Mecanica Quantica_2014_1 a

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FIS102- Estrutura da Matéria II
Profa. Maria do Rosário Zucchi
2014.1
1
Louis de Broglie
The Nobel Prize in Physics 1929 
Erwin Schrödinger
The Nobel Prize in Physics 1933 
Paul Dirac
The Nobel Prize in Physics 1933 
A Teoria de Schrödinger da Mecânica Quântica       
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. . . in one of the next colloquia, Schrödinger gave a beautifully clear account of how de Broglie associated a wave with a particle and how he [i.e., de Broglie could obtain the quantization rules . . . by demanding that an integer number of waves should be fitted along a stationary orbit. When he had finished Debye casually remarked that he thought this way of talking was rather childish . . . [that to] deal properly with waves, one had to have a wave equation.
A natureza ondulatória do elétron
As novas idéias, sobre a relatividade e do efeito fotoelétrico, levaram DeBroglie a postular a hipótese de que elétrons e outras “partículas” teriam propriedades de onda. 
Postulado de DeBroglie (1923): O movimento de uma partícula microscópica é governada pela propagação de uma onda associada.
Davisson (1927): Difração de elétrons
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Por volta de 1923, De Broglie sugeriu uma expressão para o comprimento de onda de uma partícula análoga ao momento de um fóton. Partindo da fórmula de Einstein:
De outra forma:
                     
Para uma partícula com massa de repouso igual a zero:
Para um fóton: 
Essa relação de DeBroglie pode ser aplicada a outra partículas!
ou 
Hipóteses de DeBroglie
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A Hipótese de DeBroglie
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Experimento de Davisson-Germer
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Davisson, C. J., "Are Electrons Waves?," Franklin Institute Journal 205, 597 (1928) 
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O experimento de Davisson-Germer verificou que os elétrons possuiam o comprimento de onda de proposto por DeBroglie:
Dualidade Onda Partícula 
Efeito fotoelétrico × Experimento de Davisson-Germer 
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Dois exemplos suportam a natureza ondulatória do elétron sugerida pela hipótese de DeBroglie: 
1. Os níveis de energia discretos e 
2. A difração de elétrons em um sólido cristalino.
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A equação de Shrödinger não pode ser demonstrada assim como não é possível demonstrar as leis de Newton. 
 Sua validade, como a de qualquer equação fundamental, está na concordância com os resultados experimentais.
Erwing Schrödinger(1926)
Onda Estacionária: Se o elétron fosse visto como onda as órbitas de Borh não fariam sentido.
Mecânica Ondulatória: Schrödinger obteve suporte matemático para a mecânica ondulatória.
Equação de Schrödinger: Schrödinger dividiu o prêmio Nobel com DIRAC em 1933. DIRAC introduziu o spin na equação de Schrödinger.
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Comprimento de onda para diferentes estados
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Algumas Questões:
Qual a relação entre a função de onda e os observáveis físicos como energia, posição e momento?
O que está oscilando em uma onda de matéria?
Em que meio essas ondas se propagam?
Como essa partícula onda interage com o meio? Essas ondas são refletidas e refratadas como as onda eletromagnéticas?
Como chegar a Equação de Schrödinger?
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A Equação de Schrödinger
Deve ser consistente com os postulados de DE BROGLIE-EINSTEIN:
Deve ser consistente com a equação:
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Considerando a função de onda de uma partícula livre:
Derivando:
Como:
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Como:
Analogamente:
Essas relações não são restritas ao caso de funções de onda para a partícula livre.
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Considerando:
e substituindo os operadores:
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Equação de Schrödinger Dependente do Tempo
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A Em 1D, a equação de Schrödinger tem a forma:
Obs: (x,t) não é uma função mensurável como as funções clássicas associadas às ondas sonoras e ou vibrações em uma corda.
A equação de Schrödinger prevê o futuro comportamento da dinâmica do sistema, analogamente a lei de Newton para o caso clássico. Ela prevê analiticamente e precisamente a probabilidade do evento ocorrer (prevê a distribuição dos resultados!)
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A função de onda: (x,t)
Toda “partícula” e representada por uma função de onda (posição, tempo), assim como * é a probabilidade de encontrar a partícula numa posição em um determinado instante. 
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Equação de Schrödinger 
O operador Hamiltoniano contém ambas derivadas do espaço e do tempo. 
A equação de Schrödinger permite calcular a energia quantizada do sistema e a funções de onda, com as quais outras propriedades podem ser obtidas. 
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A equação de Schrödinger em uma dimensão tem a forma:
Para uma partícula livre, onde U(x) = 0 a solução pode ser uma função de onda na forma de um onda plana: 
Equação de Schrödinger Dependente do Tempo 
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Equação de Schrödinger Independente do Tempo
Quando o potencial não depende do tempo, a Equação de Schrödinger é simplificada, separando as variáveis e escrevendo-se a função de onda na forma:
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Substituindo na Equação de Schrödinger Dependente do Tempo temos a Equação de Schrödinger Independente do Tempo.
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Em três dimensões a equação de Schrödinger Independente do tempo em a seguinte forma:
                                                                                                                                      
