aula-21

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IFBA
Processos Estoca´sticos
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2014
Aula 2
Objetivos
0.1 Notac¸a˜o e Axiomas da Probabilidade
Suponha que um experimento seja repetido n vezes. Se o evento A ocorre n(A) vezes, enta˜o denotaremos a
probabilidade do evento A ocorrer por
P (A) = limn→∞
n(A)
n
,
onde n(A)n e´ dita a frequeˆncia relativa do evento A. Note que:
i) 0 ≤ n(A)n ≤ 1;
ii) Se A ∩B = ∅, enta˜o
n(A ∪B) = n(A) + n(B) ou n(A ∪B)
n
=
n(A)
n
+
n(B)
n
.
Seja S um espac¸o amostral finito e A um evento em S. Enta˜o P (A) e´ um nu´mero real. Temos os seguinte axiomas:
i) P (A) ≥ 0;
ii) P (S) = 1;
iii) A ∩B = ∅ ⇒ P (A ∪B) = P (A) + P (B).
Decorre dos axiomas acima as seguintes propriedades:
i) P (A) = 1− P (A);
ii) P (∅) = 0;
iii) A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B);
iv) P (A) ≤ 1;
v) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).
Exemplo 1. Considerando o lanc¸amento de um dado, determine:
a) A probabilidade de ocorrer um nu´mero par;
b) A probabilidade de ocorrer um nu´mero menor que 7;
c) A probabilidade de ocorrer um nu´mero par ou um mu´ltiplo de 5;
d) A probabilidade de ocorrer um nu´mero par ou um mu´ltiplo de 3.
Soluc¸a˜o:
Temos espac¸o amostral do nosso experimento e´ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Assim,
a) A = {2, 4, 6} ⇒ P (A) = n(A)n(S) = 36 = 12 ;
b) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ P (A) = 66 = 1;
c) A = {2, 4, 6} , B = {5} ⇒ P (A ∪B) = P (A) + P (B) = 36 + 16 = 46 = 23 ;
Note que A ∩B = ∅.
d) A = {2, 4, 6} , B = {3, 6} ⇒ P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 36 + 26 − 16 = 23 .
0.2 Eventos Igualmente Prova´veis
Considere um espac¸o amostral S finito, com n elementos
S = {ξ1, ξ2, . . . , ξn}
onde os ξi sa˜o eventos unita´rios. Seja P (ξi) = pi. Enta˜o,
i) 0 ≤ pi ≤ 1, i = 1, 2, . . . , n;
1
ii)
∑n
i=1 pi = 1.
iii) Se
⋃
i∈I ξi, onde I e´ uma colec¸a˜o de sub´ındices, enta˜o
P (A) =
∑
ξi∈A
P (ξi) =
∑
i∈I
pi.
Se todo elemento ξi (i = 1, 2, . . . , n) sa˜o equiprova´veis, isto e´,
p1 = p2 = . . . = pn
temos que
pi =
1
n
, i = 1, 2, . . . , n
P (A) =
n(A)
n
,
onde n(A) e´ o nu´mero de elementos pertencentes ao evento A e n e´ o nu´mero de pontos simples (eventos unita´rios)
de S.
Exemplo 2. Considere uma fonte de tele´grafo gerando dois s´ımbolos, pontos e trac¸os. Observou-se que os pontos
eram duas vezes mais propensos a ocorrer que os trac¸os. Encontre a probabilidade de ocorreˆncia dos pontos e trac¸os.
Soluc¸a˜o:
P (ponto) = 2P (traco)⇒ P (ponto) + P (traco) = 1⇒ 2P (traco) + P (traco) = 1⇒ P (traco) = 1
3
, P (ponto) =
2
3
.
Exemplo 3. O espac¸o amostral S de um experimento aleato´rio e´ dado por S = {a, b, c, d}, com probabilidades
P (a) = 0, 2, P (b) = 0, 3, P (c) = 0, 4 e P (d) = 0, 1. Determine a probabilidade de ocorreˆncia do evento A ∩ B, onde
A = {a, d} e B = {b}.
