escolher à vontade p linhas e p colunas [...]” (artigo publicado na 
Philosophical Magazine, 1850, p. 363-370 apud SILVEIRA, 2014).
Somente com Cayley que as matrizes passaram a ter “vida própria” e deixaram 
de ser apenas um conceito matemático para o cálculo de determinantes.
Sabendo da necessidade e importância tanto para a disciplina quanto 
Conhecendo matrizes
U1
12
para a sua formação de aprender a respeito de matrizes, a Unidade 1 desse 
material está organizada em três seções.
Na primeira seção, acontece a apresentação das matrizes, suas 
propriedades e classificações, tendo como intenção criar uma familiaridade 
com tais conceitos.
Na segunda seção, aprenderemos a realizar operações com matrizes, 
somas, subtrações, multiplicações de matrizes por um número, que 
chamamos de constantes, e também matriz por matriz.
A última seção é dedicada ao estudo de métodos para a resolução dos 
importantes determinantes. Aprenderemos a calcular o determinante de 
matrizes quadradas de qualquer ordem.
Desejo a você um bom estudo e que possa aproveitar ao máximo o 
conteúdo que lhe é fornecido, assim como as dicas de leitura e pesquisa.
Conhecendo matrizes
U1
13
Uma matriz de ordem m x n é uma tabela numérica composta por m.n 
elementos. Estes elementos são dispostos em m linhas e n colunas.
Por se tratar de linhas e colunas, os números que representam as 
quantidades de m e n pertencem ao conjunto dos números naturais e 
são diferentes de zero.
A quantidade de linhas (m) e colunas (n) de uma matriz pode ser igual, 
ou diferente.
Em muitos materiais, ao invés de m e n, os índices são representados 
por i (para a quantidade de linhas) e j (para a quantidade de colunas).
Seção 1
Matriz, propriedades e classificações
1.1 Definição de Matrizes
As matrizes são utilizadas para organizar dados, de forma que possam 
ser realizadas determinadas operações com eles. 
Cada número que compõe uma matriz é chamado de elemento da 
matriz; as filas horizontais que compõem uma matriz são chamadas de 
linhas; já as filas verticais são chamadas de colunas. 
Nós podemos definir uma matriz como:
Os conjuntos a seguir são espaços vetoriais se as operações de adição 
e multiplicação podem ser não usuais.
Conhecendo matrizes
U1
14
quantidade de colunas.). 
Vamos ver, no próximo exemplo, como utilizar uma matriz para a 
representação de dados.
Exemplo 2 – Utilização de matrizes para organizar dados
O quadro abaixo mostra o consumo mensal de uma família, em 
quilogramas, de dois alimentos durante quatro meses específicos. Vejamos 
esse quadro:
Como podemos ver 
pela imagem anterior, os 
elementos das matrizes 
podem ser representados 
dentro de parênteses 
ou colchetes. As 
matrizes representadas 
anteriormente são 
matrizes de ordem 3, 
pois têm três linhas e três 
colunas, mas podemos 
também dizer que elas 
são matrizes 3 x 3 (lemos 
matrizes três por três, 
sempre o primeiro valor 
se refere à quantidade de 
linhas e o segundo valor à 
Arroz Feijão 
Janeiro 15 4
Fevereiro 13 5
Março 16 5
Abril 15 6
Vamos ver exemplos de matrizes de diferentes ordens em diferentes 
situações.
Exemplo 1 – Matriz
Figura 1.1 - Matriz 3 x 3
Fonte: A autora (2014)
Quadro 1.1 - Consumo de alimentos
Fonte: A autora (2014)
Conhecendo matrizes
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Por meio do Quadro 1.1, podemos, por exemplo, saber quanto de feijão 
essa família consumiu no mês de março, procurando o número localizado 
na terceira linha e segunda coluna. 
Representando essas informações por meio de uma matriz, obtemos:
informações por meio de uma matriz, obtemos:
[−2 1,5 9 −8 0]
Essa é uma matriz do tipo 4 x 2, pois temos quatro linhas e duas colunas.
Vamos ver, no próximo exemplo, outros exemplos de matrizes.
Exemplo 3: Matrizes
a) Essa é uma matriz 2 x 4, pois é composta por 2 linhas e 4 
 colunas.
Essa é uma matriz 1 x 5, pois é composta por 1 linha e 5 
colunas. A matriz que é composta por apenas uma linha é 
chamada de matriz linha.
Essa é uma matriz 3 x 1, pois é composta por 3 linhas e 1 
coluna. A matriz que é composta apenas por uma coluna 
é chamada de matriz coluna.
Essa é uma matriz 2 x 2, pois é composta por 2 linhas e 2 
colunas. Como todos os elementos dessa matriz são zero, 
chamamos essa matriz de matriz nula.
b)
c)
d)
 Essa é uma matriz 2 x 4, pois é composta por 2 linhas e 4 
 colunas.
Conhecendo matrizes
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Essa é uma representação genérica para uma matriz de qualquer ordem, 
em que podemos identificar um elemento de acordo com o local que 
ocupa na matriz, por exemplo, sabemos que o elemento a_23 ocupa na 
matriz a segunda linha e a terceira coluna, já o elemento a_31 ocupa a 
terceira linha e primeira coluna.
Vamos ver um exemplo de como estabelecer matrizes utilizando a 
forma genérica das matrizes.
Exemplo 4: Construção de matrizes
Construa a matriz B= (b
mn
)4 x 2, tal que
Para construir essa matriz, é necessário verificar em quais locais dela 
temos m≥n, nesses locais devemos calcular m+n2, e a resposta será o valor 
do elemento da matriz que ocupa a determinada linha e coluna. Vejamos, 
então, essa primeira determinação:
Existe uma representação genérica para as matrizes 
com m linhas e n colunas, a qual é a seguinte:
)4 x 2, tal que
Conhecendo matrizes
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Agora, só falta calcular o valor do único elemento que falta o b_12. Para 
esse elemento, devemos utilizar a regra m-n, pois m é menor que n. Assim:
Sendo assim, nossa matriz B que segue as indicações é:
Agora é sua vez!
Agora que nós já conhecemos o que são matrizes e como elaborá-las 
por meio de uma lei de formação, vamos agora aprender classificações 
para as funções.
1. Qual o resultado da adição do elemento a
12 
e a
23 
da matriz 
A = (a
mn
)
 2x3 
 tal que a
mn
=m2-n2.
2. Qual o resultado da soma de todos os elementos que 
compõem a matriz b = (b
mn
)
 3x3 
 tal que b
mn
= m-n.
Conhecendo matrizes
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Matriz quadrada
Nós dizemos que uma matriz m x n é quadrada quando m = n, ou seja, 
a matriz tem a mesma quantidade de linhas e de colunas. 
As matrizes a seguir são matrizes quadradas.
Nas matrizes quadradas de ordem n, os elementos a
11 
, a22 , ..., ann 
formam a diagonal principal da matriz. Nesses elementos o valor de m e n 
são iguais. Já a outra diagonal é chamada de diagonal secundária. Vamos 
ver essas diagonais na imagem abaixo.
MATRIZ TRIANGULAR
Uma matriz triangular é um tipo de matriz em que todos os elementos 
acima ou abaixo da diagonal principal são nulos. Se os elementos acima 
da diagonal principal forem nulos, temos o que nós chamamos de matriz 
triangular inferior; e se os elementos abaixo da diagonal forem nulos, 
temos o que chamamos de matriz triangular superior. Vamos ver exemplos 
dessas matrizes na figura 1.3: 
Matriz quadrada de ordem 2.
Matriz quadrada de ordem 3
Matriz quadrada de ordem n.
Matriz quadrada de ordem 2.
Matriz quadrada de ordem 3
Figura 1.2- Diagonais da matriz
Fonte: A autora (2014)
Conhecendo matrizes
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Agora que você já refletiu a respeito da questão apresentada 
anteriormente, podemos discutir a respeito dela. Todas as matrizes 
triangulares, tanto superiores quanto inferiores, são quadradas, não existem 
matrizes triangulares sem serem quadradas, mas, como vimos alguns 
exemplos, nem todas as matrizes quadradas são triangulares.
MATRIZ DIAGONAL
Diferentemente da matriz triangular em que os elementos acima ou 
abaixo da diagonal principal são nulos, na matriz diagonal os elementos 
acima e abaixo são nulos. Vamos ver um exemplo de matriz diagonal na 
figura abaixo.
Figura 1.3 - Matrizes Triangulares
Fonte: A autora (2014)
Na Figura 1.3, Matrizes Triangulares, os dois exemplos, 
tanto a matriz triangular inferior quanto a matriz 
triangular superior, são matrizes quadradas. Será que 
é possível uma matriz triangular sem ser quadrada? 
Pense a respeito antes de prosseguir o estudo do 
nosso material impresso.
Figura 1.4 - Matriz Diagonal
Fonte: A autora (2014)
( )
2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 9 0
0 0 0 3
Matriz 
Diagonal
Conhecendo matrizes
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Existe um caso especial para a matriz diagonal, que é a matriz identidade. 
A matriz identidade é uma matriz diagonal em que todos os elementos da 
diagonal principal são o número um. Vamos ver uma matriz identidade.
A matriz identidade é uma 
matriz quadrada, triangular e 
diagonal. 
Vamos aprofundar nosso conhecimento estudando os links abaixo:
Agora, vamos estudar uma matriz que será de grande importância para o 
nosso estudo, a matriz transporta.