para coordenadas cartesianas. Pode ser escrita em forma mais compacta usando o operador Laplaciano:                                                       
Assim:
                                                                                              
Equação de Schrödinger em 3D
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 contém informação mensurável sobre a partícula;
 a soma de * sobre o infinito é igual a 1 
	(se a partícula existe, a probabilidade de encontrá-la é igual a um);
 é contínua;
 permite o cálculo da energia a partir da ES;
 estabelece distribuição da probabilidade em 3 D;
 permite o cálculo do valor mais provável de uma variável;
Propriedades da função onda (x,t)
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Operadores na Mecânica Quântica 
Associado com cada parâmetro em um sistema físico existe um operador quântico. 
Calcular os operadores momento e energia
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Probabilidade
A probabilidade de encontrarmos um partícula em uma certa região do espaço dx é:
P(x,t) é a distribuição de probabilidade ou densidade de probabilidade. A condição de normalização é:
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Valores Esperados
O valor esperado de é dado por:
O valor esperado da coordenada x é ponderada pela probabilidade de observar esse valor.
OBS: Vale para outras grandezas
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Resolução da Equação de Schrödinger Independente do Tempo
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Soluções da Equação de Schrödinger Independente do Tempo
Partícula em uma caixa
A energia potencial associada a uma partícula em uma caixa unidimensional entre x=0 e x=L é conhecida como potencial do poço quadrado infinito
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No interior da caixa:
A solução geral é:
A e B são constantes
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Aplicando as condições de contorno:
Então:
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Substituindo em:
Para cada valor de N existe uma função de onda  (x) dada por:
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Normalizando para encontrar An:
Função de onda normalizada
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Conclusão: A energia total de uma partícula em uma caixa é quantizada, ou seja apenas certos valores da energia total E são possíveis.
Exercício:
Use a função de onda da “partícula em uma caixa” para calcular os valores esperados de x, p, x2 e p2 da partícula associada à função de onda:
(resolução e discussão em sala)
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Conclusão: Os valores esperados calculados a partir da função de onda, tornam possível dar definições quantitativas para as incertezas!
Pacote de onda: Incerteza na posição
Ilustração
Gráfica
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If the electron is a wave, what is waving?
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Pacote de onda: Incerteza no momento
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Ilustração Gráfica
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Um exemplo de confinamento de energia 
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Cálculos de confinamento
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Partícula em uma caixa em 3D
A expressão para o momento de uma partícula e uma caixa é:
                                                              
ela é utilizada para calcular a energia associada com uma partícula: 
                                                                 
