Leis Kirchhoff Mar 2012 (1)

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Capítulo 7
Leis de Kirchhoff
LEI DE KIRCHHOFF PARA A TENSÃO (LKT)
A lei de Kirchhoffpara a tensão, ou lei das malhas, afirma que a tensão aplicada a um circuito fechado é igual à
soma das quedas de tensão nesse circuito. Este fundamento foi usado no estudo de circuitos série e foi expresso
da seguinte forma:
Tensão aplicada = soma das quedas de tensão
(7-1)
onde ~A é a tensão aplicada e V~, 112 e 113 são as quedas de tensão.
Uma outra forma de se enunciar a LKT é: a soma algébrica das elevações, ou aumentos, com as quedas de ten
são deve ser iguala zero. Uma fonte de tensão ou fem é considerada como uma elevação de tensão; uma tensão em
um resistor consiste numa queda de tensão. Para ~cilitar a denominação, normalmente se usa índices alfabéticos
para indicar as fontes de tensão e índices numéricos para indicar as quedas de tensão. Esta forma da lei pode ser
escrita transpondo os termos da direita da Equação (7-1) para o lado esquerdo:.
Tensão aplicada — soma das quedas de tensão = O
Substituindo por letras:
Vs—Vi—Vz—V30
ou
Introduzindo um símbolo novo,!, a letra grega maiúscula sigma, temos
(7-2)
na qual LV, a sorna algébrica de todas as tensões ao longo de qualquer circuito fechado, é igual a zero. L significa
“somatório de”. -
Atribuímos um sinal positivo (+) para uma elevação de tensão e um sinal negativo (—) para urna queda de ten- -
são na fórmula EV= O (Figura 7-1). Ao percorrer as quedas de tensão ao longo de um circuito, comece no terminal
negativo da fonte de tensão, O percurso do terminal negativo até o terminal positivo, passando pela fonte de tensão
corresponde a uma elevação de tensão. Continuamos a percorrer o circuito do terminal positivo passando por todos
os resistores e voltamos ao terminei negativo da fonte, Na Figura 7-1. se começarmos pelo ponto a, o terminal nega
tivo da bateria, e se percorrermos o circuito no sentido abcda, atravessaremos V~ do — para 0+, assim V~ = +100V.
E 1’ a ‘2 — ~‘t — 1’~ — 1’3
V2=30V = 100-50—30—20
a 100—100
=0
Se partirmos do ponto b e percorreremos o circuito no sentido oposto badcb, atravessaremos V4 do + pano —, assina
=—100V. A queda de tensão através de qualquer resistência será negativa (—) se a percorreremos no sentido do t
parao-.Assim,naFigura7-l, sepercorre mosocircuitonosentjdoabcd,j, V~=-5OV, V2—30Ve1Ç~=-2OV.A
queda de tensão será positiva (+) se atravessarmos a resistência do sentido do — para o+. Portanto, ao percorreremos
o circuito no sentido abcda, teremos
Lv = o
VÀ — Vi ½— = O
100—50—30 —20 = O
0=0
Exemplo 7.1 Determine o sentido da tensão ao longo do circuito abcda (Figura 7-2) e em seguida escreva as expressões
para as tensões ao longo do circuito.
Adote o sentido da corrente conforme indicado na figura. Marque as polaridades + e — de cada resistor.
ti, = o
+VA — i’1 — 1/2 — 1/3 — i’3• =
a 6V
VI 7
-1-
o 1’3n2V
Figura 7-2 Ilustração da lei de Kirchhoff
para tensão com duas fontes.
P7gum 7-3 Determinação de uma fonte de tensão.
b~ ~ c
CAPÍTULO 7• LEIS DE KIRc1~n1orF 123
‘2~
a V3=20V d
Figura 7-1 Ilustração da fórmula XV = 0.
é urna fonte de tensão (+).
~1 duma queda de tensão (—).
V2 duma queda de tensão (—).
6 urna fonte de tensão (—).
1/3 é uma queda de tensão (—).
b
(É uma elevação de tensão no sentido adotado pan a comute.)
(É uma diminuição no sentido adotado para a corrente.)
(É uma diminuição no sentido adotado.)
(É urna diminuição de tensão no sentido adotado para a corrente.)
(É uma diminuição no sentido adotado.)
