Cap 6

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Curso de 
Física Básica 
H. Moyses Nussenzveig 
 
 
 
 
Resolução do 
Volume II 
 Capítulo 6 
Som 
 
 
 
 
 
 
Grupo Física-Nussenzveig Capítulo -6 
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 1 
1 – Uma experiência de demonstração divertida consiste em mudar a tonalidade da voz enchendo a 
boca de gás hélio: uma voz grave transforma-se em aguda (cuidado: não procure fazer isso por sua 
conta! Inalar hélio é perigoso, podendo levar à sufocação). Para explicar o efeito, admita que os 
componentes de onda associados à voz são determinados pelas dimensões das cordas vocais, laringe 
e boca, estas funcionando como cavidades ressonantes, de modo que a variação de tonalidade seria 
devida unicamente à variação da velocidade do som (embora isto não seja bem correto). 
 a) Calcule a velocidade do som no hélio a 20°C. É um gás monoatômico, de massa atômica 
≈ 4 g/mol, com γ ≈ 1,66. A constante universal dos gases R vale 8,314 J/mol.K. 
 b) Explique o efeito, calculando a razão entre as freqüências do som no hélio e no ar para o 
mesmo comprimento de onda. (Resolução) 
 
2 – Um alto-falante de um aparelho de som emite 1W de potência sonora na freqüência υ = 100 Hz. 
Admitindo que o som se distribui uniformemente em todas as direções, determine, num ponto 
situado a 2 m de distância do alto-falante: 
 a) o nível sonoro em db; 
 b) a amplitude de pressão; 
 c) a amplitude de deslocamento. Tome a densidade do ar como 1,3 kg/m³ e a velocidade do 
som como 340 m/s. 
 d) a que distância do alto-falante o nível sonoro estaria 10 db abaixo do calculado em (a)? 
(Resolução) 
 
3 – Que comprimento deve ter um tubo de órgão aberto num extremo e fechado no outro para 
produzir, como tom fundamental, a nota dó da escala média, υ = 262 Hz a 15°C, quando a 
velocidade do som no ar é de 341 m/s? Qual é a variação de freqüência Δυ quando a temperatura 
sobe para 25°C? (Resolução) 
 
4 – Na experiência da pg. 221* (pg 136 – 4ª ed), o diapasão emite a nota lá de 440 Hz. À medida 
que vai baixando o nível da água no tubo, a 1ª ressonância aparece quando a altura da coluna de ar é 
de 17,5 cm e a 2ª quando é de 55,5 cm. 
 a) Qual é o comprimento de onda? 
 b) Qual é o valor da correção terminal (cf. pg. 219)**? 
 c) Estime o diâmetro do tubo. 
 d) Qual é a velocidade do som no tubo? 
 
* - Diapasão excita ondas sonoras numa coluna de ar contida num tubo cilíndrico de vidro, 
contendo água na parte inferior. 
** - Esta correção terminal equivale a corrigir o comprimento efetivo do tubo, acrescentando-lhe 
≈0,6R, onde R é o raio do tubo. (Resolução) 
 
5 - O tubo de Kundt, que costumava ser empregado para medir a velocidade do som em gases, é 
um tubo de vidro que contém o gás, fechado numa extremidade por uma tampa M que se faz vibrar 
com uma freqüência υ conhecida (por exemplo, acoplando-a a um alto-falante) e na outra por um 
pistão P que se faz deslizar, variando o comprimento do tubo. O tubo contém um pó fino (serragem, 
por exemplo). Ajusta-se o comprimento do tubo com o auxílio do pistão até que ele entre em 
ressonância com a freqüência υ, o que se nota pelo reforço da intensidade sonora emitida. Observa-
se então que o pó fica acumulado em montículos igualmente espaçados, de espaçamento Δl, que se 
pode medir. 
 a) A que correspondem as posições dos topos dos montículos? 
 b) Qual é a relação entre Δl, υ e a velocidade do som no gás? 
 c) Com o tubo cheio de CO2 a 20°C e υ = 880 Hz, o espaçamento médio medido é de 15,2 
cm. Qual é a velocidade do som no CO2 a 20°C? (Resolução) 
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 2 
6 - a) Mostre que, para uma onda sonora harmônica de freqüência angular ω e três dimensões 
num fluido cuja densidade de equilíbrio é ρ0, o deslocamento ur (que neste caso é um vetor!) está 
relacionado com a pressão p por: grad p = ρ0.ω². ur . 
 b) Considere uma onda sonora harmônica que se propaga no semi-espaço x > 0, com 
p=p(x,y,z,t), e suponha que o plano x = 0 é uma parede fixa, rígida. Mostre, utilizando o resultado 
da parte (a), que p tem de satisfazer a condição de contorno 0
x
p =∂
∂ para x=0, qualquer que seja t. 
Em particular, isto vale na extremidade fechada de um tubo de órgão. (Resolução) 
 
