2º Simulado

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Prova simulada 
 
1. Um oscilador harmônico amortecido com fator de amortecimento  = 0,2 sofre a ação de uma força 
harmônica de amplitude F0 = 30 N. Quando a freqüência com que a força atua é  = 350 rad/s a 
amplitude de vibração é 0,2 mm e quando a freqüência é  = 500 rad/s a amplitude torna-se 0,12 
mm. Determinar a massa e a rigidez do oscilador. 
 
Dados:  = 0,2, F0 = 30 N,  = 350 rad/s  X = 0,2 mm e  = 500 rad/s  X = 0,12 mm. 
222
0
21 






















nn
k
F
X





 
de onde 
222
0
21 






















nn
X
F
k





 
e para os dois valores de freqüência e amplitudes 
222
3
3502,023501
102,0
30
























nn
k

 
222
3
5002,023001
1012,0
30
























nn
k

 
Resolvendo, chega-se a 
rad/s 7,405n , kN/m 2,349k e m = 2,122 kg 
 
2. No sistema mostrado na Fig. 1, x é o deslocamento da massa m e y é o deslocamento do ponto Q 
(extremidade do da mola de rigidez k1 e do amortecedor de constante c1). Quando o ponto Q está 
submetido a um movimento harmônico y(t) = Y cost, determinar: 
(a) a equação do movimento da massa m, 
(b) o deslocamento de regime permanente da mesma e, 
(c) a magnitude da força transmitida ao suporte em P. 
 
 
 Figura 1 
 
(a) equação do movimento da massa m 
    xmyxcyxkxcxk   1122 
    tYctYkycykxkkxccxm  sincos 11112121   
 
(b) deslocamento de regime permanente 
     
     2212221
1111 sincos


ccmkk
tYctYktxp


 
 








  2
21
211
1 tan 


mkk
cc 
 
(c) magnitude da força transmitida ao suporte em P 
     
        12112122121
2
21
22
21
22 sincos 



 tckcktcckk
ccmkk
YxcxkFT 
   
     2212221
2
2112
22
2121


ccmkk
ckckcckkY
FT


 
 
3. Um automóvel de massa m = 1000 kg trafega com uma velocidade de 80 km/h em uma superfície 
irregular com perfil senoidal de amplitude 60 mm e distância entre picos 0,3 m. Se a freqüência 
natural do carro é 0,8 Hz, com amortecimento crítico, determinar: 
(a) a amplitude de vibração vertical; 
(b) a força transmitida para o veículo. 
 
Dados: m = 1000 kg,  = 1, v = 80 km/h, Y = 60 mm, L = 0,3 m e fn = 0,8 Hz, 
(a) Amplitude de vibração vertical 
s 0135,0
3600
80000
3,0
0
0








v
Lt
t
Lv 
rad/s 4,465
0135,0
22
0



t
 
rad/s 027,58,022   nn f 
59,92
027,5
4,465

n
r

 
 
   
 
   
m 10296,1
59,92259,921
59,922106,0
21
21 3
222
2
222
2







rr
rYX 
(b) Força transmitida para o veículo 
kN 7,280001296,04,4651000 22  XmFT  
 
4. Um eixo possui uma rigidez no seu centro k = 1,2×106 N/m possuindo neste ponto um disco de 
massa m = 200 kg. O eixo gira a 3600 rpm, possui fator de amortecimento  = 0,05, e uma massa 
desbalanceada me = 50 gr com uma excentricidade e = 0,20 m. Determinar a amplitude de vibração. 
 
Dados: k = 1,2×106 N/m, m = 200 kg, f = 3600 rpm,  = 0,05, me = 50 gr e e = 0,20 m. 
rad/s 120
60
360022   f 
rad/s 46,77
200
102,1 6



m
k
n 
867,4
5,77
377

n
r

 
5. Uma viga de aço ( = 7800 kg/m3, E = 210 GPa) bi-engastada, com comprimento igual a 5 m, 
largura de 0,5 m, e espessura de 0,1 m, suporta um motor de massa 750 kg operando com uma 
velocidade de 1200 rpm em seu centro, como mostra a Fig. 2. Uma força rotativa, de magnitude 
F0 = me2 = 5000 N, se desenvolve devido ao desbalanceamento no rotor do motor. Determinar a 
amplitude da vibração de regime permanente, assumindo que o fator de amortecimento do sistema é 
 = 0,15 
(a) desconsiderando a massa da viga e 
(b) considerando a massa efetiva da viga. 
 
t
F0
l/2 l/2 
Figura 2 
 
Dados:  = 7800 kg/m3, E = 210 GPa, l = 5 m, b = 0,5 m, t = 0,1 m, m = 750 kg, f = 1200 rpm, F0 = 
me2 = 5000 N e  = 0,15 
rad/s 7,125
60
120022   f 
45
33
m 10167,4
12
1,05,0
12



btI 
kN/m 104,134
5
1017,4101,2192192 6
3
511
3




l
EIk 
(a) desconsiderando a massa da viga 
rad/s 9,133
750
10344,1 7



m
k
n 
9387,0
134
126

n
r

 
       
mm 217,1
9387,015,029387,01
10344,1
5000
21 222
7
222
0





rr
k
F
X

 
(b) considerando a massa efetiva da viga 
kg 195051,05,07800  btLVmviga  
kg 1400
3
1950
750
3
 vigaef
m
mm 
rad/s 98,97
1400
1034,1 7



ef
n m
k
 
283,1
0,98
126

n
r

 
       
mm 4954,0
283,115,02283,11
10344,1
5000
21 222
7
222
0





rr
k
F
X

 
 
       
m 1019,52
867,405,02867,41
200
867,42,005,0
21
6
222
2
222
2






rr
m
erm
X
e

 
 
6. Uma bomba centrífuga pesando 600 N e operando a 1000 rpm, é montada em seis molas de rigidez 
6000 N/m cada, associadas em paralelo, com amortecimento  = 0,2. Determinar a máxima 
excentricidade permissível para o rotor, de forma que a amplitude de regime permanente se limite a 
5 mm pico a pico. 
 
