Lista_2_Alg_Lin_2_Trim_2010

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A´lgebra Linear
UFABC
Terceiro Trimestre de 2012
Lista 2
(1) Descreva todas as poss´ıveis matrizes 2 × 2, que esta˜o na forma escalonada reduzida por
linha.
(2) Reduza as matrizes a` forma escalonada reduzida por linha e calcule posto e nulidade de
cada uma delas:
A =
 1 −2 3 −12 −1 2 3
3 1 2 3
 , B =
 0 1 3 −22 1 −4 3
2 3 2 −1
 e C =

0 2 2
1 1 3
3 −4 2
2 −3 1

(3) Determine se a matriz esta´ na forma escalonada, escalonada reduzida por linhas (forma
escada) ou nenhuma.
A =

1 2 0 3 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
 , B =

1 2 0 3
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
 , C =

1 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 1

D =
 1 3 40 0 1
0 0 0
 e E =

1 6 0 0 3 2
0 0 1 0 4 7
0 0 0 1 5 8
0 0 0 0 0 0

(4) Use escalonamento para resolver os seguintes sistemas lineares:
x + 3y + z = 1
2x + 6y + 9z = 7
2x + 8y + 8z = 6
x + y + t = 0
x + 2y + z + t = 1
3x + 3y + z + 2t = −1
y + 3z − t = 3
x + y − z + 2t = 0
3y − z + +3t = 0
2x− y − z + t = 0
(5) Ache uma condic¸a˜o envolvendo a, b, c para que o sistema abaixo tenha soluc¸a˜o e encontre
as soluc¸o˜es no caso em que elas existam
x + y + z + t = a
5y + 2z + 4t = b
3x− 2y + z − t = c
(6) Prove que o sistema
x + 2y + 3z − 3t = a
2x− 5y − 3z + 12t = b
7x + y + 8z + 5t = c
admite soluc¸a˜o se, e somente se, 37a + 13b = 9c. Ache a soluc¸a˜o geral do sistema quando
a = 2 e b = 4.
1
2
(7) Utilize o me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss-Jordan para resolver o sistema:
3x + 5y = 1
2x + z = 3
5x + y − z = 0
(8) Determine k para que o sistema admita soluc¸a˜o.
−4x + 3y = 2
5x− 4y = 0
2x− y = k
(9) Decida quais das seguintes matrizes abaixo possuem inversa e calcule a inversa quando
existir.
A =
(
1 2
3 4
)
, B =
 4 2 34 5 6
7 8 8
 , C =

1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
4 3 2 1
 , D =

1 1 1 1
2 3 2 1
3 1 1 2
1 2 1 3

(10) (a) Utilize o me´todo de Gauss-Jordan para resolver os seguintes sistemas:
x + y + z = 4
2x + 5y − 2z = 3
x + 7y − 7z = 5
3x + 2y − 4z = 1
x− y + z = 3
x− y − 3z = −3
3x + 3y − 5z = 0
−x + y + z = 1
x− 2y + 3z = 0
2x + 5y + 6z = 0
(b) Utilize o me´todo de Gauss para resolver os sistemas acima.
(11) Prove que toda matriz anti-sime´trica 3× 3 na˜o-nula tem posto igual a dois.
(12) (a) Mostre que toda matriz 2 × 2 e´ linha equivalente a uma u´nica matriz linha reduzida
a` forma escada.
(b) Tente generalizar o resultado anterior para matrizes n×m.