lista.01.2014.01

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Lista 1. A´lgebra Linear. Semestre: 2014.01
Professor: Mauricio
1. Classifique as seguintes matrizes em:
i) quadradas,
ii) triangulares superiores,
ii) triangulares inferiores,
ii) sime´tricas.
A =
 1 2 30 2 3
0 0 9
 , B =
 −1 0 00 2 0
0 0 1
 , C =
 −1 1 11 2 0
1 0 1
 ,
D =

1 2 3 4 5
2 1 7 8 0
3 7 0 2 3
4 8 2 4 1
−5 0 3 4 1
 .
2. Dadas as matrizes:
A =
 2 3 8−5 9 −6
7 4 −1
 , B =
 −3 7 1−4 2 5
6 9 4
 , C =
 7 −8 34 −3 2
4 −5 1

i) Calcular
a) A + B
b) C −A
c) 3A− 2B + 4C
d) A ·B · C
ii) Verificar que (A ·B)t = Bt · At (Observac¸a˜o: Dada uma matriz M ,
M t indica a matriz transposta de M).
3. a) Mostre que se A e B sa˜o matrizes sime´tricas enta˜o as matrizes AAt,
A + B e A− B tambe´m sa˜o sime´tricas. (Observac¸a˜o: At indica a
matriz transposta de A).
b)∗ Mostre que se A e´ uma matriz quadrada enta˜o ela pode ser escrita
da forma
A = B + C,
sendo B uma matriz sime´trica e C uma matriz antisime´trica.(Observac¸a˜o:
Tente fazer o exerc´ıcio considerando incialmente matrizes de 2×2)
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4. Defina o quadrado de matrizes da seguinte forma: A2 = AA. Sob quais
condic¸o˜es nas matrizes A e B vale a fo´rmula do binoˆmio quadrado
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ?
5. Existem duas matrizes A ∈M(2, 3) e B ∈M(3, 2) tais que AB = BA?
(Obs: M(n,m) indica o conjunto das matrizes de m× n.)
6. Dadas as matrizes:
A =
(
y − 4 2
9 x2 + 4
)
, B =
(
12 2
9 53
)
Calcular x e y de modo que A seja igual a B.
7. Escreva as matrizes dos coeficientes e as matrizes dos termos indepen-
dentes associadas aos sistemas de equac¸o˜es lineares indicados
(1)

x1 + x2 + x3 = 1
x1 − x2 + x3 = 0
−x1 + x2 + x3 = −1
,
(2)

x1 + x2 + x3 + x4 = 1
x1 − x2 + x4 = 2
x5 + x6 = 0
8. Verificar que a matriz P = A + At e´ sime´trica, onde
A =
 6 1 4−3 8 −5
2 −6 7

9. a) Verifique que a matriz M = A·At, onde A =
(
2 5
3 7
)
e´ simme´trica.
b) Verifique que a matriz M =
 1/2 −√3/2 0√3/2 1/2 0
0 0 1
 e´ ortogonal,
isto e´ M t ·M = Id. (Observac¸a˜o: M t indica a matriz transposta
de M).
c) Classifique a matriz M = A · B, onde A =
 1 2 10 3 −2
0 0 −4
 e B = 2 −1 20 1 −3
0 0 1
.
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10. Considere os seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares:
(1)

x1 + x2 + x3 = 1
x1 − x2 + x3 = 0
−x1 + x2 + x3 = −1,
(2)

x1 + x2 + x3 + x4 = 1
x1 − x2 + x4 = 2
x5 + x6 = 0,
(3)

2x1 + x2 + 3x3 = 8
4x1 + 2x2 + 6x3 = 4
2x1 + x2 + 3x3 = −12,
(4)

2x1 + 4x2 + x3 = 1
5x1 − 2x2 + x4 = 0
3x1 + x2 + x3 + x4 = 0
3x2 + 2x3 = 0.
i) Reduza a` forma de escada as matrizes ampliadas de cada um dos
sistemas de equac¸o˜es lineares indicados.
ii) Em cada caso determine o posto da matriz dos coeficientes do sis-
tema indicado.
11. Determine o posto e a nulidade das matrizes indicadas (Observac¸a˜o: A
nulidade e´ igua a o nu´mero de colunas menos o posto da matriz)
A =
 1 0 11 1 1
2 1 3
 , B =
 1 2 −1 02 4 0 1
1 1 1 1
 .
12. ∗ Existe uma matriz diagonal A ∈ L(3, 3) de posto igual a 3 e tal que o
produto dos elementos da sua diagonal principal e´ igual a zero (isto e´)
a11a22a33 = 0?
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