apostila matematica basica

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Matemática Nivelamento 2 
NIVELAMENTO DE MATEMÁTICA 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
APRESENTAÇÃO, 4 
1. Conjuntos numéricos, 5 
 1.1 Conjunto dos números naturais, 5 
 1.2 Conjunto dos números inteiros, 6 
 1.3 Conjunto dos números racionais, 7 
 1.4 Conjunto dos números irracionais, 9 
 1.5 Conjunto dos números reais, 9 
 1.6 Conjunto dos números complexos, 10 
2. Reta real e intervalos, 12 
 2.1 Reta real, 12 
 2.2 Módulo ou valor absoluto de um número, 12 
 2.3 Números opostos ou simétricos, 12 
 2.4 Intervalos, 13 
2.5 Operações com intervalos, 15 
3. Operações com números reais, 16 
 3.1 Adição e subtração, 16 
 3.2 Multiplicação e divisão, 17 
 3.3 Potenciação, 19 
 3.3.1 Propriedades da potenciação, 19 
 3.4 Radiciação, 23 
 3.4.1 Propriedades da radiciação, 24 
 3.4.2 Radicais semelhantes, 25 
 3.4.3 Operações com radicais, 25 
 3.4.4 Notação científica, 27 
4. Expressões Algébricas, 29 
 4.1 Valor numérico de uma expressão algébrica, 29 
 4.2 Monômios, 29 
 4.2.1 Monômios semelhantes, 30 
Matemática Nivelamento 3 
 4.2.2 Operações com monômios, 30 
4.3 Polinômios, 31 
 4.3.1 Polinômio a uma variável, 32 
 4.3.2 Operações com polinômios, 32 
5. Produtos Notáveis e fatoração, 37 
5.1 Produtos notáveis, 37 
5.2 Fator comum, 38 
 5.3 Fatoração por agrupamento, 40 
 5.4 Fatoração de produtos notáveis, 41 
Referências Bibliográficas, 44 
 
Matemática Nivelamento 4 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alguns alunos que ingressam nos cursos superiores apresentam dificuldades em 
algumas disciplinas da graduação por não terem pré-requisitos básicos necessários para os 
estudos que elas propõem. Muitas vezes as dificuldades são em relação a conteúdos 
básicos estudados no Ensino Fundamental e no Ensino Médio e que ainda não são de 
domínio do aluno. 
Assim, a proposta do Nivelamento de Matemática, Módulo 1, é revisar conceitos 
básicos de Matemática estudados no ensino fundamental e médio que permitam aos alunos 
melhor acompanhar os conteúdos abordados nas disciplinas de seus cursos de graduação. 
O objetivo e oportunizar a compreensão de conceitos, procedimentos e estratégias 
matemáticas que permitam desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação 
científica geral. 
 
Matemática Nivelamento 5 
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Ao longo do ensino fundamental e médio, você já conheceu os conjuntos 
numéricos que vamos apresentar abaixo. O primeiro deles, o conjunto dos números 
naturais, você certamente conheceu inclusive antes de estar na escola, pois os números 
naturais são utilizados em muitas situações cotidianas nas quais mesmo crianças muito 
pequenas estão envolvidas. Um exemplo: situações de contagem (de anos, de brinquedos, 
etc.). 
Ainda no início do ensino fundamental, você conheceu as frações e os números 
decimais, que pertencem ao conjunto dos números racionais. Nesse primeiro momento, 
as frações e os decimais eram apenas positivos, pois só mais tarde (pela 6ª série/7º ano) 
você deve ter estudado o conjunto dos números inteiros. É a partir do estudo dos 
números inteiros que passamos a compreender que os números podem ser positivos, 
negativos ou zero. 
No final do ensino fundamental, 7ª e 8ª séries (8º e 9º anos), você conheceu o 
conjunto dos números irracionais (que compreende os números não-racionais, ou seja, 
aqueles que não podem ser escritos na forma de fração com numerador e denominador 
inteiros) e o conjunto dos números reais (que consiste na união entre o conjunto dos 
números racionais e o conjunto dos números irracionais). 
No ensino médio, você deve ter conhecido mais um conjunto, denominado 
conjunto dos números complexos, que contém o conjunto dos números reais e que define 
a unidade imaginária i, onde i = 1− . 
 
1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
Os números naturais servem para contar. 
O símbolo utilizado para representar o conjunto dos números naturais é . 
O conjunto dos números naturais possui infinitos elementos que podem ser 
ordenados. 
Assim, podemos representá-lo por = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}. 
Matemática Nivelamento 6 
 
 
1.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
Os números inteiros são utilizados em diversas situações, por exemplo: 
a) Saldo de gols: a diferença entre o número de gols contra e o número de gols a favor 
de um time de futebol. Assim, se o time tem mais gols contra, seu saldo é negativo; 
se ele tem mais gols a favor, seu saldo é positivo; se ele tem o mesmo número de 
gols contra e a favor, seu saldo é nulo. 
b) Fuso-horário: O Meridiano de Greenwinch estabelece a linha imaginária de 
referência a partir da qual a leste é + 1 hora a cada fuso e a oeste é –1 hora a cada 
fuso. Assim, o Brasil está no fuso -3 horas, enquanto Tóquio no Japão está no fuso 
+9 horas, por isso a tão celebrada diferença de 12 horas entre esses dois países. 
c) Temperatura: Existem diferentes escalas para expressar a temperatura. Por 
exemplo, a escala Celsius que, grosso modo, tem como referência 0°C (zero graus 
Celsius) para a temperatura ponto de congelamento da água e 100ºC (cem graus 
Celsius) para a temperatura ponto de evaporação da água em situação de pressão 
atmosférica padrão. Essa é a escala utilizada no Brasil para medir a temperatura 
ambiente. Em geral as temperaturas são positivas, mas no inverno, especialmente 
na região sul, há dias nos quais as temperaturas estão abaixo de zero. 
 
Matemática Nivelamento 7 
Uma característica importante dos números inteiros é que eles expressam os 
resultados de todas as diferenças entre dois números naturais. Por exemplo: 
25 – 15 = 10 (diferença positiva) 
15 – 25 = –10 (diferença negativa) 
15 – 15 = 0 (diferença nula) 
Outra característica é que os números inteiros podem ser de três tipos: positivos, 
negativos ou zero. 
 
O símbolo utilizado para representar o conjunto dos números inteiros é . Apesar 
das brincadeiras de justificar que z vem de “zinteiros”, acredita-se que a escolha desta letra 
venha da palavra zahl que em alemão significa número. 
Como os naturais, os números inteiros também podem ser ordenados. 
A representação do conjunto é dada por = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}. 
E ainda temos alguns subconjuntos que recebem notação especial: 
= {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}: conjunto dos números inteiros não-nulos 
+ = {0, 1, 2, 3, ...}: conjunto dos números inteiros não-negativos 
–
 = {..., –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos 
= {1, 2, 3, ...}: conjunto dos números inteiros positivos 
 = {..., –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos 
Observação: O asterisco (*) exclui o zero do conjunto. 
 
1.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
Os números racionais servem para representar a razão entre dois números inteiros. 
Esses números estão associados aos processos de medição, pois medir consiste na 
comparação de duas grandezas de mesmo tipo. 
Os números racionais são todos os números que podem ser escritos na forma 
b
a
, 
com a e b inteiros e b diferente de zero. 
O símbolo utilizado para o conjunto dos números racionais é , podendo ser 
assim representado: 
Matemática Nivelamento 8 
 
Observações: 0≠b , porque não existe divisão por zero. 
 
Exemplos de números racionais: 
2
1
 
3
2
 
5
12
− são números racionais na forma fracionária 
2,4 0,666... –0,5 são números racionais na forma decimal 
 
Vejam que na forma decimal os números racionais podem ser decimais exatos ou 
dízimas periódicas. 
Os decimais exatos são aqueles números decimais que possuem um número finito 
de casas decimais. Por exemplo: 
8
5
= 0,625 
4
1
= 0,25 
2
5
− = –2,5 
As dízimas periódicas são aqueles números decimais que possuem um ou mais 
algarismos (período) quese repete infinitamente. Por exemplo: 
9
1
= 0,11111... período 1 
6
17
= 2,833333... período 3 
11
25
− = –2,272727... período 27 
A fração que gera uma dízima periódica é chamada geratriz. 
Abaixo alguns subconjuntos do conjunto dos números racionais que recebem 
notação especial: 
 conjunto dos números racionais não-nulos 
+ conjunto dos números racionais não-negativos 
 conjunto dos números racionais não-positivos 
 
conjunto dos números racionais positivos 
 conjunto dos números racionais negativos 
Observação: O asterisco (*) exclui o zero do conjunto. 
 
 
Matemática Nivelamento 9 
1.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 
São aqueles que não admitem a representação na forma de fração com numerador e 
denominador inteiros e na forma decimal são dízimas não-periódicas. 
Por exemplo: a medida da diagonal de um quadrado de lado igual a 1 unidade de 
medida. 
 
Utilizando o teorema de Pitágoras, temos que: 
2d
2d
11d
11d
2
2
222
=
=
+=
+=
 
Com o auxílio de computadores, o valor decimal de 2 já foi calculado com 
milhares de casas e não há nenhuma repetição periódica como é característica dos números 
irracionais. 
2 = 1, 414213562373... 
 
