Sistemas Lineares

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Universidade Federal do Rio Grande do 
Norte 
Métodos Computacionais 
Marcelo Nogueira 
Sistemas Lineares 
� Comuns na engenharia (calculo de estruturas, redes elétricas, 
solução de equações diferenciais) 
� Forma geral 
 
 
 
 
 ��� : coeficientes �� : incógnitas �� : termos independentes 
 
� Ex: 
� 2�� 	 3�� � �
 � 54�� 	 4�� � 3�
 � 32�� � 3�� 	 �
 � �1 
 
� Resolver significa achar � que satisfaça o conjunto de equações 
Forma Matricial 
 �� � � 
� Onde 
 
 
 
� Ex 
 
Classificação 
� Incompatível: não possui solução 
� Ex: 
 
 
 
� Compatível: possui solução (1 ou mais) 
� Determinado: solução única 
 
 
 
� Indeterminado: várias soluções 
� Ex: 
 
 



=+
=+
822
3
21
21
xx
xx



=+
=+
622
3
21
21
xx
xx



−=−
=+
32
3
21
21
xx
xx x� � 1 x� � 2 
x� � 1 x� � 2 x� � �1 x� � 4 x� � 10 x� � �7 � 
 
Sistema triangular 
� Superior 
 
 
 
 
 
� Inferior 
 
 
 
 
� Podem ser solucionados com Resolução Retroativa 
 
Resolução Retroativa 
� Ex: Resolva o seguinte sistema utilizando resolução 
retroativa 
 
Quadro 
� Solução: 
 
Algoritmo Resolução Retroativa 
Entrada: matriz de coeficientes A e vetor de termos independentes b 
[l,c] = tamanho(A); 
x = zeros(c,1); //alocacao de memoria para maior velocidade 
para i=l:-1:1 
 soma = 0; 
 para j=c:-1:i 
 soma = soma + x(j)*A(i,j); 
 fim_para 
 x(i) = (b(i) - soma)/A(i,i); 
fim_para 
saída(“a solução do sistema é “ x); 
 
� Exercício: Classifique os seguintes sistemas: 
� ��� � 3�� 	 �
 � 6 4�� � �
 � 5 �
 � 4 
� ��� � 2�� 	 3�
 	 �� � 4 3�
 	 �� � 3 �
	�� � 2 �� � 1 
�
 �� � 1 �� 	 �� � �1 2�� 	 �� 	 3�
 � 0 �� 	 �� 	 �
 � �1�� � �� 	 �
 � �� 	 �� � 3
 
Métodos de solução numéricos 
� Diretos: número finito de passos 
• Método de Gauss 
• Método do Pivotação Parcial/Total 
• Método da Eliminação de Jordan 
� Iterativos: seqüência de aproximações para o valor 
do vetor solução x até uma precisão pré-
estabelecida 
• Método de Jacobi 
• Método de Gauss - Seidel 
Método de Gauss 
� Consiste em transformar o sistema linear a ser 
resolvido em um sistema linear triangular, o qual 
pode ser resolvido por Resolução Retroativa 
� Para se transformar o sistema linear, utiliza-se 
transformações elementares 
• Trocar a ordem das equações 
• Multiplicar uma equação por um número real 
não nulo 
• Substituir uma equação por uma combinação 
linear dela mesma com outra equação 
 
Passos 
� Construir a matriz aumentada Ab 
 
 
 
 
� Eliminar os coeficientes de �1 nas linhas 2,3,...,n (fazer �21 � �31 � � � ��1 � 0) sendo �11 chamado de 
pivô da coluna 
� Substituir a linha 2 �2 pela combinação linear 
 
 
 onde 
 
1122 LmL ⋅+
11
12
12
a
a
m −=
� Substituir a linha 3 �3 pela combinação linear 
 
 onde 
 
 
� Continuar a substituição até a linha n 
� Caso algum elemento ��� � 0, achar outra linha onde �!" # 0 e trocar tais linhas. 
� Eliminar os coeficientes de �� nas linhas 3,4,...,n (fazer �
� � ��� � � � �$� � 0) 
� Eliminar os coeficientes de �
 nas linhas 4,5,...,n (fazer ��
 � ��
 � � � �$
 � 0) e assim sucessivamente 
 
 
1133 LmL ⋅+
11
13
13
a
a
m −=
� Ex: Resolver o sistema utilizando o método de Gauss 
 
� 2�� 	 3�� � �
 � 54�� 	 4�� � 3�
 � 32�� � 3�� 	 �
 � �1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quadro 
• Solução: 
� 2�� 	 3�� � �
 � 54�� 	 4�� � 3�
 � 32�� � 3�� 	 �
 � �1 
� Matriz aumentada Ab 
�� � 2 3 �1 54 4 �3 32 �3 1 �1 
 
� Substituindo a linha 2 por �� 	%�� onde % � � &'(&'' � �2 �� � 2 3 �1 54 4 �3 32 �3 1 �1 ) �� �
2 3 �1 50 �2 �1 �72 �3 1 �1 
 
