Lista_4_Fisica_2_2013

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Universidade Sa˜o Judas Tadeu
Faculdade de Tecnologia e Cieˆncias Exatas
Engenharia Civil, Computac¸ao, Controle e Automac¸a˜o, Ele´trica,
Eletroˆnica, Mecaˆnica e Produc¸a˜o
Curso de F´ısica II:
Quarta Lista de Exerc´ıcios
Lei Faraday e Ondas Mecaˆnicas
Livro Texto: Fundamentos de F´ısica, v. 3, Eletromagnetismo.
Halliday, Resnick e Walker. Editora LTC. Nona edic¸a˜o.
Profs: Jose´ Roberto Paia˜o, Ricardo da Silva Benedito e Sandro Martini
-2013-
F´ısica II - Lista de Exerc´ıcios
Lei de Faraday
Exerc´ıcios do livro texto, cap´ıtulo 30. Exerc´ıcios: 15, 18, 27, 28, 29, 33 e 34.
Exerc´ıcios Extras:
1. Uma espira retangular, de a´rea A, esta´ imersa num campo magne´tico que e´ per-
pendicular ao seu pro´prio plano. O mo´dulo do campo varia com o tempo conforme
B = B0e
− t
τ , onde B0 e τ sa˜o constantes. Use a Lei de Faraday para mostrar que a
fem (forc¸a eletromotriz) na espira e´ dada por:
ε =
AB0
τ
e−
t
τ
2. Um soleno´ide comprido com n espiras por metro (densidade de espiras) e´ percorrido
por uma corrente dada por I = I0 (1− e−αt), onde I0 e α sa˜o constantes. No interior
do soleno´ide, e coaxialmente a ele, esta´ uma bobina circular de raio R, constitu´ıda
por N espiras de fio condutor fino. Qual o mo´dulo da fem induzida nesta bobina
pela corrente varia´vel?
Resposta : |ε| = Nµ0nI0piR2αe−αt
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3. Um fio condutor retil´ıneo, comprido, conduz a corrente I = I0sen (ωt+ δ) e esta´
no plano de uma bobina retangular com N espiras de fio condutor, como mostra a
figura abaixo. As grandezas I0, ω e δ sa˜o todas constantes. Determinar o mo´dulo da
fem induzida na bobina, pelo campo magne´tico da corrente no condutor retil´ıneo.
Resposta : |ε| = µ0NI0`ω
2pi
ln
(
a+b
a
)
cos (ωt+ δ)
4. Uma espira retangular, de massa M , resisteˆncia R e dimenso˜es w por l, cai num
campo magne´tico B como mostra a figura abaixo. A espira acelera ate´ atingir
uma velocidade limite (tambe´m chamada de velocidade terminal) v. Determine a
velocidade limite da barra.
Lembrete: Denomina-se velocidade limite ou terminal, a velocidade atingida pelo
corpo quando a acelerac¸a˜o do movimento torna-se nula, isto e´, o corpo passa a se
mover com velocidade constante.
Resposta : v = MgR
B2w2
, sendo g a acelerac¸a˜o da gravidade.
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5. Um fio meta´lico retil´ıneo, comprido, esta´ paralelo a um lado de uma espira retan-
gular simples, e no plano dessa espira, como mostra a figura abaixo. Se a corrente
no fio comprido variar com o tempo conforme I = I0e
− t
τ , mostrar que o mo´dulo da
fem induzida na espira e´ dado por:
|ε| = µ0bI
2piτ
ln
(
d+ a
d
)
6. Uma espira retangular, com as dimenso˜es l e w, se afasta com velocidade constante
v de um fio condutor comprido que conduz uma corrente I e esta´ no mesmo plano da
espira, como mostrada na figura abaixo. A resisteˆncia total da espira e´ R. Deduza
a expressa˜o que da´ a corrente induzida na espira, no instante em que a distaˆncia
do lado mais pro´ximo da espira, ao condutor seja r.
Resposta : I = µ0I`v
2piRr
w
(r+w)
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7. A figura abaixo ilustra uma barra puxada horizontalmente sobre os trilhos paralelos
por um fio (com massa desprez´ıvel) que passa sobre uma roldana ideal e onde
esta´ pendurado livremente um corpo de massa M . O campo magne´tico uniforme
tem mo´dulo B, a barra deslizante tem massa m e a distaˆncia entre os trilhos e´
l. Os trilhos tem duas extremidades ligadas atrave´s de um resistor R. Obtenha a
expressa˜o da velocidade horizontal da barra em func¸a˜o do tempo, admitindo que o
corpo pendurando seja solto, com a barra em repouso, no instante t = 0 s. Admitir
que na˜o exista atrito entre os trilhos e a barra.
