Aula 4_Dinâmica dos fluidos

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Fenômenos de Transporte
Mecânica dos fluidos
Aula 4
Dinâmica dos fluidos
A dinâmica dos fluidos é responsável pelo estudo e
comportamento dos fluidos em regime de movimentocomportamento dos fluidos em regime de movimento
acelerado no qual se faz presente a ação de forças externas
responsáveis pelo transporte de massa.
INTRODUÇÃO
Dois aspectos importantes na Mecânica dos fluidos são: a natureza
viscosa dos fluidos e a sua compressibilidade.
INTRODUÇÃO
O movimento de um fluido pode ser expresso por descrições
Lagrangianas e Eulerianas.
INTRODUÇÃO
� Descrição lagrangeana: partículas individuais são observadas
como função do tempo.
� Descrição euleriana: as propriedades do escoamento são
funções do espaço e tempo.
Temos o trânsito de carros como exemplo:
�Na descrição Euleriana: a velocidade média
como função do tempo e da posição dentro do
campo, mais a taxa de fluxo (número de carros
por hora) que passam nesta seção.
�Descrição lagrangiana: para este pode ser
importante acompanhar um carro especifico ao
longo do seu deslocamento pela rodovia.
INTRODUÇÃO
�Movimento dos fluidos
Linhas de Trajetória, Linhas de Emissão e Linha de Corrente.
INTRODUÇÃO
�Classificação do Escoamento
�Tridimensional → o vetor velocidade depende de três variáveis
espaciais, ou o campo de velocidade varia em três dimensões.
� Bidimensional → o vetor velocidade depende de duas variáveis� Bidimensional → o vetor velocidade depende de duas variáveis
espaciais, ou o campo de velocidade varia em duas dimensões.
� Unidimensional → o vetor velocidade depende de apenas uma
variável espacial, ou o campo de velocidade varia em uma dimensão.
INTRODUÇÃO
�Classificação do Escoamento
�Regime Permanente: propriedades dos fluidos e sua velocidade não 
variam no tempo.
�Regime Transiente: propriedades dos fluidos e sua velocidade 
variam no tempo.
INTRODUÇÃO
�Classificação do Escoamento
�Fluxo laminar: linhas de correntes formam lâminas. Baixa 
velocidade do escoamento.velocidade do escoamento.
�Fluxo turbulento: linhas de corrente formam turbilhões. 
Alta velocidade do escoamento.
INTRODUÇÃO
�Classificação do Escoamento
�Fluxo Uniforme: velocidade constante para todos os pontos da 
trajetória.
�Fluxo Variado: velocidade varia ao longo dos pontos.
INTRODUÇÃO
�Classificação do Escoamento
�Fluido compressível: variação da massa específica não podem ser 
desprezadas.
�Fluido incompressível: variações da massa específica desprezíveis.
volume
massaM
∀
=ρ
INTRODUÇÃO
�Em resumo:
Equações importantes em Mecânica dos fluidos para o curso:
�Equações da Estática dos fluidos;
�Equação da Continuidade ou Conservação da Massa;Equação da Continuidade ou Conservação da Massa;
�Conservação da Energia( Bernoulli);
�Perdas de carga.
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Conceitos Básicos
�Sistema: O sistema é definido como sendo certa quantidade fixa
e definida de massa.
i. Pode ser fixo ou móvel;
ii. Não ocorre transporte de massa;
iii. Quantidade de matéria permanece constante;
iv. Calor e trabalho podem atravessar o limite do sistema.
Fronteira do sistema: superfície 
que delimita o sistema.
