Unidade 1 Parte 2

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Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
DISCIPLINA: CÁLCULO II 
UNIDADE 1: (Parte 2) 
1.5 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
São técnicas especiais de integração para facilitar a integração de uma ampla 
classe de funções. 
1.5.1 Método da Substituição ou Mudança de Variável para Integração 
Sejam 𝑓(𝑥) e 𝐹(𝑥) duas funções tais que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥). Suponhamos que 𝑔 seja 
outra função derivável tal que a imagem de 𝑔 esteja contida no domínio de 𝐹. Podemos 
considerar a função 𝐹 composta com 𝑔, 𝐹𝑜𝑔 = 𝐹(𝑔(𝑥)). 
Pela regra da cadeia, temos: 
[ 𝐹(𝑔(𝑥))]
′
= 𝐹′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥) 
 Logo, 𝐹(𝑔(𝑥)) é uma primitiva de 𝑓(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥). Temos então, 
∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐶 (∗) 
 Fazendo 𝑢 = 𝑔(𝑥), 𝑑𝑢 = 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 e substituindo em (*), temos: 
∫ 𝑓(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢) ∙ 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶 
 Exemplos: 
Calcular as integrais: 
1. ∫
2𝑥
1+𝑥2
 𝑑𝑥 
 𝑢 = 1 + 𝑥2 𝑒 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
∫
2𝑥
1 + 𝑥2
 𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
𝑢
= ln|𝑢| + 𝐶 = ln(1 + 𝑥2) + 𝐶 
2. ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 =
𝑢2+1
2+1
+ 𝐶 =
𝑢3
3
+ 𝐶 = 
𝑠𝑒𝑛3
3
+ 𝐶 
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
 
3. ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 7)𝑑𝑥 
𝑢 = 𝑥 + 7 e 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
 
∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 7)𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶 = − cos(𝑥 + 7) + 𝐶 
 
4. ∫ 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 
𝑡𝑔 𝑥 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
cos 𝑥
 
 
𝑢 = 𝑐𝑜𝑥 𝑥 
𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 𝑥 
∫ 𝑡𝑔 𝑑𝑥 = ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥 
cos 𝑥
 𝑑𝑥 = ∫ −
𝑑𝑢
𝑢
= − ln|𝑢| + 𝐶 = −𝑙𝑛|cos 𝑥| + 𝐶 
 
5. ∫(1 − 𝑥2)2𝑥 𝑑𝑥 = −
1
2
 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = −
1
2
 
𝑢2+1
2+1
+ 𝐶 = −
1
2
 
𝑢3
3
+ 𝐶 =
−
(1−𝑥2)3
6
+ 𝐶 
 
𝑢 = 1 − 𝑥2 
 𝑑𝑢 = −2𝑥 𝑑𝑥 → −
1
2
 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥 
6. ∫(𝑥 + 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑐2 3𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥2
2
+
1
3
 ∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 = 
𝑥2
2
+
1
3
 𝑡𝑔 𝑢 + 𝐶 =
𝑥2
2
+
1
3
 𝑡𝑔 3𝑥 + 𝐶. 
𝑢 = 3𝑥 
 𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥 → 
𝑑𝑢
3
= 𝑑𝑥. 
 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
7. ∫ 
𝑒𝑥− 𝑒−𝑥
𝑒𝑥+ 𝑒−𝑥 
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑢
𝑢
= ln |𝑢| + 𝐶 = 𝑙𝑛|𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥| + 𝐶 = ln(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥) + 𝐶 
𝑢 = 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥 
𝑑𝑢 = 𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥(−𝑥)′ = (𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥)𝑑𝑥 
 
8. ∫
𝑥
√1−𝑥4 
𝑑𝑥 = ∫
𝑥
√1−(𝑥2)2 
𝑑𝑥 =
1
2
∫
𝑑𝑢
√1−𝑢2 
= 
1
2
 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 =
1
2
 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 + 𝐶 
𝑢 = 𝑥2 
𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 
𝑑𝑢
2
= 𝑥 𝑑𝑥 
OBS: Exemplo envolvendo mudança de variável a partir da inversa de uma função 
∫ 𝒙𝟐√𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 
𝑢 = 𝑥 + 1 ↔ 𝑥 = 𝑢 − 1 → 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 
∫ 𝑥2√𝑥 + 1 𝑑𝑥 = ∫(𝑢 − 1)2 √𝑢 𝑑𝑢 = ∫(𝑢2 − 2𝑢 + 1)𝑢
1
2 ⁄ 𝑑𝑢 = ∫(𝑢
5
2 ⁄ − 2𝑢
3
2 ⁄ 
+ 𝑢
1
2⁄ ) 𝑑𝑢 =
𝑢
7
2⁄
7
2
 − 2 
𝑢
5
2⁄ 
5
2
+
𝑢
3
2⁄
3
2
+ 𝐶 =
2
7
𝑢
7
2⁄ − 
4
5
𝑢
5
2 ⁄ + 𝐶 = 
2
7
(𝑥 + 1)
7
2⁄ −
 
4
5
(𝑥 + 1)
5
2⁄ +
2
3
(𝑥 + 1)
3
2 ⁄ + 𝐶 = 
2
7
√(𝑥 + 1)7 −
4
5
 √(𝑥 + 1)5 + 
2
3
 √(𝑥 + 1)3 + 𝐶 
Aplicação 
Um estudo preparado pelo departamento de marketing de uma empresa projeta 
que, após a nova linha de computadores pessoais ser introduzida no mercado, as vendas 
crescerão à taxa de 2000 − 1500𝑒−0,05𝑡 unidades por mês. Encontre uma expressão 
que forneça o número total de computadores que serão vendidos t meses após se 
tornarem disponíveis no mercado. 
𝑁’(𝑡) = 2000 − 1500𝑒−0,05𝑡 
Profª. Fabiane Regina da Cunha Dantas Araújo 
 
𝑁(𝑡) = ∫(2000 − 1500𝑒−0,05𝑡)𝑑𝑡
= ∫ 2000 𝑑𝑡 − ∫ 1500𝑒−0,05 𝑑𝑡 = 2000 ∫ 𝑑𝑡 − 1500 ∫ 𝑒−0,05 𝑑𝑡 
𝑢 = −0,05𝑡 
 𝑑𝑢 = −0,05𝑑𝑡 
−
𝑑𝑢
0,05
= 𝑑𝑡 
𝑁(𝑡) = 2000 𝑡 + 𝐶1 − 1500 ∙ (−
1
0,05
) ∫ 𝑒𝑢 𝑑𝑢 
𝑁(𝑡) = 2000 𝑡 + 𝐶1 + 30000𝑒
−0,05𝑡 + 𝐶2 , onde 𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2. 
Assim, 𝑁(𝑡) = 2000 𝑡 + 30000𝑒−0,05𝑡 + 𝐶