1Integrais_PrimeirasIntegrais_Anton357-360

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UCS - CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
MAT0359 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Profa Isolda Gianni de Lima
Comentários sobre os estudo de primeiras integrais e sobre os exercícios
propostos como tarefa de aprendizagem na primeira aula.
O estudo inicial que fizemos sobre integrais, na primeira aula, tem como objetivo
principal construir o conceito de integração como operação inversa a da diferenciação
(ou derivação) e o conceito de integral indefinida como sendo a função que tem como
derivada a função integrando.
Assim, a expressão ∫ fxdx = Fx + C tem como significado que ddx Fx + C = fx.
Além disso, com as derivadas das funções básicas temos as primeiras fórmulas de
integração. Essas derivadas e as correspondentes fórmulas de integração são as
apresentadas na tabela 6.2.1 que consta na p. 357.
Então, para realizar as tarefas de aprendizagem propostas e compreender bem essas
primeiras e importantes ideias, recomendamos que você:
* estude o tópico 6.2, p. 355-361, fazendo anotações no seu caderno que
complementam as da aula e analisando os exemplos 1 a 6;
* reproduza a tabela 6.2.1 em seu caderno e procure compreender a relação entre as
derivadas e as correspondentes integrais;
* atente para as propriedades da integral indefinida, apresentadas nas fórmulas 4, 5 e 6,
p. 359.
∫ cfxdx = c ∫ fxdx e ∫fx ± gxdx = ∫ fxdx ± ∫gxdx
Escreva-as em seu caderno, escreva em palavras o que expressa cada fórmula;
* resolva, retomando o texto e os exemplos, sempre que necessário, os exercícios
propostos como tarefas de aprendizagem, considerando as seguintes sugestões dadas
nas orientações da aula 1:
1. Estudar os exemplos 1 a 4, p. 357-360;
2. Resolver os exercícios, p. 363: 1, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 29, 33;
3. Estudar o exemplo 6, p. 361;
4. Resolver os exercícios, p. 364: 41, 43, 45;
5. Desafios, p. 364, exercícios 47 e 49.
Como auxílio a este estudo, especialmente nas questões de matemática básica,
apresentamos um comentário em cada um dos exercícios propostos. Procure por
argumentos que justifiquem as igualdades que transformam as funções a serem
integradas.
Exercício 1
Para confirmar as derivadas:
1a) Para calcular a derivada ddx  1 + x2  veja que se aplica a regra da cadeia. Em
1 + x2 temos a seguinte cadeia de transformações:
1
derivação
cadeia de funções
x → 1 + x2 → 1 + x21/2
Veja exemplo 7, p. 241.
1b) Observe que em xex temos um produto de funções, de x por ex.
Exercício 5
Na derivada ddx  x3 + 5  temos a mesma situação que em 1a.
Exercício 7
Veja que em sen2 x  temos a seguinte cadeia de funções:
derivação
cadeia de funções
x → 2 x → sen2 x 
Exercício 9
O integrando é um produto de potências de mesma base.
(c) ∫ x3 x dx = ∫ x3x1/2dx = ∫ x3+1/2dx = ∫ x7/2dx
Agora integre.
Exercício 11
∫ 5x + 2
3x5
dx = ∫ 5x + 23 x−5 dx = 5 ∫ xdx +
2
3 ∫ x−5dx
Ou seja, a integral de uma soma de funções é a soma das integrais de cada função.
Exercício 13
∫x−3 − 3x1/4 + 8x2 dx = ∫ x−3dx − 3 ∫ x1/4dx + 8 ∫ x2dx
Integral de uma soma.
Exercício 17
∫ x1/32 − x2dx = ∫ x1/34 − 4x + x2dx = ∫4x1/3 − 4xx1/3 + x2x1/3dx = ∫4x1/3 − 4x4/3 + x7/3dx
Agora, integral de uma soma.
Exercício 19
∫ x5+2x2−1
x4
dx = ∫ x5
x4
+ 2x
2
x4
− 1
x4
dx = ∫x + 2x−2 − x−4dx
Exercício 21
∫ 2x + 3exdx = ∫2x−1 + 3exdx
Até aqui, em integrais de expressões algébricas, o trabalho foi sempre transformar o
integrando numa soma de potências (de x), que são facilmente integradas, termos a
2
termo, pela fórmula geral: ∫ cxndx = cxn+1
n + 1 .
Nos próximos exercícios, veja que não é mais este caso. Observe que as
transformações feitas, para então integrar. são sempre no sentido de escrever o
integrando como uma derivada conhecida. Isto porque o integrando é uma derivada, e
calcular a integral é obter a função que tem tal derivada. Por isso, saber as derivadas
é o que determina a nossa boa condicão para saber integrar!
Exercício 23
∫3senx − 2 sec2xdx = 3 ∫ senxdx − 2 ∫ sec2xdx
Exercício 29
∫ senx
cos2x
dx = ∫ senxcos xcos x dx = ∫ senxcos x 1cos x dx = ∫ tan x sec xdx
Exercício 33
∫ 1
2 1−x2
− 3
1+x2
dx = 12 ∫
1
1−x2
dx − 3 ∫ 1
1+x2
dx
Exercício 41
(c) O problema de valor inicial, dydx = x+1x com y1 = 0, pede que se encontre a função
y = fx que satisfaz as duas condições dadas.
Sabendo dydx = x+1x (que a derivada de y em relação a x é x+1x ), temos que
y = ∫ x+1
x
dx = ∫x1/2 + x−1/2dx
e com a condição y1 = 0 podemos encontrar a constante de integração.
Exercício 43 idem 41(c)
Exercício 45
Resolução.
Neste problema devemos encontrar a função que tem derivada segunda x .
Isto quer dizer que f ′′x = x , então a deriva primeira de f será
f ′x = ∫ x dx = ∫ x1/2dx = x3/23/2 + C = 23 x3/2 + C
E sabendo que a derivada de f é f ′x = 23 x3/2 + C, temos que
fx = ∫ 23 x3/2 + Cdx = 23 x
5/2
5/2 + Cx + K =
4
15 x
5/2 + Cx + K
Exercício 47
Sendo y = fx a equação da curva procurada.
Como a inclinação da curva em qualquer ponto é 2x + 1, temos dydx = 2x + 1 e, assim,
y = ∫2x + 1dx.
E sabendo que a curva passa por −3, 0, temos y−3 = 0, podemos calcular a
constante de integração.
Exercício 49
Neste problemas temos as seguintes informações:
* sendo a derivada segunda, de y em relação a x, d2y
dx2
= 6x, podemos encontrar a
3
derivada primeira, que é
dy
dx = ∫6xdx (aqui se encontra a f ′ com uma constante C de integração);
* se a reta tangente à curva no ponto onde x = 1 é y = 5 − 3x então f ′1 = −3, de onde
se obtém o valor de C.
* com a derivada primeira, f ′, conhecida encontra-se, por integração, a função f, e com
outra constante de integração, digamos K. Esta contante K pode ser determinada
sabendo que reta tangente e a curva da função tem o mesmo ponto em comum quando
x = 1.
Esperamos que as dicas, sugestões e parte de resoluções ou resoluções sirvam de
apoio e incentivo às discussões que possam fazer entre vocês para concluírem, com
entendimento, este estudo sobre as primeiras ideias e significados sobre integrais
indefinidas.
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