PFM Aula 004 JHF 2014.1

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Princípios e Fenômenos da 
Mecânica 
Prof. José Henrique Fernandez 
Escola de Ciências e Tecnologia 
AULA 4 
Movimento em Duas Dimensões 
 
 
AULA 4: Movimento Circular Uniforme 
 
DEFINIÇÃO DE RADIANO 
Como se medem aberturas (ângulos) ? 
Há 3 unidades usuais: 
 GRAU (Degree) [o] 
 GRADO (Grade) [grad] 
 RADIANO (Radian) [rad] – ADIMENSIONAL 
 
 A mais “física” (prática) das 3 unidades é o 
radiano, por ser adimensional. 
 O radiano: 
 
 
 
 
 
 É a medida do comprimento do arco em relação ao raio 
 
DEFINIÇÃO DE RADIANO 
S

R
 RS
R
S

Velocidade Angular () e Aceleração Angular () 
RS 
Derivando essa equação membro a membro obtemos: 
 



Rv
dt
d
Rv
R
dt
d
dt
dS



E, derivando novamente, obtemos: 
Ra 
 PERÍODO E FREQUÊNCIA: 
 “Com que FREQUÊNCIA você corta o cabelo?” 
 “Quantas vezes por ano?” 
 “Eu corto o cabelo a cada PERÍODO de 2 meses (1/6 de ano), ou seja, 
numa FREQUÊNCIA de 6 vezes por ano” 
 
DEFINIÇÃO DE PERÍODO E FREQUÊNCIA 
f
1
s)(Revoluçõe Ciclos
1
(s) Tempo
T
f
TfT
1
1. 
Movimento Circular Uniforme (MCU) 
Ocorre quando um objeto percorre um círculo com 
velocidade escalar constante (módulo contante). 
Satélite 
v
v
r
r




Aceleração Centrípeta 
Obtendo a famosa fórmula... 
t
v
a
t
cp





0
lim
t
r
r
v
t 




0
lim
r
t
r
v
a
t
cp





0
lim
t
r
r
v
t 




0
lim
r
v
acp
2

v
v
r
r




r
r
v
v


Módulo: 
Direção e Sentido: 
Aponta sempre para o 
centro de curvatura 
Teste 1 
Um objeto se move com velocidade, em módulo, 
constante, ao longo de uma trajetória circular, em um 
plano xy horizontal com centro na origem. Quando o 
objeto está em sua velocidade é . 
Determine (a) a velocidade e (b) a aceleração do objeto 
em . 
(5 min.) 
iv ˆ)m/s 4(

m 2x
m 2y
Exemplo 1 
O carro esportivo Aston Martin V8 Vantage possui 
“aceleração lateral” de 0,96g. Isso representa a aceleração 
centrípeta máxima sem que o carro deslize para fora de 
uma trajetória circular em uma estrada de asfalto em 
condições normais. Se o carro se desloca com uma 
rapidez constante (módulo de ) de 144 km/h, qual é o 
raio mínimo da curva que ele pode aceitar? (Suponha que 
a curva não possua inclinação lateral.) 
m/s 40m/s 
6,3
144
km/h 144 v
v

Solução: 
Velocidade constante, em módulo, numa curva, implica 
que o movimento é circular uniforme na curva. A 
aceleração centrípeta está relacionada com a velocidade e 
o raio da curva pela relação: 
r
v
acp
2

min
2
max, 96,0
r
v
gacp 
m
sm
sm
g
v
r 170
)/81,9.(96,0
)/40(
96,0 2
22
min 
Exemplo 2 
Uma partícula se move em um plano xy. Suas coordenadas 
são dadas em função do tempo por 
 
 
onde e são constantes. (a) Faça um esboço da 
trajetória da partícula. (b) Determine as componentes da 
velocidade e da aceleração da partícula em qualquer tempo 
t. (c) Para que instantes a partícula está momentaneamente 
em repouso? Quais são as coordenadas da partícula nesses 
instantes? Determine o vetor aceleração. (d) O módulo da 
aceleração é função do tempo? Compare com o movimento 
circular uniforme. 
)cos1( )sin()( ωtRy(t)ttRtx  
R 
Solução: 
(a) A trajetória… 
ωtRRy(t)tRtRtx cos)( ,sin))((  
222 )())(( RRy(t)tRtx  
Que trajetória é esta? 
Equação da circunferência com centro mudando de 
posição com o tempo!!! Ou seja, a trajetória é uma 
combinação do movimento circular uniforme com um 
movimento retilíneo uniforme na direção x com 
velocidade... 
Rvx 
Ciclóide 
(b) As componentes da velocidade em qualquer tempo t. 
)cos1( )sin()( ωtRy(t)ttRtx  
Basta tomar a 1ª derivada no tempo das coordenadas... 
ωtRω(t)vtωRtv yx sin )cos()(  
e as componentes da aceleração em qualquer tempo t? 
ωtRω(t)atRta yx cos sin)(
22  
, 
, 
, 
(c) E os instantes em que a partícula está em repouso? 
 
