P1 2016.2 Solucao

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#ConhecimentoLiberta 
MAT.1260 
Álgebra Linear 1 
(P1 2016.2) 
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01 
Considere as retas: 
 𝒓𝟏 = 𝟏, 𝟎, 𝟎 + 𝒕 𝟐, 𝟏, 𝟎 	
  𝒕 ∈ ℝ} 𝒓𝟐 = 𝟏, 𝟏, 𝟒 + 𝒍 𝟎, 𝟏, 𝟐 	
  𝒍 ∈ ℝ} 
Determine: 
 
A)   A distância entre as retas 𝒓𝟏e 𝒓𝟐. 
 
Para o cálculo de distância entre retas, o primeiro passo é determinar um ponto genérico 
em ambas as retas e calcular o vetor que os conecta. Os pontos utilizados foram: 
 𝑃0 = 1 + 2𝑡, 𝑡, 0 	
  𝑃5 = (1,1 + 𝑙, 4 + 2𝑙)	
  	
  
O vetor que conecta esses pontos é obtido subtraindo P1 de P2: 
 𝑃5 − 𝑃0 = 𝑣 = (−2𝑡, 1 − 𝑡 + 𝑙, 4 + 2𝑙)	
  
 
Para esse caso, o modulo do vetor v seria igual a distância entre os pontos P2 e P1. Mas 
falta determinar os valores de 𝒔 e de 𝒕 para que a distância entre esses pontos seja a 
mesma distância entre as retas, para isso acontecer o vetor 𝒗 tem que ser perpendicular a 
ambas as retas (ou aos seus vetores diretores), ou seja: 
 𝑣	
  . 2,1,0 = 0	
  𝑣	
  . 0,1,2 = 0 
 
DICA LIBER: O produto escalar entre dois vetores sempre tem como resultado um número, e se 
ele for zero os vetores são perpendiculares. 
 
Resolvendo o sistema: 
 𝑙 + 1 − 5𝑡 = 0	
  5𝑙 + 9 − 𝑡 = 0 
 
Temos como resultados: 
 𝑡 = −16	
  𝑙 = − 116 	
  𝑃0 = 23 , − 16 , 0 	
  
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3 
𝑃5 = 1, − 56 , 13 	
  𝑣 = 13 , − 23 , 13 	
  
𝒗 = 𝟏𝟗 + 𝟒𝟗 + 𝟏𝟗 = 𝟔𝟑 	
  
 
 
 
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B)   A equação cartesiana do plano 𝚷 que contém 𝒓𝟐 e é paralelo a 𝒓𝟏. 
 
Para se encontrar a equação cartesiana de um plano são necessárias duas informações, um 
ponto pertencente ao plano e a normal do plano. Para o ponto, podemos escolher 
qualquer ponto que esteja na reta 𝑟5, já que sabemos que esta é contida no plano. 
Para a normal do plano será feito o produto vetorial entre os vetores diretores das retas, 
desse modo é possível garantir que não só o plano irá conter 𝑟5, como ele será paralelo a 𝑟0. 
 𝑣 = 2,1,0 x 0,1,2 = (2, −4,2)	
  	
  
Com isso podemos chegar a uma equação genérica para o plano: 
 2𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑑 
 
Agora basta fazer um ponto pertencente a 𝑟5 estar contido no plano, o ponto escolhido foi 𝑃 = (1,1,4): 
 2 ∗ 1 − 4 ∗ 1 + 2 ∗ 4 = 𝑑 = 6 𝚷 = 𝟐𝐱 − 𝟒𝐲 + 𝟐𝐳 = 𝟔 
 
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C)   Uma equação paramétrica da reta 𝒓𝟑 que é a reflexão de 𝒓𝟏 com 
relação ao plano 𝚷 definido no item (B). 
 
Como sabemos que a reta 𝑟0 é paralela ao plano podemos afirmar que a reta e o plano não 
se cortam, por isso o espelhamento não irá mudar a direção da reta e o seu vetor diretor se 
manterá o mesmo a reta apenas mudara a sua posição no espaço, o desafio da questão é 
encontrar um ponto pertencente a reta. 
 
DICA LIBER: Outro caso em que a direção da reta espelhada não mudaria seria se ela fosse 
ortogonal ao plano, nesse caso o espelhamento da reta seria igual à própria reta. 
 