= 3V
VI VA=ISVS
a d
124 ELEWIcIDADE BÁSICA
Agrupando os aumentes e as quedas de tensão:
— (111 + V2 + 1’3 + VB)
Observe que as quedas de tendo incluem urna fonte dc tendo, V,. Normalmente. urna fonte seria positiva. Neste caso,
a polaridade da fonte age contra o sentido siotado para a corrente. Porisato, o seu efeito é o de reduzir a tensão
Exemplo 7.2 Determine a teu sKo V~ (Figura 7-3).
O sentido do fluxo da conente está indicando através da seta. Marquespolaridade das quedas de tensão nos resistores.
Percorra o circuito no sentido do fluxo da cotxeiae partindo do ponto a. Esatva a equaç~o da tensão ao longo dc circuito.
EV=O
Utilize as regras do + e — para os aumentos e quedas de ttns~o respeclivamente.
Obtenha o valor de VB.
— V1 — — 1’3 = O
(7-2)
VB=VA—V1—V2-- V3=15—3—6—2=4V Resp.
Como se obteve um valor positivo de V~, o sentido adotado para a corr~te ~ de fato o sentido da corrente.
LEI DE KIRCHHOFF PARA A CORRENTE (LKC)
A lei de kirchhoffpara a corrente, ou lei dos nós, afirms que a sorna das correntes que en#um numa junção é igual
a soma das correntes que saem da junção. Suponha que tenhamos seis correntes saindo e entrando numa junção
comum ou ponto, por exemplo, o ponto P (Fipira 7-4). Este ponto comum é também chamado dc nó.
Ponto cctnufl3, junção ou ii6
Figura 7-4 As correntes em um ponto comum.
Soma de todas as correntes que enitam soma de todas as correntes qcie saem
fl + I~3 + 14 + ‘6 12 + 15
Substitufdo por letras:
se consideramos as contntes que entram numa jun9âo como positivas (÷) e as que saem da mesma junç~o como
negaüvas (—), entilo esta lei afirma tamb4m que a soma algébrica de todas as conentes que se encontram num jun
ção comum é zero. Utilizando o símbolo de somatório, E. temos;
13
EI = O (7-3)
CAPITULO 7 • LEIS DE KIRCI*IOFF 125
onde El, a soma algébrica de todas as correntes num ponto comum, ó zero.
1j — 12 + 13 + 14—13 + 16 = O
Se transpusermos os termos negativos para o lado direito do sinal de igual, teremos a mesma forma da equação
original.
Exemplo 7.3 Escreva a equaç~o para a corrente 1~, na parte (a) e na parte (b) da Figura 7-5.
la—?.
w.
P
4—.
{b)
Figura 7-5 Ilustração da ei de Kirchhoff para corrente (LXC).
A soma algébrica de todas as correntes em um nó é zero. As correntes que entram são -1-; as correntes que saem são —
(a) +11—12—13=0
11I2+ly Resp.
(1’) +lj—F2—13—14=0
u1l2+13+14 Resp.
Exemplo 7.4 Calcule as correntes desconhecidas na parte a e na parte b da Figura 7-6.
li=ka13734A Resp.
(b) +11+12—13+14=0
t4~I~jI2+l32t3*4lA Resp.
O sinal negativo dei4 significa que o sentido adotado para 4 está incorreto e que 4, na verdade, está saindo do ponto P.
(a)
j,
e- —,
7A
= 2À_,____?S_~ 4A
-‘2
(a) (1’)
Figura 7-6 Determinação da corrente.
A soma algébrica de todas as correntes em um nó é zero. As correntes que en~am são i-; as correntes que saem são—.
(°) —11-1-12—13=0.
126 ELETRICIDADE BÁSICA
AS CORRENTES DE MALHA
Ás leis de kixchhoff podem ser simplificadas por meio de um método que utiliza as correntes de nwlha. Uma mc-
11w é qualquer percurso fechado de um circuito. Não importa se o percurso contém ou não uma fonte de tensão.
Ao resolver um circuito.utilizando as correntes de malha, temos que escolher previanxente quais os percursos que
formarão as malhas. A seguir, designamos uma corrente de malha para cada malha. Por conveniência, as correntes
de malha são geralmente indicadas no sentido horário. Este sentido E arbitrário, mas é o mais usado. Aplica-se en
tão a lei de kirchhoff para a tensão ao longo dos percursos de cada malha. As equações resultantes determinam as
correntes de malha desconhecidas. A partir dessas correntes, podem-se calcular a corrente ou a tensão de qualquer
resistor.
