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CÁLCULO 4
O ponto médio entre A (5,4,2) e B (1,6,8) é dado por: 
 R: (3,5,5) 
O ponto médio entre A(7,-6,2) e B(3,-4,0) é dado por:
 R: (5, -5 , 1) 
A equação padrão da esfera de centro (-1,2,0) e r = 2 está representada em: 
R: (x + 1)² + (y - 2)² + z² = 4 
A equação padrão da esfera de centro (1,4,-7) e r = 3 está representada em: 
 R: (x - 1)² + (y - 4)² + (z + 7)² = 9 
O discriminante D de uma função de duas variáveis pode ser dado por D = F, nessas condições podese afirmar que o D da função z = (x-1)2+(y-2)2 +3 = f(x) 
R: 4
A distância dos pontos P(2,-1,0) e Q (3,1,-2) está apresentada em: 
R: 3 
O plano de interceptos (3,0,0); (0,3,0) e (0,0,6), está representado na alternativa: 
(sugestão: determine os interceptos x, y e z do plano em cada uma das alternativas R: -2x -2y + 6 = z 
	6 = z + 2x + 2y 	 	 
	2x + 2y +z = 6 	 2x + 2y +z = 6 	 	2x + 2y +z = 6 	 
 2x + 2(0) + 0 = 6 	 2(0) + 2y + 0 = 6 	 	2(0) +2(0)+z = 6 
 2x = 6 	 	 2y = 6 	 	 	 z = 6 
x=6/2	 y=6/2
x=3 y=3 
Assinale a alternativa que apresenta as derivadas parciais em relação a x e em relação a y de primeira ordem, respectivamente de f(x,y) = 2x + 5y – 3: 
R: 2 e 5 
Assinale a alternativa que apresenta as derivadas parciais de segunda ordem de z = 5xy – x²: 
	R: fxx(X,Y) = -2 
 	
	fxy(X,Y) = 5 	fyx(X,Y) = 5 	y(X,Y) = 0 
	
Dada a função f(x,y) = -5x2+4x-y2+16x+10 assinale a alternativa incorreta: 
R: (8,16,74) é o ponto de mínimo relativo. 
O cálculo da área de uma superfície pode ser dado por uma integral dupla. A região que deve-se calcular a área está delimitada entre ao gráficos das curvas y = x³ e y = x². Observe, que no intervalo solicitado, o gráfico de x³ está com todos os pontos abaixo do gráfico de x². Por esse motivo, o x³ será o limite inferior e o x² o limite superior da integral de dy. A partir desse resultado, deve-se resolver a integral definida de 0 a 1. 
R: 
 
O volume do sólido delimitado pelos gráficos das equações z = xy; z = 0; y = 0; y = 4; x = 0 e x = 1é dado por: 
R: 4 
A área da região retangular dada por x pertencente a [1,5] e y pertencente [2,4] pode ser calculada por: 
R: uma integral dupla de limites 1 a 5 e 2 a 4; 
A área da região delimitada pelos gráficos y = x² e y = x³, no intervalo de x = 0 a x = 1, é dada por: 
R: 
 é igual a: R: -9 
 é igual a: R: 0 
É correto afirmar que z =, então: R: 
É correto afirmar que z =,então: R: 
(𝒙 −𝒚 )𝟐
É correto afirmar que z = então: R: 
 
