Apostila (parte 3)

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CN_Parte3_2013.doc - 1/12 
 
Cálculo Numérico 
 
Autor do Texto Original: Prof. Cecil Granado 
Pequenas alterações de formato e contribuições menores (20/04/2010): Prof. Braga 
 
Sistemas de Equações Lineares 
 
Um sistema de equações lineares é qualquer conjunto de equações lineares. 
Ex.: 



=+
=+
52
42
yx
yx
 onde os valores x= 1 e y= 2 é a solução do sistema. 
Um sistema pode ter solução ou não: 
 
Sistema: 1) Não tem solução (sistema impossível) 
 2) Tem solução (sistema 
 possível) 
2a) Solução única (Possível 
 determinado) 
 2b) Infinitas soluções (Possível 
 indeterminado) 
 
Um sistema de equações lineares pode ser resolvido aplicando-se as ... 
Operações Elementares (sobre linhas). 
São operações elementares: 
 
1) Permutar duas equações (linhas). 
Ex. 



=+
=−
⇒



=−
=+
42
10
10
42
yx
yx
yx
yx
 
 
2) Multiplicar uma equação (linha) por um número não nulo. 
Ex. 



=−
=+
⇒



=−
=+
2733
6
)3.(9
6
yx
yx
yx
yx
 
 
3) Substituir uma equação (linha) pela soma dela com outra do sistema. 
Ex. 



=+
=+
⇒+=



=+
=+
1423
5
linha 2 linha1linha .2
92
5
a.a.a
yx
yx
yx
yx
 
 
Podemos também “combinar” essas operações. 
Ex. 



=+
=−
⇒=+=



=−
=+
52
74
 LL e L 2.LL
1
52
12 121
yx
yx
yx
yx
 
 
Resolução de Sistemas (métodos) 
 
- Substituição: isola-se uma variável de uma das equações e substituí-se na outra. 
- Comparação: isola-se a mesma variável nas duas equações e “compara-se” os valores igualando 
os resultados. 
 
CN_Parte3_2013.doc - 2/12 
Esses dois métodos se prestam para sistemas com duas equações e duas incógnitas. Variantes desses 
dois métodos podem ser formuladas para resolver sistemas com 3 ou mais equações. 
 
Como exercício, resolva os sistemas anteriores pelos métodos mencionados. 
 
Respostas: 1)(8, -2) 2)(15/2, -3/2) 3)(4, 1) 4)(2, 1) 
 
 
Método da Eliminação de Gauss 
 
Trata-se de um processo geral de resolução de sistemas que utiliza as operações elementares. 
Objetiva substituir o sistema dado por um sistema equivalente (com mesma solução), escrito na 
forma escalonada ("triangular"). 
Ex. ⇒





+==+−
=+
=−+
⇒





−==++
+==++−
=−+
233133
212
283
52
2
2122
32
2
LLLzy
zy
zyx
LLLzyx
LLLzyx
zyx
 
 





=⇒=
=⇒=+
=⇒=−+
↑
↑
3217
152
42
zz
yzy
xzyx
 Solução: (x, y, z) = (4, 1, 3) 
 
Para um sistema de equações reduzido à forma escalonada com r equações e n incógnitas, com os 
coeficientes da diagonal (escalonada) diferentes de zeros, temos: 
 
1) Sistema possível e determinado: r = n (solução única) 
2) Sistema possível e indeterminado: r < n (infinitas soluções) 
3) Sistema impossível: 0x1+0x2+0x3+ ... +0xn = b (com 0≠b ) (sem solução) 
 
Para o caso 1) Sistema possível e determinado: r = n. 
O exemplo dado acima, apresenta 3 ( r ) equações e 3 ( n ) incógnitas com os coeficientes da 
diagonal (escalonada) diferentes de zero (1, 2, 7). 
 
Para o caso 2) Sistema possível e indeterminado: r < n. 
Ex. Resolver o sistema: 





=
=−
=−+
⇒





+=−=+−
=−
=−+
⇒





−==−+
+==++−
=−+
00
53
42
53
53
42
934
12
42
233313
212 zy
zyx
LLLzy
zy
zyx
LLLzyx
LLLzyx
zyx
 
 
O sistema se reduz à: 



=−
=−+
53
42
zy
zyx
 com r =2 < n =3 (a equação 0 = 0 é desprezada) 
e o sistema é possível, porem indeterminado (com infinitas soluções). Neste caso existem (n – r) 
incógnitas arbitrárias (ou variáveis livres ou independentes). No exemplo a variável livre é z. 
 