Na Figura 7-7, temos um circuito com duas malhas denominadas de malhal e malha 2. A malhal é formada
pelo percurso abcda e a malhal é formada pelo percurso adefa. Todas as fontes de tensão e as resistências são
conhecidas. O procedimento para se determinar as correntes 4 e 4 das malhas do seguinte:
Passo 1: Depois de definir as malhas, mostre as correntes 4 e ‘2 das malhas no sentido horário. Indique a
polaridade da tensão em cada resistor, de acordo cora o sentido adotado para a corrente. Lembre-
se de que o fluxo convencional de corrente,
num resistor, produz uma polaridade positiva onde a
corrente entra.
Passo 2: Aplique a lei de Kirchhoff para a tensão, ZV= 0, ao longo de cada malha. Percorra cada malha no
sentido da corrente de malha. Observe que há duas correntes diferentes (4,4) fluindo em sentidos
opostos, através do resistor li2, que é comum a ambas as malhas. Por esse motivo aparecem dois
conjuntos de polaridades para 1?, (Figura. 7-7). Percorra a malha 1 no sentido abcda.
+VA 2. 11R1 — 11i?2 + lzi?2 = O
+VA—It(Rl +Rz)+12R10
+Ii(Ri+Rz)—12R2=V4 (1)
Observe que na primeira expressão I,fl2é positivo (+), pois passamos por uma queda de teu-
são do — para o +.
Percorra a malha 2 no sentido adefa.
+
1’3
Figura 7-7 Um circuito com duas malhas.
—12R2+11R2—12R3 — l’j =0
(2)
- Observe que lI)?2 é uma queda de tensão positiva (-i-), pois passamos por uma queda de tensão
do — para o +.
Passo 3: Calcule 4 e 4, resolvendo as Equações (1) e (2) simultaneamente.
CAPtWLO 7 • LEIS DE K1RCRHOFF 127
Passo 4: Quando as correntes de malha forem conhecidas, calcule todas as quedas de tensão nos resistores
utilizando a lei de Ohm.
Passo 5: Verifique a solução das correntes dc malha percorrendo a malha abcdefa.
VA — — lzl?s — Vi = O
Exemplo 7.5
malha e as quedas de tensAo no circuito.
Figura 74 Determinação das correntes de malha e das quedas de tensão.
Passo 1: Escolha as duas malhas conforme a indicação da figura. Indique a corrente da malha no senfido horário. Indi
que as polaridades em cada reBistor.
Pasao2: ApliqueZV=0~sma1ha~ 1~
VÁ = 55
4
=10V 11= lOA1 R2
a
(a) (b)
b a
4A
-4 = 6 A
Malha l,t2bcda: +58 —~ti ~ *312=0
+711—312=5S (1)
Malba2,adefa: 3h —312—212 — 10=0
311—512=10 (2)
Observe que as correntes l~ e ‘2 das malhas passam aftavés de I?2, o resistor comum a ambas.
Passo 3: Calculei, e 4, resolvendo as Equações (1) e (2) simultaneamente.
7h —~ = 58 - (1)
311—512=10 (2)
Multiplicando a Equação (1) por 5 e a Equação (2) por3 obtêm-se as Equações (la) e (2a). A seguir, subtrai-se
a Equação (2a) da Equação (la).
3511—1512=290 (Ia)
~‘i —1512= 30 (2a)
h=1OA .‘~.
128 EL2TRICIDADE BÁsicA /
Substituindo 1~ = lOA na Equação (1), obtêm-se 1~.
711—312=58
7(10)—31a=S8
—31z~58—70
Resp.
A corrente através do ramo da é
1da11l2l046A Resp.
Nesta caso, o sentido adotado para a corrente da malha estava correto, porque os valores das correntes são positivos.
Se os valores das correntes fossem negativos, o sentido verdadeiro seria o oposto ao sentido adotado para a corrente (veja
a Figura 7-81’).
Passo 4: Calcule todas as quedas de tensão.
V1=11R1=l0(4)=40V Rnp.
= (li — 12)l?2 = 6(3) = 18V kesp.
V3=12R3=4(2)=SV Resp.
