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COMPLEMENTO DO TÓPICO 7 A partir desta unidade, passaremos a tratar das principais classes de funções reais abordadas na escola e que são fundamentais para o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e Integral: polinomiais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas. Nesta unidade, trataremos das ideias básicas necessárias para o estudo de gráficos de funções reais (produto cartesiano, pares ordenados etc.) e introduziremos o estudo de funções polinomiais do primeiro grau. Ao ler a seção 0. Produto Cartesiano, observe a diferença conceitual entre par ordenado e conjunto com dois elementos (p. 2) – daí a razão do termo ordenado. Observe também os diferentes exemplos de produtos cartesianos (pp. 2-4), diferentes do , que é o mais explorado na escola básica e que será estudado em maiores detalhes na seção seguinte. Como comentado na p. 5, qualquer subconjunto do produto cartesiano X × Y pode ser visto como o gráfico de uma relação binária R entre os conjuntos X e Y. As condições (G1 e G2) para que um subconjunto de X × Y seja gráfico de função são dadas na p. 4. Essas condições serão interpretadas para o caso particular do na p.11. A seção 1. O Plano Numérico trata especificamente deste produto cartesiano, que é o mais importante para a educação básica. A correspondência biunívoca (p. 7) estabelece o princípio fundamental da localização de pontos no plano por meio de pares ordenados de números reais, chamados de coordenadas cartesianas (abscissa e ordenada): cada ponto P ∈ é representado por um único par ordenado e, reciprocamente, cada par ordenado representa um único ponto P ∈ . Este princípio fundamental é base da localização sem ambiguidades de pontos no plano cartesiano e, portanto, a sua compreensão adequada é condição indispensável para a continuidade dos estudos de diversos tópicos de matemática: equações, funções, geometria analítica, álgebra vetorial e, futuramente, cálculo diferencial e integral. Para ajudá-los a entender bem esta ideia, você poderá empregar uma comparação com outros exemplos de sistemas de localização sem ambiguidades, tais como o sistema de latitudes e longitudes no mapa do planeta ou os assentos em um cinema ou teatro, em geral identificados por números e letras. Este princípio fundamental, por meio do qual identificamos pontos do plano com suas coordenadas, permite ainda que identifiquemos conjuntos de pontos do plano por meio de condições algébricas entre duas coordenadas (de forma geral, igualdades, desigualdades, ou sistemas de igualdades e desigualdades). Embora este fato possa parecer bastante básico, pode ser fonte de dificuldades para você. Talvez você tenha memorizado certos procedimentos específicos para esboço de tipos de gráficos de funções e outras curvas (tais como retas, parábolas ou círculos), sem entender no entanto que a curva esboçada corresponde ao conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas satisfazem à condição algébrica dada. Assim, este ponto merece ênfase especial em seus estudos. Ainda na seção 1, certifique-se de entender bem a dedução da equação do círculo (pp. 9-10). Esta decorre da fórmula para distância entre dois pontos no plano, que, por sua vez, é uma aplicação direta do Teorema de Pitágoras. Na seção 2. A Função Afim, começamos a estudar esta classe de funções reais, que são as mais simples e estão entre as mais importantes em matemática. Em Cálculo Diferencial, as funções lineares são empregadas para aproximar funções quaisquer e, por meio dessas aproximações, descobrir propriedades qualitativas das funções que seriam difíceis de ser obtidas diretamente. Esta é uma técnica mais geral, presente em muitas áreas mais avançadas da matemática: aproximações de objetos não lineares por objetos lineares fornecem informações qualitativas importantes dos objetos não lineares. Tenha certeza de entender bem a prova de que o gráfico de toda função na forma , com , , é uma reta (pp. 14-15). Embora esta demonstração não seja difícil, ela é muitas vezes ignorada nos livros didáticos, e este fato é apresentado como dado. Note que este fato não é parte da definição de função afim, e sim, um teorema, que, como tal, deve ser demonstrado. Preste bastante atenção também no significado do coeficiente angular e na sua interpretação geométrica. Os exercícios propostos nesta Unidade apresentam diversas aplicações de funções afins, em situações cotidianas, em outras áreas e na própria matemática. Além desses, sugiro que você resolva os exercícios a seguir. 1. Esboce os seguintes subconjuntos de . 2. Note que as definições de função crescente, decrescente, não decrescente e não crescente enunciadas na p. 14 são gerais, isto é, se aplicam a quaisquer funções (e não somente às funções afins). No caso de uma função não ser monótona no domínio como um todo, podemos ainda enunciar definições análogas para restrições a subconjuntos do domínio.Por exemplo: Seja . Dizemos que é crescente em A se . De acordo com a definição enunciada acima, determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) Se é crescente em , então é crescente em . Se é crescente em e em , então é crescente em . Se é crescente em e em , então é crescente em . a) b) c)
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