O plano de espelhamento vai se encontrar exatamente no meio das retas 𝒓𝟏e 𝒓𝟑 já que 𝒓𝟏 é paralelo a 𝚷, então, se considerarmos um ponto 𝑃Q = (𝑥, 𝑦, 𝑧) genérico pertencente a 𝑟Q podemos afirmar que: 
 𝑃Q − 𝑃0 = 2 ∗ (𝑃5 − 𝑃0) 𝑃Q = 2 ∗ 13 , − 23 , 13 + 23 , − 16 , 0 = 43 , − 32 , 23 𝒔 = 𝟒𝟑 ,−𝟑𝟐 , 𝟐𝟑 	
  + 𝒕 𝟐, 𝟎, 𝟏 	
  𝒕 ∈ ℝ}	
   
 
 
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02 
Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a 
afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a 
afirmação for falsa, exiba um contraexemplo 
 
 
A)  Se o conjunto de vetores 𝜷 = {𝒗𝟏, 𝒗𝟐, 𝒗𝟑} é linearmente 
dependente, então o subconjunto{𝒗𝟐, 𝒗𝟑} ⊂ 𝜷 é linearmente 
dependente. 
 
O modo mais prático para analisar este problema é pensar em ℝ𝟐já que 3 vetores em ℝ𝟐 
sempre serão linearmente dependentes, então basta pensar em dois vetores linearmente 
independentes e fazer o terceiro ser a soma deles: 
 𝑣5 = (1,0) 𝑣Q = (0,1) 𝑣0 = (1,1) 
 
Desse modo podemos ver claramente que o conjunto { 1,1 , 1,0 , 0,1 } é linearmente 
dependente, mas o conjunto { 1,0 , 0,1 } não. A afirmação é: 
 
Falsa 
 
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B)  Se 𝒌 = 𝟐, então o conjunto 𝟏, 𝟐, 𝟑 , 𝟏, 𝟏, 𝟏 , 𝟎, 𝟏, 𝒌 é linearmente 
dependente.. 
 
Para ver se um conjunto é linearmente dependente ou não basta tentar escrever o vetor zero 
em função dos vetores do conjunto, se houver alguma solução para o sistema que não a 
solução trivial então o seu conjunto de vetores é linearmente dependente. 
 
DICA LIBER: A solução trivial seria que o vetor zero seria igual a soma de todos os vetores do 
conjunto multiplicados por zero. 
 0,0,0 = 𝑎 1,2,3 + 𝑏 1,1,1 + 𝑐(0,1,2) 𝑎 + 𝑏 = 02𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 03𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 = 0	
  	
  
Podemos ver que uma solução seria 𝑎 = 1,𝑏 = −1 e 𝑐 = −1, o que mostra que o conjunto é 
linearmente dependente, portanto a afirmação é: 
 
Verdadeira 
 
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C)  Se 𝒖 e 𝒗 são vetores não nulos e com a mesma direção, então 𝒖 + 𝒗 𝟐 = 𝒖 𝟐 + 𝒗 𝟐. 
 
Para este caso basta escolher vetores tais que 𝑢 = −𝑣, desse modo se garante que eles tem 
a mesma direção e que a soma deles tem modulo zero, mas como cada vetor é diferente de 
zero, individualmente cada um terá um modulo positivo., por exemplo: 
 𝑢 = (−1,0) 𝑣 = (1,0) 𝑢 + 𝑣 5 = 05 = 0 𝑢 5 + 𝑣 5 = 15 + 15 = 2 
 
Desse modo podemos facilmente notar que a afirmação é: 
 
Falsa 
 
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D)  Se 𝒖 e 𝒗 são vetores do ℝ𝟑ortogonais e de mesmo módulo, então 𝒖	
  𝐱	
  𝒗 = 𝒖	
  . 𝒖 . 
 
Sabemos que o modulo do produto vetorial é equivalente à área do paralelogramo formado 
pelos dois vetores utilizados, no caso como os vetores utilizados são ortogonais e de mesmo 
modulo, o paralelogramo formado foi um quadrado, de área 𝑢 ∗ 𝒗 que equivale a 𝑢 5. 
Também sabemos que 𝑢	
  . 𝑢 = 𝑢 5, logo 𝑢	
  x	
  𝒗 = 𝑢. 𝑢 e a afirmação é : 
 
Verdadeira 
 
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03 
Considere as retas 𝒔𝟏e 𝒔𝟐 de	
  ℝ𝟐 dadas pelas equações 𝒚 =− 𝟑𝟒 𝒙 + 𝟏 e 𝒚 = 	
  − 𝟑𝟒 𝒙 + 𝟔 respectivamente. Considere uma 
circunferência 𝑪 de centro 𝑪 = (𝒄, 𝒄) e raio 𝒓 inscrita entre as 
duas retas como na figura abaixo. 
 
 
A)  Determine todos os pontos que equidistam das retas 𝒔𝟏 e 𝒔𝟐. 
 
