Lista e Gabarito - Matrizes

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Lista de Exerćıcios 1 - Gex102 - Geometria Anaĺıtica e Álgebra Linear
UFLA - Departamento de Ciências Exatas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Sejam A =
(
1 0 2
4 1 3
)
, B =
(
3 0 1
4 2 −1
)
, C =
 1−1
5
 e D = (1 1). Calcule, quando posśıvel:
a) A + B
b) A–B
c) AB
d) BC
e) CD
f) DA
g) DAC
h) −A.
2. Sabendo que AB =
(
2 −3
−1 0
)
e AC =
(
2 −3
−6 −5
)
determine A(B+C), BtAt, CtAte (ABA)C.
3. Sejam A,B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Simplifique as expressões:
a) A{[(C + A)t − At]Bt}t
b) A[3(At + 1
3
B)]t − (BAt + 2AtAt)t
4. Determine a matriz X na equação matricial
(
−7 2 1
6 4 −3
)
+2X =
(
−11 0 3
8 12 5
)
5. Determine os valores de x, y e z para que:
(a) as duas matrizes A =
(
3x2 − 4x 3x
5 0
)
e B =
(
−1 1
5 0
)
sejam iguais;
(b) a igualdade
(
2x z
x− y 1
)
−
(
1 7
7 1
)
=
(
3 2z
4 0
)
seja válida;
(c) ABt = 0, onde A =
(
x 4 2
)
e B =
(
2 7 −8
)
;
(d) as matrizes A =
(
2 0
−3 4
)
e B =
(
3 x
y 1
)
comutem com relação a operação de multi-
plicação. E como seria com relação a operação de soma?
6. Seja A = (aij)3×3 dada por aij =

i− j, se i > j
i, se i = j
2j, se i < j
. Construa a mat riz A e, em seguida,
determine:
a) a multiplicação dos elementos da primeira linha;
b) a soma dos elementos da terceira coluna;
c) a12, a23 e a32;
1
d) a soma dos elementos da diagonal principal.
e) a21 · a31 - (a32)2.
7. Sejam A = (aij)2×3 dada por aij = 3i–2j, B = (bij)2×3 dada por bij = 2 + i + j, C = (cij)3×1
dada por cij = i · j e D = (dij)1×2 dada por dij =
2j
i
· (−1)i+j. Determine, se posśıvel:
(a) A + B
(b) ABt
(c) (2A + B)C
(d) AB
(e) D(−B)
(f) (A−B)t
(g) CB
(h) Dt
(i) BC.
8. Uma matriz quadrada A é dita simétrica quando A = At e antissimétrica quando A = −At.
(a) Quais das matrizes abaixo são simétricas?
i.

3 7 0 1
0 4 2 0
4 2 0 7
1 0 7 2

ii.
9 7 87 2 5
8 5 6

iii.
(
2 3
3 0
)
iv.

