Forças Tridimensionais e Momentos

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SISTEMA DE FORÇA TRIDIMENSIONAL
Para o equilíbrio de um ponto material é necessário que:
 = 0
Se as forças estiverem decompostas em seus respectivos componentes i, j, k, então teremos:
 + + = 0
Para se garantir o equilíbrio, é necessário que as três equações escalares dos componentes sejam iguais a 0.
Essas equações representam a soma algébrica dos componentes x, y, z da força que atua sobre o ponto material. Usando-as, podemos encontrar no máximo três incógnitas, geralmente representadas como ângulos ou intensidades das forças mostradas no diagrama de corpo livre.
Problemas de equilíbrio de força tridimensional de um ponto material são resolvidos usando-se alguns procedimentos.
Diagrama de Corpo Livre:
Defina os eixos x, y, z numa orientação adequada.
Identifique todas as intensidades e sentidos conhecidos e desconhecidos das forças no diagrama.
O sentido de uma força que tenha intensidade desconhecida é suposto.
Equações de Equilíbrio:
Use as equações escalares de equilíbrio , , nos casos em que seja fácil decompor cada força em seus componentes x, y e z.
Se a geometria tridimensional parecer difícil, primeiro expresse cada força como vetor cartesiano, faça a substituição pelos vetores e iguale a zero os componentes i, j, k.
Se a solução der resultado negativo, isso indica que o sentido da força é oposto ao mostrado no diagrama de corpo livre.
MOMENTO DE UMA FORÇA
O momento de uma força F em relação a um ponto O ou, mais exatamente, em relação ao eixo de momento que passa por O perpendicularmente ao plano, contendo 0 e F, pode ser expresso na 
forma de um produto vetorial:
 Mo = r x F
Nesse caso, r representa um vetor posição traçado de O até qualquer ponto sobre a linha de ação de F.
 Intensidade: a intensidade do produto vetorial é definida como Mo = rF sen Θ. O ângulo Θ é medido entre as direções de r e F. Para definir esse ângulo, r deve ser tratado como um vetor deslizante, de como que Θ possa ser representado corretamente. Uma vez que o braço de momento d = r sen Θ, então:
 Mo = rF sen Θ = F (r sen Θ) = Fd
 Direção e Sentido: a direção e o sentido de Mo são determinados pela regra da mão direita, com a aplicação do produto vetorial. Desse modo, deslocando r ao longo da linha tracejada e curvando os dedos da mão direita de r para f, ‘r produto vetorial F’, o polegar dica direcionado para cima, ou seja, fica perpendicular ao plano contendo r e F, que está na mesma direção e no mesmo sentido de Mo, o momento da força em relação ao ponto O. Note que tanto a ‘curvatura’ dos dedos em torno da linha vertical no ponto A como a seta que circula o vetor momento indicam o sentido de rotação provocado pela força. Lembrando que o produto vetorial é não comutativo, é importante manter a ordem de r para F.
 Princípio da Transmissibilidade: considere a força F aplicada no ponto A. o momento criado por F em relação a O é Mo = rA x F. No entanto, foi mostrado anteriormente que ‘r’ pode se deslocar de O até qualquer ponto sobre a linha de ação de F. em conseqüência, F pode ser aplicada no ponto B ou C, e no mesmo momento Mo = rB x F = rC x F deverá ser obtido.
 Formulação Vetorial Cartesiana: fixando os eixos coordenados x, y, z, o vetor posição r e a força F podem ser expressos como vetores cartesianos.
 i j k
 Mo = r x F = rx ry rz
 Fx Fy Fz
Onde:
 rx, ry, rz - representam os componentes x, y, z do vetor posição traçado do ponto O até qualquer ponto sobre a linha de ação da força.
 Fx, Fy, Fz - representam os componentes x, y, z do vetor força. 
Desenvolvendo o determinante temos:
 Mo = (ryFz – rzFy)i – (rxFz - rzFx)j – (rxFy – ryFx)k
A linha de ação de Fy em relação ao ponto A no eixo x seja rzFy. Pela regra da mão direita, esse componente atua na direção negativa de i. Da mesma forma, Fz contribui com um componente de momento dado por ryFzi. Assim, (Mo)x = (ryFz – rzFy).
 - O uso do produto vetorial no cálculo do momento tem uma clara vantagem em relação à formulação escalar na resolução de problemas em três dimensões. Isso ocorre porque, em geral, é mais fácil encontrar o vetor r para a força do que determinar o comprimento d do braço de momento, que deve ter direção perpendicular à linha de ação da força.