Passo 5: Verifique a solução obtida para a corrente da malim percorrendo o laço abedefa e aplicando a lei de Kircbhoff
para tensão.
VA—Vl—VS—VR—— O
58—40—8—10 = O
58—58=0
00 Vénficado
TENSÕES DOS NÓS
Outro método para resolver um circuito com correntes de malhas utiliza as quedas de tensão para determinar as
correntes em um nó. Escreve-se, então, as eguaçóes dos nós para as correntes, de forma a satisfazer a lei de Kirch
hoff para a corrente. Resolvendo as equações dos nós, podemos calcular as tensões desconhecidas dos nós. Um nó
é uma conexão comum a dois ou mais componentes. Um nó principal possui três ou mais conexões. Num circuito,
associa-se uma letra ou um número a cada nó. A, 8, O e N são nós, sendo O e N nós principais ou junções (Figura
7-9). Uma tensão de nó é a tensão de um determinado nó com relação a um nó em particular, denominado de nó
de referência. Escolha o nó G conectado ao terra, ou chassi, como o nó de referência. Então, VÂQ é a tensão entre
os nósA eG, V~éatensãoentreosnós8e (3, e V,~éatensãoentxtosnósNeG. Comoatensãodonóésempre
determinada em relação a um detenninado nó de referência, as notações V4, V~ e V~ são usadas para substitufrem
V,~, V~ e V,~, respectivamente.
Com exceção do nó de referência, pode-se escrever equações que usam a lei de lCiichhoff para corrente em
cada nó principal. Logo, o número de equações necessárias é igual ao número de nós principais menos 1. Como o
circuito apresentado (Figura 7-9) contém dois nós principais (N e G), precisamos escrever somente uma equação
para o nó N, a tini de calcular todas as quedas de tensão e as correntes do circuito.
-j
— 1’,’
Se VA, V~, R1, R2e 1?~ forem conhecidos, V~,pode ser calculado a partir da Equação (2). Assim, todas as quedas
de tensão e as correntes do circuito podem ser determinadas.
Exemplo 7.6 O circuito da Figura 7-8 (Exemplo7.5) resolvido pelo m&odo das correntes nos ramos está redesenhado
na Figura 7-10. Resolva por meio da análise das tens6es nodais.
Passo 1: Adote o sentido das correntes conforme mostrado na Figura 7-10. Indique os nós A, li, Me G. Identifique a
polaridade da tensão em cada resistor de acordo com o sentido considerado para a corrente.
Passo2: ApliqueaLKCaonóprincipalNeresolvaasequaçõesparaobter ~M
A
Cn’twLo 7 • LEIS DE KlnctIHoF~ 129
N _Rs+ 8
+
? •lVb
,i
E
~-
‘1~”Malhal Malhal
+
r
Figure 7-9 Os nós num elreultocom duas malhas.
Considere que as correntes nos ramos I~ e 12 entram no nó N e que 4 saia do nó N (Figura 7-9). A escolha do
sentido das correntes 6 arbitrária. A partir da lei de Kircbhoff para corrente,
ti =0
11 + 1213 = O
13 = 11 + l~
Pela lei de Ohm,
13=—
—
1?3
Substituindo essas expressões na Equação (1),
Vp,r = — V~ + 1’~ —
Ri
(1)
(la)
(1h)
(lc)
(2)
13 13 + ~2
130 ElErnIcIop.OE BÁSICA
A ~R1_ ~ - 8
vI___> <~_v3
40 4 20
+ +
r~=sgv ~v3=1ov
‘3
Malhal o ~ Mallia2
Figura 740 Análise das tensões nodais para o mesmo circuito da Figura 7-8.
~N VA—Vj,r V3—VN
—~= +
58— VN + 1O—VN
3 4 2
Elimine as fraçôes multiplicando cada termo por li
4Vg=3(58—VN)+~Ø(l0— VN)
4~N= 174—3Vp,r+60—6Vji
‘3~N =234
VN = 18V
Passa 3: Calcule todas as quedas de wnslio e as correntes.
V1=V4—Vjy=58—1840V Resp.
YZzVN=l8V Resp.
V3Vj~-Vjq~zl0—l&—8V Resp.
O valor negativo de V, indica que 4 flui no sentido oposto ao sentido adotado e a polaiidade de V3 é o inverso
dos sinais mostrados em R3 (Figura 7-10).
V1 4011y-4-lOA Resp.
