Calcule as integrais indefinidas a seguir: 1.1 ∫ x(x2 + 1)3 dx 1.2 ∫ sen t / (1 + cos t) dt 1.3 ∫ (2 + ln x) / x dx 1.4 ∫ 1 / √(x(x + 2)) dx 1.5 ∫ ...

Claro! Vou calcular as integrais indefinidas que você mencionou: 1.1 ∫ x(x^2 + 1)^3 dx: Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição. Seja u = x^2 + 1. Então, du/dx = 2x e dx = du/(2x). Substituindo na integral, temos: ∫ x(x^2 + 1)^3 dx = ∫ (u - 1)^3 du/(2x) Agora, expandindo o termo (u - 1)^3, temos: ∫ (u^3 - 3u^2 + 3u - 1) du/(2x) Integrando termo a termo, temos: (1/2x) ∫ (u^3 - 3u^2 + 3u - 1) du = (1/2x) * (u^4/4 - u^3 + (3/2)u^2 - u) + C = (1/8x) * (x^2 + 1)^4 - (1/2x) * (x^2 + 1)^3 + (3/4x) * (x^2 + 1)^2 - (1/2x) * (x^2 + 1) + C 1.2 ∫ sen t / (1 + cos t) dt: Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição trigonométrica. Seja u = 1 + cos t. Então, du/dt = -sen t e dt = -du/sen t. Substituindo na integral, temos: ∫ sen t / (1 + cos t) dt = ∫ -du/u = -ln|u| + C = -ln|1 + cos t| + C 1.3 ∫ (2 + ln x) / x dx: Essa integral pode ser resolvida usando integração por partes. Seja u = ln x e dv = (2 + ln x)/x dx. Então, du = (1/x) dx e v = 2x + x ln x. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ (2 + ln x) / x dx = u * v - ∫ v * du = ln x * (2x + x ln x) - ∫ (2x + x ln x) * (1/x) dx = 2x ln x + (x ln x)^2 - ∫ (2 + ln x) dx = 2x ln x + (x ln x)^2 - 2x - x ln x + C = (x ln x)^2 + x ln x - 2x + C 1.4 ∫ 1 / √(x(x + 2)) dx: Essa integral pode ser resolvida usando uma substituição. Seja u = √(x(x + 2)). Então, du/dx = (2x + 2)/(2√(x(x + 2))) = (x + 1)/√(x(x + 2)) e dx = du/((x + 1)/√(x(x + 2))). Substituindo na integral, temos: ∫ 1 / √(x(x + 2)) dx = ∫ du/((x + 1)/√(x(x + 2))) = ∫ √(x(x + 2))/(x + 1) du = ∫ du/(x + 1) = ln|x + 1| + C Espero que isso ajude! Se você tiver mais perguntas, é só me avisar.