 
 
 
 
 
As coordenadas nesses instantes... 
 
 
e as componentes da aceleração 


lωtωtRω(t)v
nωttωRtv
ry
rx


0sin
20)cos()(
R
v
Rωtata ryrx
2
2)( ,0)( 
 2, 1, 0, ,2  nntr 

 2, 1, 0, ,0 ),2()(  n)y(tRntx rr 
A B 
0)( rtx Rtx r 2)( 
Velocidade máxima da partícula! 
(d) O módulo da aceleração muda com o tempo? 
 
 
 
 
 
 
 
 Compare com o movimento circular uniforme. 
222 )()()( Rωtatata yx 
Não varia 
com o tempo! 
O vetor aceleração neste movimento é exatamente igual 
ao de um movimento circular uniforme! 
ωtRω(t)atRta yx cos ,sin)(
22  
Rvcom
R
v
a  ,
2
Aceleração Tangencial 
Componente da 
aceleração tangente à . 
Responsável por mudar 
o módulo da velocidade! 
dt
dv
at
módulo

r
v
ac
módulo
2

Componente da 
aceleração 
perpendicular à . 
Responsável por mudar 
a direção da velocidade! 
v

v

Movimento Relativo 
O que é? É o movimento de uma partícula percebido por 
um observador também em movimento relativo a um 
sistema de coordenadas em comum. 
BOr

AOBOBA rrr


AOr

O 
A B 
Vetor posição do homem (B) em relação ao 
hipopótamo (A) 
Velocidade do homem (B) em relação ao 
hipopótamo (A) 
AOBOBA vvv


BAr

Teste 2: 
Um carro se desloca com uma velocidade de 60 km/h para 
o oeste em um trecho de estrada retilíneo. Na outra mão da 
estrada um caminhão viaja para leste com uma velocidade 
de 80 km/h. Se os carros se avistam quando estão a uma 
distância de 2,8 km, quanto tempo levará para eles se 
encontrarem? 
Exemplo 3 
Um homem de aparência suspeita corre o mais rápido 
que pode por uma esteira rolante, levando 2,5 s para ir de 
uma extremidade até certo ponto. Os policiais aparecem 
e o homem volta ao ponto de partida, correndo o mais 
rápido que pode, levando 10,0 s. Qual é a razão entre a 
velocidade do homem e a velocidade da esteira? 
Solução: 
pe,v
 es,v
pe,es,
ida
)ida(
ps, vv
t
d
v 
d
pe,v
 es,v
x 
pe,es,
volta
)volta(
ps, vv
t
d
v 


? 
 pe,
es,

v
v
Policiais (P) 
Exemplo 4 
Um cão é treinado em um rio cuja correnteza aponta para o 
norte e tem uma velocidade de 10 km/h relativa às margens 
do rio. O cão pula na água e nada para o oeste e alcança o 
outro lado em 6,0 s, chegando em um ponto 16,7 m à frente 
do ponto em que se atirou. Qual é a velocidade média do cão 
relativa ao solo? E relativa à água? A largura do rio é 20 m. 
Solução: Velocidade do rio em relação ao 
solo em m/s: m 26207,16 22 d
m/s 3,4
0,6
26
, 


t
d
v solocão
m/s 78,2m/s 
6,3
10
, soloriov
20 m 
4 m 
Velocidade do cão em relação ao 
solo: 
Velocidade do cão em relação ao rio: 
solocãov ,
m/s 3,32 ,
2
,,
2
,
2
,
2
,


soloriosolocãoriocão
solorioriocãosolocão
vvv
vvv
soloriov ,
riocãov ,
m/s 3,3, riocãov
Exercício para casa: 
Próxima aula... 
 
 As Leis de Newton do Movimento!!! 
Legal!!!pena que 
eu vivo 
batendo 
o meu 
carro.