Resposta : v (t) = mgR
B2`2
(
1− e− B
2`2
R(M+m)
t
)
8. Na figura abaixo, o carrinho rolante, de largura l, e´ empurrado sobre os trilhos
horizontais a uma velocidade constante v. Um resistor de valor R esta´ ligando
os trilhos nos pontos a e b, um em frente ao outro. (As rodas do carrinho fazem
bom contato ele´trico com os trilhos, de modo que o eixo, trilhos e resistor formam
a malha fechada de um circuito. A u´nica resisteˆncia significativa e´ a resisteˆncia
R.). Na regia˜o, ha´ um campo magne´tico uniforme B dirigido verticalmente para
baixo. (a) Ache a corrente induzida I no resistor. (b) Calcule o mo´dulo da forc¸a
magne´tica devido a corrente induzida. (c) Qual extremidade do resistor, a ou b,
esta´ num potencial ele´trico mais elevado?
Resposta : (a) I = B`v
R
(b)
∣∣∣~F ∣∣∣ = B2`2vR (c) O ponto b
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9. O transformador e´ um dispositivo capaz de elevar ou abaixar uma tensa˜o alternada.
Na sua forma mais simples, o transformador de corrente alternada e´ constitu´ıdo por
duas bobinas de um fio condutor enroladas em torno de um nu´cleo de ferro doce,
como mostra a figura abaixo.
A bobina da esquerda, que e´ ligada a uma tensa˜o alternada de entrada, tem N1
espiras e e´ o enrolamento prima´rio (o prima´rio). A bobina da direita, constitu´ıda
por N2 espiras e ligadas a um resistor de carga R, e´ o enrolamento secunda´rio
(o secunda´rio). O objetivo do nu´cleo de ferro, comum aos dois enrolamentos, e´
aumentar o fluxo magne´tico e proporcionar um meio no qual quase todo o fluxo
atrave´s de uma bobina passe tambe´m pela outra. A fonte de tensa˜o alternada
produz uma corrente alternada no prima´rio, que da origem a um fluxo alternado no
nu´cleo, isso gera uma fem induzida em cada enrolamento prima´rio, em obedieˆncia
a Lei de Faraday. Como o fluxo e´ o mesmo no nu´cleo de ferro, uma fem induzida
aparecera´ na bobina secunda´ria dando origem a uma tensa˜o alternada no dispositivo
conectado com o secunda´rio. Pela Lei da Induc¸a˜o de Faraday, sabemos que as
tenso˜es nas bobinas prima´rias e secunda´rias sa˜o dadas por:
V1 = −N1dφm
dt
e V2 = −N2dφm
dt
A partir dessas equac¸o˜es e com as considerac¸o˜es f´ısicas apresentadas, mostre que as
tenso˜es prima´rias e secunda´rias num transformador sa˜o relacionadas por:
V2
V1
=
N2
N1
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10. Na figura abaixo, uma barra condutora de massa m e resisteˆncia desprez´ıvel esta´
livre para deslizar sem atrito ao longo de dois trilhos paralelos de resisteˆncia des-
prez´ıvel separados por uma distaˆncia l e ligados a uma resisteˆncia R. Os trilhos
esta˜o presos em um plano inclinado que faz um aˆngulo θ com a horizontal. O con-
junto esta´ submetido a um campo magne´tico B dirigido verticalmente para cima.
(a) Mostre que a barra esta´ sujeita a uma forc¸a de freagem, dirigida para cima ao
longo do plano inclinado, dada por:
∣∣∣~F ∣∣∣ = B2`2v cos2 (θ)
R
(b) Mostre que a velocidade limite da barra e´ dada por:
v =
mgRsen(θ)
B2`2 cos2(θ)
Ondas Mecaˆnicas
1. Ondas sonoras sa˜o ondas longitudinais que se propagam no ar. A velocidade do
som depende da temperatura; a 20 ◦C e´ igual a 344 m/s. Qual o comprimento de
onda de uma onda sonora no ar a 20 ◦C sabendo que a frequeˆncia e´ f = 262 Hz
(uma frequeˆncia aproximadamente igual a` do C me´dio do piano)?