Um outro exemplo: o famoso número pi (pi). 
O número pi é o obtido pela razão entre o comprimento de uma circunferência (C) 
pelo seu diâmetro (d). 
 
 
Então, pi = 
d
C
. 
Na forma decimal, pi = 3,141592654... 
 
Outros exemplos de números irracionais: 11 5 3 −,, ,... 
 
1.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
Conjunto dos números reais é a união do conjunto dos números racionais e do 
conjunto dos números irracionais.
 
O símbolo utilizado para o conjunto dos números reais é . 
Resumindo, podemos relacionar os conjuntos estudados no diagrama abaixo: 
Matemática Nivelamento 10 
 
 
Lê-se: está contido em , está contido em e está contido em . 
 
 Lê-se: menos . Essa diferença representa o conjunto dos números 
irracionais que não possuem um símbolo próprio. 
 
As notações a seguir representam alguns subconjuntos do conjunto dos números 
reais: 
* 
= conjunto dos números reais não-nulos 
+ = conjunto dos números reais não-negativos 
−
 = conjunto dos números reais não-positivos 
*
+ = conjunto dos números reais positivos 
*
−
 = conjunto dos números reais negativos 
Observação: O asterisco (*) exclui o zero do conjunto. 
 
1.6 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS 
Os números complexos são números escritos na forma z = a + bi, com a e b 
números reais e i = 1− (chamada unidade imaginária). 
O símbolo utilizado para o conjunto dos números complexos é . 
Podemos representar o conjunto dos números complexos por: 
 = {z = a + bi | a ∈ , b ∈ * e i = 1− } 
a é denominada parte real e bi é denominada parte imaginária. 
 
Considerando um número z = a + bi em sua forma algébrica: 
Se b = 0, z é um número real, pois z = a + 0i ⇒ z = a. 
Se b ≠ 0, z é um número imaginário, pois z = a + bi. 
Matemática Nivelamento 11 
Se a = 0 e b ≠ 0, z é um número imaginário puro, pois z = 0 + bi ⇒ z = bi. 
 
Exemplos de números complexos: 
2 + 3i –1 + i –5i 8 
Podemos concluir que ⊂ (lê-se: está contido em ) 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 1 – Conjuntos numéricos 
 
1) Complete com V (verdadeiro) ou F (falso): 
( ) Todo número positivo é maior que qualquer número negativo. 
( ) Todo número negativo é maior que zero. 
( ) Todo número positivo é maior que zero. 
( ) Zero é maior que qualquer número negativo e menor que qualquer número positivo. 
( ) Sempre um número negativo é maior que um número positivo. 
( ) Todo decimal exato é um número racional. 
( ) Toda dízima periódica é um número irracional. 
( ) Toda dízima não-periódica é um número racional. 
 
2) Complete com o nome de cada subconjunto: 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
 
3) Relacione as duas colunas: 
a) Z – IN 
b) Q – Z 
c) R – Q 
 
( ) conjunto dos números reais irracionais. 
( ) conjunto dos números inteiros negativos. 
( ) conjunto dos números racionais não inteiros. 
 
4) Responda: 
a) O que são decimais exatos? 
 
b) O que são dízimas periódicas? 
 
5) Considerando o sistema de numeração indo-arábico, explique por que ele é 
a) Decimal 
 
 
b) posicional 
GABARITO 
1. V-F-V-V-F-V-F-F 
 
2. a) conjunto dos números reais não nulos. 
b) conjunto dos números racionais negativos. 
c) conjunto dos números inteiros não negativos. 
d) conjunto dos números naturais não nulos. 
 
3. c, a, b 
 
4. 
a) Os decimais exatos são aqueles números decimais que possuem um número finito de casas decimais. 
b) As dízimas periódicas são aqueles números decimais que possuem um ou mais algarismos (período) 
que se repete infinitamente. 
 
5) 
a) Decimal porque a base é 10, ou seja, 10 unidades formam uma dezena, 10 dezenas formam uma 
centena, 10 centenas formam uma unidade de milhar e assim sucessivamente. 
 
b) Posicional porque o valor de cada algarismo é relativo à posição que ele ocupa no numeral. 
 
Matemática Nivelamento 12 
2. RETA REAL E INTERVALOS 
 
Neste capítulo, estão trabalhados os conceitos de reta real, intervalos e operações 
com intervalos. 
São conceitos estudados no ensino médio e complementam o estudo do capítulo 
anterior sobre conjuntos numéricos, pois intervalos são subconjuntos dos números reais. 
 
2.1 RETA REAL 
Qualquer número real pode ser representado numa reta. Para isso, basta 
escolhermos um ponto sobre a reta para representar o zero, ou seja, a origem. Depois 
estabelecemos dois sentidos (um positivo e um negativo) e escolhemos uma unidade de 
medida para graduar a reta. Cada ponto da reta corresponde a um número real. 
 
 
2.2 MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO 
Chama-se módulo ou valor absoluto de um número x, representado por |x|, a 
distância entre x e a origem. 
 
Exemplos: 
|3| = 3, |-2| = 2, | 4| = 4, 
3
2
− = 
3
2
 , 
2
1
 = 
2
1
 
 
2.3 NÚMEROS OPOSTOS OU SIMÉTRICOS 
Dois números são opostos ou simétricos quando têm o mesmo módulo e sinais 
contrários. Na reta real, estes números se encontram à mesma distância da origem 0 (zero). 
São opostos os números: 
– 4 e 4 (vermelho) –
3
2
 e 
3
2
 (verde) – 6,2 e 6,2 (azul) 
 
 
Matemática Nivelamento 13 
2.4 INTERVALOS 
Sejam a e b números reais tais que a < b. Chamam-se intervalos reais os 
subconjuntos de compreendidos entre os extremos a e b. Observe as representações 
abaixo: 
 
 
 
Observações: 
− A bolinha cheia ( ) no extremo de um intervalo indica que o número associado a 
esse extremo pertence ao intervalo. 
− A bolinha vazia ( ) no extremo de um intervalo indica que o número associado a 
esse extremo não pertence ao intervalo. 
− No + (lê-se: mais infinito) ou - (lê-se: menos infinito) é usada sempre a 
denominação aberta. 
 
2.5 OPERAÇÕES COM INTERVALOS 
Os intervalos são conjuntos, portanto podemos efetuar com eles qualquer uma das 
operações entre conjuntos: união, intersecção e diferença. 
 
Matemática Nivelamento 14 
UNIÃO 
 
 
Considere os conjuntos A e B. 
A união entre estes conjuntos, indicada por A ∪ B, é conjunto formado pelos 
elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. 
 
INTERSECÇÃO 
 
 
Considere os conjuntos A e B. 
A intersecção entre estes conjuntos, indicada por A ∩ B, é o conjunto formado 
pelos elementos que pertencem a A e a B. 
 
DIFERENÇA 
 
Matemática Nivelamento 15 
A diferença entre A e B, indicada por A – B, é conjunto formado pelos elementos 
que pertencem a A enão pertencem a B. 
 
Observação: A – B é diferente de B – A 
 
Exemplos de operações com intervalos: 
 
a) [ - 3 ; 2 ] ( 1 ; 5 ) = [ - 3 ; 5 ) 
 
 
b) [ - 3 ; 2 ] ( 1 ; 5 ) = ( 1 ; 2 ] 
 
 
c) [ - 3 ; 2 ] – ( 1 ; 5 ) = [ - 3 ; 1 ] 
 
 
d) ( 1 ; 5 ) – [ - 3 ; 2 ] = ( 2 ; 5 ) 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 – Reta real e intervalos 
 
1) Determine: 
a) o valor do módulo de 328; 
b) o valor de (5); 
c) o valor da soma de 30 com o simétrico de 80; 
d) o valor da diferença entre os valores absolutos de 29 e 29. 
 
2) Responda: 
a) Quantos números naturais têm valor absoluto menor que 4? 
b) Quantos números inteiros têm valor absoluto menor que 4? 
 
3) Represente cada intervalo na reta real: 
a) ]–4; 1] 
b) [–2; 1[ 
c) [–3; +[ 
d) ]– ; 2[ 
 
4) Represente cada conjunto numérico com a notação de intervalos e na reta numérica: 
(Obs.: considere R conjunto dos números reais) 
a) {x  R | x  – 4} 
b) {x  R | x < – 2} 
c) {x  R | –3 ≤ x < 4} 
d) {x  R | 0 < x ≤ 3} 
 
5) Considere os intervalos A = [2; 5], 
B = ]-1; 3] e C = [1; 6] e encontre: 
a) A  B 
b) B  C 
c) A  B 
d) C  B 
e) A  B 
f) B  A 
GABARITO 
 
1. a) 328 b) 5 c) 110 d) 0 
 
2. a) 4 b) 7 
 
3.a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
4. a) [-4 ; +∞[ 
 
b) ]-∞ ; -2[ 
 
c) [-3 ; 4[ 
 
d) ]0 ; 3] 
 
 
5. a) (1; 5] 
b) (1; 6] 
c) [2; 3] 
d) [1; 3] 
e) (3; 5] 
f) (-1; 2) 
Matemática Nivelamento 16 
3. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS 
 
Neste capítulo são revisadas as operações com os números reais. 
É bastante comum a dúvida em como operar com números inteiros, fazer uso das 
regras de sinais, operar com frações e com números decimais. 
Também serão revistas as operações de potenciação e radiciação e, por fim, a 
notação científica, que economiza na escrita de números com muitos algarismos iguais a 
zero. 
 