7 – Uma onda sonora plana monocromática de pressão dada por [cf. 
(6.5.7)] ( )tykxkcosPp yxi ω−+−= , onde k² = kx² + ky² = ω² / v² ( 
v = velocidade do som), incide com ângulo de incidência θ1 sobre o 
plano x = 0, ocupado por uma parede rígida (fig.), dando origem à 
onda refletida, de pressão dada por ( )tykxkcos'Pp yxr ω−+= , 
associada ao ângulo de reflexão θ’1=θ1 (fig.). 
 a) Verifique que kx = k.cosθ1, ky = k.senθ1. 
 b) Aplique a condição de contorno do problema 6 à onda total 
p = pi + pr e determine P’ em função de P. 
 c) Escreva a onda total p em função de P, usando (b), e 
interprete o resultado. Mostre que, no caso particular em que ky = 0, ele se reduz ao que foi 
encontrado na pg. 220 para a reflexão na extremidade fechada de um tubo de órgão. (Resolução) 
 
8 – Uma lente esférica plano-convexa delgada é formada por um meio onde o som se propaga com 
velocidade v2, limitada por uma face plana e outra esférica de raio de curvatura R; o raio h = I’A da 
face plana é suposto <<R. No meio externo à lente, o som se propaga com velocidade v1, com 
n
vv 12 = , onde n é o índice de refração relativo. Supomos n > 1. Nestas condições, uma onda sonora 
plana incidente perpendicularmente sobre a face plana é focalizada pela lente em seu foco F. A 
distância f = OF do foco à face curva chama-se distância focal, e AO = e é a espessura da lente. 
 a) Mostre que, para h << R, tem-se e = h² / (2R). Para isso, você poderá utilizar a 
aproximação: ε±≈ε±
2
11 1 , válida para |ε| << 1. 
 b) Com o auxílio do Princípio de Huygens, mostre que 
)1n(
Rf −= . Sugestão: Partindo da 
frente de onda plana incidente II’, iguale o tempo que as frentes de onda secundárias levam para 
convergir no foco passando pela periferia da lente (caminhos I’F, IF) e pelo centro (caminho AO + 
OF) e use o resultado da parte (a). (Resolução) 
 
 
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9 – Duas fontes sonoras A e B oscilam em fase com a freqüência de 20 kHz, no ar, emitindo ondas 
esféricas; a distância AB = 3d é de 10,2 m. Considere o plano perpendicular a AB que passa pelo 
terço O do segmento AB : AO = d = (1/2) OB. Ache as distâncias x do ponto O associadas dos dois 
primeiros mínimos e aos dois primeiros máximos de interferência sobre esse plano. Você poderá 
utilizar a aproximação ε±≈ε±
2
11 1 (|ε| << 1); a velocidade do som no ar é de 340 m/s. Se as 
ondas emitida por A e B têm a mesma amplitude, qual é a razão da intensidade dos máximos à dos 
mínimos? (Resolução) 
 