Figura1.5 - Matriz Identidade
Fonte: A autora (2014)
Para saber mais a respeito das classificações de matrizes, acesse os 
seguintes links:
<http://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/matriz-1-
definicao-e-classificacao.htm>
<http://www.brasilescola.com/matematica/tipos-matrizes.htm>.
3. 
a) Escreva uma matriz diagonal de ordem 4, em que amn=2m-n 
quando m = n e 0 quando m é diferente de n.
b) Escreva a matriz de ordem 3 que segue 
Essa matriz pode ser classificada de qual forma?
Conhecendo matrizes
U1
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Como vimos, para duas matrizes 
serem iguais é preciso que os valores 
de todos os elementos correspondentes 
sejam iguais, deste modo:
MATRIZES IGUAIS
Este conceito é bem simples, mas tem utilidade na resolução de diversos 
exercícios.
Nós dizemos que uma matriz é igual a outra se e somente se as matrizes 
tiverem a mesma quantidade de linhas e colunas e cada um dos elementos 
da primeira matriz é igual aos elementos da segunda matriz. Vamos ver um 
exemplo:
Exemplo 5: Matrizes Iguais
Sejam as matrizes 
MATRIZES TRANSPOSTAS
A matriz transposta da matriz A m x n é indicada por At e essa matriz n x m, 
pois uma matriz transposta é formada pela inversão das linhas pelas colunas 
da matriz inicial.
Mas o que isso significa? O que significa dizer que a matriz transposta é 
formada pela inversão da linha pela coluna? 
Significa que a primeira linha da matriz A é a primeira coluna da matriz 
At, a segunda linha da matriz A é a segunda coluna da matriz At, e assim 
por diante. 
Vamos ver um exemplo de matriz transposta na figura a seguir:
s a b e n d o 
que A = B, então os valores da x, r, y e t valem:
Conhecendo matrizes
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Nós utilizaremos a matriz transposta para o cálculo de matrizes inversas. 
Vamos aprender um pouco mais das matrizes transpostas no nosso Para 
saber mais.
Como você viu nos estudos dos links sugeridos, existem também matrizes 
opostas e matrizes simétricas.
Figura 1.6 - Matriz Transposta
Fonte: A autora (2014)
Para saber mais a respeito das matrizes inversas, que tal estudar o 
seguinte material?
<http://www.mundoeducacao.com/matematica/matriz-oposta-
matriz-transposta.htm>
<http://www.colegioweb.com.br/trabalhos-escolares/matematica/
matrizes/matriz-transposta.html>
<http://www.alunosonline.com.br/matematica/matriz-transposta-
matriz-simetrica.html>.
Agora que já conhecemos as classificações das matrizes, vamos, na 
próxima seção, aprender a operar com elas. 
O que você compreendeu a respeito das matrizes opostas e 
simétricas? 
Conhecendo matrizes
U1
23
então A + B e B – A é:
Vamos calcular A + B, lembrando que fazemos isso somando cada um 
dos elementos da primeira matriz com os respectivos elementos na segunda 
matriz, assim:
Sendo assim, 
Seção 2
Operações com matrizes
Vamos aprender agora a respeito das principais operações com matrizes, 
como realizar essas operações e alguns exemplos.
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Para poder somar ou subtrair duas matrizes (ou mais), é necessário que 
elas tenham dimensões iguais, ou seja, tenham a mesma quantidade de 
linhas e de colunas. A soma ou subtração de matrizes é obtida por meio 
da adição ou subtração de cada elemento da primeira matriz com o seu 
correspondente na outra matriz. Vamos ver um exemplo:
Exemplo 1: Adição e subtração de matrizes
Seja 
Conhecendo matrizes
U1
24
De modo análogo, realizamos a subtração dessas duas matrizes, deste modo:
Sendo assim, 
Devemos, na operação de subtração, tomar cuidado, com as regras 
de sinais.
Na operação de adição de matrizes, existe uma propriedade, vamos 
conhecê-la.
Vamos pensar agora a respeito dessas propriedades, mas para a operação 
de subtração.
Quando é possível realizar a soma de matrizes, ou seja, as matrizes têm 
a mesma quantidade de linhas e colunas, a soma apresenta as seguintes 
propriedades:
A + B = B + A (propriedade comutativa)
(A + B) + C = A + (B + C) (propriedade associativa)
A + 0 = A (elemento neutro, sendo que 0 representa a matriz nula)
A + (- A) = 0 (elemento oposto)
Conhecendo matrizes
U1
25
RESPOSTA: Para resolver essa questão, é necessário calcular o valor 
de x e de y, para isso, devemos utilizar as informações que temos, assim:
Desta informação e do conhecimento a respeito adição com matrizes, 
podemos obter:
Como vimos anteriormente, uma matriz só é 
igual a outra se todos os elementos forem iguais. 
Desta informação, concluímos que:
Com essa equação calculamos o valor de x, 
porém poderíamos realizar esse cálculo também 
com a equação:
Vamos ver exemplos de atividades que envolvem as operações de 
soma e subtração de matrizes.
Exemplo 2. Sejam as matrizes e 
Será que as propriedades que valem para a adição 
valem também para a subtração de matrizes? 
sabendo que A + B = Qual é a matriz transposta da matriz A?sabendo que A + B =
podemos obter:
Como vimos anteriormente, uma matriz só é 
igual a outra se todos os elementos forem iguais. 
Não poderia ser diferente, em qualquer uma das 
equações obtemos o mesmo resultado, ou seja, o 
mesmo valor para x. Agora, conhecendo o valor dessa 
incógnita, podemos calcular o valor de y, assim:
Conhecendo matrizes
U1
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Desta forma, a matriz A é:
Vamos agora realizar algumas atividades a respeito 
dessas operações.
A atividade pede a matriz transposta de 
A, deste modo:
Agora é a sua vez, vamos resolver algumas atividades a respeito da adição 
e subtração de matrizes.
1. Sabendo que a soma de A + B = e que A = 
podemos afirmar que a matriz B é:
2. Sendo 
resolva as operações com matrizes.
a) A + B.
b) A + C.
c) B - D.
d) D + B.
 Sabendo que a soma de A + B = e que A = Sabendo que a soma de A + B = e que A = 
Vamos agora aprender mais a respeito da multiplicação de matrizes por 
uma constante.
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES POR CONSTANTES
Para realizar a multiplicação de uma matriz por uma constante, ou seja, 
por um número real, nós precisamos multiplicar cada um dos elementos 
da matriz por este número. Vejamos exemplos:
Conhecendo matrizes
U1
27
Exemplo 3. Sendo A = calcule:
a) 5.A 
b) -2.A 
c) 1/2.A 
A multiplicação de matrizes por uma constante apresenta algumas 
propriedades, vamos aprendê-las.
Sejam α e β números reais e A e B matrizes 
de qualquer ordem, temos as seguintespropriedades: 
(a+ β) A = aA+βA 
a (A + B) = a A+ a B
a(β.A)=(a.β)A 
Vamos aprender agora a respeito da multiplicação de matriz por matriz.
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Se a matriz A = (aij)m x n e a matriz B = (bjk)n x p , o produto ou multiplicação 
de A por B é uma matriz C = (Cik)m x p. Essa afirmação nos mostra que só 
é possível multiplicar uma matriz por outra matriz se a quantidade de coluna 
da primeira matriz for igual à quantidade de linhas da segunda matriz. Na 
sequência, perceberemos essa necessidade nos exemplos.
Na multiplicação de duas matrizes A e B, o número de colunas da 
matriz A deve ser igual ao número de linhas da matriz B, e a matriz 
C, que é o produto de AB, tem o mesmo número de linhas de A e o 
mesmo número de colunas de B.
Conhecendo matrizes
U1
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Vamos ver alguns exemplos de como realizamos a multiplicações de 
matrizes. Por meio desses exemplos vamos perceber que o resultado da 
multiplicação de matrizes NÃO se dá por meio da multiplicação de cada um 
dos elementos.
Exemplo 4. Seja A , a matriz C, que é resultado de 
A.B, é:
Vamos resolver essa multiplicação assim:
A multiplicação de matrizes também apresenta algumas propriedades. 
Figura 1.7 – Multiplicação de matrizes
Fonte: A autora (2014)
Conhecendo matrizes
U1
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Sejam A, B e C matrizes, sendo que existam soma e produtos entre 
essas matrizes, valem as seguintes propriedades.
(B C) = (A . B) . C -> (PROPRIEDADE ASSOCIATIVA)
(B + C ) . A = B . A + C. A -> (PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA)
A . (B + C) = A. B + A . C -> (PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA)
Para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa, 
ou seja, em geral, A . B≠ B . A.
Vamos aprender mais a respeito da multiplicação de matrizes no próximo 
exemplo.
Exemplo 5: Determine os valores de x e y para que
Para resolver esse exercício, é preciso utilizar os conhecimentos a respeito 
de multiplicação de matrizes e também de igualdade de matrizes. Sendo 
assim:
seja verdadeira.
Para que , que é o resultado de , seja igual a
é preciso que:
e
Conhecendo matrizes
U1
30
1. Sendo determine:
a) A . B 
b) B . A
Sendo assim, para que é necessário que x =1 e 
y = 5.
Agora é sua vez de praticar essa operação.
