Aula 3 Produto de Vetores

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GEOMETRIA ANALÍTICA BÁRBARA BARBOZA 
 
AULA 3 – PRODUTO DE VETORES 
1. Produto Escalar 
1.1 Produto Escalar – Conceito Geométrico 
Sejam 
u
 e 
v
 vetores não nulos. O produto escalar de 
u
por 
v
, indicado 
por 
vu 
, é o número real: 
 vuvuvu ,cos
 
 
1.2 Produto Escalar – Conceito Algébrico 
Chama-se produto escalar de dois vetores 
kzjyixu 111 
 e 
kzjyixu 111 
, e se representa por
vu 
, ao número real: 
212121 zzyyxxvu  
O produto escalar de 
u
 por 
v
 também é indicado por 
vu ,
. Lê-se 
“
u
 escalar 
v
”. 
Ex: 
Sejam 
kjiu 853 
 e 
kjiv  24
, 
?vu
 
      1481012182543 vu 
 
1.3 Ângulo entre dois Vetores 
Usando o produto de vetores, podemos definir 
cos vuvu
, 
considerando 

 um ângulo, 
º180º0  
 logo: 
vu
vu


cos
 
 
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1.4 Condição de Ortogonalidade entre dois Vetores 
Dois vetores são ortogonais (formam 90º) se, e somente se, seu produto 
escalar é nulo. 
0vu
 
1.5 Interpretação Geométrica do Produto Escalar – Vetor Projeção 
Sejam os vetores 
u
 e 
v
, com 
0u
 e 
0v
, 

 o ângulo formado por 
eles. Pretendemos calcular 
w
 que representa a projeção de 
u
 sobre 
v
. 
 
 
Do triângulo retângulo temos: 
 coscos  uw
u
w 
Sabemos que 

 é o ângulo formado por 
u
 e 
v
, então 
vu
vu


cos
. 
Substituindo temos: 
ºvuwv
vuwvu
vuuw 



  
Sabendo que 
ºwww 
 e que 
ºº vw 
: 
º
ºº v
wwvwwwww  
Substituindo em , temos: 
  ººº
º
vvuwvu
v
w

 
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2. Produto Vetorial 
2.1 Produto Vetorial – Conceito Geométrico 
Sejam 
u
 e 
v
 vetores não nulos. O produto vetorial de 
u
 por 
v
, indicado 
por 
0vxu
, é o vetor: 
 vusenvuvxu ,
 
 
 
2.2 Produto Vetorial – Conceito Algébrico 
Dados os vetores 
kzjyixu 111 
 e 
kzjyixu 111 
 tomados nesta 
ordem, chama-se produto vetorial dos vetores 
u
 e 
v
, e se representa 
vxu
 ou 
vu ^
, ao vetor: 
222
111^
zyx
zyx
kji
vuvxu  
Seja 
kjiu 345 
 e 
kiv 
, determine o produto vetorial 
vxu
: 
 4,2,44245434
101
345  kjijkji
kji
vxu
 
 
2.3 Interpretação Geométrica do Produto Vetorial – Área do 
Paralelogramo 
Vamos calcular a área do paralelogramo: 
 
Na Geometria Plana, a área do paralelogramo é dada por 
hbSP 
. 
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Usando trigonometria, temos: 
 senvh
v
hsen 
 
Substituindo, encontramos: 
vxuSsenvuS PP  
 
OBS: Como, na Geometria Plana, a área do triângulo é 
2
hbST


, então: 
2
vxu
ST 
. 
3. Produto Misto 
3.1 Produto Misto – Conceito Algébrico 
Dados os vetores 
kzjyixu 111 
, 
kzjyixv 222 
 e 
kzjyixw 333 
 tomados nesta ordem, chama-se produto misto 
dos vetores 
u
, 
v
 e 
w
, ao número real 
 wxvu 
. 
Indica-se o produto misto por: 
 
333
222
111
,,
zyx
zyx
zyx
wvu  
Ex: Calcular o produto misto dos vetores 
kjiu 532 
 , 
kjiv 33 
 e 
kjiw 234 
. 
  2761860153612
234
331
532
,, 

wvu 
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3.2 Interpretação Geométrica do Produto Misto – Volume do 
Paralelepípedo 
Vamos calcular o volume do paralelepípedo: 
 
Na Geometria Espacial, o volume do paralelepípedo é dada por 
hSV bP 
. 
Usando trigonometria, temos: 
 coscos  wh
w
h 
Substituindo, encontramos: 
  wvxuVwvxuV PP  cos 
 wvuVP ,,
 
OBS: Como, na Geometria Espacial, o volume do tetraedro de base 
triangular é 
PT VV  6
1
, então: 
 
6
,, wvu
VT 
. 
 
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  
1. Calcule o ângulo formado pelos vetores 
 4,1,1u
e 
 2,2,1v
. 
2. Sabendo que o vetor 
 1,1,2 v
 forma um ângulo de 60º com o vetor 
determinado pelos pontos 
 2,1,3 A
 e 
 mB ,0,4
, calcular m. 
3. Determinar um vetor ortogonal aos vetores 
 0,1,11 v
 e 
 1,0,12 v
. 
4. Dados os vetores 
 2,2,1u
 e 
 2,0,2v
, determine: 
a) 
vu
 d) 
  vu ,cos
 
b) 
u
 e) 
v
u
proj
 
c) 
ºu
 f) 
v
u
projmed
 
5. Dados os vetores 
 1,1,2 u
, 
 0,1,1 v
 e 
 2,2,1w
, 
calcular: 
a) 
vxw
 
b) 
    vxuvxu
 
c) 
    wxuvu
. 
6. Calcule a área do triângulo ABC, onde 
 1,1,4A
, 
 1,0,1B
 e 
 3,1,0 C
. 
7. Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores 
 5,3,2u
 , 
 4,0,1v
 e 
 3,7,1w
.