Fazendo z= 1 temos que y= 2 e consequentemente x= 4. Solução (4, 2, 1). 
Fazendo z= -2 temos que y= -1 e consequentemente x= -1. Solução (-1, -1, -2). 
CN_Parte3_2013.doc - 3/12 
De uma forma geral a solução é dada por: )( ,
3
5
,
3
75
z
zz ++
. (Variando z, varia a resposta) 
Para o caso 3) Sistema impossível: 0x1+0x2+0x3+ ... +0xn = b (com 0≠b ) 
Ex. Resolver o sistema: 





=
−=−
=+−
⇒





−=−=−
−=−
=+−
⇒





−==++
−==++
=+−
10
55
32
65
55
32
2034
3223
32
323133
122
z
zy
zyx
LLLzy
zy
zyx
LLLzyx
LLLzyx
zyx
 
e o sistema é impossível, pois não existe z tal que: 0z = 1 
Exercícios: Resolver os sistemas. 
1) 





=++−
−=−+
=+−
22
2
4
zyx
zyx
zyx
 2) 





=++
=−+
=+−
23
522
4
zyx
zyx
zyx
 3) 





−=−+
=+−−
−=−+
4243
42
23
zyx
zyx
zyx
 
4) 





=−+
=+−
=−+
55
13
2
zyx
zyx
zyx
 5) 





=+−
=−+−
=+−
4752
32
132
zyx
zyx
zyx
 6) 





=+
=+
=−
664
723
52
yx
yx
yx
 
7) Se o átomo A perder um elétron para o átomo B, então eles ficam com mesma quantidade de 
elétrons. Caso ocorra o contrário, então A fica com o dobro de elétrons de B. Quantos elétrons têm 
cada átomo? 
8) (ITA) Suponha que x e y são números reais, satisfazendo simultaneamente as equações: 
2x+3y=21 e 7x-4y=1. Nestas condições, se S=x+y, então: 
a) S=-10 b) S=-8 c)S=5 d)S=8 e)S=10 
9) (Fundação Carlos Chagas) Dado o sistema:





=++
=+−−
=++
732
23
32
zyx
zyx
zyx
Então os números x, y e z que 
tornam verdadeiro o sistema são tais que: 
a) x=y+z b) z=x+y c) y=x+z d) x=2y-z e) y=x-2z 
10)(PUC-MG) A soma dos valores de x e y que satisfazem o sistema:



=−
=+
02
42
yx
yx
é: 
a)0 b)1 c)2 d)3 e)4 
11) (Fundação Carlos Chagas) O sistema:





=
=+
=++
kz
kzx
kzyx
 
a) é impossível para todo valor real de k. 
b) é possível e determinado para todo valor real de k 
c) é possível e indeterminado para todo valor real de k 
d) admite apenas a solução trivial (0, 0, 0) 
e) é impossível se k é diferente de zero 
 
12) Resolver os sistemas pelo método de Gauss-Seidel 
a) 





=++
=++
−=+−
181042
3783
17212
zyx
zyx
zyx
 b) 





−=+−
=++
=++
3102
2294
223218
zyx
zyx
zyx
 c)





=++
−=−+
−=++
3082
200215
250122
zyx
zyx
zyx
 
CN_Parte3_2013.doc - 4/12 
d) 







=−++
−=++−
−=+−+
=+++
513122
8020235
66215
592102
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
 
 
Resp.: 1)(1, 0, 3) 2)(3, -1, 0) 3)(0, 0, 2) 4)indeterminado: (3/4, (5+4z)/4, z) 5)impossível 6)(3, -1) 
7)5e7 8)d 9)b 10)d 11)b 12) a)(-1,5,0) b)(1,2,0) c)(-10,-20,10) d)(-5,7,3,-2) 
 
 
Método Iterativo de Gauss Seidel para solução de sistemas lineares 
 
Considere o sistema linear nxn abaixo: 
 







=++++
=
=++++
=++++
nnnnnnn
nn
nn
cxaxaxaxa
cxaxaxaxa
cxaxaxaxa
,33,22,11,
2,233,222,211,2
1,133,122,111,1
...........................................................
L
L
L
 
 
Isolando cada variável da diagonal principal em cada linha, temos: 
( )
( )
( )









−−−−=
=
−−−−=
−−−−=
−− 11,22,11,
,
,233,211,22
2,2
2
,133,122,11
1,1
1
1
.........................................................
1
1
nnnnnn
nn
n
nn
nn
xaxaxac
a
x
xaxaxac
a
x
xaxaxac
a
x
L
L
L
 
 
Tomando-se como valorinicial o vetor nulo, ou seja: x1 = x2 = x3 = ... = xn = 0, 
pode-se, num processo iterativo, calcular o valor de cada xi, 
Substituindo-se os valores: 02x = 
0
3x = . . . = 
0
nx = 0, temos: 
Primeira aproximação: 11x ; 
1
2x ; 
1
3x ; . . . ; 
1
nx 
( )
( )
( )









−−−−=
=
−−−−=
−−−−=
−−
1
11,
1
22,
1
11,
,
1
0
,2
0
33,2
1
11,22
2,2
1
2
0
,1
0
33,1
0
22,11
1,1
1
1
1
.........................................................
1
1
nnnnnn
nn
n
nn
nn
xaxaxac
a
x
xaxaxac
a
x
xaxaxac
a
x
L
L
L
 
 
Substituindo-se os valores encontrados no sistema novamente, temos: 
Segunda aproximação: 21x ; 22x ; 
2
3x ; . . . ; 
2
nx 
CN_Parte3_2013.doc - 5/12 
( )
( )
( )