� Substituindo a linha 3 por �
 	%�� onde % � � &'*&'' � �1 �� � 2 3 �1 50 �2 �1 �72 �3 1 �1 ) �� �
2 3 �1 50 �2 �1 �70 �6 2 �6 
 
� Substituindo a linha 3 por �
 	%�� onde % � � &*(&(( � �3 �� � 2 3 �1 50 �2 �1 �70 �6 2 �6 ) �� �
2 3 �1 50 �2 �1 �70 0 5 15 
 
� Utilizando resolução retroativa 
 
3155 33 =⇒= xx 273272 2232 =⇒=−−⇒−=−− xxxx
2225362532 111321 =⇒=⇒=−+⇒=−⋅+ xxxxxx
� Obs: caso o atual pivô seja nulo, devemos tentar 
reordenar as linhas do sistema de forma que o novo 
pivô seja não nulo 
� Ex: Resolva o sistema 
��� 	 �� 	 �
 � 0 �� 	 �� 	 3�
 � 0�� 	 3�� � �2 
Quadro 
� Solução 
� Matriz aumentada 
�� � 1 1 1 01 1 3 01 3 0 �2 
� Eliminando elementos abaixo odo pivô 
�� � 1 1 1 00 0 2 00 2 �1 �2 
� Reordenando as linhas 
�� � 1 1 1 00 2 �1 �20 0 2 0 
� Matriz triangular: aplicar resolução retroativa 
 
Pivô nulo 
Resíduo 
� Durante a solução, geralmente cometemos erros de 
arredondamento, o que causa um erro na solução 
obtida 
� O resíduo indica a qualidade da resposta obtida 
� Se a solução encontrada para o sistema foi �+, o resíduo , é dado por: , � � � ��+ 
onde o vetor � e a matriz � são o vetor e a matriz 
original fornecidos pelo problema 
� Ex: Resolva o seguinte sistema, retendo durante os 
cálculos 2 casas decimais, e em seguida calcule o 
resíduo da solução obtida: 
 -3�� 	 2�� � 1�� 	 11�� � 5 
Quadro 
� Solução �� � 3 2 11 11 5 % � � �
 � �0,33, �� 	%�� � �0,99 � 0,66 � 0,33 	 1 11 5 0 10,34 4,67 
� Por resolução retroativa �� � 4,6710,34 � 0,45 �� � 1 � 0,93 � 0,03 
� Resíduo , � 15 � 3 2 1 11 0,030,45 � 15 - 0,994,98 � 0,010,02 
 
 
Algoritmo do Método de Gauss 
Entrada: matriz de coeficientes A e vetor de termos independentes b 
[l,c] = tamanho(A); 
Aa = [A | b]; //matriz aumentada 
para i=1 ate l 
 pivo=Aa(i,i); 
 para j=i+1 ate l 
 m = -Aa(j,i)/pivo; 
 Aa(j,:) = Aa(j,:) + m* Aa(i,:); 
 fim_para 
fim_para 
x = resolucaoretroativa(Aa(1:l,1:l), Aa(:,l)); 
saída(“a solução do sistema é “ x); 
 
Método do Pivotação Parcial 
� Semelhante ao método de Gauss 
� Minimiza a amplificação de erros de arredondamento 
durante as eliminações 
� Consiste em escolher o elemento de maior módulo em 
cada coluna para ser o pivô 
� Evita termos % muito grandes 
� Evita coeficientes �"" muito pequenos (resolução retroativa) 
� Ex: Resolver o sistema com precisão de 3 casas 
decimais 
� �� 	 �� 	 2�
 � 8 ��� � 2�� 	 3�
 � 13�� � 7�� 	 4�
 � 10 
� Solução 
� Matriz aumentada 
�� � 1,00 1,00 2,00 8,00�1,00 �2,00 3,00 1,003,00 �7,00 4,00 10,00 
� Trocando as linhas L1 e L3 �� � 3,00 �7,00 4,00 10,00�1,00 �2,00 3,00 1,001,00 1,00 2,00 8,00 
� Eliminando coeficientes abaixo 
�� � 3,00 �7,00 4,00 10,000 �4,31 4,32 4,300 3,31 0,68 4,70 
� O elemento de maior modulo é -4,31, de forma que este será 
o pivô e não é necessário trocar linhas 
� Eliminando coeficientes abaixo 
�� � 3,00 �7,00 4,00 10,000 �4,31 4,32 4,300 0 4,01 8,01 
 