A resolução dessa atividade confirma que, para a multiplicação de matrizes, 
a ordem dos fatores altera o produto.
Agora que já aprendemos a respeito dessas operações, vamos ver uma 
maneira de calcular o que chamamos de matriz inversa.
MATRIZ INVERSA
Quando temos uma matriz quadrada A, de qualquer ordem, ou seja, de 
ordem n, se X é uma matriz tal que A. X = I, ou seja, uma matriz identidade 
e X. A = I, dizemos que X é a matriz inversa de A e é indicada por A-1. Vale 
lembrar que I representa a matriz identidade.
Se uma matriz A tem inversa, então dizemos que essa matriz é invisível ou 
não singular. Agora nós vamos aprender por meio dos próximos exemplos 
uma forma de resolver e calcular uma matriz inversa para matrizes quadradas 
de ordem 2 ou 3, mas na próxima seção aprenderemos outro método para 
o cálculo de matrizes, por meio do uso de determinantes.
Sendo assim, para que é necessário que x =1 e 
 Sendo determine:
Conhecendo matrizes
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31
Resolvendo a multiplicação, obtemos:
Dessas igualdades obtemos:
Organizando essas informações na matriz, obtemos:
Exemplo 7. Se a matriz A = então vale:
Para resolver essa questão, é preciso calcular inicialmente a matriz inversa da 
matriz A e depois calcular a transposta dessa matriz e, na sequência, multiplicar 
pela matriz A, sendo assim:
Exemplo 6. Seja a matriz A = podemos calcular sua inversa por 
meio da informação que A . A-1 = I, sendo assim:
Conhecendo matrizes
U1
32
A matriz transposta de A-1 é: Agora que calculamos a 
matriz podemos realizar a multiplicação de assim:
Sendo assim,
matriz podemos realizar a multiplicação de assim:matriz podemos realizar a multiplicação de assim:matriz podemos realizar a multiplicação de assim:matriz podemos realizar a multiplicação de assim:
Cálculo da Inversa:
Essa igualdade de matrizes implica que:
Organizando os dados na matriz , obtemos , sendo assim, 
A-1= 
Conhecendo matrizes
U1
33
Vamos encerrar a nossa unidade com uma questão para refletir.
Agora que já aprendemos a respeito das operações com matrizes, 
vamos aprender na próxima seção a calcular o determinante de matrizes.
1. Calcule a matriz inversa das matrizes que seguem:
Para aprofundar seu conhecimento a respeito de operações com 
matrizes, acesse:
<http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes.php> 
<http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes2.php> 
<http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes3.php>
<http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes4.php>.
Como vimos, na multiplicação de matrizes a ordem dos 
fatores altera o produto, ou seja, se A e B forem matrizes 
e exista as multiplicações A . B e B . A, o resultado dessas 
multiplicações será diferente. Pense a respeito das 
operações de matrizes. 
Conhecendo matrizes
U1
34
Conhecendo matrizes
U1
35
Seção 3
Determinantes de matrizes de diferentes ordens
O cálculo de determinantes de funções é de grande importância para a 
resolução de sistemas lineares, assunto da Unidade 2 deste material.
Os dois principais nomes associados ao desenvolvimento do estudo 
dos determinantes de matrizes são Augustin – Louis Cauchy e Carl Gustav 
Jacobi.
3.1 Determinantes
O estudo dos determinantes é de grande importância. Uma das formas 
de resolver sistemas de equações, assunto de nossa próxima unidade é por 
meio da utilização desses determinantes.
Os primeiros indícios de noções de determinantes já eram conhecidas 
por volta de 250 a.C., mas apenas por volta do século XVII que surgiram 
trabalhos matemáticos dos importantes matemáticos Gottfried Wilhelm 
Leibniz e Gabriel Cramer. Cramer desenvolveu um método muito utilizado 
até os dias de hoje para resolver sistemas de equações por meio de 
determinantes.
Foi no século XIX que os determinantes começaram a ser sistematizados 
e outros matemáticos também contribuíram para que houvesse essa 
sistematização, sendo esses Augustin Louis Cauchy e Carl Gustav Jacobi, 
porém estes matemáticos citados não são os únicos.
A notação que utilizamos para indicar o determinante de uma matriz 
quadrada B é dado por detB, como vemos no exemplo de uma matriz 
quadrada de ordem 3:
quadrada B é dado por detB, como vemos no exemplo de uma matriz 
quadrada de ordem 3:
Conhecendo matrizes
U1
36
Perceba que o determinante não é escrito entre parênteses ou colchetes, 
ele é escrito entre barras, semelhantes às utilizadas para indicar o módulo 
de um número, porém a barra utilizada nos determinantes não tem relação 
com o módulo.
Agora que já sabemos um pouco da história dos determinantes, vamos 
conhecer os determinantes de matrizes de ordens diferentes.
Determinantes de uma matriz de ordem 1
O determinante de uma matriz de ordem 1, ou seja, uma matriz do tipo
 é o próprio elemento a
11
. Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1.
Vamos aprender agora a respeito de determinantes de matrizes de ordem 2.
Determinantes de uma matriz de ordem 2
Para calcular o valor do determinante de uma matriz de ordem 2, é 
necessário multiplicar os valores dos elementos da diagonal principal e 
multiplicar os valores dos elementos da diagonal secundária; na sequência, 
realizar a subtração do resultado obtido na multiplicação da diagonal principal 
pelo resultado obtido na multiplicação da diagonal secundária. Vamos ver um 
exemplo de como realizar essas operações passo a passo na figura abaixo.
 é o próprio elemento 
Vamos aprender agora a respeito de determinantes de matrizes de ordem 2.
Figura 1.8 - Determinante de matrizes de ordem 2
Fonte: A autora (2014)
Conhecendo matrizes
U1
37
Como podemos ver na Figura 1.8, no caso da matriz genérica, a 
multiplicação dos elementos da diagonalprincipal é igual a a
11
 a
22
 e a 
multiplicação dos elementos da diagonal secundária é a
12
 a
21
 . Para calcular 
o determinante da matriz A, é necessário realizar a subtração do resultado 
obtido na diagonal principal menos a matriz secundária.
Vamos ver alguns exemplos na sequência. 
Exemplo 2: Calcule os determinantes das matrizes de ordem 2, que segue:
Resolução dos exemplos.
Perceba que para resolver esse determinante nós realizamos a subtração 
do resultado das multiplicações dos elementos da diagonal principal pelo 
resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secundária. Tome 
cuidado com a regra de sinal.
A matriz E dos nossos exemplos é uma matriz que envolve incógnita, 
porém, como não existe uma igualdade ou algo que possibilite definir o valor 
de x e y, apenas realizamos um cálculo literal, como veremos na sequência.
Conhecendo matrizes
U1
38
Agora que já temos mais familiaridade com o cálculo de determinantes 
de matrizes de ordem 2, vamos resolver um exemplo que envolva outros 
conceitos já estudados.
Exemplo 3. Seja calcule:
Resolução dos exemplos:
Para resolver o item a, é necessário, inicialmente, calcular A . B e, na 
sequência, calcular o determinando da matriz resultante, assim:
Agora que calculamos o valor de A . B, podemos calcular o determinante 
dessa matriz, logo:
Para resolver o item b, é necessário, inicialmente, calcular o determinante 
de A, depois o de B e o de C e, na sequência, multiplicar os três valores 
obtidos, deste modo:
Para resolver o item c, devemos calcular a matriz transposta de B e, na 
sequência, calcular o determinante, deste modo:
dessa matriz, logo:
Multiplicando 
Conhecendo matrizes
U1
39
Agora, calculando o determinante da matriz transposta, temos:
Se repararmos no determinante da matriz B calculado anteriormente, 
veremos que o determinante de uma matriz é igual ao determinante 
dessa matriz transposta. Sempre o determinante de uma matriz é igual ao 
determinante da sua transposta, logo:
detA= detAt
Vamos pensar a respeito dessa igualdade.
Para resolver o item d, é necessário multiplicar a matriz A por 3 e depois 
calcular o determinante dessa nova matriz, logo:
Calculando o determinante, obtemos:
Exemplo 4: Calcule o valor da incógnita em cada uma das equações.
Procure explicar o(s) motivo(s) pelo(s) qual(is) a 
igualdade detA= detAt é verdadeira.
Conhecendo matrizes
U1
40
Para obter o resultado do item a é necessário calcular o determinante 
e resolver a equação resultante. Sabemos que estamos lidando com 
determinantes, pois aparece a seguinte notação | |. Desta forma, podemos 
resolver o item a da seguinte forma:
Ainda, da igualdade obtemos:
Então:
Para resolver o item b, é necessário calcular os dois determinantes, 
somar os resultados e igualá-lo a 4, assim:
Somando os determinantes e igualando a 4, obtemos:
Agora é sua vez de praticar e resolver determinantes de matrizes quadradas de 
ordem 2.
Conhecendo matrizes
U1
41
Vamos agora estudar os determinantes de matrizes de ordem 3.
DETERMINANTES DE UMA MATRIZ DE ORDEM 3
Vamos aprender um método para realizar o cálculo do determinante de 
matrizes de ordem 3, a Regra de Sarrus.
Seja podemos obter o detA por meio do seguinte 
cálculo:
 De acordo com essa regra (a Regra de Sarrus), para 
resolver um determinante de ordem 3 é preciso repetir a 1ª e a 2ª coluna 
à direita da matriz e efetuar as multiplicações, conforme evidenciada na 
figura abaixo.
