Lista_1_Alg_Lin_2_Trim_2010

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A´lgebra Linear
UFABC
Terceiro Trimestre de 2012
Lista 1
(1) Dadas as matrizes
A =
(
1 −1 2
3 2 −1
)
, B =
(
2 3 0
−2 −3 1
)
e
C =
( −4 −8 4
12 13 1
)
:
(a) Calcule a matriz 3A− 2B + C.
(b) Ache nu´meros α, β, ambos diferentes de zero, tais que αA+βB+C tenha a primeira
coluna nula.
(2) Sejam
A =
(
1 2 3
2 1 −1
)
, B =
( −2 0 1
3 0 1
)
, C =
 −12
4
 , D = ( 2 −1 ) .
Encontre
(a) A+B,
(b) AC,
(c) BC,
(d) CD,
(e) DA,
(f) DB,
(g) -A
(h) -D
(3) Ache o valor de t que torna a matriz abaixo igual a` matriz nula:(
t2 − 1 t2 − t
t3 − 1 t2 − 3t+ 2
)
.
(4) Determine os vetores u, v ∈ R4 sabendo que as coordenadas de u sa˜o todas iguais, a u´ltima
coordenada de v e´ igual a 3 e u+ v = (1, 2, 3, 4).
(5) Dados u = (1, 2, 3) , v = (3, 2, 0) e w = (2, 0, 0), ache nu´meros α, β e γ tais que αu+ βv +
γw = (1, 1, 1).
(6) Sejam u = (x1, ..., xn) e v = (y1, ..., yn) vetores em Rn. Prove que um deles e´ mu´ltiplo do
outro se, e somente se, xiyj = xjyi para quaisquer i, j = 1, ..., n.
(7) Seja (
2 x2
2x− 1 0
)
.
Se A = At, quanto vale x?
(8) Assinale V(erdadeiro) ou F(also) e justifique suas respostas:
(a) Se A e´ sime´trica, enta˜o A−At = 0.
(b) (A+B)t = At +Bt.
(c) (−A) (−B) = −AB.
(d) Se AB = 0, enta˜o BA = 0.
(e) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2.
(f) (A−B) (A+B) = A2 −B2.
(g) Se podemos efetuar o produto AA = A2, enta˜o A e´ uma matriz quadrada.
(h) Se A e´ uma matriz triangular superior enta˜o A2 tambe´m e´ uma matriz triangular
superior.
1
2
(i) Se A e´ uma matriz triangular superior enta˜o At tambe´m e´ uma matriz triangular
superior.
(9) Dadas
A =
 1 −3 22 1 −3
4 −3 −1
 , B =
 1 4 1 02 1 1 1
1 −2 1 2
 e C =
 2 1 −1 −23 −2 −1 −1
2 −5 −1 0

mostre que AB = AC.
(10) Suponha que A 6= 0 e que AB = AC, onde A,B e C sa˜o matrizes tais que a multiplicac¸a˜o
esteja bem definida.
(a) B = C?
(b) Se existir uma matriz Y , tal que Y A = I, onde I e´ a matriz identidade, enta˜o B = C?
(11) Dadas
A =
 2 −3 −5−1 4 5
1 −3 −4
B =
 −1 3 51 −3 −5
−1 3 5
 e C =
 2 −2 −4−1 3 4
1 −2 −3
 ,
Mostre que
(a) Mostre que AB = BA = 0, AC = A e CA = C.
(b) Use os resultados de (a) para mostrar que ACB = CBA,A2−B2 = (A−B) (A+B)
e (A±B)2 = A2 ±B2.