3.1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 
Observe os exemplos 
I. 3 + 2 = 5 
II. –3 – 2 = – 5 
III. +3 – 2 = 1 
IV. –3 + 2 = –1 
 
Os casos I e II consistem na adição de dois números reais de mesmo sinal, por isso 
somam-se seus módulos e conserva-se o sinal. 
Os casos III e IV consistem na adição de números com sinais diferentes, subtraem-
se os módulos e o resultado terá o sinal do termo de maior módulo. 
A subtração sempre pode ser transformada em uma adição. Assim, para efetuar a 
subtração entre dois números reais, adiciona-se o primeiro com oposto do segundo. 
Exemplo: 
3 – (– 4) = 3 + (+4) = 3 + 4 = 7 
3 – (+ 4) = 3 + (–4) = 3 – 4 = –1 
 
Matemática Nivelamento 17 
Na adição e subtração de números reais fracionários valem as mesmas regras de 
sinais, contudo convém lembrar que as frações devem ter o mesmo denominador e que a 
operação é feita apenas com os numeradores ficando o denominador inalterado. 
Exemplos: 
7
6
7
4
7
2
=+ 
9
4
9
5
9
1
−=− 
 
Caso as frações não possuam o mesmo denominador é necessário reduzi-los a um 
denominador comum. 
Veja o exemplo abaixo: 
=





−+
2
3
5
2
 Calcula-se o m.m.c. entre 5 e 2 
=





−+
10
15
10
4
 Encontram-se frações equivalentes às anteriores 
=−
10
15
10
4
 Eliminam-se os parênteses 
10
11
− Opera-se a subtração entre os numeradores 
 
3.2 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
Para calcular o produto de dois números reais efetua-se a multiplicação entre seus 
módulos e coloca-se o sinal obedecendo-se o seguinte critério: 
Se os números tiverem o mesmo sinal o resultado recebe o sinal positivo (+). 
Exemplos: 
 (+ 6) × (+ 5) = + 30 
 (– 6) × (– 5) = + 30 
Se os números tiveram sinais diferentes o resultado recebe o sinal negativo (-). 
Exemplos: 
 (– 6) × (+ 5) = – 30 
 (+ 6) × (– 5) = – 30 
Matemática Nivelamento 18 
 
 
Para obter o produto de números fracionários valem as mesmas regras de sinais, 
porém a multiplicação deve ser feita diretamente entre os numeradores e denominadores, 
não havendo necessidade de os denominadores serem iguais como no caso da adição. Veja 
o exemplo. 
35
6
7
2
5
3
−=





−×





+
 
A divisão é a operação inversa da multiplicação. Assim, para encontrar o quociente 
entre dois números reais, dividem-se seus módulos e utilizam-se as mesmas regras de 
sinais utilizadas na multiplicação. 
Exemplos: 
 12 : 4 = 3 
(–12) : (– 4) = 3 
(–12) : 4 = –3 
12 : (– 4) = –3 
A divisão entre dois números fracionários sempre pode ser transformada em uma 
multiplicação. Assim, para encontrar o quociente entre dois números fracionários, 
multiplica-se o dividendo pelo inverso do divisor, conforme o exemplo: 
6
5
12
10
4
5
3
2
5
4
3
2
−=−=





−×=





−÷ 
Matemática Nivelamento 19 
 
3.3 POTENCIAÇÃO 
Dada a igualdade abaixo: 
 
 ba n = , temos: 
 
 a é um número real chamado de base; 
 n é um número inteiro chamado expoente; 
 b é o resultado chamado potência. 
 
Nestas condições, an = a × a × a × a × a × a × . . . . . . .× a (n fatores iguais a a). 
 
De um modo geral, chama potência n-ésima de a o produto de n fatores iguais a a. 
 
Exemplo: 
 34 = 3×3×3×3 = 81 
 3 → base 
 4 → expoente 
 81 → potência. 
 
3.3.1 PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO 
Sendo a e b números reais e m e n números inteiros, valem as seguintes 
propriedades: 
 
I) Multiplicação de potências de mesma base: 
am × an = am+n 
 
Demonstração: 
 am × an = (a × a × a × a × ... × a) × (a × a × a × a × ... × a) = am+n 
 m fatores n fatores m+n fatores 
 
Conclusão: 
Para multiplicar potências de mesma base, 
conserva-se a base e somam-se os expoentes. 
Matemática Nivelamento 20 
 
Ex: 42 × 43 = 42+3 = 45 
 Veja: (4 × 4) × (4 × 4 × 4) = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 45 
 
 
II) Divisão de potências de mesma base: 
am : an = am – n, com a ≠ 0. 
 
Demonstração: 
 m fatores 
iguaisfatoresoscancelandoa
a....aa
a....aa...aa
a
a nm
n
m
−
=
×××
××××××
=
 
 n fatores 
 
Conclusão: 
Para dividir potências de mesma base, 
conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. 
 
.iguaisfatoresoscancelando3
3333
333333
3
3
:Exemplo 24
6
=
×××
×××××
=
 
 
III) Potência de potência: 
 
(an)m = an × m 
 
Demonstração: 
 (am)n = am × am ×am ×.....× am = an × m 
 n fatores 
 
Conclusão: 
Para elevar uma potência a um expoente, 
conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. 
 
 
Matemática Nivelamento 21 
Exemplo: (23)2 = 23 × 2 = 26 = 64 
 
 
IV) Potência de um quociente: 
n
nn
b
a
b
a
=





, com b ≠ 0 
 
Conclusão: 
Para elevar uma fração a um expoente, 
elevam-se o numerador e o denominador ao expoente. 
 
Ex. 
4
44
2
3
2222
3333
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
=
×××
×××
=×××=





 
 
 
V) Potência de um produto: 
(a×b)n = an × bn 
Conclusão: 
Para elevar um produto a um expoente, 
eleva-se cada fator ao expoente. 
 
Observações: 
( )
⇒




=−×−=−
−=×−=
16)4()4()4(
16444 -
2
2
 2n é um número par qualquer 
 
.1ae0acom,)a(a
512222
64222)2(
nmnm
93323
63323
≠≠≠⇒




===
==×=
×
 
 
VI) Expoente zero: 
Pela primeira propriedade temos que am×a0 = am + 0 = am . 
 
Então, am×a0 = am 
– a2n ≠(–a)2n 
Matemática Nivelamento 22 
Logo isolando a0, vem: 10 ==
m
m
a
a
a , com a ≠ 0. 
 
Exemplos: 
 (-5)0= 1 
 30 = 1 
 
1
3
2 0
=





 
 
Conclusão: 
a0 = 1 
 
VII) Expoente negativo: 
Pela primeira propriedade temos que: 
n
n
0
nn0
n
0
a
a
1
:temos,1acomo
aa
a
a
−
−−
=
=
==
 
 
Observação: 
Considerando a um número real diferente de zero, temos: 
n
n
n
a
a
1
a
1
−
=





=
 
Portanto, quando invertemos a base de uma potência, seu expoente troca de sinal. 
Exemplos: 
Matemática Nivelamento 23 
 
33
77
3
3
3
2
7
7
2)c
3
2
2
3)b
5
5
1
5
1)a






=











=





=





=
−
−
−
 
 
Conclusão: 
n
n
a
a
=
−







1
 
 
3.4 RADICIAÇÃO 
Dados a e b pertencentes a , e n pertencente a *, chama-se raiz n-ésima de a 
ao número b se, e somente se, bn = a. 
 
abba nn =⇔= 
 
Em 4643 = , temos: 
 
 3 é o índice 
 64 é radicando 
 4 é a raiz 
 é radical 
 
Observações: 
0b como a,bba 2n2n2n >=⇔= para qualquer n ∈ * não existe, em , raiz de 
índice par de números negativos. Ex.: ∉−16 
 
Sempre existe raiz de índice ímpar em . Ex.: ∈−=− 283 , pois ( ) 82 3 −=− . 
 
Matemática Nivelamento 24 
3.4.1 PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO 
Sendo a ∈ +, m ∈ , n ∈ * e p ∈ * , os radicais têm as seguintes 
propriedades: 
 
I) 
pm pnm n aa
× ×
=
 
Quando o índice da raiz e o expoente do radicando são multiplicados por um mesmo 
número, a raiz não se altera. 
 
II) pm pnm n aa : := 
Quando o índice da raiz e o expoente do radicando são divididos por um mesmo número, a 
raiz não se altera. 
 
III) mmm baba ×=× 
A raiz de um produto é igual ao produto das raízes. 
 
IV) m
m
m
b
a
b
a
=
 
A raiz de um quociente de dois números é igual ao quociente das raízes desses números. 
 
V) ( ) m mmm aa = 
A raiz elevada a um expoente é igual à raiz do radicando elevado ao expoente. 
 
VI) aa
m m
=
 
Uma raiz cujo índice é igual ao expoente do radicando é igual ao próprio radicando. 
 
VII) 
nmm n aa ×=
 
A raiz de uma raiz é iguala a outra raiz cujo índice é igual ao produto dos índices das raízes 
envolvidas. 
 