1. Sendo calcule o 
valor de
 Sendo calcule o 
 De acordo com essa regra (a Regra de Sarrus), para De acordo com essa regra (a Regra de Sarrus), para 
resolver um determinante de ordem 3 é preciso repetir a 1ª e a 2ª coluna 
 De acordo com essa regra (a Regra de Sarrus), para De acordo com essa regra (a Regra de Sarrus), para 
resolver um determinante de ordem 3 é preciso repetir a 1ª e a 2ª coluna 
 De acordo com essa regra (a Regra de Sarrus), para De acordo com essa regra (a Regra de Sarrus), para 
resolver um determinante de ordem 3 é preciso repetir a 1ª e a 2ª coluna 
 De acordo com essa regra (a Regra de Sarrus), para 
Seja podemos obter o detA por meio do seguinte 
Figura 1.9 - Regra de Sarrus
Fonte: Ribeiro (2007, p. 334)
Conhecendo matrizes
U1
42
Como vimos na figura anterior, as multiplicações feitas da esquerda 
para a direita mantêm os sinais e as multiplicações feitas da direita para 
a esquerda têm seus resultados multiplicados por menos um, assim, os 
números se mantêm, porém os sinais são trocados.
Vamos ver outra forma para resolver o determinante de matrizes de 
ordem 3.
Utilizando a ordem de multiplicação exposta na figura, também 
calculamos o determinante de uma matriz de ordem 3, porém temos que 
tomar cuidado com os sinais.
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 5: Calcule o determinante da matriz
Inicialmente, vamos resolver esse determinante por meio da Regra de 
Sarrus. Para isso devemos repetir as duas primeiras colunar e realizar as 
multiplicações.
Figura 1.10 - Cálculo de determinantes de matrizes de ordem 3
Fonte: Ribeiro (2007, p. 334)
Conhecendo matrizes
U1
43
Após realizar as multiplicações, devemos lembrar que algumas das 
multiplicações devem ser multiplicadas por menos 1. No caso do nosso 
exemplo, multiplicaremos por menos um as multiplicações 0 . 5 . (-2); 6 . 2 
. 1 e 0 . (-1) . 4. Assim, obtemos:
Exemplo 6. Calcule o determinante da matriz
Calculando esse determinante pela Regra de Sarrus, obtemos:
Figura 1.11 - Resolução do cálculo de determinantes
Fonte: A autora (2014)
Conhecendo matrizes
U1
44
1. Considere as matrizes 
 
em que x é um número real. Sabendo que o determinante da 
matriz B . C é igual a 10, qual o valor de x?
Para saber mais a respeito do cálculo de determinantes de ordem 3, 
acesse o link sugerido.
<http://www.ptmat.fc.ul.pt/~matjoao/acetatoregrasdetordem3.pdf>.
Seja A uma matriz de ordem maior ou igual a 2, chamamos de cofator 
do elemento a
ij 
o seguinte produto:
C
ij
=(-1)i+j.D
ij
Nesse produto, D
ij
 é o determinante que se obtém da matriz A 
eliminando sua i-ésima Lina e j-ésima coluna.
Agora é sua vez de praticar.
Vamos aprender agora a respeito dos determinantes de matrizes de 
ordem superior a 2.
DETERMINANTES DE UMA MATRIZ DE ORDEM N
Vamos agora estudar o Teorema de Laplace. Este teorema apresenta 
uma regra prática para calcular determinantes de matrizes de ordem maior 
que 2. Porém, para estudar este teorema, precisamos aprender o que é o 
cofator de uma matriz.
 Considere as matrizes 
Conhecendo matrizes
U1
45
Para compreender um mais o cálculo de um cofator, vamos ver 
exemplos.
Exemplo 7: Seja a matriz , vamos obter o cofator 
do elementos a
11
 e a
32
.
Para calcular o cofator do elemento a
11
 , é necessário calcular o 
determinante da matriz que se forma ao retirarmos a linha 1 e a coluna 
1 (pois queremos o cofator do elemento que está localizado na primeira 
linha e primeira coluna).
Logo:
Deste modo, o cofator será: a
11
=(-1)2.8=1.8=8. Sendo assim, podemos 
afirmar que cofator do elemento a
11
 vale 8.
Para calcular o cofator do elemento a32 , é necessário calcular o 
determinante da matriz que se forma ao retirarmos a linha 3 e a coluna 2 
(pois queremos o cofator do elemento que está localizado na terceira linha 
e segunda coluna).
Logo:
Deste modo, o cofator será: a
32
=(-1)5.0=-1.0=0. Sendo assim, podemos 
afirmar que cofator do elemento a
32
 vale 0.
Exemplo 8: Vamos determinar o cofator do elemento b
24
 da matriz: 
Para calcular o cofator do elemento b
24
, é necessário calcular o 
determinante da matriz que se forma ao retirarmos a linha 2 e a coluna 
4 (pois queremos o cofator do elemento que está localizado na segunda 
linha e quarta coluna).
Logo:
Seja a matriz , vamos obter o cofator 
Conhecendo matrizes
U1
46
Deste modo, o cofator será: 
Sendo assim, podemos afirmarque cofator do elemento b
24
 vale -32.
Nós estudamos o cofator de um elemento, pois, para calcular o 
determinante de uma matriz de ordem maior que 2 por meio do teorema 
de Laplace, iremos utilizá-lo.
O Teorema de Laplace oferece uma forma prática para calcular 
determinantes de ordem superior a dois, e podemos realizar esse cálculo 
adicionando os produtos dos elementos de uma linha ou coluna qualquer 
pelos correspondentes cofatores desses elementos.
Vamos ver como realizar isso na figura abaixo:
Vale lembrar que a segunda linha foi escolhida, mas poderia ser qualquer 
uma das linhas ou então das colunas. Vamos ver um exemplo para deixar 
esse conteúdo mais claro.
Exemplo 9: Utilizando o teorema de Laplace, calcule o determinante da 
matriz A= 
Deste modo, o cofator será: 
Exemplo 9: Utilizando o teorema de Laplace, calcule o determinante da 
matriz A= 
Figura 1.12 - Teorema de Laplace
Fonte: Ribeiro (2007, p. 337)
Conhecendo matrizes
U1
47
Visto que, para utilizar o Teorema de Laplace, necessitamos multiplicar 
o elemento pelo seu cofator e podemos escolher qualquer linha ou coluna 
para calcular o determinante, então, é preferível escolher a linha ou coluna 
que tenha mais zeros, pois como, ao multiplicar o cofator por zero, o 
resultado será zero, deixará de ser necessário o cálculo do cofator dos 
elementos nulos.
Por conveniência, escolherei a segunda coluna para calcular o 
determinante, assim:
Para isso, calcularemos o cofator do elemento a
12
 e a
22
, pois o a
32
 é 
zero. Logo:
O cofator do elemento
Agora que já calculamos os cofatores, podemos utilizar a Regra de 
Laplace.
Sendo assim, o determinante da matriz A é igual a 42.
Vale ressaltar que esse resultado seria obtido se escolhêssemos qualquer 
linha ou qualquer coluna, e também poderíamos utilizar para essa matriz 
que tem ordem 3 as regras apresentadas anteriormente.
Vamos aprender mais a respeito do Teorema de Laplace, bem como 
outros teoremas relacionados a matrizes no nosso próximo Para saber mais.
Conhecendo matrizes
U1
48
Nos links abaixo, você pode aprender mais e conhecer outros 
exemplos da utilização do Teorema de Laplace para a resolução de 
determinante de matrizes.
<http://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/
determinantes4.php>
<http://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/
determinantes5.php>
<http://tudodeconcursosevestibulares.blogspot.com.br/2012/11/
determinantes-propriedades.html>.
Vamos, agora, fazer uma atividade para praticar.
Com isso encerramos os conteúdos dessa unidade. Na próxima, 
aplicaremos esses conceitos em resolução de atividades de sistemas 
lineares.
Para treinar e consolidar sua aprendizagem, vamos resolver algumas 
atividades na sequência.
1. Seja A= , aplique o Teorema de Laplace e 
calcule seu determinante.
 Seja A= , aplique o Teorema de Laplace e 
Conhecendo matrizes
U1
49
Nessa unidade, você aprendeu:
- O que é uma matriz e como utilizá-la para organizar 
dados.
- Aprendeu as classifi cações das matrizes.
- As operações de soma e subtração de matrizes só podem 
ser feitas se as matrizes envolvidas tiverem a mesma ordem.
- Na multiplicação de matrizes, a ordem das parcelas altera 
o resultado.
- Só podemos realizar multiplicação das matrizes A e B se 
a quantidade de colunas da matriz A for igual à quantidade 
de linhas da matriz B.
- Ao multiplicar uma matriz pela sua inversa, obtém-se a 
matriz identidade.
- Os determinantes são utilizados na resolução de sistemas 
de equações.
- Existem determinantes apenas de matrizes quadradas.
- A forma de resolver um determinante de matriz está 
relacionada à ordem dessa matriz.
- Existe um teorema para resolver determinantes de ordem 
maior ou igual a 2, o Teorema de Laplace.
Conhecendo matrizes
U1
50
Esta unidade foi elaborada com a intenção de que por meio dela você 
fosse conduzido no processo de construção do conhecimento a respeito 
de matrizes, suas operações, características, propriedades, bem como 
métodos distintos para o cálculo de determinantes de matrizes, e para a 
resolução de problemas que envolvem esses assuntos.