Vizinhança do sistema: tudo que pertence ao exterior e interage 
com o sistema.
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Conceitos Básicos
� Volume de controle: região do espaço escolhida para a realização
da análise termodinâmica, conveniente para analisar dispositivosda análise termodinâmica, conveniente para analisar dispositivos
ou equipamentos onde há fluxo de massa.
� Superfície de controle: análoga à fronteira do sistema, porém
com a possibilidade de existir fluxo mássico através dela.
� Propriedade: é uma quantidade que depende do estado do
sistema e é independente do caminho pelo qual o sistema chegou
ao estado considerado. O conjunto de propriedades define o
estado termodinâmico do sistema.
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Conceitos Básicos
Propriedade extensivas (N): a propriedade dependente da massa. 
Propriedade intensivas( ) : são as chamadas propriedades específicas (por 
unidade de massa) 
Regime permanente: 
1. O VC não se move em relação ao sistema de coordenadas.
2. O estado da massa, em cada ponto do VC não varia com o tempo.
3. O fluxo e o estado da massa que cruza a SC não varia com o tempo. As taxas 
η
3. O fluxo e o estado da massa que cruza a SC não varia com o tempo. As taxas 
nas quais o calor e trabalho cruzam a SC permanecem constantes.
Regime uniforme:
1. O VC não se move em relação ao sistema de coordenadas.
2. O estado da massa interna ao VC pode variar com o tempo. (porém, em 
qualquer instante o estado é uniforme)
3. O estado da massa que cruza a SC não varia com o tempo, mas as vazões
podem variar com o tempo
Teorema de Transporte de Reynolds
�Em vários estudos trabalhamos com Sistemas fechados. A
Dinâmica dos fluidos trabalha com VOLUMES DE CONTROLE
na maior parte do tempo.
� O Teorema de Transporte de Reynolds (TTR) oferece a ligaçãoO Teorema de Transporte de Reynolds (TTR) oferece a ligação
entre a abordagem por SISTEMAS e a abordagem por volume
de controle.
�Entender a utilidade do teorema de Transporte de Reynolds
nos ajuda a aplicar a equação de conservação da massa para
balancear as vazões de entrada e saída de um sistema fluido.
Teorema de Transporte de Reynolds
� Considere uma
propriedade extensiva N
relativa a um sistema. E
a propriedade intensiva
correspondente
definida como:
N
� Seja um volume de controle
indeformável que constitui a região II.
� A região I é definida de tal forma que
sua massa (carregando a propriedade
N) entra no V.C. no intervalo de tempo
∆t.
Onde:
• N = Prop. extensiva
• η= Prop.intensiva
• M = massa
M
N
=η
∆t.
�A região III constitui a massa que sai do
V.C. (carregando a propriedade N) no
mesmo intervalo de tempo.
Teorema de Transporte de Reynolds
O Teorema de Transporte de Reynolds afirma que:
A taxa de variação com o tempo da quantidade total de N é igual às
variações instantâneas de N no interior do volume de controle,
somadas à integral (em toda a superfície de controle) da taxa na
qual N está sendo transportada através da superfície de controlequal N está sendo transportada através da superfície de controle
para a vizinhança.
Onde:
N = propriedade extensiva; η= propriedade intensiva; ∀=volume; ρ= massa específica;
V = velocidade; A = área
dAVd
tdt
dN
SCVCsistema
∫∫
→
+∀
∂
∂
=