Resposta : 1, 31 m
2. Uma crianc¸a esta´ brincando com a corda do seu varal de roupas. Ele desamarra
uma das extremidades da corda, mante´m esticada e faz essa extremidade oscilar
para cima e para baixo com uma amplitude de 0,075 m e uma frequeˆncia de 2,0
Hz. A velocidade da onda e´ v = 12,0 m/s. No instante t = 0 a extremidade possui
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um deslocamento positivo ma´ximo e esta´ em repouso. Suponha que nenhuma onda
seja refletida na extremidade afastada para perturbar a configurac¸a˜o. (a) Ache a
amplitude, a frequeˆncia angular, o per´ıodo, o comprimento de onda e o nu´mero de
onda desta onda. (b) Escreva uma func¸a˜o de onda que descreva a onda. Admita o
sentido de +x como o sentido em que a onda de propaga.
Resposta : (a) y0 = 0, 075 m;ω = 4pi rad/s; T = 0, 5 s; λ = 6m e k =
pi
3
m−1.
(b) y(x, t) = 0, 075 cos
(
pi
3
x− 4pit)
3. Uma das extremidades de uma corda de na´ilon esta´ presa a um suporte fixo no topo
de um poc¸o vertical de uma mina com profundidade igual a 80 m. A corda fica
esticada pela ac¸a˜o do peso de uma caixa de mine´rios com massa igual a 20 kg presa
na extremidade inferior da corda. A massa da corda e´ igual a 2 kg. Um geo´logo no
funda mina, balanc¸ando a corda lateralmente, envia um sinal para o seu colega que
esta´ no topo da mina. (a) Qual e´ a velocidade da onda que se propaga na corda?
(b) Sabendo que um ponto da corda executa um MHS com frequeˆncia igual a 2 Hz,
qual e´ o comprimento de onda da onda?
Resposta : (a) v = 88, 5 m/s. (b) λ = 44, 3 m.
4. Tsunami! Em 26 de dezembro de 2004, um forte terremoto ocorreu na costa
da Sumatra e provocou ondas imensas (tsunami) que mataram cerca de 200 mil
pessoas. Os sate´lites observavam que essas ondas do espac¸o mediram 800 km de
uma crista (pico) de onda para a seguinte, e um per´ıodo entre as ondas de 1 hora.
Qual era a velocidade dessas ondas em m/s e Km/h?
Resposta : 222 m/s e 800 km/h.
5. A luz vis´ıvel. A luz e´ uma onda, na˜o uma onda mecaˆnica, mas eletromagne´tica. As
grandezas que oscilam sa˜o campo ele´tricos e magne´ticos. A luz vis´ıvel para os seres
humanos possui comprimentos de onda entre 400 nm (violeta) e 700 nm (vermelho),
e toda luz se propaga no va´cuo a` velocidade de 3 x 108 m/s. (a) Quais sa˜o os limites
da frequeˆncia e o per´ıodo da luz vis´ıvel? (b) Seria poss´ıvel medir a durac¸a˜o de uma
u´nica vibrac¸a˜o de luz com um cronoˆmetro?
Resposta : (a) 4,29 x 1014 Hz < f < 7,5 x 1014 Hz; 1,3 x 10−15 s < T < 2,3 x
10−15 s. (b) O per´ıodo e´ extremamente pequeno e na˜o poderia ser medido com um
cronoˆmetro.
6. Uma certa onda transversal e´ descrita por:
y (x, t) = (6, 5 × 10−3) cos
[
2pi
(
x
28× 10−2 −
t
0, 0360
)]
sendo x e y dados em metros e t em segundos. Determine para esta onda (a)
a amplitude; (b) o comprimento de onda; (c) a frequeˆncia; (d) a velocidade de
propagac¸a˜o; (e) a direc¸a˜o de propagac¸a˜o.
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Resposta : (a) y0 = 6, 5 × 10−3 m; (b) λ = 28 × 10−2m; (c) f = 27, 8Hz; (d)
v = 7, 78m/s e (e) a onda se propaga no sentido de x positivo.
7. Com que tensa˜o uma corda de comprimento igual a 2,5 m e massa de 0,120 kg deve
ser esticada para que uma onda transversal com frequeˆncia de 40 Hz possua um
comprimento de onda igual a 0,750 m?
Resposta : 43,2 N.