 Espero que você tenha compreendido esses conteúdos importantes 
e de grande aplicação em diversas áreas, como Física, Computação, 
Engenharia e, logicamente, para a própria Matemática. Os conteúdos 
tratados nessa unidade fazem parte dos conteúdos do currículo do 
Ensino Médio.
 Para que você possa se aprofundar nos conteúdos apresentados, sugiro 
que faça as leituras dos sites ou livros que foram indicados nas dicas de 
leitura, assim como pense e busque uma resposta para as questões de 
refl exão. 
Faça todas as atividades de aprendizagem tanto da seção quanto da 
unidade, inicialmente sem olhar as respostas e, na sequência, verifi que 
se sua resposta está em concordância com a resposta sugerida. 
Anseio que tenha tido bons estudos e uma boa compreensão dos 
conceitos que estudamos nessa unidade e desejo que continue 
realizando bons estudos nas próximas unidades desse livro.
1. Dada a matriz podemos afirmar que a 
matriz A.At pode ser classificado como:
a) Matriz linha.
b) Matriz coluna.
c) Matriz simétrica.
Dada a matriz podemos afirmar que a 
d) Matriz Identidade.
e) Matriz Inversa.
Conhecendo matrizes
U1
51
2. Dadas as matrizes A= Qual matriz X tal que 
a igualdade X.A=B é verdadeira?
3. Uma matriz C = [232 165 111 182] consta o consumo 
mensal de água em m3 em uma residência nos quatro primeiros 
meses do ano. Sabendo que a empresa que fornece água cobra 
R$1,20 por m3, determine a matriz que apresenta o valor gasto 
em reais da conta de água dessa residência.
4. Sendo tal que M = A. B, os 
valores de x e y podem ser obtidos por meio de qual sistema de 
equações?
5. Dada as matrizes 
vale:
Dadas as matrizes A= Qual matriz X tal que 
a) 110.
b) 140.
c) 170.
d) 200.
e) 230.
U1
52 Conhecendo matrizes
Referências
RIBEIRO, J. Matemática: ciência e linguagem. São Paulo: Scipione, 2007.
SILVEIRA, J. F. Porto das Matrizes. Disponível em: 
<http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa3b.html>. Acesso em: 03 nov. 2014.
Unidade 2
SISTEMAS LINEARES E SUA 
RELAÇÃO COM MATRIZES
Na seção 1 dessa unidade você vai aprender como realizar o cálculo 
de matrizes inversas de ordem superior à ordem 2, com o auxílio dos 
determinantes. Objetiva-se também que você seja capaz de realizar o 
escalonamento de matrizes de diferentes ordens.
Na unidade anterior desse material impresso, vimos como calcular 
a matriz inversa de matrizes 2x2, mas com o escalonamento e com 
técnicas específicas é possível determinar a inversa de uma matriz de 
qualquer ordem.
Seção 1 | Matrizes inversas e escalonamento de matrizes
Objetivos de aprendizagem: Essa unidade tem por objetivo te auxiliar 
no processo de aprendizagem a respeito do cálculo de matrizes inversas 
com a utilização de determinantes, escalonamentos de matrizes, a 
relação existente entre matrizes e sistemas lineares, regras distintas para a 
resolução de sistemas lineares e classificação desses sistemas com relação 
à quantidade de soluções possíveis ou não. 
Ao longo dessa unidade, aprenderemos conceitos matemáticos muito 
importantes. A maioria desses conteúdos é ensinada no 2º ano do Ensino 
Médio e o estudo deles contribuirão para o processo de sua formação 
como futuro(a) professor(a).
Os conceitos e conteúdos aprendidos nessa unidade são aplicáveis em 
diversas áreas dentro e fora da própria Matemática, sendo eles indispensáveis 
para uma boa aprendizagem dos demais conteúdos dessa disciplina, ou 
seja, da Álgebra Linear e Vetorial.
Bons estudos!
Renata Karoline Fernandes
Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
54
Nesta seção, vamos aprender como resolver alguns tipos de sistemas 
lineares, mesmo que eles tenham mais de duas equações e duas 
incógnitas.
Será nessa unidade que você vai aprender a relação existente entre as 
matrizes e os sistemas linearese ainda como utilizar matrizes para auxiliar 
na resolução de sistemas lineares.
Nessa seção aprenderemos métodos diferentes para realizar o cálculo 
e, portanto, a resolução de sistemas lineares de equações, bem como 
conhecer e aprender as possíveis classificações com relação à quantidade 
de resoluções possíveis.
Um sistema linear pode ser classificado de acordo com sua(s) 
solução(ões), então vamos aprender essas classificações na seção 3 da 
unidade.
Seção 2 | Métodos para resolver sistemas lineares e 
relação de sistemas lineares com matrizes 
Seção 3 | Resolução de sistemas lineares e classificações
Sistemas lineares e sua relação com matrizes Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
55
Introdução à unidade
Algumas situações reais podem ser representadas como o que, matematicamente, 
chamamos de sistemas de equações. Esses sistemas de equações são úteis para 
descrever problemas em que temos mais de uma informação a respeito de mais de 
uma variável.
Os chineses têm grande participação no estudo dos sistemas de equações 
devido ao interesse que eles apresentavam por diagramas. Eles representavam 
os sistemas lineares escrevendo-os com barras de bambu em quadrados de um 
tabuleiro, evidenciando os coeficientes. Foram eles que descobriram o método 
de resolução de sistemas por meio da eliminação. Aprenderemos esse método ao 
longo dessa unidade, mas de forma geral ele consiste em anular coeficientes por 
meio das operações elementares.
Esse procedimento de anular os coeficientes por meio de operações elementares 
tem seus primeiros indícios por volta de 110 a.C., mas demorou mais de 1700 anos 
a partir dessa data para iniciar o estudo da relação entre os determinantes e a 
resolução de sistemas lineares.
Por volta de 1750, desenvolveu-se o que chamamos de Regra de Cramer para 
resolver sistemas de equações com n incógnitas e n equações; depois disso, outros 
métodos foram sendo desenvolvidos.
A relação entre determinantes e os sistemas lineares foi há muito tempo percebida 
e nessa unidade aprenderemos o modo de realizar uma associação entre estes dois 
assuntos a fim de determinar o valor das variáveis envolvidas.
Sabendo da necessidade e importância tanto para a disciplina quanto para a sua 
formação de aprender a respeito de matrizes e sistemas lineares, a Unidade 2 desse 
material está organizada em três seções.
A primeira seção trata do cálculo de matrizes inversas por meio da utilização de 
determinantes.
Na segunda seção, será discutida a relação entre matrizes e sistemas de 
equações e também aprenderemos um conceito de grande aplicação, chamado 
de escalonamento de matrizes.
Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
56
A última seção é dedicada ao estudo de métodos para a resolução de sistemas 
lineares.
Desejo a você um bom estudo e que possa aproveitar ao máximo o conteúdo 
que lhe é fornecido, assim como as dicas de leitura e pesquisa.
Sistemas lineares e sua relação com matrizes Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
57
Seção 1
Matrizes inversas e escalonamento de matrizes
Nesta seção, vamos aprender mais a respeito das matrizes inversas, mas, 
como você deve ter percebido, na unidade anterior nós estudamos matrizes 
inversas de ordem 2, porém nessa seção vamos aprender a calcular as 
matrizes inversas de ordem superior a dois por métodos diferentes.
1.1 Matrizes inversas
Escalonamento de matrizes
A partir de agora, aprenderemos a respeito de escalonamento de matrizes. 
O método do escalonamento é um método de eliminação desenvolvido por 
Gauss, sendo um dos mais utilizados para a resolução de sistemas lineares, 
os quais estudaremos na sequência.
O método de Gauss, em uma versão adaptada, denominada de Eliminação 
de Gauss-Jordan, é um dos mais utilizados para calcular matrizes inversas, 
mas ele não é utilizado apenas para resolver sistemas lineares e inverter 
matrizes, é utilizado também para calcular determinantes, transformações 
lineares e estudo de espaços gerados.
Para aplicar o método de Gauss, chamado a partir de agora apenas de 
escalonamento, é necessário aplicando uma sequência de operações 
elementares para organizar a matriz de forma desejável. Tais operações não 
alteram quando a matriz está associada a um sistema, à solução do sistema.
Vamos aprender agora quais são as operações que podemos realizar na 
intenção de escalonar matrizes:
Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
58
As operações elementares que podem ser utilizadas para realizar o 
escalonamento de uma matriz são:
SOMAR MÚLTIPLO DE UMA LINHA A OUTRA LINHA: isso significa 
que é possível somar múltiplo de uma linha inteira em outra linha.
TROCAR LINHAS DE LOCAL: podemos, para escalonar uma matriz, 
trocar as posições das linhas.
MULTIPLICAR UMA LINHA POR UM NÚMERO NÃO NULO: podemos 
multiplicar as linhas por qualquer número real diferente de zero, sem 
nenhum prejuízo. A última operação não é necessária na aplicação da 
eliminação de Gauss, mas é precisa na de Gauss-Jordan.
Vamos ver exemplos de como calcular a inversa de matrizes utilizando o 
escalonamento.
Exemplo: Calcule a matriz inversa por meio do escalonamento da matriz
Nem todas as matrizes têm inversa, somente aquelas cujos determinantes 
são diferentes de zero.
