prova2 (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC - UFABC
Pro´-Reitoria de Graduac¸a˜o
2a¯ Prova de Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis
Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Seja ϕ : D ⊂ Rn → R,x 7→ ϕ (x) um campo escalar harmoˆnico (∇2ϕ = 0).
a)Seja Ω ⊂ D compacto. Mostre que ∃x∗1,x∗2 ∈ ∂Ω extremos globais de ϕ em Ω (1,0).
b)Verifique se ϕ : R2 → R, (x, y) 7→ cos (x) cosh (y) possui extremos no plano (1,5).
2. Seja F : D ⊂ Rn → Rn. Seja a integral de linha
∮
C
F · sˆds = 0 ∀C ⊂ D.
a)Mostre que o potencial ϕ, associado a F, e´ harmoˆnico (1,0).
b)Seja F = (yz, xz, xy) exyz. Verifique se a integral de linha independe do caminho e, caso positivo,
determine o potencial associado (1,5).
3. Dados dois corpos de massa M e m, a forc¸a gravitacional entre eles e´ F = GMmr‖r‖3 , onde r = (x, y, z).
Mostre que F e´ conservativo e calcule em Joules o trabalho necessa´rio para aumentar a distaˆncia
da Terra ao Sol de 1cm. Dados: massa da Terra m ∼= 6 × 1027g, do Sol M ∼= 330.000m,
G = 6, 7× 10−8 m3
s2·g , distaˆncia Terra-Sol
∼= 1, 5× 1012cm (2,5).
4. Sabendo que
∫∫
S
v · nˆdω = 0 para um fluido incompress´ıvel onde v e´ o campo de velocidades e S e´
uma superf´ıcie fechada, mostre que div (v) = 0 (2,5).