Os pontos equidistantes a duas retas paralelas se encontram em outra reta paralela a 
elas, então sabemos que ela será do tipo: 
 𝑦 + 34 𝑥 = 𝑑 
 
Basta encontrar um ponto pertencente a reta para podermos encontrar o valor de 𝑑 e chegar 
na equação final. Mas sabemos que essa reta é equidistante as duas originais, então basta 
escolheremos um ponto em cada uma delas e calcular a média e esse ponto 
obrigatoriamente pertencerá à reta que buscamos. 
 𝑃0 = (0,1) 𝑃5 = (0,6) 𝑃0 + 𝑃52 = (0, 72) 𝒚 + 𝟑𝟒𝒙 = 𝟕𝟐 
 
 
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B)  Determine o valor de 𝒄. 
 
O ponto 𝐶 pertence a equação de reta encontrada no item anterior, então basta encontrar 
um valor da reta onde 𝑥 = 𝑦 = 𝑐, para isso resolvemos a equação abaixo: 
 𝑐 + 34 𝑐 = 72 𝒄 = 𝟐	
  
 
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C)  Determine a equação da reta 𝒔𝟑 que passa por 𝑪 e é ortogonal às 
retas 𝒔𝟏e 𝒔𝟐. 
 
Como estávamos trabalhando com as retas em sua forma cartesiana, é fácil encontrar um 
vetor normal a elas, no caso 𝑛 = Qc, 1 , e como sabemos que a reta tem que passar pelo 
ponto 𝐶 = (2,2), podemos facilmente chegar na equação paramétrica da reta 𝑠Q: 
 𝒔𝟑 = 2,2 	
  + 𝒕 𝟑𝟒 , 𝟏 	
  𝒕 ∈ ℝ}	
   
 
A equação acima já seria uma resposta válida, mas já que todas as outras retas estão na sua 
forma cartesiana vamos transformá-la na cartesiana também, para isso basta resolver o 
sistema abaixo: 
 𝑥 = 2 + 34 𝑡𝑦 = 2 + 𝑡 
 
Para resolver esse sistema basta escrever 𝑡 em função de 𝑦 e substituir na equação de 𝑥, 
desse modo teremos apenas uma equação que depende de 𝑥 e 𝑦. Resolvendo chegamos 
na equação: 
 𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝟐𝟑 
 
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D)  Determine o valor do raio 𝒓. 
 
Para facilitar a visualização vamos desenhar o que poderia nos ajudar a resolver o problema: 
 
 
DICA LIBER: Desenhar o problema muitas vezes ajuda a encontrar uma solução simples. 
 
Para esse cálculo vamos aproveitar que temos a equação da reta 𝑠Q e calcularemos o ponto 𝑃Qque 
seria a sua interseção com a reta 𝑠0, para isso igualamos as coordenadas das duas retas: 
 4𝑥 − 23 = −34 𝑥 + 1 𝑥 = 45 𝑃Q = 𝑥, − 34 𝑥 + 1 = 45 , 25 
 
Agora a distância entre esse ponto e o ponto 𝐶 será igual ao raio da circunferência: 
 𝒓 = 𝟒𝟓 − 𝟐 𝟐 + 𝟐𝟓 − 𝟐 𝟐 = 𝟐 
 
 
 
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E)  Assuma que o segmento de reta 𝑨𝑩 é a projeção ortogonal de 𝑪 
em 𝒔𝟏e determine as coordenadas de 𝑨 e de 𝑩. 
 
Novamente começaremos desenhando o que é pedido: 
 
 
Como temos os valores de 𝐶 e 𝑃Qé possível calcular 𝑃Q𝐶 = hi , ji , com esse vetor é possível calcular 
os vetores 𝑃Q𝐴 = (− ji , hi) e 𝑃Q𝐵 = (ji , − hi) 
 
DICA LIBER: Em	
  ℝ𝟐 podemos girar um vetor em 90 graus se trocarmos as suas coordenadas e trocarmos 
o sinal de uma delas, o sinal que for trocado indicará se foi uma rotação no sentido horario ou anti-
horario. 
 
Com esses vetores é possível encontrar os pontos pedidos: 
 𝑨 = 𝑴𝑨+𝑴 = −𝟖𝟓 + 𝟒𝟓 , 𝟔𝟓 + 𝟐𝟓 = (−𝟒𝟓 , 𝟖𝟓) 𝑩 = 𝑴𝑩+𝑴 = 𝟖𝟓 + 𝟒𝟓 ,−𝟔𝟓 + 𝟐𝟓 = (𝟏𝟐𝟓 ,−𝟒𝟓) 
 
 
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