Então, se queremos calcular a matriz A-1, devemos calcular o determinante 
dessa matriz para assim verificar se a matriz A possui inversa, sendo assim, 
utilizando a Regra de Sarrus, obtemos:
Como o determinante dessa matriz é -3, ou seja, diferente de zero, 
podemos calcular a inversa dela.
Para calcular a inversa de uma matriz por meio do escalonamento, 
devemos copiar uma ao lado da outra, a matriz A, que queremos inverter, 
e a matriz identidade, e realizar as três operações elementares apresentadas 
anteriormente até que a matriz A se torne a matriz identidade. Como faremos 
as mesmas operações nas linhas da matriz A e da matriz identidade, 
Como o determinante dessa matriz é -3, ou seja, diferente de zero, 
Sistemas lineares e sua relação com matrizes Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
59
quando conseguimos escrever A como sendo a identidade, a matriz que 
era a identidade será a matriz A-1. 
Vejamos isso na nossa matriz A.
Chamamos de B a matriz A e a matriz identidade, utilizamos uma barra 
para separar as duas matrizes. Agora, operaremos com as duas matrizes, na 
intenção de deixar a matriz A escrita como matriz identidade. Para facilitar a 
compreensão, faremos cada passo um a um e escreveremos cada uma das 
etapas.
Como no nosso exemplo a diagonal principal já tem todos os elementos 
iguais a um, nós precisamos tornar zero os outros elementos. 
Nossa primeira etapa será trocar a linha três, que chamaremos de L
3
, por 
L
3
 + L
1
 (linha 1). Realizando L
3
 + L
1
, temos:-1 2 1+1 2 0 = 0 4 1. O mesmo 
que foi feito na antiga matriz A devemos fazer na antiga matriz identidade, e 
então: L
3
 + L
1
= 1 0 0 + 0 0 1 = 1 0 1
Faremos agora a troca de L
1
 por L
1 
– 2L
2
 para zerar o elemento a
22
, assim: 
L
1
 – 2L
2 
= 1 2 0 -0 -2 -2 = 1 0 -2; o mesmo realizaremos em = 1 0 0 -0 -2 0 = 
1 - 2 0. Realizando as substituições:
Podemos agora substituir a linha L
3
 por L
3
 -4L
2
, ou seja, L
3
 – 4L
2
 = 0 4 1 
-0 -4 -4 = 0 0 -3 e também 1 0 1 -0 -4 -0 = 1 -4 1. Realizando a substituição:
Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
60
Podemos agora substituir L
1
 por 3L
1 
– 2L
3
 realizando essa operação: 3L
1
 
– 2L
3
 = 3 0 -6 -0 -0 -6 = 3 0 0; e ainda: 3 -6 0 -2 8 -2 = 1 2 -2. Realizando 
as substituições:
Substituiremos agora L
2 
por 3L
2
+L
3
, realizando essa operação obtemos: 
3L
2
 + L
3
 = 0 3 3 + 0 0 -3 = 0 3 0; e ainda: 0 3 0 +1 -4 1 = 1 -1 1. Realizando 
as substituições:
Agora, multiplicaremos a L
1
 e L
2
 por 1/3 e a L
3
 por -1/3; após as 
multiplicações, trocaremos L
1
 por 1L
1
/3, L
2
 por 1L
2
/3 e L
3
 por -1L
3
/3, assim:
Realizando as substituições:
Perceba que apenasutilizando as operações apresentadas anteriormente 
conseguimos escrever a matriz A como sendo uma matriz identidade; e 
após as mesmas manipulações, a matriz que estava à direita e era a matriz 
identidade passou a ser escrita como
Realizando as substituições:
Sistemas lineares e sua relação com matrizes Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
61
Essa matriz é a matriz inversa de A, logo:
Vamos a mais um exemplo. Nesse exemplo começaremos a utilizar uma 
notação característica do escalonamento, que é, por exemplo, L
1
→L
1
-L
2
, 
isso significa que a linha um L
1
 será substituída pelo resultado da linha um 
menos linha dois (L
1
-L
2
).
Cabe lembrar que não podemos, por exemplo, realizar L
1
→L
3
-L
2
, só 
substituímos uma linha por essa mesma linha operada com outra, ou 
operada com uma linha múltipla de outra.
Exemplo: Calcule a matriz inversa por meio do escalonamento da matriz
Após realizar a verificação que o determinante dessa matriz é diferente 
de zero, podemos realizar o escalonamento para poder determinar a matriz 
inversa, assim:
 Podemos chamar essa matriz de matriz aumentada.
Num primeiro momento, precisamos fazer com que os elementos 
abaixo da diagonal principal sejam zero. Podemos realizar isso com as 
seguintes operações: L
2
→L
2
-L
1
 e L
3
→L
3
-L
1
, assim, L
2
-L
1
= (1 1 0|0 1 0) - (1 1 1|1 
0 0 )= 0 -1| -1 1 0) e L
3
-L
1
= (1 0 1|0 0 1) - (1 1 1|1 0 0)= -1 0|-1 0 1) realizando 
as substituições:
Vamos a mais um exemplo. Nesse exemplo começaremos a utilizar uma 
 
Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
62
Agora podemos trocar a ordem das linhas L
2
 e L
3
, assim:
Precisamos anular o termo a
12
 e para isso trocamos L
1
→L
1
+L
2
, assim, 
L
1
+L
2
= (1 1 1|1 0 0) + 0 -1 0|-1 0 1) = (1 0 1|0 0 1), temos:
Podemos fazer um processo análogo para que o elemento a
13
 se torne 
zero trocando a linha L
1
 por L
1
→L
1
+L
3
, assim, L
1
+L
3
= (1 0 1|0 0 1) + (0 0 -1|-1 
1 0)= (1 0 0|-1 1 1), temos:
Agora a matriz já foi diagonalizada e devemos apenas multiplicar por 
menos 1 a segunda e a terceira linha, obtendo assim:
Deste modo, a matriz inversa de A é:
Vamos realizar a multiplicação de matrizes e verificar se chegamos ao 
resultado correto. Vale relembrar que a multiplicação de uma matriz por 
sua inversa tem como resposta a matriz identidade.
Sistemas lineares e sua relação com matrizes Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
63
Vamos à nossa multiplicação:
Esses exemplos resolvidos a respeito de escalonamento e outros 
exemplos podem ser encontrados no link do nosso Saiba mais.
Vamos colocar em prática o que aprendemos resolvendo uma atividade.
Existem outros métodos para resolver o cálculo de uma matriz inversa sem 
a necessidade da utilização do escalonamento. Vamos aprendê-los!
Vamos à nossa multiplicação:
Como podemos observar, realmente a matriz
inversa da matriz 
Como podemos observar, realmente a matriz
1. Calcule por meio do escalonamento a inversa da 
matriz 
 Calcule por meio do escalonamento a inversa da 
Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
64
Cálculo de matrizes inversas por meio de determinantes
Para calcular a inversa de uma matriz por meio da utilização de 
determinantes, nós precisamos calcular o que chamamos de matriz adjunta.
A matriz adjunta de uma matriz A quadrada de ordem n é denotada por 
adj(A) e é a composta da matriz dos cofatores de A.
Vamos ver alguns exemplos.
Exemplo: Considerando a matriz A= , calcule a matriz adj(A).
Para calcular a matriz adj(A), é necessário calcular o cofator de cada uma 
dos elementos. Nós aprendemos na unidade anterior que:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, a matriz adjunta de A, que é 
representada por adj(A), é a transposta da matriz dos cofatores de A, 
isto é:
Seja A uma matriz de ordem maior ou igual a 2, chamamos de cofator 
do elemento a
ij
 o seguinte produto:
Nesse produto, D
ij
 é o determinante que se obtém da matriz A, 
eliminando sua i-ésima linha e j-ésima coluna.
Adj(A) = cof(A)t
C
ij
=(-1)(i+j).Dij
Vamos então realizar os cálculos 
dos cofatores.
Após calcular os cofatores, podemos 
elaborar a matriz cof(A), ou seja:
Sistemas lineares e sua relação com matrizes Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
65
Tendo a matriz dos cofatores, podemos estabelecer a matriz adj(A), que 
será a transposta da matriz dos cofatores, ou seja:
Realizando esse procedimento, definimos a matriz adj(A).
Exemplo: Sendo determine a matriz adj(B).
Novamente, para calcular a matriz adj(B) é necessário definir a matriz 
cof(B). Assim:
Agora que calculamos os cofatores, podemos definir a matriz cof(B), 
sendo ela:
Agora, calculando a matriz transposta de cof(B), obtemos a matriz adj(B), logo:
Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
66
Estamos aprendendo a calcular a matriz adjunta, pois ela será necessária 
para o processo do cálculo da inversa de matrizes sem a utilização do 
escalonamento.
Vamos aprender mais?
Agora que nós já aprendemos a calcular matrizes adjuntas, podemos 
voltar a pensar nos cálculos de matrizes inversas utilizando o determinante.
1. Calcule a matriz adjunta de 
Para aprender mais a respeito das matrizes adjuntas, acesse:
<http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/alinear/adjunta.
htm>.
A matriz inversa pode ser calculada por meio da aplicação da seguinte 
fórmula: A-1=1/|A| .adj(A)
Lembre-se que |A| é o valor do determinante da matriz A!