 ηρηρ
Teorema de Transporte de Reynolds
�Para volume de controle fixo:
dAVd
tdt
dN
SCVCsistema
∫∫
→
+∀
∂
∂
=

 ηρηρ
Taxa de variação 
da propriedade 
extensiva N do 
sistema
Taxa de variação da 
propriedade extensiva 
N dentro do volume de 
controle
Taxa líquida de fluxo 
da propriedade 
extensiva N através da 
superfície de controle
Equação da Conservação da Massa
� Pelo Teorema de Transporte de Reynolds encontramos a
Equação da Conservação da massa ou Equação da Continuidade,
fazendo as seguintes considerações:
�N= m (massa) ;
� =1 (massa dividida por massa)
�Conservação da massa
η
0=


sistemadt
dN
Equação da Conservação da Massa
�A equação do transporte de Reynolds fica:
dAVd
tdt
dN
∫∫
→
+∀
∂
∂
=

 ηρηρ
tdt SCVCsistema
∫∫∂
dAVd
t SCVC
∫∫
→
−=∀
∂
∂ ρρ
⇓
Equação da Conservação da Massa
� Sendo o volume de controle fixo e indeformável (regime
permanente) :
dAVdAVd
t SCSCVC
∫∫∫
→→
=⇔−=∀
∂
∂ ρρρ 0
�Se o escoamento for uniforme:
AVdAV
SC
→→
=∫ ρρ
Num regime permanente o fluxo de massa que entra no
volume de controle é igual a que sai do volume de controle.
t SCSCVC
∫∫∫∂
Equação da Conservação da Massa
�Em regime permanente e fluido incompressível (ρ cte): 
dAV
SC
∫
→
=0�Se o escoamento for uniforme:
Num regime permanente a vazão que entra no volume de
controle é igual a que sai do volume de controle.
AVdAV
SC
→→
=∫
Equação da Conservação da Massa
Sendo a vazão volumétrica
definida como:
Podemos relacionar a vazão
tempo
volume
t
Q ∀=
Podemos relacionar a vazão
volumétrica por:
Velocidade média é uma
velocidade fictícia constante na
seção tal que multiplicada pela
área resulta na vazão do líquido.
vA
t
sA
t
Q .. ==∀=
→
= vAQ .
Equação da Conservação da Massa
A definição de velocidade média na seção é uma velocidade
uniforme, a qual substituída no lugar da velocidade real,
reproduzira a mesma vazão. Matematicamente podemos
escrever:
∫= vdAA
vm
1
Equação da Conservação da Massa
Sendo a vazão mássica definida como:
Como , temos




=
•
s
kg
tempo
massa
t
m
m
∀
=
mρ ∀= ρmComo , temos
Assim:
Portanto a vazão massa pode ser: 
∀
=ρ ∀= ρm
Q
t
m ρρ =∀=
•
Avm
→•
= ρ
Equação da Conservação da Massa
Em suma:
Analisando as entradas e saídas (através da velocidade) da SC,
bem como a área (que sempre aponta para fora da a SC) o produto
escalar entre a velocidade e a área será positivo para o ponto (2) e
negativo para o ponto (1).
Equação da Conservação da Massa
�Num escoamento em regime permanente e uniforme: 
AVAVdAV 




+





−==
→→→
∫ ρρρ0
Generalizando:
saídaentradaSC
AVAVdAV 



+



−== ∫ ρρρ0
∑∑
••
=
saídaentrada
mm
Num regime permanente o fluxo de massa que entra no volume de
controle é igual a que sai do volume de controle.
Equação da Conservação da Massa
� Num escoamento em regime permanente ,uniforme e
incompressível:
AVAVdAV 




+





−==
→→→
∫0
Generalizando:
saídaentradaSC







∫
∑∑ = entradaentrada QQ
Num regime permanente a vazão que entra no volume de
controle é igual a que sai do volume de controle.
Exemplos
1. ) Água escoa num tubo convergente. Qual a velocidade na 
região 2 ? Quais conclusões podemos tomar?
2.) O Venturi é um tubo convergente/divergente como mostrado
na figura. Determinar a velocidade na seção mínima (garganta)
de área 5 cm², se na seção de entrada de área 20 cm² a
velocidade é 2 m/s. O fluido é incompressível.
3) Um tubo admite água num reservatório com vazão de 20
litros/s . No mesmo reservatório escoa óleo com vazão de 10
litros/s. A mistura homogênea é descarregada por um tubo cuja
área da seção circular é de 30 cm2. Determine:
a) A massa específica da mistura no tubo de descarga.
b) A velocidade da mistura no tubo de descarga.
4.) O motor a jato de um avião queima 1kg/s de combustível
quando a aeronave voa a 200m/s de velocidade. Sabendo-se
que ρar=1,2kg/m³ e ρg=0,5kg/m³ (gases na seção de saída) e
que as áreas das seções transversais da turbina são A1 = 0,3m²
e A3 = 0,2m², determine a velocidade dos gases na seção de
saída.