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

(b) Seja A =
 3 x2 32x− 1 −2 5
3 5 1
. Qual o valor de x para que A seja simétrica?
(c) Determine os valores de x e y a fim de que a matriz B =
(
x 2
−2 3y − 1
)
seja antissimétrica.
9. Se A =
(
3 −2
−4 3
)
, encontre uma matriz B tal que B2 = A.
10. Fazer os exerćıcios numéricos do Livro do Prof. Reginaldo das páginas 17,18 e 19. Link do
livro.
11. Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as pro-
priedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário.
(a) Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada.
(b) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que AB = 0, então BA = 0.
(c) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0.
(d) Existe uma matriz quadrada A de ordem 2 tal que A2 = A.
(e) Se A é uma matriz quadrada de ordem n, n ∈ N∗ tal que A2 = 0, então A = 0.
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https://www.dropbox.com/s/aa71ogpk8xski1j/gaalt1.pdf?m
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(f) Se A 6= 0 e A.B = A.C, então necessariamente B = C.
Uma matriz quadrada A = (aij)n×n é dita triangular superior se aij = 0, quando i > j.
Dizemos que A é triangular inferior se aij = 0, quando i < j. Um matriz quadrada é
dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, são nulos. A diagonal é
formada pelos elementos aii, isto é, i = j.
(g) Se A é uma matriz triangular inferior, então At é uma matriz triangular superior.
(h) Se A é uma matriz simétrica de ordem n, n ∈ N∗, então A− At = In, onde In é a matriz
identidade de ordem n.
(i) Se A é uma matriz simétrica de ordem n, n ∈ N∗, então A = At.
(j) Toda matriz diagonal é simétrica.
(k) Toda matriz diagonal é ao mesmo tempo uma matriz triangular inferior e triangular
superior.
(l) Dadas duas matrizes A e B quadradas de ordem 2, temos (AB)2 = A2B2.
(m) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 2, então (A−B)2 = (B − A)2.
12. Suponha que A e B sejam matrizes quadradas de mesma ordem. Explique por que podemos
dizer, em geral, que (A + B)2 6= A2 + 2AB + B2 e que (A + B)(A−B) 6= A2 −B2.
13. Encontre uma matriz A de ordem 2 tal que A = 2At.
14. Determine todas as matrizes diagonais A 2× 2 tais que comutam com toda matriz B 2× 2, ou
seja, tais que AB = BA, para toda matriz B2× 2.
15. Se A é uma matriz triangular inferior de ordem n, n ∈ N∗, determine A2.
16. A partir da página 22 do livro-texto do Prof. Reginaldo fazer os exerćıcios 1.1.15, 1.1.16, 1.1.17,
1.1.18, 1.1.19, 1.1.21, 1.1.22(b), 1.1.24, 1.1.25, 1.1.26 e 1.1.27.
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Gabarito Lista de Exerćıcios 1
UFLA - Departamento de Ciências Exatas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(1) a)
[
4 0 3
8 3 2
]
;
b)
[
−2 0 1
0 −1 4
]
;
c) Não é posśıvel;
d)
[
8
−3
]
;
e)
 1 1−1 −1
5 5
;
f)
[
5 1 5
]
;
g)
[
29
]
;
h)
[
−1 0 −2
−4 −1 −3
]
.
(2) - A(B + C) =
[
4 −6
−7 −5
]
;
- BtAt = (AB)t =
[
2 −1
−3 0
]
;
- CtAt = (AC)t =
[
2 −6
−3 −5
]
;
- (ABA)C = (AB)(AC) =
[
22 9
−2 3
]
.
(3) a) ABC
b) AA ou A2
(4) X =
[
−2 −1 1
1 4 4
]
.
(5) a) x = 1
3
;
b) x = 2, y = −9 e z = −7;
c) −6;
d) x = 0 e y = 3. Para a operação de adição, teremos comutatividade para quaisquer valores
de x e y.
(6) A =
1 4 61 2 6
2 1 3
;
a) 24;
b) Não, a soma é 15;
c) a23 = 6, a12 = 4 e a32 = 1;
d) 6;
e) 1.
(7)
4
A
[
1 −1 −3
4 2 0
]
;
B =
[
4 5 6
5 6 7
]
;
C =
12
3
;
D =
[
2 −4
]
.
Não é posśıvel fazer as contas das letas d) e g) na questão 6.
(8) a) ii), iii) e iv) são simétricas;
b) x = 1;
c) x = 0 e y = 1
3
.
(9) Seja B =
[
a b
c d
]
uma matriz 2× 2 qualquer (por que B é uma matriz 2× 2?).
Queremos B2 = A. Então,
[
a2 + bc ab + bd
ca + dc cb + d2
]
=
[
3 −2
−4 3
]
;
Obtemos