Vamos calcular a matriz inversa da matriz com a 
utilização do determinante dela, usando A-1=1/|A| .adj(A)
A primeira coisa que devemos fazer é calcular o det(A), sendo esse:
Sistemas lineares e sua relação com matrizes Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
67
Agora, temos que calcular a matriz adj(A) e para isso calcular a matriz 
dos cofatores e sua transposta. Os cofatores dessa matriz podem ser 
calculados como:
Após a realização desses, temos que a matriz dos cofatores é:
Calculando a transposta da matriz cof(A), definimos a matriz adjunta de 
A, que será utilizada para o cálculo da inversa, deste modo:
Perceba que, nesse caso, a matriz transposta da matriz cof(A) é igual à 
própria matriz, mas isso não acontece sempre. Agora, podemos calcular a 
matriz inversa, assim:
Volte algumas páginas e verifique que, calculando a inversa, tanto por 
escalonamento quanto com auxílio do determinante, obtemos o mesmo 
resultado, isso se deve porque as matrizes possuem inversa, a qual é 
única, e você não deve esquecer que uma matriz só tem inversa se o seu 
determinante for diferente de zero. Vamos a mais um exemplo.
Exemplo: Calcule a inversa da matriz 
Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
68
O Brasil tem escassez de recursos naturais e econômicos? 
Por que tantas desigualdades?
Vamos pensar agora a respeito do processo de ensino e de aprendizagem.
Agora que nós já aprendemos mais a respeito das matrizes inversas, 
aprenderemos na próxima seção métodos para resolver sistemas lineares e 
relação de sistemas lineares com matrizes.
1. Calcule a inversa da matriz 
 
por meio do cálculo de determinantes.
O valor de det(B) é 38. A matriz dos cofatores é:O valor de det(B) é 38. A matriz dos cofatores é:
Calculando a transposta da matriz cof(B) definimos a matriz adj(B), sendo 
essa: 
Calculando a transposta da matriz cof(B) definimos a matriz adj(B), sendo 
Agora, podemos calcular a inversa da matriz B.
Assim, 
Sistemas lineares e sua relação com matrizes Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
69
Seção 2
Métodos para resolver sistemas lineares e 
relação de sistemas lineares com matrizes 
Nessa seção você aprenderá como resolver alguns tipos de sistemas e 
também como associar um sistema de equações lineares a matrizes, e ainda 
estabelecer o valor de cada variável por diferentes métodos. 
Esses conteúdos fazem parte do currículo básico do Ensino Médio, sendo 
assim, tem importância tantopara sua formação quanto para a formação 
dos estudantes aos quais você ministrará aulas futuramente.
Sistemas lineares
Muitos problemas podem ser descritos por meio de sistemas de 
equações lineares. Uma equação linear são todas as equações do tipo: 
a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
+...+a
n
x
n 
= b em que a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, ..., a
n
 e b pertencem ao 
conjunto dos números reais e x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, ..., x
n
 são incógnitas.
Chamamos de sistemas lineares m x n, o conjunto S de equações lineares 
de m equações e n incógnitas e representamos esse conjunto da seguinte 
forma:
Fonte: Ribeiro (2007, p. 345)
Figura 2.1 - Sistemas lineares
Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
70
Os sistemas lineares podem ser resolvidos por diversos métodos diferentes 
e resolver um sistema linear consiste em calcular valores que solucionam 
todas as equações envolvidas nesse sistema. Os resultados obtidos compõem 
o conjunto solução.
Vamos aprender agora a resolver sistemas lineares com determinadas 
quantidades de incógnitas e de equações. 
Sistemas lineares com duas incógnitas e duas equações
Vamos começar nosso estudo diferenciando o que são incógnitas e o 
que são variáveis.
Uma incógnita possui um valor determinável, enquanto que a variável é 
possível assumir diversos valores dependendo da situação e da aplicação.
Equações e sistemas de equações são compostos por equações e as 
variáveis são presentes em funções, por exemplo.
Resolver um sistema linear com duas incógnitas e duas equações significa 
estabelecer valores para as variáveis para que as equações sejam verdadeiras. 
Existem diferentes métodos para resolver esse tipo de sistema, entre eles os 
métodos da adição, da comparação, da substituição, o método gráfico e a 
utilização de matrizes. 
Vamos agora aprender a respeito de alguns desses métodos. Para isso, 
vejamos o exemplo abaixo:
Problema: Em uma prateleira, há 21 produtos em embalagens de 400g e 
de 500g, num total de 9kg. Sabendo disso, qual é a quantidade de embalagens 
de 400g e a quantidade de embalagens de 500g?
Para resolver esse problema, podemos atribuir símbolos que representem 
a quantidade que queremos calcular, ou seja, símbolos para as nossas 
incógnitas. Representaremos as embalagens de 400g com a letra q e as 
embalagens de 500g com a letra d, letras escolhidas de forma aleatória - 
comumente são utilizadas as letras x e y, mas isso não é uma regra.
Sistemas lineares e sua relação com matrizes Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
71
A primeira sentença “em uma prateleira, há 21 produtos em embalagens 
de 400g e de 500g” pode ser representada como q + d = 21; já a segunda 
sentença, “num total de 9 kg”, pode ser matematicamente representada 
como 400q + 500d = 9000. Como estamos representando, não escrevemos 
na equação 9 kg, pois a unidade de medida dos pacotes está em gramas, e 
como 9kg representa 9000 gramas realizamos essa mudança de unidade de 
medida. Unindo as duas equações, obtemos o seguinte sistema:
Utilizaremos esse sistema de equação para poder estudar um dos 
métodos de resolução para eles. Nosso primeiro método será o método da 
substituição.
O método da substituição consiste em escolher uma das duas equações 
e isolar uma das duas incógnitas nessa equação. Após realizar esse processo, 
substitui-se na outra equação o valor encontrado para a incógnita, definindo 
assim o valor numérico de uma das incógnitas e, na sequência, o valor 
da incógnita que foi isolada. Vamos compreender melhor esse processo 
seguindo os seguintes passos para a aplicação desse método:
1º passo: Escolher uma das equações e isolar uma das incógnitas.
Escolherei na primeira equação isolar a incógnita q (lembre-se de que 
isso é uma escolha, poderia ser a outra incógnita, ou a outra equação), 
obtendo assim:
2º passo: Na equação que ainda não foi utilizada, substituir o valor da 
incógnita.
A equação que ainda não utilizamos é 400q + 500d = 9000. No 1º passo, 
verificamos que o valor de q depende do valor de d e pode ser escrito como 
q = 21 – d. Substituindo q por 21 – d na equação, temos:
Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
72
3º passo: Resolver a equação obtida após a substituição da incógnita.
Resolvendo essa equação, obtemos:
Nesse passo nós conseguimos determinar o valor de d, ou seja, d = 6, ou 
ainda, existem 6 embalagens de 500g na prateleira.
4º passo: Voltar na equação obtida ao termino do 1º passo e substituir d 
por 6.
A equação obtida ao término do 1º passo é q = 21-d, substituindo d por 
6, obtemos:
Sendo assim, o valor de q = 15, ou seja, há 15 embalagens de 400g na 
prateleira. Deste modo, conseguimos estabelecer os valores das duas 
incógnitas, ou seja, d = 6 e q = 15. 
Agora é sua vez de praticar!
A equação obtida ao término do 1º passo é q = 21-d, substituindo d por 
6, obtemos:
1. Utilizando o método da substituição, resolva o seguinte 
problema:
Certo jogo é realizado com dois tipos de cartas diferentes. 
Uma carta tem duas marcações e a outra tem quatro 
marcações. Sabendo que o jogador da rodada está com 24 
cartas, das quais, somadas as marcações, obtêm-se 66, é 
correto afirmar que esse jogador possui quantas cartas com 
duas marcações e com quatro marcações?
Sistemas lineares e sua relação com matrizes Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
73
Como dito anteriormente, existem diferentes métodos para resolver 
sistemas de equações. Vamos agora aprender o método da adição.
O método da adição consiste em realizar operações algébricas entre as 
equações com a intenção de cancelar uma das incógnitas e assim determinar 
o valor da outra.
Problema: Um dos clubes de basquete que estavam realizando 
competições realizou um acordo com seus jogadores. No acordo ficou 
estabelecido que cada vez que os jogadores arremessassem a bola e 
acertassem a cesta receberiam R$10,00 do clube e, caso errasse, pagariam 
R$5,00 ao clube. Ao final de uma partida, um jogador que arremessou 22 
vezes a bola recebeu a quantia de R$55,00. Quantos arremessos ele acertou 
e quantos ele errou?
Utilizaremos esse problema para explicar melhor o método da adição. 
Representaremos com c os arremessos que acertaram a cesta e com e os 
arremessos que não acertaram. Podemos escrever matematicamente a 
sentença “ao final de uma partida um jogador que arremessou 22 vezes a 
bola” como c + e = 22, pois o total de arremessos é a somas dos arremessos 
acertados com os arremessos errados. Já a sentença “recebeu a quantia de 
R$55,00” pode ser representada como 10c -5e = 55, pois ele recebe R$10,00 
por arremesso certo e paga R$ 5,00 por arremesso errado. Unindo as duas 
equações, definimos nosso sistema de equação, sendo este:
O método da adição consiste em realizar operações nas equações 
com a intenção de somá-las e assim eliminar uma das incógnitas. Vamos 
compreender melhor no passo a passo.