 
10 – Uma onda sonora plana harmônica de comprimento de onda λ incide perpendicularmente 
sobre um anteparo opaco com três fendas igualmente espaçadas, de espaçamento d >> λ. Para a 
distâncias R >> d, determine as direções de observação θ em que aparecem mínimos de 
interferência, generalizando a (6.8.11)* de duas para três fendas. Qual é a intensidade nos 
mínimos? Sugestão: Você terá de calcular a resultante de três oscilações com defasagens 
consecutivas δ iguais. Use a notação complexa e a fórmula (demonstre-a!) 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ δ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ δ
=−
−=++ δ
δ
δδ
2
sen
2
3sen
1e
1eee1
2
2
2
i
i32i2i . 
O mesmo método se aplica a um número qualquer de fendas igualmente espaçadas. 
*
⎪⎩
⎪⎨
⎧
λ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
λ
=θ )destrutiva(
2
1n
)aconstrutiv(n
send (n = 0,±1,...) (Resolução) 
 
 
 
11 – Uma ambulância, em velocidade constante e com sua sereia sempre ligada, passa ao lado de 
um observador parado. A tonalidade da sereia percebida pelo observador varia de um semitom da 
escala cromática entre quando ela está se aproximando, vindo de longe, e quando se afasta, já 
distante. A velocidade do som no ar é de 340 m/s. Calcule a velocidade da ambulância (em km/h). 
(Resolução) 
 
12 - Dois trens viajam em sentidos opostos, sobre trilhos paralelos, com velocidades de mesma 
magnitude. Um deles vem apitando. A freqüência do apito percebida por um passageiro do outro 
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trem varia entre os valores de 348 Hz, quando estão se aproximando, e 259 Hz, quando estão se 
afastando. A velocidade do som no ar é de 340m/s. 
 a) Qual é a velocidade dos trens (em km/h)? 
 b) Qual é a freqüência do apito? (Resolução) 
 
13 – Numa estrada de montanha, ao aproximar-se de um paredão vertical que a estrada irá 
contornar, um motorista vem buzinando. O eco vindo do paredão interfere com o som da buzina, 
produzindo 5 batimentos por segundo. Sabendo-se que a frequencia da buzina é de 200 Hz e a 
velocidade do som no ar é de 340 m/s, qual é a velocidade do carro (em km/h)? (Resolução) 
 
14 – Uma fonte sonora fixa emite som de freqüência υ0. O som é refletido por um objeto que se 
aproxima da fonte com velocidade u. O eco refletido volta para a fonte, onde interfere com as ondas 
que estão sendo emitidas, dando origem a batimentos com freqüência Δυ. Mostre que é possível 
determinar a magnitude |u| da velocidade do objeto móvel em função de Δυ, υ0 e da velocidade do 
som v. 
O mesmo princípio é utilizado (com ondas eletromagnéticas em lugar de ondas sonoras) na 
detecção do excesso de velocidade nas estradas com auxílio do radar. (Resolução) 
 
15 - Dois carros (1 e 2) trafegam em sentidos opostos numa estrada, com velocidades de 
magnitudes v1 e v2. O carro 1 trafega contra o vento, que tem velocidade V. Ao avistar o carro 2, o 
motorista do carro 1 pressiona sua buzina, de freqüência υ0. A velocidade do som no ar parado é v. 
Qual é a freqüência υ do som da buzina percebida pelo motorista do carro 2? Com que freqüência 
υ’ ela é ouvida pelo motorista de um carro 3 que trafega no mesmo sentido que o carro 1 e com a 
mesma velocidade? (Resolução) 
 
16 – Complete a teoria do efeito Doppler para movimento numa direção qualquer 
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
θ
υ=
v
Vcos-1
 vque em 0 calculando a freqüência υ percebida por um observador quando a fonte, 
de freqüência υ0 está em repouso na atmosfera e o observador se move ao longo de uma direção P0P 
com velocidade de magnitude u. No instante considerado, a direção PF que liga o observador à 
fonte faz um ângulo θ com a direção do movimento. Verifique que se recai nos resultados obtidos 
no texto para θ = 0 e θ = π. (Resolução) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 – Mostre que se pode obter o efeito Doppler a partir da transformação de Galileu. 
 a) Considere primeiro uma onda sonora harmônica em uma dimensão, para uma fonte 
sonora em repouso no meio, de freqüência υ0. Escreva a expressão da onda num ponto x no instante 
t, no referencial S do meio. Considere agora um observador que se desloca com velocidade u em 
relação a S, na direção θ. Relacione x com a coordenada x’ do observador, no referencial S’ que se 
desloca com ele. Substitua na expressão da onda e interprete o resultado. 
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 b) Considere agora o caso em que o observador se move com velocidade u numa direção 
qualquer. Generalize o resultado de (a), usando a transformação de Galileu geral, e mostre que se 
obtém a mesma expressão para o efeito Doppler encontrada no Problema 16. Parta da expressão 
geral para uma onda plana. 
Expressão geral: [ ])tr.k(iAeRe)tr.kcos(A)t,r( ω−=δ+ω−=ϕ (Resolução) 
 