−−−−=
=
−−−−=
−−−−=
−−
2
11,
2
22,
2
11,
,
2
1
,2
1
33,2
2
11,22
2,2
2
2
1
,1
1
33,1
1
22,11
1,1
2
1
1
.........................................................
1
1
nnnnnn
nn
n
nn
nn
xaxaxac
a
x
xaxaxac
a
x
xaxaxac
a
x
L
L
L
 
E assim sucessivamente até que se obtenha a precisão desejada para cada uma das variáveis.: 
Critérios de Parada: 
1) Exx riri <− −1 ou 2) E
x
xx
r
i
r
i
r
i <
−
−1
 ou 3) Nº Máximo de Iterações. 
 
Uma condição suficiente para que o método de Gauss-Seidel convirja, é que: 
∑
≠
=
>
n
ij
1j
ijii aa para i= 1, 2, 3, ..., n 
O elemento da diagonal principal de cada linha, em módulo, é maior que a soma, em módulo, dos 
outros coeficientes dessa mesma linha. Sistemas lineares em que temos essa condição satisfeita são 
chamados de Sistemas com diagonal dominante ou Sistemas que satisfazem o Critério das Linhas. 
 
Exemplo: 
Resolver por Gauss-Seidel o sistema abaixo, verificando se ele satisfaz o critério das linhas. 
 



=+−
=+
19104
1535
21
21
xx
xx
 
 
Critério das linhas: 
∑
≠
=
>
n
ij
1j
ijii aa para i= 1, 2 
para i= 1 ∑
≠
=
>
n
ij
1j
1211 aa ∑
≠
=
>
n
ij
1j
35 35 > OK 
para i= 2 ∑
≠
=
>
n
ij
1j
2122 aa ∑
≠
=
−>
n
ij
1j
410 410 > OK 
O sistema deverá convergir para a solução. 
 
Então façamos: aproximação inicial 002
0
1 == xx , Erro permitido= 0,05 e Nº Máx de iterações = 7. 
Assim temos que: 
( )
( )






+=
−=
1
1
1
2
0
2
1
1
419
10
1
315
5
1
xx
xx
 => 
 
Primeira Iteração: 
CN_Parte3_2013.doc - 6/12 
1) 
( )
( )






==+=
=−=
1,331.
10
13.419
10
1
30.315
5
1
1
2
1
1
x
x
 
Primeira aproximação 311 =x , 1,3
1
2 =x 
Precisão em 1x : Exx >=−=− 303
0
1
1
1 
Precisão em 2x : Exx >=−=− 1,301,3
0
2
1
2 
 
Segunda Iteração: 
2) 
( )
( )






==+=
=−=
356,256,23.
10
114,1.419
10
1
14,11,3.315
5
1
2
2
2
1
x
x
 
Segunda aproximação 14,121 =x , 356,222 =x 
Precisão em 1x : Exx >=−=− 86,1314,11121 
Precisão em 2x : Exx >=−=− 744,01,3356,21222 
 
Terceira Iteração: 
2) 
( )
( )






==+=
=−=
534,234,25.
10
1586,1.419
10
1
586,1356,2.315
5
1
3
2
3
1
x
x
 
Terceira aproximação 586,131 =x , 534,232 =x 
Precisão em 1x : Exx >=−=− 446,014,1586,12131 
Precisão em 2x : Exx >=−=− 178,0356,2534,22232 
 
Tabela de valores: 
Iteração r rx1 
rx2 
Precisão 
Máx{ 1−− riri xx } 
0 0 0 
1 3,0 3,1 3,1 
2 1,14 2,356 1,86 
3 1,586 2,534 0,446 
4 1,480 2,492 0,106 
5 1,505 2,502 0,025 < E 
 
 
Solução do sistema com E < 0,05 é : x1= 1,505 e x2= 2,502. 
 
(Teste os valores: : x1= 1,5 e x2= 2,5) 
 
Interpretação gráfica das aproximações: 
CN_Parte3_2013.doc - 7/12 
Abaixo o sistema e as equações de retas isoladas na variável x2 
 
 I 
 
 
 
 I 
 II 
 
 II 
 
 
Exercícios: 
1) Faça a interpretação gráfica das aproximações obtidas no exemplo 1. 
(Coloque num mesmo plano cartesiano as retas definidas nas equações do sistema) 
2) Troque as linhas e resolva o mesmo exemplo anterior. O que acontece? 
3) Resolver os sistemas por Gauss-Seidel. 
a) 





−=++
=++−
=++
5,663
052
54
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 b) 





=++−
−=−+
=++
221032
442202
9210
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 c) 





=++
=++
=++
141022
13102
1210
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
Respostas:3)a)(1,5 , 1,0 , -2,0) b)(1 , -2 , 3) c)(1, 1, 1) 
 



=+−
=+
19104
1535
21
21
xx
xx
( )12 41910
1
xx +=
( )12 5153
1
xx −=