1º passo: Multiplicar uma ou as duas equações de modo a conseguir 
cancelar uma incógnita ao somar as duas equações.
Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
74
No caso do nosso exemplo, na primeira equação temos uma soma 
envolvendo a incógnita e e na segunda equação temos uma subtração 
envolvendo essa mesma incógnita, assim, podemos, por exemplo, multiplicar 
a equação c + e = 22 por cinco, obtendo assim 5c + 5e = 110; desta forma, 
o nosso sistema torna-se:
2º passo: Somar as duas equações.
Somando as equações, obtemos:
Vale lembrar que na resposta da soma não aparece a incógnita e, pois 
5e – 5e = 0.
3º passo: Isolar a incógnita na equação obtida ao término do passo 2.
Isolando a incógnita na equação obtida no passo anterior, teremos:
Nesse passo, nós já conseguimos resolver e determinar o valor de uma 
das incógnitas, assim c = 11, ou ainda, o jogador acertou 11 arremessos.
4º passo: Substituir o valor obtido em qualquer uma das equações para 
determinar o valor da segunda incógnita.
Sistemas lineares e sua relação commatrizes Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
75
Qualquer uma das equações serve para realizar a substituição, então 
podemos escolher a equação que parece mais simples, no caso deste 
problema, escolhi a equação c + e = 22. Substituindo c por 11, obtemos:
5º passo: Resolver a equação obtida ao final do passo 4.
Resolvendo a equação, obtemos:
Deste modo, podemos afirmar que o jogador errou 11 arremessos.
Vamos ver mais um exemplo de sistemas lineares com duas incógnitas 
e duas equações resolvido pelo método da adição.
Exemplo de sistema linear: Seja o sistema linear 
é correto afirmar que o valor de x e y são:
Para resolver esse sistema, vamos seguir os passos do método da adição, 
assim:
1º passo: Multiplicar uma ou as duas equações de modo a conseguir 
cancelar uma incógnita ao somar as duas equações.
No caso desse sistema, teremos que multiplicar as duas equações por 
um valor, pois, assim, conseguimos tornar o coeficiente numérico que 
acompanha uma das incógnitas igual, mas com o sinal trocado, e deste 
modo conseguimos cancelar uma das equações.
Vamos multiplicar a primeira equação por 7 e a segunda por 2, realizando 
isso, obtemos:
 Seja o sistema linear 
Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
76
Perceba que conseguimos deixar os coeficientes que acompanham a 
variável y iguais, porém com o sinal trocado, assim, quando realizarmos as 
somas das equações, vamos cancelar essa incógnita.
Agora que você já pensou no motivo pelo qual escolhemos os valores 
7 e 2 para realizar as operações com as equações, podemos apresentá-lo 
de forma clara. A escolha por cancelar a variável y deu-se porque já havia 
um coeficiente positivo e outro negativo, ao multiplicar por um número 
que fizesse com que esses coeficientes fossem iguais já conseguiríamos 
cancelá-la. Vejamos a próxima figura.
Um modo de sempre conseguir deixar os valores iguais para uma das 
duas incógnitas é multiplicando as equações pelos coeficientes, porém de 
forma “cruzada”, como mostra a Figura 2.2. Caso os valores não tenham os 
sinais opostos, podemos multiplicar do mesmo modo apresentado nessa 
figura, porém trocando o sinal de uma e somente uma das multiplicações. 
Agora que já realizamos o 1º passo, podemos ir para o próximo.
2º passo: Somar as duas equações.
Somando as equações, obtemos:
Fonte: A autora (2014)
Figura 2.2 - Sistema linear 2x2
7 5x +2y = 7
2 3x - 7y = 6{
Antes de seguir a leitura, pense a respeito do motivo pelo qual os 
valores 7 e 2 foram escolhidos para realizar a multiplicação das 
equações. Existem outros valores que também seriam possíveis?
Sistemas lineares e sua relação com matrizes Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
77
3º passo: Isolar a incógnita na equação obtida ao término do passo 2.
Isolando a incógnita na equação anterior, temos:
Agora que já sabemos o valor da incógnita x, podemos substituir esse 
valor em qualquer uma das equações, sendo esse o nosso próximo passo.
4º passo: Substituir o valor obtido em qualquer uma das equações para 
determinar o valor da segunda incógnita.
A equação escolhida foi 6x-14y=12, deste modo:
6x-14y=12
6(61/41)-14y=12
366/41-14y=12
Podemos, no próximo passo, calcular nosso sistema.
5º passo: Resolver a equação obtida ao final do passo 4.
Resolvendo a equação, obtemos:
Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
78
1. Utilizando o método da adição, resolva o seguinte sistema:
Simplificando a fração, temos:
Nosso conjunto solução para esse problema é x 
Agora é sua vez de praticar, vamos resolver algumas atividades.
Nós já aprendemos dois possíveis métodos para resolver sistemas de 
equação, agora vamos aprender o método da comparação.
O método da comparação consiste em isolar uma mesma incógnita 
nas duas equações e realizar uma comparação entre elas. Vamos 
aprender a respeito desse método.
Problema: Em um bazar são vendidos kits com canetas e lapiseiras. Se 
o comprador quiser comprar o kit um, que vem com uma caneta e uma 
lapiseira, ele pagará R$4,10; se ele comparar duas canetas e uma lapiseira, 
ele pagará R$ 4,50. Quanto custa cada caneta e cada lapiseira?
Para resolver esse problema, podemos representar matematicamente a 
sentença “uma caneta e uma lapiseira pagará R$4,10”. Se representarmos 
com c a caneta e com l a lapiseira, teremos: c + l = 4,10; a próxima 
sentença, “se ele comparar duas canetas e uma lapiseira, ele pagará 
R$ 4,50”, podemos representar como 2c + l =4,50. Unindo as duas 
equações, teremos:
Simplificando a fração, temos:
Sistemas lineares e sua relação com matrizes Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
79
Para resolver um sistema de equações pelo método da comparação, 
podemos seguir os seguintes passos:
1º passo: Escolher uma incógnita e isolá-la nas duas equações.
Vamos escolher a incógnita l, assim teremos:
 l = 4,10-c
l =4,50- 2c 
2º passo: Realizar a comparação entre os valores.
Para realizar a comparação, temos que perceber que, se l = 4,10-c e o 
mesmo l também é igual l =4,50- 2c , isso implica que:
 4,10-c= 4,50- 2c 
3º passo: Resolver a equação obtida no passo anterior.
4,10-c= 4,50- 2c
2c-c= 4,50-4,10 
c= 0,40
Nós conseguimos determinar que o valor da caneta é R$0,40.
4º passo: Substituir o resultado obtido no passo anterior, em qualquer 
uma das equações.
Escolheremos a equação l = 4,10-c. Realizando a substituição, temos:
l = 4,10-c
l = 4,10-0,40=3,70
Sendo assim, podemos definir que a caneta custa R$0,40 e que a 
lapiseira custa R$3,70.
Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
80
1. Utilizando o método da comparação, resolva o seguinte 
problema: Tenho uma quantidade de 18 notas. Entre essas 
notas tenho algumas de R$10,00 e outras de R$5,00, num 
total de R$145,00. Qual é a quantidade de notas de R$10,00 
e de R$ 5,00 que tenho?
Agora, vamos aprender mais a respeito do método gráfico para a 
resolução gráfica para resolver sistemas lineares.
O método gráfico para sistemas lineares consiste em representar cada 
uma das equações no plano cartesiano e buscar um ponto de intersecção 
entre os gráficos. Esse ponto representa a solução para o sistema. 
Vejamos como aplicar esse método no próximo sistema.
Problema: Utilize a representação gráfica para solucionar o seguinte 
sistema: 
Para resolver esse sistema pelo método gráfico, podemos seguir os 
seguintes passos:
1º passo: Isolar uma mesma incógnita nas duas equações.
Escolherei isolar a incógnita y, obtendo assim:
y=10-6x
y=5-4x
2º passo: Fazer a representação gráfica no plano cartesiano.
Ao isolarmos uma das incógnitas, podemos lidar com o que obtemos 
como funções. Como o sistema que estamos resolvendo é linear, então a 
função será do primeiro grau, e ainda seu gráfico será uma reta.
Sistemas lineares e sua relação com matrizes Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
81
Se você esqueceu ou quer aprofundar seu conhecimento a respeito 
de funções polinomiais do primeiro grau, ou ainda da representação 
gráfica, acesse:
<www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1.php>
<http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1_2.php>
<http://www.somatematica.com.br/emedio/funcao1/funcao1_3.php>.
Utilizarei o programa geogebra para realizar a representação gráfica de 
Fonte: A autora (2014)
Figura 2.3 - Método gráfico
Sistemas lineares e sua relação com matrizes
U2
82
Ao representarmos as duas funções no mesmo plano cartesiano, eles 
apresentaram um ponto de intersecção. Esse ponto é o resultado do 
sistema de equações que estamos estudando, sendo assim, o conjunto 
solução desse sistema é S={2,5; -5}.
 Os sistemas lineares podem ser classificados como possível 
determinado, possível indeterminado ou impossível, porém, iremos 
aprender mais a respeito dessas classificações na próxima seção.
Vamos aprofundar nosso conhecimento a respeito dos sistemas 
lineares 2 x 2.
1. Utilizando o método gráfico, resolva o sistema
Por que o método gráfico pode ser