8. Uma das extremidades de um fio e´ presa a um dos ramos de um diapasa˜o eletrica-
mente excitado com frequeˆncia igual a 120 Hz. A outra extremidade passa sobre
uma polia e suporta um objeto com massa igual a 1,5 kg. A densidade linear do fio e´
igual a 0,0550 Kg/m. (a) Qual a velocidade de propagac¸a˜o de uma onda transversal
na corda? (b) Qual e´ o comprimento de onda?
Resposta : (a) 16,3 m/s; (b) 0,136 m.
9. Uma corda de 1,5 m e de peso igual 1,25 N esta´ amarrada ao teto pela sua ex-
tremidade superior, e a inferior sustenta um peso P. Quando a corda e´ puxada
suavemente, as ondas que se deslocam para cima obedecem a equac¸a˜o y(x, t) =
8, 5 × 10−3 cos(172x − 2730t) , sendo x e y dado em metros e t em segundos. (a)
Quanto tempo leva para um pulso percorrer toda a extensa˜o da corda? (b) Qual o
peso P?
Resposta : (a) 0,0943 s; (b) 21,5 N.
10. Um oscilador harmoˆnico simples no ponto x = 0 gera uma onda em uma corda. O
oscilador opera em uma frequeˆncia de 40 Hz e com amplitude de 3 cm. A corda
possui uma densidade linear de 50 g/m e esta´ esticada a uma tensa˜o de 5 N. (a)
Determine a velocidade da onda e (b) o comprimento de onda. Suponha que o
oscilador tenha seu deslocamento ma´ximo para cima no tempo t = 0. (c) Escreva
a func¸a˜o dessa onda. (d) Calcule a acelerac¸a˜o transversal ma´xima.
Resposta : (a) v = 10 m/s; (b) λ = 0.25m; (c) y (x, t) = 3×10−2 cos (8pix− 80pit)
e (d) at,max = 192pi
2 m/s2
11. Treˆs fios, cada um de comprimento L, sa˜o ligados em se´rie por meio de suas extre-
midades formando um fio de comprimento igual a 3L. As densidades lineares dos
treˆs fios sa˜o, respectivamente, µ1, µ2=4µ1 e µ3=µ1/4. Se o fio combinado esta´ sob
tensa˜o F, quanto tempo leva uma onda transversal para percorrer o comprimento
total 3L?
Resposta : ttotal =
7
2
L
√
µ1
F
12. Uma corda leve com massa por unidade de comprimento de 8 g/m tem suas extre-
midades ligadas a duas paredes separadas por uma distaˆncia igual a treˆs quartos
do comprimento da corda (veja figura). Um corpo de massa m esta´ suspenso no
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centro da corda criando tensa˜o nela. Encontre uma expressa˜o para a velocidade da
onda transversal na corda em func¸a˜o da massa suspensa.
Resposta : v = 30, 43
√
m m/s
13. Um segmento de 6 m de uma longa corda tem massa 180 g. Uma fotografia de alta
velocidade mostra que o segmento conte´m quatro ciclos completos de um onda. A
corda esta´ vibrando com senoidalmente com frequeˆncia de 50 Hz com e com uma
amplitude de 7,5 cm. Determine a func¸a˜o de onda que descreve essa onda que se
propaga no sentido positivo de x.
Resposta : y (x, t) = 7, 5× 10−2 sin (4, 19x− 314, 2t)
14. Um corda de um instrumento musical e´ mantida sob a tensa˜o T e se estende do
ponto x = 0 ao ponto x = L. A corda e´ enrolada envolta de um fio de tal maneira
que a sua massa por unidade de comprimento µ(x) aumenta linearmente de µ0 em
x = 0 para µL em x = L. (a) Encontre uma expressa˜o para µ(x) em func¸a˜o de x no
intervalo 0 ≤ x ≤ L. (b) Determine o tempo necessa´rio para um pulso transversal
se deslocar ao longo do comprimento da corda.
Resposta : (a) µ (x) = (µL−µ0)
L
x+ µ0. (b) t =
2L
3
√
T (µL−µ0)
(
µL
3/2 − µ03/2
)
15. Uma viga irregular de 1750 N esta´ pendurada horizontalmente por suas extremida-
des em um teto por dois fio verticais (A e B), cada um com 1,25 m de comprimento
e pesando 2,5 N. O centro de gravidade dessa viga esta´ a um terc¸o da viga a partir
da extremidade em que o fio A esta´ amarrado. Se voceˆ puxar ambas as cordas ao
mesmo tempo, qual e´ a velocidade de propagac¸a˜o do pulso em cada fio?
Resposta : vA = 75, 6 m/s e vA = 53, 5 m/s
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