V3 —812=—=—=—4A Resp.
R3 2
13=11+12=10—4=6A Resp.
Wr~flcar
R2 3
Todos os valores calculados concordam cornos do Exemplo 7.5.
Problemas Resolvidos
CAPtruLo 7 • LEIS DE KIRCHHOFF 131
+1
v
1
= o
—1’, — Vc — V2 — VB + VÁ — = O
(VA — Vc) — (TI1 ÷ 1— TI3) = O
Elevações dc tensão Quedas & tensão
a b
Figura 742 Determinação das correntes pela LKC.
+ “e -
1’ v
7.1 Determine os sinais das tens~es ao se percorrer a malha afedcl’a e escreva as expressõeà para a LKT (Figu
ra7-ll).
1’
VI
+
Á .3
Figura 7-11 Percorrendo duas malhas.
Considere que os sentidos das correntes sejam os indicados. Marque as polaridades em cada resistor.
TI, é — pois atravessamos uma queda & tensão do + para o —.
V~ 6— pois passamos por um aumento de tensão do + para o —.
V2 é - pois passamos por uma queda de tensão do + para o-.
~ é — pois atravessamos um aumento de tensão do ÷ para o—.
V~ é + pois atravessamos um aumento de tensão do — para 0+.
I~1 é — pois passamos por uma queda de tensão do + para o—.
Resp.
IS Calculei, e 14 (Figura 7-12).
-÷ -*
I+30A 14r?
~:2Ajhi~0Aj
--a
132 ELEmICIoADE BÁSICA
ApllqueaLKC, ZI=Oaonóa.
30 — 12— 14 = O
14=30—L2=ISA Resp.
Aplique a LKC,EI = O ao nó b.
18—10—13=0
l3=18—108A Resp.
Verifique a soluçEo.
IT=lL+12+13
30=12+10+8
30=30 Ve*ado
73 Calcule todas as correntes nas malhas paraocircuito de duas malhas mostado na Figura 7-13.
50
= 85
Figura 7-13 Duas malhas com uma fonte de tensão no ramo central.
Passo 1: Indique as correntes nas malhas no sentido horúrio.
Passo2: ApliqueZV=Oparaasmalhasle2ecorracadamalha.aPartirdea.flOSenüdOdaCOrItflW
da malta.
Malhal:
1011 =40
lj=4~ Resp.
MalhnZ: 45—512=0
)~=9A Rerp.
Passo 3: Faça a verificação percorrendo os laços nas malhas 1 e 2 aplicando EV= O.
VA—ILRI—I2RZ=0
85—4(10)—9(5)=0
85 — 40—45 O
85—85 O Verificado
a
CAPÍTULO? • LEIS DE KIRCHHOFF 133
7.4 Calcule todas as correntes de malha e as quedas de tensão para o circuito de duas malhas mostrado na Fi
gura 7-14.
I~4 - 110v
Figura 7-14 Duas malhas com uma tente de tensão e uni resislor no ramo central.
Passo 1: Mostre o sentido das correntes de malha conforme indicado.
Passo 2: Aplique ZV=0 panas malhas 1 e 2, no sentido da corrente em cada nialha.
Malha l,abc&z: I1O—Sl~ —190—511+512=0 (1)
—1011+512—80=0
—lOIi+SIz=80
Malha2,adefiz: 511—512+190—1512—2012=0 (2)
511—4022= —190
Passo 3: Calcule I~ e I~, resolvendo as Equaç~es (1) e (2) simultaneamente.
—1011+512= 80 (1)
511 —4012 = —190 (2)
Multiplique a Equaç~o (2) por 2paia obter a Equaçâo (2a); em seguida linplemente a soma.
—10/1+ 512=80 (1)
tplt —. 8012 = —380 (2a)
O
/ 300 /12\~=4A Resp.
Substitna4=4AnaEquaçâo(1)paracalcularj.
—lOIi-j-5(4)=8O
—lOli=60
11=—6A Resp.
O sinal negativo significa que o sentido çonsiderado para 1~ nAo estava correto. Na reaiidade, o sentido de
.i~ é o anti-horário. No ramo 4411 ei, estão no mesmo sentido.
d 113
b a 1
134 ELErHIQIOPJ)E 645LOA
Portanto,
icidIl+12=6+410Ã Rexp.
Passo 4: Calcule as quedas de tensão.