 
Matemática Nivelamento 25 
3.4.2 RADICAIS SEMELHANTES 
Dois ou mais radicais são semelhantes quando têm o mesmo índice e o mesmo 
radicando. 
Ex.: 
 
 
3.4.3 OPERAÇÕES COM RADICAIS 
 
I) Adição e Subtração 
A adição e a subtração só podem ocorrer entre radicais semelhantes. 
Ex. 
 3834228343232381 =−++=−++ )( . 
24520 2 ++. Veja que os radicais não são semelhantes! 
 
Usando as propriedades apresentadas anteriormente, estes radicais podem se 
transformar em radicais semelhantes. 
535345
525220
2
2
=×=
=×=
 
Então, 
25525)32(2535224520 +=++=−+=++
 
Observe que 2 não foi operada com 5 por não serem semelhantes! 
 
II) Multiplicação e Divisão 
Para multiplicar ou dividir dois radicais é necessário que eles tenham apenas os 
mesmos índices. Nestes casos operam-se apenas os radicandos. 
Ex. 
4444
3333
6318318.2
153535.1
=÷=÷
=×=×
 
 
Matemática Nivelamento 26 
Observação: 
Caso os índices não sejam iguais, pode-se reduzi-los a raízes de mesmo índice 
usando as propriedades. 
66666 26 323 2132 313 67525272527535353 =×=×=×=×=× × ×× × 
 
 
II) Racionalização de denominadores 
Racionalizar o denominador de uma fração de denominador irracional é convertê-la 
em outra equivalente com denominador racional. Para isso devemos multiplicar o 
denominador e o numerador da fração por um fator conveniente que torne o denominador 
um número racional. 
 
1º caso: Radicais de índice 2 (raiz quadrada) 
Multiplica-se a fração pela raiz quadrada sobre a raiz quadrada. Isso não altera o valor da 
fração a ser racionalizada, pois quando temos numerador igual ao denominador a fração 
vale 1 e um é o elemento neutro da multiplicação. 
Ex.: 
a) ( ) 3
32
3
32
3
3
3
2
3
2
2 ==×= 
b) ( ) 7
213
7
733
7
733
7
7
7
33
7
33
2 =
×
==×= 
 
2º caso: Radicais de índice diferente de 2 (raízes não quadradas) 
Multiplica-se a fração pela raiz não quadrada sobre a raiz não quadrada, mas o novo 
expoente do radicando deve ser a diferença entre o índice e o expoente do radicando. 
Ex.: 
a) 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1 5 2
5 5
5 2
5 2
5 2
5 35 3
==×= 
b) 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1 5 2
5 5
5 2
5 2
5 2
5 35 3
==×= 
 
3º caso: Adição ou subtração envolvendo radicais 
Multiplica-se a fração pela subtração com radicais sobre ela mesma, quando for adição 
com radicais e multiplica-se pela adição com radicais sobre ela mesma, quando for 
subtração com radicais. 
Ex.: 
Matemática Nivelamento 27 
a) ( )( )( ) ( ) 46
3321
46
2133
493
2133
73
2133
7373
733
73
73
73
3
73
3
22
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−+
−
=
−
−
×
+
=
+
b) ( )( )( ) ( ) ( ) 3
25
25
25
25
25
2525
251
25
25
25
1
25
1
22
+
=
−
+
=
−
+
=
+−
+
=
+
+
×
−
=
−
 
3.4.4 NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
Para expressar quantidades muito grandes ou muito pequenas, usa-se uma forma 
chamada notação científica, que consiste em expressar essas quantidades como um produto 
entre dois números reais: um número pertence ao intervalo [1, 10) e uma potência de 10. 
 
Números com muitos zeros são de difíceis de ler, por exemplo: 
602 000 000 000 000 000 000 000 
 
0,000 000 000 000 000 000 16 
 
A notação científica facilita a leitura desses números. Veja: 
 
602 000 000 000 000 000 000 000 = 6,02 × 1023 
onde o número real 6,02 é um número que pertence ao intervalo [1, 10) e 1023 é um 
potência de 10. 
 Na prática, houve um deslocamento da vírgula (ela está subentendida ao final do 
número, depois do último zero) 23 casas para a esquerda. 
 
0,000 000 000 000 000 000 16 = 1,6 × 10-19 
onde 1,6 é um número que pertence ao intervalo [1, 10) e 10-19 é um potência de 10. 
Na prática, houve um deslocamento da vírgula 19 casas para a direita. 
 
Veja outros exemplos: 
300 = 3 × 102 
0,052 = 5,2 × 10-2 
0,000 000 000 2 = 2 × 10-10 
8 500 000 = 8,5 × 106 
 
 
Matemática Nivelamento 28 
Adição e subtração com números em notação científica 
Os números devem ter a mesma potência de 10, ou seja, os mesmos expoentes. 
Por exemplo: 
4,2 × 107 + 0,035 × 107 = (4,2 + 0,035) × 107 = 4,235 × 107 
4,2 × 107 − 0,035 × 107 = (4,2 − 0,035) × 107 = 4,165 × 107 
 
Multiplicação com números em notação científica 
Multiplicamos as mantissas e somamos os expoentes de cada valor. 
O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido. 
 
Exemplos: 
(6,5 · 108) . (3,2 · 105) = (6,5 · 3,2) · 108+5 = 20,8 · 1013 (não padronizado) 
Convertendo para a notatação padronizada: 
20,8 · 1013 = 2,08 · 1014 
 
(4 · 106) · (1,6 · 10-15) = (4 · 1,6) · 106+(-15) = 6,4 · 10-9 (já padronizado sem 
necessidade de conversão) 
 
 
Divisão com números em notação científica 
Dividimos as mantissas e subtraímos os expoentes de cada valor. 
O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido. 
 
Exemplos: 
(8 · 1017) : (2 · 109) = (8 :2) . 1017-9 = 4 · 108 (padronizado) 
 
(2,4 · 10-7) : (6,2 · 10-11) = (2,4 /6,2) · 10-7-(-11) ≈ 0,3871 · 104 (não padronizado) 
Convertendo para a notatação padronizada: 
0,3871 · 104 = 3,871 · 10³LISTA DE EXERCÍCIOS 3 – Operações com números reais 
 
1. Calcular as seguintes potências: 
a) 73 = 
b) (-5)3 = 
c) (-8)4 = 
d) (0,5)2 = 
e) (0,01)3 = 
f) (-0,21)0 = 
g) 






5
3
2
 
h) 






2
5
7
 
 
2. Calcular o valor das seguintes expressões: 
a) (-2)0 . (-2)1 . (-2)5 = 
b) 

7
17
8
8
 
c) 



5
32
10
10.10
 
d) 


3
24
2
)3.(2
 
 
3. Determinar o valor das raízes, aplicando as 
propriedades dos radicais: 







5
3 23 4
2
2
2
8 16
32-
44
81
502
6
12
3
5
)
.)
)
.)
)
)
)
g
f
e
d
c
b
a
 
 
4. Efetuar as operações indicadas: 





3.20e)
277512d)
)3 24(3 26c)
325018b)
2723555)a
 
 
5. Racionalizar os denominadores: 






352
3
)d
53
6
)c
23
2
)b
3
56
)a
4
 
 
6. Representar os números na forma a10n, com 
1 n < 10 ( notação científica). 
a) 720 000 000 = 
b) 0,0005 = 
c) 0,00000135 = 
d) 0,007384 = 
 
7. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada 
uma das seguintes afirmações: 
a) ( ) O produto de dois números racionais não 
nulos e opostos um do outro é sempre negativo. 
b) ( ) O valor de uma potência de base negativa é 
menor que zero. 
c) ( ) Todo número negativo elevado ao quadrado 
é menor que zero. 
d) ( ) (2/5)³ = 2³ . 5³ 
e) ( ) (5/2)² = 5 . 2
-1
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
1. a) 343 b) -125 c) 4096 d) 0,25 
 e) 0,000001 f) 1 g) 
243
32 h)
49
25 
 
2. a) 64 b) 8
10
 c) 10
4
 d) -18 
 
3. a) 25 b) 3 c) 2 d) 10 
 e) 3 f) 16 g) -2 
 
4. a) 
210555 
 b) 
24
 
 c) 
3 210
 d) 0 e) 
152
 
 
5. a) 
152
 b) 
3
84 
 c) 
11
33-15 d) 
17
3+152 
 
6. a) 7,2108 b) 510-4 
 c) 1,3510-6 d) 7,38410-3 
 
7. a) V b) F c) F d) F e) F 
 
Matemática Nivelamento 29 
4. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 Neste capítulo vamos estudar as expressões algébricas como monômios e 
polinômios. 
 Para iniciar vamos a definição de expressões algébricas. 
 
Expressões algébricas são expressões que envolvem letras e/ou números. 
 
Exemplos: 
a) a + b b) 2x – 8 c) 4x 2 - 3x + 4 
 
d) 3x + 2y e) 3a2 - b + c f) b.c
5
3x
+ 
 
4.1 VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA 
 Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que se obtém quando 
substituímos as letras da expressão por números determinados e efetuamos as operações 
indicadas. 
 
Exemplos: 
 Considere a expressão algébrica a2+ bc. 
 
 
Note que na expressão acima, entre b e c não foi colocado nenhum tipo de sinal. Nos casos 
como este, considera-se que entre estas letras deve ser realizada a operação de 
multiplicação. 
 