É correto afirmar que z= x3y2, então: R: fy(xy) = 2x3y 
 
É correto afirmar que z= x3y2, então: R: fx(xy) = 3x2y2 
 
É correto afirmar que z= x3y2, então: R: fy(2,3) = 48 
 
É correto afirmar que z= x3y2, então: R: fx(2,3) = 108 
Assinale a alternativa que apresenta o ponto crítico (x,y,z) da função z = (x - 1)² + (y - 2)² + 3 = f(x,y): 
R: Esse ponto é o (1,2,3) e é de mínimo local. 
O resultado da integral , é: 
 R: 
O resultado da integral , é: 
R: 3 
O resultado da 
R: 
O valor da é:
 R: 
O resultado da é:
 R: 
O resultado da é: 
R: 
É correto afirmar que z = (x-1)2 + (y-2)2 +3 = f(x,y), então: 
 R: f’xx(1,2) = 2 
O domínio e a imagem, respectivamente, de f(x,y) = 8 – x + 2y, são: 
R: R2 e R 
Assinale a alternativa que representa o centro e o raio, respectivamente, da esfera representada pela equação x² + y² + z² - 4x - 6y + 9 = 0. 
 R: (2,3,0) e 2 
A equação 4x² - y² + 4z² = -16 representa: 
 R: Um hiperboloide de duas folhas. 
A superfície do gráfico que representa f(x,y,z) = 5x + 3y – 4z – 3 é: 
R: Um plano 
O ponto médio entre A(7,6,-2) e B(3,-4,0) é dado por: 
R: (5, 1, -1) 
O domínio da função z = 3 – x + y é dado por: 
 R: D = R ² 
O discriminante D de uma função de duas variáveis pode ser dado por 
D = 
Nessas condições pode-se afirmar que o discriminante D da função z = (x-1)2 - (y-2)2 +3 = f(xy) 
R: -4 
A distância dos pontos P(-2,-2,-2) e Q (4,3,0) está apresentada em: 
R: √𝟔𝟓 
Equação do traço da esfera (x - 3)² + (y + 2)² + (z – 2)²= 9 com o plano xz é dado por: 
R: (x - 3)² + (z - 2)² = 5 
Equação do traço da esfera (x - 2)² + (y + 3)² + (z – 1)²= 9 com o plano x=3 é dado por: 
R: (y+3)² + (z - 1)² = 8 
Equação do traço da esfera (x - 1)² + (y + 4)² + (z – 2)²= 16 com o plano z=5 é dado por: 
R: (x-1)² + (y+4)² = 7 
Assinale a alternativa que apresenta as derivadas parciais em relação a x e em relação a y de primeira ordem, respectivamente de z = x²y + 3y²: 2 
R: 2xy e x² + 6y 
Dada a função f definida por f(x,y) = -cos(3x² -3y) é correto afirmar que: 
R: 
O volume do sólido delimitado pelos gráficos das equações z = x³ , x = 4y², 16y = x² e z = 0 é igual a: 
R: 
Dada a função f(x,y) = 2x – y² 
R: - 4 
O gráfico que representa do domínio de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = √25 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 = 25 
R: Uma esfera de centro (0,0,0) e raio = 5 e todos os pontos de seu interior. 
As coordenadas do ponto médio do segmento de reta que une os P = (-5, -2, 5) e Q = (6, 3, -7), estão representadas na alternativa: 
R: 
Assinale a alternativa que representa o centro e o raio, respectivamente, da esfera representada pela equação x² + y² + z² - 4x - 6y + 9 = 0. 
R: (2, 3, 0) e 2. 
Assinale a alternativa que representa a equação do traço da esfera x² + y² + z² - 4x - 6y + 9 = 0, com y = 3. 
R: (x – 2)² + z² = 4 
As curvas de nível da função z = x + y, para k = 0, 1, 2, 3 e 4 são representadas por: 
. R: retas; 
As curvas de nível da função z = 4x² +3y², para k = -1, +1, -2, +2, -3, +3 , -4 e +4 são representadas por:
 R: elipses. 
A área da região delimitada pelos gráficos y = x² e y = x³, no intervalo de x = 0 a x = 1, é dada por: 
R: 
 é igual a: 
R: 0 
É correto afirmar que, se , então: 
R: 
O domínio da função 𝑧 = √169 − (𝑥3 + 𝑦3) é dado por: 
R: Esfera de centro (0,0) e r = 13 
O domínio da função z = 3 – x + y é dado por: 
R: D = R2 
A área destacada no gráfico abaixo representa a integral dupla da alternativa:
 
R: 
 
A área destacada no gráfico abaixo representa a integral dupla da alternativa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
 
y
 
x
 
1
 
2
 
R: 
 
A área destacada no gráfico abaixo representa a integral dupla da alternativa: 
 
	 	y 
 
 
 
 
 
 
4
 
2
 
x
 
2
 
R: 
 
A área destacada no gráfico abaixo representa a integral dupla da alternativa: 
 
	 	y 
 
 
 
 
 
 
1
 
x
 
1
 
Y = x
2
 
Y = x3
 
R: 
 
Dada a função, pode-se afirmar que: 
R: O domínio é R2 com exceção de x = 2 ou y = 0. 
Observe a figura abaixo e assinale a alternativa que representa a equação dessa esfera em sua forma 
R: 
 
 
 