MOMENTO DE UM BINÁRIO
Um binário é definido como duas forças paralelas de mesma intensidade, sentidos opostos e separadas por uma distancia perpendicular d. como a força resultante é nula, o único efeito de um binário é produzir rotação ou tendência de rotação em determinada direção.
O momento produzido por um binário é chamado de momento de um binário. Podemos determinar seu valor calculando a soma dos momentos das forças que compõem o binário em relação a qualquer ponto arbitrário. O momento do binário calculado em relação a O é, portanto: 
 M = rA x (-F) + rB x F
Em vez de somar os momentos de ambas as forças para determinar o momento binário, é mais simples tomar os momentos em relação a um ponto localizado na linha de ação de uma das forças. Se, por exemplo, o ponto A é escolhido, então o momento de –F é zero, e se tem:
 M = r x F
O fato de se obter o mesmo resultado em ambos os casos pode ser demonstrado observando-se que no primeiro caso se pode escrever M = (rB – rA) x F e, pela regra do triangulo de adição vetorial, rA + r = rB ou r = rB – rA. esse resultado indica que o momento de um binário é um vetor livre, isto é, pode atuar em qualquer ponto, pois M depende apenas do vetor posição r, que é orientado entre as forças, não se encontrando ligado ao ponto arbitrário O. Isso não acontece com os vetores posição rA e rB, que têm origem no ponto O e extremidade nas forças.
 Formulação Escalar: o momento de um binário M é definido com intensidade dada por
 M = Fd
Onde F é a intensidade de uma das forças e d é a distância perpendicular ou braço do momento entre as forças. A direção e o sentido do momento binário são determinados pela regra da mão direita. 
 Formulação Vetorial: o momento de um binário pode também ser expresso pelo produto vetorial:
 M = r x F
A aplicação dessa equação pode ser facilmente lembrada tomando-se os momentos de ambas as forças em relação a um ponto sobre a linha de ação de uma delas.
 Binários Equivalentes: dois binários são ditos equivalentes se produzem o mesmo momento.
 Momento de Binário Resultante: como os momentos de binários são vetores livres, podem ser aplicados a qualquer ponto P de um corpo e somados vetorialmente.
Se mais de dois momentos de binário atuam no mesmo corpo, pode-se generalizar esse conceito e escrever o vetor resultante como:
 MR = 
PONTOS IMPORTANTES
Um momento de binário é produzido por duas forças não colineares que são iguais em intensidade e direção, mas tem sentidos opostos. 
Um momento de binário é um vetor livre e, como resultado, ele provoca o mesmo efeito de rotação em um corpo, independentemente de seu ponto de aplicação nesse corpo.
O momento gerado pelas duas forças do binário pode ser calculado em relação a qualquer ponto. Esse ponto é frequentemente escolhido na linha de ação de uma das forças.
Nos casos tridimensionais, o momento de binário costuma ser determinado por meio da formulação vetorial M = r x F, onde r tem origem em qualquer ponto sobre a linha de ação de uma das forças e extremidade em qualquer ponto sobre a linha de ação da outra força F.
Um momento de binário resultante é simplesmente a soma vetorial de todos os momentos de binários do sistema.
RESULTANTES DE UM SISTEMA DE FORÇAS E MOMENTO DE BINÁRIOS
Quando um corpo rígido está sujeito a um sistema de forças e momentos de binários, com freqüência é mais simples estudaros efeitos externos sobre ele, substituindo o sistema por uma única força resultante equivalente, atuando em um ponto específico O, e um momento resultante.
Esse procedimento de simplificação de qualquer sistema de forças e momentos de binários em uma força resultante atuando no ponto O e um momento resultante pode ser generalizado e representado pela aplicação das seguintes equações:
 FR = 
 MRO = e + O
A primeira equação estabelece que a força resultante do sistema é equivalente à soma de todas as forças, enquanto a segunda indica que o momento de binário resultante do sistema é equivalente à soma de todos os momentos de binário, acrescido dos momentos em relação ao ponto O de todas as forças. Se o sistema de forças se estende pelo plano x-y e quaisquer momentos de binário são perpendiculares a esse plano, isto é, ao longo do eixo z, então as equações anteriores se reduzem a três equações escalares:
 FRx = x
 FRy = y
 MRO = e + O
CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA UM CORPO RÍGIDO
Considerando o corpo rígido, solidário ao referencial x, y, z e que está em repouso ou movendo-se com velocidade constante. Um diagrama de corpo livre da i-ésima partícula do corpo é mostrado abaixo. 