 
Vamos encontrar o valor numérico dessa expressão: 
 
 
Seu valor numérico quando a = 3, b = 4 e c = 2 será 32 + 4 × 2 = 9 + 8 = 17 
Seu valor numérico quando a = 5, b = 3 e c = 4 será 52 + 3 × 4 = 25 + 12 = 37 
 
 
4.2 MONÔMIOS 
Monômios são expressões algébricas que não envolvem operações de adição e/ou 
subtração: 
 
Exemplos: 
a) 4a b) abc c) 5x2 d) x3y 
 
Um monômio tem uma parte numérica (coeficiente) e uma parte literal. 
Por exemplo, no monômio 15x 3yz, o coeficiente é 15 e a parte literal é x3yz. 
 
 
 
Matemática Nivelamento 30 
4.2.1 MONÔMIOS SEMELHANTES 
 Monômios semelhantes são aqueles que apresentam a mesma parte literal. 
 
Exemplos: 
a) 3xy2 e 5xy2 
 
b) 24bca
5
3
 e 24bc7a 
 
 
 
4.2.2 OPERAÇÕES COM MONÔMIOS 
 
a) Adição e Subtração de Monômios 
 
Só podemos efetuar as operações de adição e subtração com monômios 
semelhantes, isto é, aqueles que têm as partes literais iguais. Para isso basta efetuar a 
operação indicada com os coeficientes e manter a parte literal. 
 
Exemplos: 
 
a) 2a + 5a = 7a 
b) 8ab2– 3ab2 = 5ab2 
c) 4xy + 7xy – 2xy = 9xy 
d) yx
6
7yx
6
43yx
3
2yx
2
1 2222
=
+
=+ 
Note que, no exemplo “d”, para somar os 
coeficientes foi necessário reduzi-los ao 
mesmo denominador, fazendo o m.m.c. 
entre eles. 
 
 
OBS.: Quando os monômios não são semelhantes, isto é, não possuem a mesma parte 
literal, a soma ou a subtração ficam apenas indicadas. 
 
Exemplo: 
A soma do monômio 3x2y com o monômio 2xyz ficaria indicada por: 
3x2y + 2xyz (não podemos efetuar a soma dos seus coeficientes). 
 
 
b) Multiplicação 
 
O produto de monômios é obtido realizando-se a multiplicação dos coeficientes 
entre si e em seguida multiplicando suas partes literais. Para multiplicar monômios não é 
necessário que eles sejam semelhantes, nesse caso, a multiplicação é apenas indicada. 
 
Exemplos: 
a) 3a × 4b = (3×4) × (a × b) = 12ab 
b) 4x2y6 × 5x4y3 = (4 × 5) × (x2 × x4 × y6 × y3) = 20 x6 y9 
c) 2xy2 × 5x2 y3 z = (2 × 5) × (x × x2 × y2 × y3 × z) = 10x3 y 5 z 
Matemática Nivelamento 31 
Lembrar que quando multiplicamos potências de mesma base, conserva-se a base somam-
se os expoentes. 
 a m . a n = am + n 
 
c) Divisão 
 
O quociente entre dois monômios é obtido realizando-se a divisão dos coeficientes 
entre si e em seguida dividindo suas partes literais. Para dividir monômios não é necessário 
que eles sejam semelhantes, nesse caso, a divisão é apenas indicada. 
 
Exemplos: 
a) (-15a6b4) : (3a2b2) = (-15 : 3)(a6: a2)(b4: b2) = -5 a6 - 2 b4 - 2= -5a4 b2 
b) 2332472542
275
zy6xzyx
3
18
y3x
zy18x
==
−−
 
c) (12x2y7) : (4x5y3) = (12 : 4)(x2-5 y7-3) = 3x-3y4 = 3
4
x
3y
 
 
Lembrar que quando dividimos potências de mesma base, conserva-se a base subtraem-se 
os expoentes. 
 am : an = a m-n 
 
 
d) Potenciação 
 
Para elevar um monômio a um expoente, basta elevar seu coeficiente a esse 
expoente e em seguida elevar a parte literal a esse mesmo expoente. 
 
Exemplos: 
a) (3x2y5)3= 33(x2) 3 (y 5) 3 = 27 x2 × 3 y5 × 3 = 27x 6 y 15 
b) (2a3b4)2= 22(a3)2(b4)2= 4 a3 × 2 b4 × 2= 4 a 6 b 8 
 
Lembrar que na potenciação os expoentes são multiplicados. 
 
(a m) n = a m × n 
 
 
4.3 POLINÔMIOS 
Suponha que queremos realizar a adição com os monômios 4xy, 5x3y2 e 2x2y. Pelo 
que aprendemos anteriormente, sabemos que esta soma não pode ser obtida, porque os 
monômios não são semelhantes. Nesses casos, o que fazemos é deixar as operações 
indicadas, como segue: 
 
4xy + 5x3y2 + 2x2y 
 
Matemática Nivelamento 32 
Uma expressão formada por monômios não semelhantes, como no caso acima, é 
chamada Polinômio. 
 
Outros exemplos: 
a) 7x – 4 
b) 4x – 2y + 4 
d) 2xy + 4x – 3y + z3 
 
Em se tratando de polinômios os monômios envolvidos são chamados de termos do 
polinômio. 
 
O polinômio do exemplo a tem 2 termos que são: 7x e - 4 
O polinômio do exemplo b tem 3 termos que são: 4x, -2y e 4 
O polinômio do exemplo c tem 4 termos que são: 2xy, 4x, -3y e z3 
 
• Sabemos que o monômio tem um único termo. 
• O polinômio com dois termos (exemplo “a”) é chamado binômio e o polinômio 
com três termos (exemplo “b”) é chamado trinômio. 
• Os polinômios com mais de três termos não têm nomes especiais. 
 
4.3.1 POLINÔMIO A UMA VARIÁVEL 
 
 É o polinômio que apresenta uma única variável. Podemos definir estes polinômios 
como sendo toda expressão daforma: 
 
anx
n + an-1x 
n-1
 + an-2x 
n-2
 + ... + a1x
1+ a0x
0
 
 
onde an , an-1 , ..., a0 são os coeficientes do polinômio e xn , xn-1 , . . . , x, são chamados parte 
literal. 
O grau “n” sempre será dado pelo maior expoente da parte literal do polinômio. 
Então podemos dizer que: 
3x + 4 é um polinômio do 1º grau 
5x2 + 3x –1 é um polinômio do 2º grau 
4x 3 – 2x2 + 7x –3 é um polinômio do 3º grau 
x
5
 + 2x 4– 5x2+ 2x – 4 é um polinômio do 5º grau 
 
 
4.3.2 OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 
 
a) Soma e subtração de polinômios 
 
 Para somarmos ou subtrairmos polinômios, devemos agrupar os termos que tenham 
mesma parte literal (mesma variável e mesmo expoente). Veja: 
 
Matemática Nivelamento 33 
 
 
 
b) Multiplicação de polinômios 
 
 Para multiplicarmos dois ou mais polinômios, devemos aplicar a propriedade 
distributiva da multiplicação com relação à adição, ou seja, devemos multiplicar todos os 
termos de um polinômio por todos os termos do outro. 
 
Veja: 
 
 
 
 
Matemática Nivelamento 34 
 
Agrupando todos os termos, teremos: 
 
Neste polinômio podemos agrupar alguns termos semelhantes (termos com as mesmas 
cores são os semelhantes): 
 
Existe uma maneira simplificada de representar esta multiplicação, veja: 
 
 
E agrupando os termos de mesma parte literal teremos: 
 
 
 
Veja outros exemplos: 
 
Exemplo 1: 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
Obs.: Para multiplicarmos um polinômio por um número real, agimos da mesma forma, 
veja: 
Se P(x) = 5x³ - 10x² + 11, 
3.P(x) será: 3.(5x³ - 10x² + 11) = 15x³ - 30x² + 33 
2.P(x) será: -2.(5x³ - 10x² + 11) = -10x³ + 20x² - 22 
 
 
Matemática Nivelamento 35 
c) Divisão de um polinômio por um monômio 
 
 Para dividirmos um polinômio por um monômio, dividimos cada termo do 
polinômio pelo monômio. 
 
 
OBS: Propriedade da potenciação 
“Ao dividirmos duas potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os 
expoentes”, ou seja: 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
e) Divisão de polinômio por polinômio 
 Efetuar a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x), com B(x) 0, é 
determinar dois polinômios Q(x) e R(x) que satisfaçam as seguintes condições: 
 
 
 
Em que: 
A(x) é o dividendo 
B(x) é o divisor 
Q(x) é quociente 
R(x) é o resto da divisão. 
 
 
 Quando A(x) é divisível por B(x), dizemos que a divisão é exata, isto é, R(x)=0. 
Se B(x) é divisor de A(x), então R(x) =0 
 
Vejamos alguns exemplos de divisão de polinômio por este método, que é chamado 
método da chave. 
 
1) Determinar o quociente de A(x) = x3 + 4x2 + x – 6 por B(x) = x + 2. 
 
Resolução: 
Matemática Nivelamento 36 
 
 
Regra p/ dividir um polinômio A (x) por um polinômio B(x) 
 
1. Divide-se o 1° termo do polinômio A pelo 1° termo do polinômio B e coloca-se o 
resultado sob o polinômio B. 
No exemplo, x3 : x = x2. 
 