 
1
 
1
 
y
 
x
 
R: 
 R: 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
R: 
R: 
 R: 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
R: 
 R: 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 R: 	
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------							 
 R: ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------R: 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------R: 1/2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
R: 
A equação padrão da esfera de centro (-1,2,0) e r = 2 está representada em
R: (x + 1)² + (y - 2)² + z² = 4
O ponto médio entre A(7,-6,2) e B(3,-4,0) é dado por
R: (5,-5,1)
O plano de interceptos (3,0,0); (0,3,0) e (0,0,6), está representado na alternativa:
(sugestão: determine os interceptos x, y e z do plano em cada uma das alternativas)
R: ) -2x -2y + 6 = z
R: fxx(1,2) = 2
R: 
R:2/3
DISSERTATIVAS
Conforme estudado nas aulas de Cálculo, o domínio de uma função de uma ou mais variáveis é o conjunto formado por todos os números que tornam a função verdadeira. Por exemplo, se f(x, y) = x y, os valores de x e y que tornam a função verdadeira em R são os valores reais para x e também para y, ou seja, o domínio da f(x, y) é o R². Agora, suponha que f(x, y) = xy seja a área de um retângulo de dimensões x e y, então o domínio será dado por x > 0 e y > 0.
a) Explique porque o domínio de f(x, y) = xy assume resultados diferentes nas situações apresentadas.
 R: Porque permite que todos os valores para, x,y > 0, pois o valor tem que ser modular e não nulo.
b) Se a função for f(x, y) = 1 / xy, qual será o domínio dessa função?
R: D(f) = {(x,y) E R2/ x ≠ 0 e y ≠ 0} 
c) Se a função for f(x, y) = 1 / , qual será o domínio dessa função?  
 R: X ≥ 0 e Y ≥ 0 ou X ≤ 0 e Y ≤ 0
Dada a função f definida por f(x,y) = -7x²y + 3xy² - 2xy, determine as derivadas parciais fx(x,y); fx(2,-1) e fxy(x,y).
(𝒙, 𝒚) = −𝟕𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 
𝒇𝒙(𝒙, 𝒚) = −𝟏𝟒𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝟐y 
 
𝑓𝑥(2, −1) = −14(2). (−1) + 31)2 − 2(−1) 
𝑓𝑥(2, −1) = −28 . −1 + 3 + 2 
𝑓𝑥(2, −1) = 28 + 5 
𝒇𝒙(𝟐, −𝟏) = 𝟑𝟑 
 
𝒇(𝒙, 𝒚) = −𝟕𝒙𝟐𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 
𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = −14𝑥𝑦 + 3𝑦2 − 2𝑦 
𝒇𝒙𝒚 (𝒙, 𝒚) = −𝟏𝟒𝒙 + 𝟔𝒚 – 𝟐
 
Dada a função definida por 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2𝑦 + 4𝑥𝑦2, determine as derivadas parciais indicadas por: fx (x,y); fy (x,y); fxy (1,4) 
R: fx (x,y) = 6xy+4y2 fy (x,y) = 8xy+3x2 
	fxy(1,4) = 6x +8y 	fxy (1,4) = 6(1) + 8(4) 	fxy (1,4) = 6+32 	fxy (1,4) = 38 
Dada a função definida por 𝑓(𝑥, 𝑦) = (3𝑥2𝑦 + 4𝑥𝑦)3, determine as derivadas parciais indicadas por: fx (x,y); fy (x,y) e
 R: f(x,y) = (3x2 + 4xy)3
 f(x,y) = 27x6 + 108 x5 .xy + 144x2.xy2 +64 xy3 f(x,y) = 27x6 + 108 x4 .xy + 144x2.xy2 +64 xy3 
 f’x (x,y) = 162x5 + 432x3 .xy + 288x.xy2 	 	 f’y = 27x6 + 108 x4 .xy + 144x2.xy2 +64 xy3 
Dada a função f definida por f(x,y) = 5x²y - 6xy² - 3xy, determine as derivadas parciais fx(x,y); fx(2,-3) e fxy(0,1). 
(Dissertativa). 
(𝒙, 𝒚) = 𝟓𝒙𝟐𝒚 − 𝟔𝒙𝒚𝟐 − 𝟑𝒙𝒚 
𝒇𝒙(𝒙, 𝒚) = 𝟏𝟎𝒙𝒚 − 𝟔𝒚𝟐 − 𝟑y 
𝑓𝑥(2, −3) = 10(2). (−3) − 6−3)2 − 3(-3) 
𝑓𝑥(2, −3) = −60 − 6(9) + 9 
𝑓𝑥(2, −3) = −60 − 54 + 9 
𝒇𝒙(𝟐, −𝟑) = −𝟏𝟎𝟓 
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟓𝒙𝟐𝒚 − 𝟔𝒙𝒚𝟐 + 𝟑 
𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 10𝑥𝑦 − 6𝑦2 − 3𝑦 
𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 10𝑥 − 12𝑦 − 3 
𝑓𝑥𝑦 (0,1) = 10(0) − 12(1) − 3 
𝑓𝑥𝑦 (0,1) = −12 − 3 
𝒇𝒙𝒚 (𝟎, 𝟏) = −𝟏𝟓