Energia para o enésimo estado quântico para uma partícula em uma potencial infinito.   
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Constatações importantes sobre o estado ligado de uma partícula:
1. As energias são quantizadas e caracterizadas por um número quântico n.
2. A energia não pode ser exatamente zero.
3. Para um pequeno confinamento grande energia é requerida. 
Se uma partícula é confinada em um volume retangular, a energia para uma caixa em três dimensões é:
                                            
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Partícula em um poço quadrado finito
Região Classicamente Proibida
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Comparação do poço quadrado finito e infinito
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CONFINAMENTO DE ENERGIA: Poço Quadrado Finito
Dentro da caixa a partícula está livre, nas bordas:
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Solução Par, Poço Finito 
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Solução Ímpar, Poço Finito 
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Que pode ser resolvida numericamente ou graficamente:
(solução par)
(solução ímpar)
Física Moderna – Tipler /Llewellyn
Potencial Degrau – Energia maior que o degrau
Potencial Degrau - Energia maior que o degrau
Calcular
Física Moderna – Tipler /Llewellyn
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Potencial Degrau – Energia menor que o degrau
Calcular
Física Quântica – Eisberg & Resnick
Barreira de Potencial: Penetração de Barreira 
Quando a partícula se aproxima da barreira ela è descrita com uma função de onda para uma partícula livre. No entanto quando a partícula penetra na barreira, a equação de Schrödinger tem a forma:
cuja solução é:
                          
Calcular
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Física Quântica – Eisberg & Resnick
Microscópio de Tunelamento
Mólécula de Amônia
Cálculo da meia-vida do Polônio-212
As ilustrações representam a barreira de potencial experimentada pela partícula alfa no polônio-212, o qual emite 8.78 MeV com meia-vida de 0.3 micro-segundos. 
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Oscilador harmônico quântico
Uma molécula diatômica vibra analogamente a duas massa presas em uma mola com energia potencial que depende do deslocamento do ponto de equilíbrio ao quadrado. Os níveis de enrgia são quantizados em valores igualmente espaçados.
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Os níveis de energia do oscilador harmônico quântico são:
                                                                
e para uma molécula diatômica a freqüência natura tem a forma:
                                                               
onde amassa reduzida é dada por:
                         
Esta forma de freqüência é a mesma que a a clássica para o oscilador harmônico simples. A mais surpreendente diferença é no caso quântico a chamada vibração de ponto zero do estado fundamental (n=0), o que significa que a molécula não está completamente em repouso, mesmo na temperatura zero. 
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Funções de Onda: Oscilador Harmônico Quântico 
A equação de Schrodinger para o oscilador harmônico pode ser resolvida e as funções de onda resultantes estão ilustradas a seguir:
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Comparação das probabilidades do oscilador harmônico clássico e quântico
O fato da probabilidade de encontrar o oscilador em um determinado valor de x converge do quântico para o clássico é chamado princípio da correspondência. 
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Átomo de um elétron 
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O Átomo de Hidrogênio
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{
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Números quânticos
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Os números quânticos e os níveis de energia atômico 
Átomo de Hidrogênio
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FUNÇÕES EM R(r), (),  ()
Energias e Orbitais!
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Funções de onda normalizada para o átomo de hidrogênio
 
Source: Beiser, A., Perspectives of Modern Physics, McGraw-Hill, 1969. Table 9.1
Soluções das equações (separadas) para o átomo de hidrogênio
 
 
 
ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Probabilidade Radial
A probabilidade, Pr(dr), é a densidade de probabilidade radial, que é igual a densidade * multiplicada pelo volume de uma casca esférica de espessura dr:
ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Probabilidade radial 1s
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ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Probabilidade radial 2s
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ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Probabilidade radial 2p
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ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Probabilidade radial 3d
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BIBLIOGRAFIA
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Física Moderna – Tipler /Llewellyn
Física Quântica – Eisberg & Resnick
Rohlf, James William, Modern Physics from a to Z0, Wiley, 1994
Blatt, Frank J, Modern Physics, McGraw Hill, 1992. 
www.aventuradaspartículas.ift.br
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