2. Multiplica-se o resultado por todos os elemento de B , troca-se o sinal e coloca-se sob o 
polinômio A, somando-se com A e obtendo-se um novo polinômio. 
No exemplo, x2(x + 2) = x3 + 2x2 
Trocando o sinal: - x3 - 2x2 
Somando: (x3 + 4x2 + x – 6) + (- x3 - 2x2) = 2x2 + x - 6 
 
3. Toma-se o 1° termo desse novo polinômio e divide-se pelo 1° termo do polinômio B. 
No exemplo, 2x2 : x = 2x. 
 
4. Multiplica-se o resultado dessa divisão por todos os elemento de B, troca-se o sinal e 
soma-se com o polinômio que está em baixo do polinômio A, obtendo-se um novo 
polinômio. 
No exemplo, 2x(x + 2) = 2x2 + 4x 
Trocando o sinal: - 2x2 - 4x 
Somando: (2x2 + x – 6) + (- 2x2 – 4x) = - 3x - 6 
 
5. Repete-se os passos acima até que o resto R(x) seja um polinômio de grau menor que o 
grau do polinômio B(x) ou zero. 
No exemplo, - 3x : x = -3. 
Multiplicando: -3(x + 2) = - 3x - 6 
Trocando o sinal: 3x + 6 
Somando: (- 3x – 6) + (3x + 6) = 0 
 
Verificamos facilmente que: 
x 
3
 + 4x2 + x – 6 = (x + 2) ( x2 + 2x –3) 
A(x) = B(x).Q(x) 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 4 – Expressões Algébricas 
 
1) Calcular o valor das expressões numéricas: 
a) 3 – 4 + 2  5 – 2 = 
b) 7 – 23 + 4 (2 + 3) – 5 = 
c) 3  5 – 4 [2 – (5  3 + 5) – 3] = 
d) 4 + 32 – 
25
 + (2
3
 + 2  4) = 
e) 
49
 + 2 (3 + 18 : 3) + 4  3 = 
 
2) Quais dos monômios abaixo são semelhantes e por quê? 
a) 4ab 
b) –7ab2 
c) 1,7ab 
d) 37a2b 
e) a2b2 
f) – 415ab 
 
3) Efetue as operações: 
a) 2a + 4a + 6a + 8a + 10a 
b) 5ab – 7ab + 18ab – 15,5ab 
c) 4a + 5b + 7a + 8b – 9a – 10b 
d) x – 2x + 3x – 4x + 5x – 17 
e) 3x2 + 4x2 – 7 + 5x – 9x + 10 – 5x2 
f) 2x2 – 4x – 7 – 2 (x2 + 3x – 6) 
 
4) Calcule o produto dos monômios: 
a) 3x . 10x 
b) (–5 a2) . 2a 
c) (–4a) (–2xy2) 
d) (10a2b) (–ab) 
e) 4x . (–0,5 . y) 
 
5) Obtenha o quociente: 
a) 10x5 : 5x2 
b) (–4a3) : 8 a2 
c) 10x2y2 : (–2xy2) 
d) (–48,4m3) : (–10m2) 
e) 3x2y2 : 3x2y2 
f) 
2
6ab
 
g) 
y
5xyz
 
h) 
2
3
4a
16a
 
i) 
y7x
y42x
2
42

 
j) 
b2a
b6a
2
2

 
 
6) Calcule as potências: 
a) (–2a3)2 
b) (–2a3)3 
c) (ab)2 
d) (–10a3b2)5 
e) (1,2xy3)2 
7) Determine as seguintes somas de polinômios: 
a) (2x – 4y) + (5x + 3z) + (5y + 4z) = 
b) (4a – 8b + 7) + (–5a – 4b + 13) = 
c) (a2 – 2ab +b2) + (a 2 + 2ab +b2) = 
d) (6xy + 5xz +7) + (13xy – 18) + (–9xz + 4) = 
e) (x2 – 5x + 6) + (x2 – 7x + 12) = 
 
8) Determine as seguintes diferenças de polinômios: 
a) (a – 7x) – (a – 8x) 
b) (3x + 8y – 7z) – (16x – 4y + 12z) 
c) (a3 + 4ab + 12) – (5a3 – 9ab +12) 
d) (7ax + 9mx) – (–5ax – 8mx) 
e) 






 ba 3
2
1
– 






 ab
3
1
2
 
 
9) Efetue as operações abaixo: 
a) (2x – 7y + 5z) – (5x – 3y + 4z) + (6x + 3y – z) 
b) (9m – 8n + 7p) + (5n – 7p – 8m) – (2p – m – 3n) 
c) (5x – 3a – 5b) – (7x + 2a – 5b) + (3x + 4a – b) 
d) (73a – 49b + 18c) – (53a – 87b + 35c) – (8b – 17c) 
e) 






 ba
3
7
2
7
 – 






 ba
2
15
4
11
– 







6
5
12
ba
 
f) 






 yx
2
3
4
9
+ 






 yx
6
19
3
4
– 






 yx
3
11
12
25
 
 
10) Calcule os seguintes produtos: 
a) 5x . (ax
2
 + bx + c) 
b) – 3xy2 . (5x + 6y – 7xy) 
c) mn . (m
2
 – mn + n2) 
d) 2
3
2
x . 






 c
ba
4
3
3
3
7
2
3
 
 
11) Determine os seguintes produtos: 
a) (2x – 15) . (x + 12) 
b) (a + b) . (x – y ) 
c) (2a – 3b) . (2x – 3y) 
d) (5a – b) . (2a + 3b) 
e) (3x + 6) . (4x2 + 2x + 9) 
 
12) Calcule os seguintes quocientes: 
a) (6ax – 9bx – 15x) : 3x 
b) (8a2 – 4ac + 12a) : 4a 
c) (27ab – 36bx – 36by) : (–9b) 
d) (49an – 21n2 – 91np) : 7n 
e) (12a2x – 8abx + 20axy) : 
3
4a
 
f) 






 abcabyabx
4
1
3
1
2
1
: 
6
ab
 
 
13) Efetue os seguintes quocientes exatos: 
a) (4a2 – 7a + 3) : (4a – 3) 
b) (a2 – 4a – 12) : (a – 6) 
c) (12a3 – 11a2 – 71a + 40) : (3a – 8) 
d) (11x2 – 2 – x + 10x3) : (5x – 2) 
e) (7x – 2x4 + 3x5  2 – 6x2) : (3x – 2) 
 
14) Determine o quociente e o resto nas seguintes divisões não–exatas: 
a) (x2 + 5x + 10) : (x + 2) 
b) (2x2 + 5x) : (2x – 3) 
c) (–11x + 3x2 + 5) : (3x – 5) 
d) (–7x – 2x2 + 10) : (3 – 2x) 
e) (– 9x2 + 10x + 2x3 –2) : (x2 + 1 – 3x) 
 
GABARITO 
 
1) a) 7 b) 14 c) 99 d) 24 e) 37 
2) São semelhantes os monômios dos itens a), c) e f), porque apresentam a mesma parte literal ab. 
3) a) 30a b) 0,5abc) 2a + 3b d) 3x – 17 e) 2x2 – 4x + 3 f) –10x + 5 
4) a) 30x
2 
 b) –10a3 c) 8axy2 d) –10a3b2 e) – 2xy 
5) a) 2x
3
 b) 
2
a
 
c) –5x d) 4,84m e) 1 f) 3ab g) –5xz h) 4a i) 6y3 j) –3 
6) a) 4a
6 
 b) –8a9 c) a2b2 d) –10000a15b10 e) 1,44x2y6 
7) a) 7x + y + 7z b) –a – 12b + 20 c) 2a2 + 2b2 d) 19xy – 4xz – 7 e) 2x2 – 12x + 18 
8) a) x b) – 13x + 12y – 19z c) –4a3 + 13ab d) 12ax + 17mx e)
a
6
5
 – 5b 
9) a) 3x – y b) 2m – 2p c) x – a – b d) 20a + 30b e) 
ba 6
3
2

 f) 
yx 
2
3
 
10) a) 5ax
3
 + 5bx
2
 + 5cx b) –15x2y2 – 18xy3 + 21x2y3 c) m3n – m2n2 + mn3 d) 4ax – 
bx
9
56
 + 10cx 
11) a) 2x
2
 + 9x – 180 b) ax – ay + bx – by c) 4ax – 6ay – 6bx + 9by 
 d) 10a
2 
+ 13ab – 3b2 e) 12x3 + 30x2 + 39x + 54 
12) a) 2a – 3b – 5 b) 2a – c + 3 c) – 3a + 4x + 4y 
 d) 7a – 3n – 13p e) 9ax – 6bx + 15xy f) 3x – 2y + 3/2c 
13) a) a  1 b) a + 2 c) 4a2 – 7a – 5 d) 2x² +3x +1 e) x4 – 2x +1 
14) a) quociente: x + 3 resto: 4 
b) quociente: x resto: 8x 
c) quociente: x – 2 resto: 5 
d) quociente: x + 5 resto: 5 
e) quociente: 2x  3 resto: x + 1 
Matemática Nivelamento 37 
5. PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
Neste capítulo, estão trabalhados conceitos importantes da álgebra: produtos 
notáveis e fatoração. 
São conceitos estudados no ensino fundamental, principalmente a partir da 6ª série, 
quando se começa a resolver equações de 1º grau com uma variável, e no ensino médio. 
O trabalho com álgebra constitui base importante para o trabalho posterior com 
funções. 
 