18 - Um avião a jato supersônico está voando a Mach 2 (o dobro da velocidade do som). 
 a) Qual é o ângulo de abertura do cone de Mach? 
b) 2,5 s depois de o avião ter passado diretamente acima de uma casa, a onda de choque 
causada pela sua passagem atinge a casa, provoca um estrondo sônico. A velocidade do som no ar é 
de 340 m/s. Qual é a altitude do avião em relação à casa? (Resolução) 
 
 
Resolução 
 
 
R-2) P = 1 W; υ = 100 Hz ; r = 2 m ; I0 = 10-12 W/m² ; ρ0 = 1,3 kg/m³ ; v = 340 m/s. 
 
a) Área = A = 4π.r² = 4π.2² = 16π m² 
 I = P/A = 1(W) / 16π (m²) = 0,0189 W/m² 
O nível sonoro vale: 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=α
0I
Ilog10 = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−1210
0189,0log10 ⇒ α = 103 db 
b) 
v2
1I
0
2
ρ
℘= ⇒ ℘² = 2.ρ0.v = 2.1,3.340 = 17,587 ⇒ ℘ = 4,2 N/m² 
c) 220 Uv2
1I ωρ= 
onde: ω = 2.π.υ = 2.π.100 ⇒ ω = 200π rad/s 
Logo: 
 2
0
2
.v.
I.2U ωρ= ⇒ U = 0,015 mm 
d) α’ = α - 10 = 103 – 10 = 93 db 
 I’ = P/A’ = 1/ (4πr²) 
 
 ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ π=α −12
2
10
r4
1
log10' = 93 ⇒ 123,92 10.10.4
1r −π= ⇒ r = 6,3 m 
 
 
R-3) υ = 262 Hz ; T = 15°C = 288 K ; v = 341 m/s ; T’ = 25°C = 298 K ; 
 
Tubo aberto numa extremidade e fechado na outra: 
 
L4
vnn =υ (n = 1, 3, 5, ...) (I) 
Para o tom fundamental, n = 1 e, de acordo com (I), encontramos L: 
 υ= 4
vL ⇒ L = 0,325 m = 32,5 cm 
 
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 6 
Para uma dada massa de ar, a velocidade do som é dada por: 
 T.
m
R
m
RTv
tetanconsC
321
=
γ=γ= ⇒ T.Cv = 
Encontrando C, substituindo v e T: 
 341 = C. 288 ⇒ 
288
341C = (II) 
Encontrando a velocidade v’, quando T’ = 298 K 
 'T.C'v = = 298
288
341 ⇒ v’ = 346,87 m/s 
A nova freqüência será: 
 
L4
'v'=υ = 
)0325(4
87,346 ⇒ υ’ = 266,8 Hz 
 
Δυ = υ’ - υ = 4,8 Hz 
 
 
R-5) 
 
 
Tubo fechado nas duas extremidades. 
1
2 2
nl l nλλ= ⇒ = 
12 2
vv l
l
λυ υ υ= = ⇒ = 
 
a) Os nós do deslocamento. Antinodos de pressão ou nodos de deslocamento. O deslocamento 
"varre" as partículas para os nós do deslocamento. 
 
b) 2
2
l lλ λΔ = ⇒ = Δ 2v . l.υ= Δ 
 
c) v = 2.(0,152).880 ⇒ v = 267,5 m/s 
 
 
 
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 7 
R-18) 
 
 
a) v = 2V = 2.(340) = 680 m/s 
1 30
2 2
V Vsen
v V
α α= = = ⇒ = ° 
 
b) 
	Resolução