Vi=JjRj=6(5)=30V Resp.
Vi = (Ii+h)Ri = l0(~) = 50V Resp.
Va=12R3=4G5)=60V Resp.
V4=IiR~=4(20)8OV Resp.
Passo 5: Faça a verificação. Percorra o laço abedefa (ntilize o sentido considerado inicialmente para ‘~
e
+VA — — 121?3 — = 0
110— (—6)(5) —4(15) —4(20) =0
110 + 30—60 —80 = O
140-140=0 Verificado
7.5 Calcule a tensão V2 em%, pelo método da análise da tensão nodal (Figura 7-14a).
A ÷Rj_ ~ a
ç w.. 1~3 E
V1__+ e—’E~ ,—
1 — —
+1 + 20 20
J~=12V~ 20 — +
1 6V
(a) Esquema do circuito (b) Percurso fechado 030
Figura 745 Determinação de 1’2 pelo método da tensâo nodal,
Passo 1: Considere o sentido mosuado para as correntes. Maique as polaridades da tensão. Indique os
nós A, 8, N, G.
Passo 2: Aplique EI = O ao nó principal N.
13=11+12 (1)
Ví.
(la)
Vj VA—VU 12—~N
8 (lb)
1’3 VB-.VN V3—Vu
I2i= Ã~ (Ic)
C~to7 • ~SDEKIRCKHO~ 135
Somos incapazes de determinar l’3 pela simples an~iise da Equação (lc), porque a queda de
F tensão 1’4 não é dada (Figura 7-15a). Portaiito, utilizamos a LKT para determinar V~ percorren
do o circuito completo de O a B, no sentido & ‘2 (Figura 7-15b).GBG constitui um percurso
completo, porque 1’8 é a tensão em E com relação ao terra.
—6—212—V8=Q
= 6 — 212
Substitua a expressão para 1!~ na Equação (lc),
—6—212—Vw12—
a partir da qual obtemos
1: 12= 6
Substituaastrêsexpress&sparaconentenaEquaçâo(l).
Vjql2—V4y —6—Vg
8 + 6 (2)
Agora a Equação (2) tem uma variável desconhecida, Ti,,,.
Passo 3: Calcule ‘2 (V2= VN). Multipliquecada termo da Equação (2) por 24.
I2VN =(36—3Vpi)+(—24—4Ypj)
12VN=C—=0,632V19
= 0,632V Resp.
7.6~
va as equações.
~-2Ü 40 60.
í~>vH~
20V-- 30 ~5O r5V
- +
Maibal Malhs2 Malha3
flgura 7-16 Uni circuito com três malhas.
Indique as correntes de malha no sentido horário. Percorra os laços no sentido adotado para a corrente,
usandoaLKr,ZV=0.
Malhal: 20—211—311+312=0 (1)
Malha2: —412—512+513—312+311=0 (2)
MalhaS: —613+5—513-f-512=O (3)
136 EIrHI0IDADE BÁSICA
Combine e rearranje os termos em cada equaçâo.
Malha 1: 20 = 5I~ —~ Resp.
Malha 2: O = 31L + 1212 —513 Resp.
Malha3: 5——512+tl1a Resp.
Um conjunto de qualquer número de equações simultineas, para um número qualquer de malha, pode
ser resolvido utilizando-se detentinantes. Este procedimento 6 apresentado no Capítulo 8.
Problemas Complementares
7.7 Calcule os valores desconhecidos indicados na Fig. 7-17 (a) e (b).
Résp. (a)1=8A; (b)VB=1OV
2V
20V~
1v~
1 6V 1
~Ca1cu1e a corrente e as quedas de tensão em E1 eR1 (Figura 7-18).
Resp. 1=IA; V4=1OV; Y220V
(2’)
‘-À-A.
200 100
VÁ n 4OVT +
= 20 V
Figúra 748
=50V
10V 40 15V
_iIiI+ ‘tA 1111
60
~0~
— 115 V
Figura 7-19
7.9 Uma corrente de 6 A percorre o circuito visto na Figura 7-19. Calcule o valor deR.
Resp. R=5fl
e Calcule 1»13 t V~ (Figura 7-20).Resp. i2=6A;13=2Afl’~=152V
(la)
(2a1
(3a)
(a)
Figura 7-17
7.11 Calcule as correntes demalhal1 e 4 e todas as quedas de tensão pelo método das correntes de malha (Figa-
Ia 7-21).