5.1 PRODUTOS NOTÁVEIS 
 Produtos Notáveis nada mais são do que produtos entre polinômios que podem ser 
escritos de uma forma simplificada. Existem 3 principais casos: 
 
 
 
Desta forma, quanto tivermos uma expressão, por exemplo, como (x + 5)², não 
precisaremos calcular (x + 5).(x + 5), mas simplesmente resolver da forma x² + 2.x.5 + 5², 
ou seja, x² + 10x + 25. Veja outros exemplos: 
Ex1: (x + 3)² = x² + 2.x.3 + 3² 
= x² + 6x + 9 
 
Ex2: (a - 4)² = a² - 2.a.4 + 4² 
= a² - 8a + 16 
 
Ex3: (x - 6).(x + 6) = x² - 36 
Matemática Nivelamento 38 
 
Existem, ainda, 2 casos menos comuns, mas que também merecem importância: 
 
 Resumindo estes outros dois casos, temos 
 
( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 
 
( a - b )³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 
 
 
5.2 FATOR COMUM 
 Sabemos que para multiplicar um monômio por um polinômio multiplica-se o 
monômio por cada termo do polinômio. 
 Como exemplo, vamos efetuar a multiplicação do monômio 3x pelo polinômio 
 y + 3z + 2. 
 Temos, então: 
 
 
Para passar da forma fatorada para a forma não fatorada, efetuamos a 
multiplicação. 
Matemática Nivelamento 39 
Muitas vezes temos a forma não fatorada e precisamos a forma fatorada. 
Dizemos então que precisamos fatorar a expressão. Vejamos como se faz para fatorá-la. 
Você precisa lembrar como se faz a divisão de um polinômio por um monômio. 
Primeiro, observe que, no polinômio, 3xy + 9xz + 6x, 3x é o divisor comum dos 
três termos. Então, dividimos cada termo do polinômio por 3x: 
 
Agora faremos com que 3x multiplique os três de uma só vez, escrevendo a 
expressão da seguinte forma: 
3xy + 9xz + 6x = 3x (y + 3z + 2) 
 
Ao fazer isso, dizemos que 3x, que é chamado de fator comum, foi colocado em 
evidência. Colocar em evidência significa destacar, sobressair ou salientar. 
A forma fatorada é o produto do fator comum pela expressão obtida dividindo a 
expressão inicial pelo fator comum. 
 
1. Exemplos: 
Vamos fatorar 6x3 + 8x2. 
Devemos dividir a expressão pelo fator comum: 2x2. 
Temos: 
43x
2x
8x
2x
6x
2x
8x6x
2
2
2
3
2
23
+=+=
+
 
 
Então, a forma fatorada de 6x3+8x2 é 2x2(3x+4) 
 
 
2.Vamos fatorar ax – ay + a. 
Devemos dividir a expressão pelo fator comum: a. 
Temos: 
 
 
A forma fatorada de ax – ay + a é a.(x–y+1) 
 
 
3. Vamos fatorar 15x4 – 35x2y + 25x3. 
Devemos dividir a expressão pelo fator comum: 5x2. 
Temos: 
4 2 3 4 2 3
2
2 2 2 2
15x 35x y 25x 15x 35x y 25x 3x 7y 5x
5x 5x 5x 5x
− +
= − + = − + 
 
A forma fatorada de 15x2–35y+25x3 é 5x2.(3x2–7y+5x) 
 
 
A visualização do fator comum 
 
Considere três retângulos de mesma largura a 
Matemática Nivelamento 40 
 
 
A área do primeiro retângulo é A1 = ax 
A área do primeiro retângulo é A2 = ay 
A área do primeiro retângulo é A3 = az 
 
A área total At, será dada pela soma das três áreas, isto é: 
At= A1 + A2 + A3 
 
Logo, At = ax + ay + az 
 
Juntando esses retângulos, forma-se outro retângulo, também de largura a, e comprimento 
x + y + z. 
 
Veja a figura abaixo. 
 
 
 
Assim, vê-se que At = a.(x+y+z), ou seja, ax+ay+az=a.(x+y+z). 
 
 
5.3 FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO 
Consideremos a expressão: 
5ax + bx + 5ay + by 
 
Observe que, nesse caso, a expressão não possui um fator comum aos quatro 
termos, mas temos um fator “x” que é comum aos dois primeiros e outro fator, “y” que é 
comum aos dois últimos. 
Nesse caso colocamos o x em evidência nos dois primeiros termos e y nos dois 
últimos: 
x(5a+b) + y(5a+b) 
 
Observe agora que apareceu um outro fator, (5a+b), que é comum aos dois termos. 
Colocando esse fator em evidência, temos: 
(5a+b).(x+y) 
 
Esse processo é denominado fatoração por agrupamento. 
 
Veja outros exemplos onde foi aplicada essa técnica: 
Matemática Nivelamento 41 
 
1. Vamos fatorar o polinômio hx – 2x + 5h – 10. 
hx-2x+5h–10= 
x(h–2)+5(h–2)= Colocando x e 5 em evidência; 
(h–2) (x+5) Colocando (h+2) em evidência 
Logo, (h–2).(x+5) é a forma fatorada do polinômio hx–2x+5h–10. 
 
2. Vamos fatorar y³+y²+y+1. 
y³+y²+y+1= 
y²(y+1)+1(y+1)= Observe que y2 e 1 foram colocados em evidência; 
(y+1) (y²+1) Colocando y2 + 1 em evidência. 
Logo, (y+1).(y²+1) é a forma fatorada do polinômio y³+y²+y+1. 
 
3. Vamos fatorar o polinômio 2bc+5c²-10b–25c. 
2bc+5c²-10b–25c= 
c(2b+5c)–5(2b+5c)= Colocando c e 5 em evidência; 
(2b+5c) (c–5) Colocando (c–5) em evidência; 
Logo, (2b+5c).(c–5) é a forma fatorada do polinômio 2bc+5c²-10b–25c. 
 
4. Sabe-se que m + n = 30 e p + q = 18. Nessas condições determine o valor do 
polinômio mp + mq + np + nq. 
Inicialmente vamos escrever o polinômio na forma fatorada: 
mp + mq + np + nq = 
m(p + q) + n (p + q) = 
(p + q) (m + n) 
Substituindo pelos valores dados, temos: 
(p + q) (m + n) = 18x30 = 54 
 
5.4 FATORAÇÃO PRODUTOS NOTÁVEIS 
“PENSANDO AO CONTRÁRIO” - FATORAÇÃO DE PRODUTOS NOTÁVEIS 
E se você tivesse a situação inversa, ou seja, ao invés de um produto notável a ser 
resolvido, um polinômio para ser representado como um produto notável? Veja os casos 
abaixo: 
 
1° Caso) Trinômio Quadrado Perfeito 
Se pensarmos que um produto do tipo, por exemplo, (a+b)² pode ser representado por a² + 
2ab + b², podemos notar que o termo relativo aos elementos “a” e “b” sempre estão 
elevados ao quadrado (portanto para sabermos “a” e “b” deveremos extrair sua raiz 
quadrada) e o termo do meio sempre representa 2.a.b (portanto neste termo deveremos, 
sempre, ter o dobro de a.b). 
 
Ex1: x2 + 6x + 9 
 
 
 
E, se o produto é, então, (x + 3)² o termo do meio deve ser 2.x.3 = 6x, portanto Ok! 
Matemática Nivelamento 42 
 
Veja outros exemplos: 
 
Ex2: x² - 10x + 25 
Pode ser representado por (x - 5)², pois 
xx
2
= 
525 = 
2.x.5 = 10x 
 
Portanto, x² - 10x + 25 = (x - 5)². 
Atenção: O termo central é negativo,o que nos leva a fatorar como um quadrado de uma 
diferença. 
 
Ex3: 4x² + 16x + 16 
x24x 2 = 
416 = 
2.2x.4 = 16x 
 
Portanto, 4x² + 16x + 16 = (2x + 4)². 
 
 
Veja uma situação onde um polinômio parece ser um produto notável, mas não é: 
 x² + 4x + 16 
 
 
2° Caso) Produto da Soma pela diferença entre dois termos: 
Como você já sabe, um produto notável do tipo (a-b).(a+b) pode ser escrito por a²-b². 
(Cuidado! Sempre temos de ter o sinal de subtração). 
 
Matemática Nivelamento 43 
Ex1: 
 
 
Matemática Nivelamento 44 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Contexto e aplicações. Volume Único. São Paulo: 
Ática, 2003. 
Edumatec. Disponível em: <http://mandrake.mat.ufrgs.br/edumatec/>. 
GIOVANNI, José Ruy. Matemática completa: ensino médio. Volume Único. São Paulo: 
FTD, 2000. 
MACEDO, Luiz Roberto Dias de; CASTANHEIRA, Nelson Pereira; ROCHA, Alex. 
Tópicos de matemática aplicada. Curitiba: Ibpex, 2006. 
SMOLE, Katia C. Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática 1 - Ensino Médio - 3ª 
Edição. São Paulo: Saraiva, 2003. 
SMOLE, Katia C. Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática 2 - Ensino Médio - 3ª 
Edição. São Paulo: Saraiva, 2003. 
SMOLE, Katia C. Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática 3 - Ensino Médio - 3ª 
Edição. São Paulo: Saraiva, 2003. 
 