 
Há duas forças que atuam na partícula: a força interna resultante, fi, que é provocada pela interação com as partículas adjacentes, e a força externa Fi, que representa, por exemplo, os efeitos das forças gravitacional, elétrica, magnética ou das forças de contato entre a i-ésima partícula e os corpos ou partículas vizinhos não incluídos no corpo. Se a partícula está em equilíbrio, aplicando a primeira Lei de Newton, temos:
 Fi + fi = 0
Quando a equação de equilibro é aplicada a cada uma das outras partículas do corpo, são obtidas equações similares. Somando todas essas equações vetorialmente, temos:
 i + i = 0
O somatório das forças internas será igual a zero, pois essas forças entre as partículas do próprio corpo ocorrem aos pares, são opostas e de mesma intensidade. Restará apenas a soma das forças externas. Portanto, a equação anterior pode ser escrita como
 = 0
Muitos tipos de problemas de engenharia envolvem carregamento simétrico e podem ser resolvidos pela projeção de todas as forças que atuam num corpo em um único plano. 
DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE
O primeiro passo na resolução de problemas de equilíbrio em três (ou duas) dimensões é desenhar o diagrama de corpo livre do corpo.
 Reações de apoio: é importante reconhecer os símbolos utilizados para representar cada um desses apoios e entender claramente como as forças e os momentos são desenvolvidos por cada apoio. Como no caso de duas dimensões, a força é desenvolvida por um apoio que restringe a translação do elemento, uma vez que o momento ocorre quando a rotação do elemento ligado é impedida. 
 Diagramas de Corpo Livre: essencialmente, é necessário em primeiro lugar, isolar o corpo, desenhando seu contorno. Feito isso, identifica-se com cuidado todas as forças e momentos em relação a um sistema de coordenadas x, y, z. Como regra geral, os componentes de reação que tenham intensidades desconhecidas são apresentados no diagrama de corpo livre atuando no sentido positivo. Dessa maneira, se qualquer valor negativo for obtido, será um indicativo de que os componentes atuam no sentido negativo no mesmo sistema de coordenadas.
TRELIÇAS
A treliça é uma estrutura de elementos relativamente delgados entre si pelas extremidades. Os elementos comumente utilizados em construções são de madeira ou barras de metal e em geral são unidos uns aos outros por meio de uma placa de reforço na qual eles são aparafusados ou soldados. Ou podem ser mantidos unidos por um grande parafuso ou pino que perfura cada um dos elementos.
 Treliças planas: são aquelas que se distribuem em um único plano e geralmente são utilizadas na sustentação de telhados e pontes. No exemplo de uma treliça de sustentação de telhado, a carga dele é transmitida à treliça nos pontos de conexão dos elementos por meio de uma série de travessas. Como o carregamento imposto pelo telhado atua no mesmo plano da treliça, a análise das forças desenvolvidas nos seus elementos é bidimensional. 
No caso de uma ponte, a carga no piso é primeiro transmitida às longarinas, em seguida às transversinas. Como no caso da treliça de telhado, o carregamento da treliça de ponte é coplanar.
 Treliça Simples: para evitar a perda de estabilidade, a forma de uma treliça deve ser suficientemente rígida. Obviamente, a geometria das quatro barras ABCD perderá sua estabilidade, a menos que um elemento diagonal, como o elemento AC, seja adicionado à estrutura. A forma geométrica rígida ou estável mais simples é a de um triângulo. Consequentemente uma treliça simples é construída a partir de um elemento triangular básico e então conectando-se dois elementos para formar outra estrutura triangular.
Cada elemento triangular, composto de dois elementos básicos e um nó, é inserido na estrutura, tornando assim possível a construção de uma treliça simples. 
 Treliças Espaciais: uma treliça espacial consiste de elementos ligados entre si em suas extremidades para formar uma estrutura tridimensional estável. A estrutura mais simples de treliça espacial é um tetraedro, que é formado pela interconexão de seis elementos. Qualquer elemento adicional nessa estrutura será redundante na sustentação da força P. Uma treliça espacial simples pode ser construída a partir desse tetraedro básico acrescentando-se três outros elementos em um nó, formando um sistema de tetraedros multiconectados.