Dados: W = 600 N, f = 1000 rpm, k = 6 × 6000 N/m,  = 0,2 e 2 X = 5 mm 
kg 16,61
81,9
600

g
Wm 
rad/s 7,104
60
100022   f 
rad/s 26,24
2,61
106,3 4



m
k
n 
316,4
3,24
105

n
r

 
   222
2
21 rr
M
mer
X

 
Com M = m 
        mm 377,2316,42,02316,41
318,4
0025,021 222
2
222
2











 rr
r
Xe  
7. No estudo de vibração de válvulas usadas em sistemas de controle hidráulico, a válvula e a sua haste 
elástica são modelados como um sistema massa-mola como mostra a Fig. 3a. Além das forças de 
mola e amortecimento, há uma força da pressão fluida na válvula que varia com a abertura da 
mesma. Encontrar a resposta de regime permanente da válvula quando a pressão na câmara varia 
como indicado na Fig. 3b. Assumir que k = 2500 N/m, c = 10 N.s/m e m = 0,25 kg. O diâmetro da 
tubulação é 50 mm, p0 = 50 kPa e  = 2s. 
c
d
p(t)
m
k
x(t)
p(t)
p0
0
 /2  /2 /2 t 
 (a) (b) 
Figura 3 
 
A força exercida sobre a válvula, resultante da pressão fluida é dada por 
    F t A p t 
em que A é a área da seção vazada da câmara, dada por 
 24
22
m 1025,6
4
05,0
4

 


dA 
rad/s 
2
22




  
 













t
ttAp
tF
2
para0
2
0parasin0
 
 








 ApAp
t
Ap
dttApa 00
2
0
02
0 00
2
0coscoscos1
2
sin2 


  
 
 
 
 
2
0
02
0
02
0 0 2
cos
2
cos2cossin
2
cossin2










 









  j
tj
j
tjApdttjtApdttjtApaj
 
 
 
 
 
   























j
j
j
jAp
j
tj
j
tjApa j 1
0cos1cos
1
0cos1cos
21
1cos
1
1cos
2
2 0
2
0
0 




 
Para j = 1,3,5,... (ímpar) 
0
1
11
1
11
2
0 











jj
Apa j 
 
Para j = 2,4,6,... (par) 
 2
0
2
000
1
2
1
1
1
2
1
2
21
11
1
11
2 j
Ap
j
jjjAp
jj
Ap
jj
Ap
a j 






























 
 
 
 
 
2
0
02
0
02
0 0 2
sin
2
sin2sinsin
2
sinsin2










 









  j
tj
j
tjApdttjtApdttjtApb j
 
 
 
 
 
   























j
j
j
jAp
j
tj
j
tjApb j 1
0sin1sin
1
0sin1sin
21
1sin
1
1sin
2
2 0
2
0
0 




 
0jb 
Com exceção para j = 1 quando há uma indeterminação no primeiro termo  
j
j


1
0sin1sin  
22
2sin
2
2sin2sinsin2 0
2
0
02
0
202
0 01
ApttApdttApdtttApb 


  









 
Os valores dos coeficientes para as 20 primeiras harmônicas são 
j aj bj cj j aj bj cj 
0 62,5 62,5 
1 0 49,1 49,1 11 0 0 0 
2 -20,8 0 20,8 12 -0,437 0 0,437 
3 0 0 0 13 0 0 0 
4 -4,17 0 4,17 14 -0,321 0 0,321 
5 0 0 0 15 0 0 0 
6 -1,79 0 1,79 16 -0,245 0 0,245 
7 0 0 0 17 0 0 0 
8 -0,99 0 0,992 18 -0,194 0 0,193 
9 0 0 0 19 0 0 0 
10 -0,631 0 0,631 20 -0,157 0 0,157 
Com 22 jjj bac  
 
A força é então dada por 
  

 

1
2
000 parparacos
1
12sin
2 j
jtj
j
AptApAptF 



 
 
 A resposta de regime permanente é 
 
 
   
 
     
 







1 2
2222
0
1
222
00 parparacos
211
12sin
212 j
jp jtj
rjrjjk
Apt
rrk
Ap
k
Aptx 



 Se a frequência natural é 
 rad/s 100
25,0
2500

m
k
n 
 A frequência fundamental da força periódica é  =  rad/seg, então 
 r
n
  



100
0 0314, 
 O fator de amortecimento é obtido a partir dos parâmetros do sistema por 
0
10
20
30
40
50
60
70
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5
Média
Harmônica 2
Harmônica 4
Harmônica 6
Harmônica 8
Hamrônica 1 - seno
Série total
 

 
 

c
m n2
10
2 0 25 100
0 2
,
, 
 Os ângulos de fase são obtidos por 
 
 


j
jr
j r
j
j
j
j







 
 








  





  tan tan
, ,
,
tan
,
,
1
2 2
1
2 2
1
2
2
1
2 0 2 0 0314
1 0 0314
0 0126
1 0 000987
 
e a resposta de regime permanente do sistema será dada por 
    
     


 


1 2
222
parpara
000158,0000987,011
cos
025,0sin0197,00125,0
j
j
p j
jjj
tj
ttx

 
 
 
-0,005
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4