� Utilizando resolução retroativa 
� � 3,021,012 
 
� Resíduo 
, � 8110 �
1 1 2�1 �2 	33 �7 4
3,021,012 �
�0.030.040.01 
 
� Exercícoi: Resolva o sistema utilizando o método de 
Gauss utilizando 4 algarismos, e em seguida compara a 
solução obtida com a solução exata � � 10 1 2. Em 
seguida utilize a Pivotação Parcial e compare 
novamente o resultado obtido com o exato. Qual 
método obteve um melhor resultado? -0,003�� 	 59,14�� � 59,175,291�� � 6,130�� � 46,78 
AlgoritmoPivotação Parcial 
Entrada: matriz de coeficientes A e vetor de termos independentes b 
[l,c] = tamanho(A); 
Aa = [A | b]; //matriz aumentada 
para i=1 ate l 
 Aa = ordenalinha(Aa,i); 
 pivo=Aa(i,i); 
 para j=i+1 ate l 
 m = -Aa(j,i)/pivo; 
 Aa(j,:) = Aa(j,:) + m* Aa(i,:); 
 fim_para 
fim_para 
x = resolucaoretroativa(Aa(1:l,1:l),b); 
saída(“a solução do sistema é “ x); 
Algoritmo Ordena Linha 
Entrada: matriz de coeficientes A e indice i 
[l,c] = tamanho(A); 
maximo = vabsoluto(A(i,i)); 
trocarcomlinha = i; 
para j=i+1 ate l 
 se vabsoluto(A(j,i)) > maximo 
 maximo = vabsoluto(A(j,i)) 
 trocarcomlinha = j; 
 fim_se 
fim_para 
linhatemp = A(i,:); 
A(i,:) = A(trocacomlinha,:); 
A(trocacomlinha,:) = A(i,:); 
saída(A); 
 
Método do Pivotação Total 
• Semelhante ao método da Pivotação Parcial 
• Ao invés de escolher o maior elemento apenas da 
coluna, agora iremos escolher o maior elemento 
(em modulo) da matriz inteira para ser o pivô 
� Ex: Resolver o sistema com precisão de 2 casas 
decimais 
� �� 	 �� 	 2�
 � 8 ��� � 2�� 	 3�
 � 13�� � 7�� 	 4�
 � 10 
 
� Solução 
� Matriz aumentada 
�� � 1,00 1,00 2,00 8,00�1,00 �2,00 3,00 1,003,00 �7,00 4,00 10,00 
 
 
� Trocando as linhas L1 e L3 
 �� � 3,00 �7,00 4,00 10,00�1,00 �2,00 3,00 1,001,00 1,00 2,00 8,00 
 
 
� Eliminando coeficientes abaixo do pivô 
�� � 3,00 �7,00 4,00 10,00�1,87 0 1,84 �1,91,42 0 2,56 9,4 
� Trocando as linhas L1 e L3 �� � 3,00 �7,00 4,00 10,001,42 0 2,56 9,4�1,87 0 1,84 �1,9 
 
� Eliminando coeficientes abaixo do pivô 
�� � 3,00 �7,00 4,00 10,001,42 0 2,56 9,4�2,89 0 0 �8,67 
 
� Por resolução retroativa 
 �� � �8,67�2,89 � 3,00 �
 � 9,4 � 1,42 3 3 2,56 � 2,00 �� � 10 � 3 3 3 � 4 3 2�7 � 1,00 
� O resíduo será 0 0 0 2, ou seja, utilizando o mesmo número de dígitos 
que no exemplo resolvido com Pivotação Parcial, já obtivemos a 
solução exata 
 
� Exercício: Resolver o sistema utilizando o método da 
Pivotação Completa com 3 casas decimais e depois 
calcule o resíduo 
 
� 2,11�� � 4,21�� 	 0,921�
 � 2,014,01�� 	 10,2�� � 1,21�
 � �3,091,09�� 	 0,987�� 	 0,832�
 � 4,21 
Método de Jordan 
� Semelhante ao métodos de Gauss, consiste em 
transformar o sistema dado não apenas em um sistema 
triangular, mas sim em um sistema diagonal 
equivalente 
� Sistema diagonal 
 ��� 0 � 00 ��� � 0� � 4 �0 0 � �55 
 
� Elimina a necessidade de resolução retroativa 
� No método de Jordan, o pivô é utilizado para zerar 
todos os elementos de sua coluna (acima e abaixo de 
pivô) 
� Ex: Resolva o sistema abaixo utilizando o método de 
Jordan 
� 2�� 	 3�� � �
 � 54�� 	 4�� � 3�
 � 32�� � 3�� 	 �
 � �1 
 
Quadro 
� Solução 
� Matriz aumentada Ab 
�� � 2 3 �1 54 4 �3 32 �3 1 �1 
 
� Zerando os dois elementos abaixo teremos 
�� � 2 3 �1 50 �2 �1 �70 �6 2 �6 
 
� Zerando os dois elementos abaixo e acima teremos 
�� � 2 0 �2,5 �5,50 �2 �1 �70 0 5 15 
 
� Zerando os dois elementos abaixo e acima teremos 
�� � 2 0 0 20 �2 0 �40 0 5 15 
 
� A partir da matriz diagonal, podemos calcular a solução �� � 22 � 1 
 �� � �4�2 � 2 
 �
 � 155 � 3 
� O método de Jordan pode ser utilizado para se calcular o 
determinante de uma matriz 
� Uma vez que a matriz � seja convertida em uma matriz 
diagonal pelo método 
� � ��� 0 � 00 ��� � 0� � 4 �0 0 � �55 
o determinante desta será dado por det � �9�55 
� Ex: Utilizando Jordan, calcule o determinante da matriz 1 25 �1