Sites de interesse do curso: 
 
Só Matemática – http://www.somatematica.com.br 
 
OBMEP – Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas - 
http://www.obmep.org.br/ 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 5 – Produtos Notáveis e Fatoração 
 
1. Calcule os valores numéricos das expressões A e 
B, para x = 3 e y = 2, em cada item: 
a) A = x2 + y2 e B = (x + y)2 
b) A = x2 – y2 e B = (x – y)2 
c) A = x3 – y3 e B = (x – y)3 
d) A = x3 + y3 e B = (x + y)3 
 
2. Calcule os valores numéricos das expressões 
algébricas A e B, para x = 2 e y = 1, em cada 
item: 
a) A = (x + y)2 e B = x2 + 2xy + y2 
b) A = (x – y)2 e B = x2 – 2xy + y2 
c) A= (x – y) (x + y) e B = x2 – y2 
 
3. Calcule os seguintes produtos notáveis: 
a) (x + y)2 
b) (6 + a)2 
c) (x + 7)2 
d) (2x + y)2 
e) (x + 4y)2 
f) (3a + 2y)2 
 
4. Efetue os seguintes produtos notáveis: 
a) (x2 + y3)2 
b) (5ax2 + 6a3)2 
c) (4a3x + aby)2 
d) (a2 + 5am)2 
e) (x6 + 3x2)2 
f) 2
5
2
3
5







yx 
 
5. Calcule os seguintes produtos notáveis: 
a) (m – 2)2 
b) (4 – z)2 
c) (3m – 5n)2 
d) (1 – 6a)2 
e) (x – 3y)2 
f) (2ab – 3ac)2 
 
6. Efetue os seguintes produtos notáveis: 
a) (a3 – 4a)2 
b) (3x2 – 5xy) 2 
c) (5a2 – 4b2)2 
d) (x3 – y3)2 
e) (2ax2 – 4a2x)2 
f) 2
32
2
1
3
2






 xaba
 
 
7. Calcule os seguintes produtos notáveis: 
a) (a + 2) . (a – 2) 
b) (6 + x) . (6 – x) 
c) (x – 8) . (x + 8) 
d) (10 – z) . (10 + z) 
e) (5ab + 12) . (5ab – 12) 
f) (3x + 2m) . (3x – 2m) 
 
8. Efetue os seguintes produtos notáveis: 
a) (a2 – 1) . (a2 + 1) 
b) (a3b2 + c) . (a3b2 – c) 
c) (x3 + y3) . (x3 – y3) 
d) (5a3b + 2xy2) . (5a3b – 2xy2) 
e) (x2y4 – 5x) . (5x + x2y4) 
f) 









4
3
5
2x .









4
3
5
2x 
 
9. Calcule os seguintes produtos notáveis: 
a) (x + 3)3 
b) (2a + 4)3 
c) (3a + 2b)3 
d) (3xy + 2z)3 
e) (x – 5)3 
f) (3m – 2)3 
g) (2ax – 3by)3 
 
10. Efetue os seguintes produtos notáveis: 
a) (a2 + b2)3 
b) (2ax + 3a2)3 
c) (x3 + x)3 
d) 3
3
1
2
3







x 
e) (x2 – y3)3 
f) (m2 – 3xy2)3 
g) 33
42
1









a 
 
11. Calcule os seguintes produtos: 
a) (x + 6) (x + 4) 
b) (a – 3) (a – 5) 
c) (y – 7) (y + 3) 
d) (m – 12) (m + 8) 
e) (x – 9) (x + 5) 
 
12. Efetue os seguintes produtos: 
a) 







2
1
x 






4
3
x
 
b) 







5
3
x 






3
5
x
 
c) 







3
2
x
(x – 9 ) 
d) 







5
2
x 






2
3
x
 
 
13. Calcule os seguintes produtos: 
a) (a + 4) (a2 – 4a + 16) 
b) (3 + x2) (9 – 3x2 + x4) 
c) (4a2 + 3b2) (16a4 – 12 a2b2 + 9b4) 
d) 







5
1
3
2x









25
1
15
2
9
4 2 xx 
e) (m – 6) (m2 + 6m + 36) 
f) (mx2 – m2x) (m2x4 + m3x3 + m4x2) 
g) 






 53
4
1
2
3
ba 





 10536
16
1
8
3
4
9
bbaa
 
 
14. Fatore os trinômios quadrados perfeitos abaixo: 
a) 4x2 + 4x + 1 
b) x2 + 10x + 25 
c) 4x4 + 4x2y3 + y6 
d) 16 – 8x + x2 
e) 36m2n4 – 24mn2x3 + 4x6 
f) 
236 4
5
12
25
9
yyxx 
 
g) 
4
9
9
1 48 mm
 
 
15. Fatore os seguintes binômios: 
a) x2 – y2 
b) 4x2 – 1 
c) 9x2 – y2 
d) 16a2 – 9b2 
e) 9x2 – 4 
f) 25p2 – 36q4 
g) 
81
4
25
49 2x

 
 
GABARITO 
1) a) A = 13, B =25 b) A = 5, B = 1 
c) A = 19, B= 1 d) A = 35, B = 125 
2) a) A = 9, B = 9 b) A = 1, B = 1 
c) A = 3, B = 3 
3) a) x
2
 + 2xy + y
2 
b) 36 + 12a + a
2
 
c) x
2
 + 14x + 49 d) 4x
2
 + 4xy + y
2
 
e) x
2
 + 8xy + 16y
2 
f) 9a
2 
+ 12ay + 4y
2
 
4) a) x
4
 + 2x
2
y
3
 + y
6
 
b) 25a
2
x
4
 + 60a
4
x
2 
+ 36a
6 
c) 16a
6
x
2
 + 8a
4
bxy + a
2
b
2
y
2 
d) a
4
 + 10a
3
m + 25a
2
m
2 
e) x
12 
+ 6x
8
 + 9x
4 
f) 
22
25
4
3
4
9
25
yxyx 
 
5) a) m
2 – 4m+ 4 b) 16 – 8z + z2 
c) 9m
2
 – 30mn + 25n2 d) 1 –12a + 36a2 
e) x
2
 – 6xy + 9y2 f) 4a2b2 – 12a2bc + 9a2c2 
6) a) a
6
 – 8a4 + 16a2 b) 9x4 – 30x3y + 25x2y2 
c) 25a
4 – 40a2b2 + 16b4 d) x6 – 2x3y3 + y6 
e) 4a
2
x
4 – 16a3x3 + 16a4x2 
f)
26524
4
1
3
2
9
4
xabxaba 
 
7) a) a
2 – 4 b) 36 – x2 c) x2 – 64 
d) 100 – z2 e) 25a2b2 – 144 f) 9x2 – 4m2 
8) a) a
4 – 1 b) a6b4 – c2 c) x6 – y6 
 d) 25
 
a
6
b
2 – 4x2y4 e) x4y8 – 25x2 
f) 
16
9
25
4

x 
9) a) x
3
 + 9x
2
 + 27x + 27 
b) 8a
3 
+ 48a
2 
+ 96a + 64 
c) 27a
3
 + 54a
2
b
 
+ 36ab
2
 + 8b
3
 
d) 27x
3
y
3 
+ 54x
2
y
2
z + 36xyz
2 
+ 8z
3 
e) x
3
 – 15x2 + 75x – 125 
f) 27m
3
 – 54m2 + 36m – 8 
g) 8a
3
x
3
 – 36a2bx2y + 54ab2xy2 – 27b3y3 
10) a) a
6
 + 3a
4
b
2 
+ 3a
2
b
4
 + b
6
 
b) 8a
3
x
3
 + 36a
4
x
2
 + 54a
5
x + 27a
6
 
 c) x
9 
+ 3x
7
 + 3x
5
 + x
3
 
d) 
27
1
24
9
8
27 23

xxx 
e) x
6
 – 3x4y3 + 3x2y6 – y9 
f) m
6
 – 9m4xy2 + 27m2x2y4 – 27x3y6 
g) 
6432
3
16
3
8
1 963 aaa

 
11) a) x
2 
 + 10x + 24 b) a
2
 – 8a + 15 
c) y
2
 – 4y – 21 d) m2 – 4m – 96 
e) x
2
 – 4x – 45 
12) a) x
2 
+
8
3
4
5
x
 b) x
2
 +
1
15
16
x
 
c) x
2 – 
6
3
25
x
 d) x
2
 – 
5
3
10
19
x
 
13) a) a
3
 + 64 b) 27 + x
6
 c) 64a
6
 + 27b
6
 
d) 
125
1
27
8 3

x e) m
3
 – 216 f) m3x6 – m6x3 
g) 
159
64
1
8
27
ba 
 
14) a) ( 2x + 1 )
2 
 b) ( x + 5 )
2
 
c) ( 2x
2
 + y
3
 )
2
 d) ( 4 – x )2 e) ( 6mn2 – 2x3 )2 
f) 2
3 2
5
3






 yx
 g) 2
4
2
3
3
1





m
 
15) a) (x – y) (x + y) 
b) (2x – 1 (2x + 1) 
c) (3x – y) (3x + y) 
d) (4a – 3b) (4a + 3b) 
e) (3x – 2) (3x + 2) 
f) (5p – 6q2) (5p + 6q2) 
g) 







9
2
5
7 x







9
2
5
7 x