Resp. 11=5A;12=3A;Y1=30V;V2=30V;V3=60V;V4=6V;V3=9V;V6=15V
29
4,
iOV~
7.14 Calcule as correntes 4 e e a corrente na bateria de 20 V, usando o método da cOrreflte de malha (Figura
7-24).
Resp. 1,=2A;4=5k4—4=3A(fluindodebpaxaa).
7.15 Calcule as correntes I~ e e a corrente no resistor em série com a bateria de 20V (Figura 7-25). Utilize o
método da cormnte de malha.
Resp. 1, —0,1 A; 4 -l A (o sentido considerado para a corrente inicialmentc estava incorreto. Na realidade, o
sentido dei, é o anti-horário); ~2 = 0,7 A 1, + 4 = 0,8 A (fluindo dei’ para a).
7.16 Calcule as correntes 4 ~ 4 e a corrente no resistor de 20 Ç2 comum às malhas 1 e 2 (Figura 7-26). Aplique
o método da corrente de malha.
Resp. 11=O.6A;4=0,4A;12—ij=0,2A(fluindodcaparab).
7.17 Calcule rodas as correntes e as quedas de tensAo pelo método da corrente de malha. (Figura 7-27).
Resp. 4=6A;1,=7A;l2—4=IA(fluindodebparaa).
In
= 8 A
CAi’fruLo7 • LEIS DE KlRcIlHoFr 137
60
40
+
VAL
20
13
200
‘l~i2
420 V
600
Figura 7-20
120 59
Figura 7-21
cl Calcule todas as correntes nas resistências pelo método da corrente dc
Rexp. i,=3A;12~. 1A;11—12n2A(fluindodeaparab)
40 a 19
3. malha (Figura 7-22).
a
30
40
+
10V
.4-
25V..
[r~
- 50
‘A,__
~60 :20
4,
3
10 b 30 15
J
Sgura 7-22 Figura 7-23
(~j) Calcule a corrente em cada resistor, utilizando o método da corrente de malha (Figura 7-23).
Resp. 1, = 2 A; 1, = —1 A (o sentido considerado para a contate inicialmente estava incorreto), ou 1, = 1 A no sentido
anti-horário; 1, + 4 = 3 A (fluindo de a para 15).
21
Figura 7-24 Figura 7-25
a 15Q 30 a
7.18 Calcule todas as correntes e as quedas de tensão pelo método da análise de tensão nodal (Figura 7-28).
Resp. I3=5A;I_lA(emopsiç~OaoSeS1tk1OI1105d0);I,4I2=24~~3\’
7.19 Utilizando o método da tensão nodal, calcule todas as correntes e as quedas de tensão (Figura 7-29).
Resp. j,1,42A;J _1,1OA(cmoposiÇAOaOSenfldOmOSft2il0)a3~,32k V,IIAV; ~O,64V V,2,2V
¼ = 4A V
138 Etanic IDADE BÁSICA
300 a
40 100
1’ li
10 O
+
20V
b
200 28
Figura 7-26 Figura 7-27
10 1’
.4.
MV
80 •-_~
11
4
v l2V-~
~_-_ 2 O
‘2
40
20
1
v
Figura 7-28 Figura 7-29
CAP11ULO 7 • LEIS DE KRCF*-IOFF 139
20
Escreva as equações das malhas para o circuito mostrado na Figura 7-30. Não resolva as equações.
Resp. 6I3—24=i0;—2L+812—2t3=O;_2I1+6i~-.4
v
20
10V
20 20 20
Figura 740
7.21
7.22
7.23
Verifique os valores das correntes no circuito da Figura 7-23 (Problema 7.13) pelo método da tensão nodal.
Verifique os valores das correntes no circuito da Figura 7-25 (Problema 7:15) pelo método da tensão nodal.
Calcule os valores de todas as correntes 15 O ti 5 O
e indique os respectivos sentidos no nó N
(Figura 7-31). (Sugestão: V~= 1,67V)
Resp. O,94A N O,IIA :150
ioe
r15Vr1~
+
30Ve
200
0,83 A
+
G
Figura 7-31
7.24 Se o resistor de 20 Q (Figura 7-31) for substituído por um resistor de 30 fl, qual será a tens~.o nodal ‘/~?
Resp. V=3,75V