a2 + bc = 3
ab + bd = −2
ca + dc = −4
cb + d2 = 3.
Como “bc” aparece na primeira e quarta equações, vamos isolá-lo
nas duas e depois igualá-lo. Assim,
bc = 3− a2 e bc = 3− d2.
Logo, 3− a2 = 3− d2, que implica a2 = d2. Temos dois casos a considerar:
a = d ou a = −d.
Se a = −d, substituindo na segunda equação do sistema acima, ficaŕıamos com ab + b(−a) =
ab− ab = −2. Logo, 0 = −2. Uma contradição.
Nos resta o caso a = d.
Substituindo a = d na segunda e terceira equações, obteremos:{
2ab = −2
2ac = −4
, que implica em b = −2
a
e c = − 2
a
. (Note que a 6= 0! Podemos ver isto pois
2ab = −2 e não 0).
Substituindo os valores de b e c na primeira equação, obtemos a2 + (−1
a
)(−2
a
) = a2 + 2
a2
= 3.
Equivalentemente, a4 − 3a2 + 2 = 0.
Para resolver esta equação, façamos x = a2 e dáı teremos x2 − 3x + 2 = 0. As soluções são
x = 1 ou x = 2. Ou seja, a2 = 1 ou a2 = 2. Portanto, a = −1, 1,
√
2 ou −
√
2.
– Se a = 1, temos d = 1, b = −1 e c = −2;
– Se a = −1, temos d = −1, b = 1 e c = 2;
– Se a =
√
2, temos d =
√
2, b = −
√
2
2
e c = −
√
2;
– Se a = −
√
2, temos d = −
√
2, b =
√
2
2
e c =
√
2.
Então temos as seguintes possibilidades para a matriz B:
5
(
1 −1
−2 1
)
;
(
−1 1
2 −1
)
;
( √
2 −
√
2
2
−
√
2
√
2
)
;(
−
√
2
√
2
2√
2 −
√
2
)
.
(10) Respostas no livro do Prof. Reginaldo.
Teóricos
(11) a) V
b) F
Se AB = 0̄, nem sempre ocorre que BA = 0̄. Por exemplo, as matrizes A =
[
3 3
3 3
]
e
B =
[
1 1
−1 −1
]
possuem o produto AB = 0̄, mas o produto BA =
[
6 6
−6 −6
]
, diferente
de
[
0 0
0 0
]
.
Outro exemplo: se A =
(
2 0
2 0
)
, B =
(
0 0
0 2
)
.
c) F
Essa afirmação nem sempre é verdadeira, A = 0̄ ou B = 0̄ nem sempre ocorre.
As matrizes A =
[
3 3
3 3
]
e B =
[
1 1
−1 −1
]
são diferentes de 0̄, mas AB = 0̄.
Outro exemplo: A =
(
1 2
1 2
)
, B =
(
2 −2
−1 1
)
.
d) V
e) F
Se A2 = 0̄, não necessariamente A = 0̄.
Se A for
(
1 1
−1 −1)
, A2 = 0̄, mas A 6= 0̄.
Ou se A =
(
5 −1
25 −5
)
então A2 é matriz nula.
f) F
g) V
h) F
i) V
j) V
k) V
l) F
m) V
(12) São diferentes pois em geral AB 6= BA. Ao fazer a distributiva (A + B) · (A + B), fica
A2 + BA + AB + B2, e isso só é igual A2 + 2AB + B2 se BA = AB.
6
(13) A =
[
0 0
0 0
]
(14) Sejam A =
(
a 0
0 b
)
uma matriz de ordem 2 diagonal e B =
(
x y
z w
)
uma matriz quadrada de
ordem 2 qualquer.
Queremos AB = BA, ou seja,
(
ax ay
bz bw
)
=
(
xa yb
za wb
)
;
Então temos ax = xa, ay = yb, bz = za e bw = wb. E conclúımos que a = b. De fato, se
ay = yb, então (a− b)y = 0, e dáı a− b = 0 ou y = 0. Mas como queremos que A comute com
todas as matriz de ordem 2, devemos ter que a − b = 0. [Podemos escolher uma matriz com
y 6= 0].
Logo as matrizes da forma A =
(
a 0
0 a
)
comutam com qualquer matriz B.
(15) A2 = (cij)n×n, onde
max{i,j}∑
`=min{i,j}
ai`a`j.
Aqui min{i, j} significa o menor entre i e j. E max{i, j} o maior entre i e j.
(16)1.1.19 a) Se X pode ser qualquer matriz n× 1, então ela pode ser
E1 =

1
0
0
...
0
 , E2 =

0
1
0
...
0
 , . . . En =

0
0
0
...
1

Ao fazer AEj, se tem o valor da coluna j de A. Ou seja para AE1 se tem a coluna 1
de A, para AE2, se tem a coluna 2 de A, como o valor de AEj sempre será 0̄, toda a
coluna de A será 0̄, logo toda matriz A será 0̄.
b) Como X pode ser qualquer matriz X, n× 1, então ela pode ser
E1 =

1
0
0
...
0
 , E2 =

0
1
0
...
0
 , . . . En =

0
0
0
...
1

Ao fazer BEj = CEj, se tem a coluna j de B e de C, ou seja Bj e Cj são iguais;
quando j = 1 a primeira coluna de B é igual a primeira coluna de C;fazendo isso para
as demais colunas, o resultado é BEj = CEj, ou seja B = C.
1.1.22 b) AB multipicando C é diferente de C multiplicando AB. Se AC = CA, C(AB) fica
como (AC)B; e se BC = CB, (AB)C fica como A(CB); logo (AC)B = A(CB)
devido a propriedade de associatividade.
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