Soluc¸a˜o:
P (A ∩B) = P ({a, d} ∩ {a, c, d}) = P ({a, d}) = P (a) + P (d) = 0, 2 + 0, 1 = 0, 3.
0.3 Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional de um evento A dado um evento B, denotada por P (A|B), e´ definida como
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
, P (B) > 0. (1)
Analogamente,
P (B|A) = P (A ∩B)
P (A)
, P (B) > 0. (2)
Decorre imediatamente de (1) e (2) a regra a chamada Regra de Baye:
P (A|B) = P (B|A)P (A)
P (B)
(3)
Exemplo 4. Considere o experimento aleato´rio de jogarmos dois dados e observarmos seus resultados. Determine a
probabilidade de se obter resultados iguais sabendo que a soma dos resultados na˜o e´ maior que 3.
Soluc¸a˜o:
Consideremos os eventos
A = resultados igais = {(1, 1), (2, 2), . . . , (6, 6)} ⇒ n(A) = 6
B = soma ≤ 3 = {(1, 1), (2, 1), (1, 2)} ⇒ n(B) = 3
Temos que A ∩B = {(1, 1)} e portanto,
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
=
1
3
.
2
0.4 Probabilidade Total
Os eventos A1, A2, ..., An sa˜o ditos mutuamente exclusivos e exaustivos se
n⋃
i=1
Ai = A1 ∪A2 ∪ . . . ∪An = S e Ai ∩Aj = ∅ i 6= j.
Seja B um evento qualquer em S. Enta˜o
P (B) =
n∑
i=1
P (B|Ai) =
n∑
i=1
P (B|Ai)P (Ai)
que e´ a probabilidade total do evento B. Usando a regra de Baye, temos
P (Ai|B) = P (B|Ai)P (Ai)∑n
i=1 P (B|Ai)P (Ai)
.
Exemplo 5. Uma empresa produtora de releˆs ele´tricos tem treˆs fa´bricas que produzem 50, 30 e 20 por cento, respecti-
vamente, do seu produto. As probabilidades de que um releˆ fabricado por estas fa´bricas seja defeituoso sa˜o 0, 02, 0, 05
e 0, 01, respectivamente.
a) Se um releˆ e´ selecionado aleatoriamente a partir da sa´ıda da empresa, qual e´ a probabilidade de que ele esteja com
defeito?
b) Se em um releˆ selecionado aleatoriamente e´ encontrado defeito, qual e´ a probabilidade de que ele tenha vindo da
fa´brica 2?
Soluc¸a˜o:
a) Seja
evento B = o releˆ apresenta defeito;
evento Ai, i = 1, 2, 3 = ter vindo da fa´brica i.
Assim,
P (B) =
3∑
i=1
P (B|Ai)P (Ai) = 0, 02.0, 5 + 0, 05.0.3 + 0, 01.0, 2 = 0, 027.
b) Queremos P (A2|B),
P (A2|B) = P (B|A2)P (A2)
P (B)
=
0, 05.0, 3
0, 027
= 0, 556.
0.5 Eventos Independentes
Dois eventos A e B sa˜o ditos independentes se, e somente se,
P (A ∩B) = P (A).P (B).
Decorre imediatamente de (1) que P (A|B) = P (A).
Exemplo 6. Considere o experimento de jogar dois dados. Seja A o evento de que a soma dos resultados seja igual
a´ 7, B o evento de que a soma dos resultados e´ 6 e C o evento em que o primeiro dado e´ 4. Mostre que os eventos A
e C sa˜o independentes, mas B e C na˜o.
Soluc¸a˜o:
Temos que
A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (5, 2), (6, 1)}, B = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} e C = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}.
Temos que A ∩B = {(4, 3)} e B ∩ C = {(4, 2)}. Assim,
P (A) = 636 =
1
6 , P (B) =
5
36 P (C) =
6
36 =
1
6
P (A ∩ C) = 136 = P (A)P (C)⇒ eventos independentes
P (B ∩ C) = 136 6= 5216 = P (B)P (C)⇒ eventos na˜o independentes
3
0.6 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1. • Um experimento consiste em observar a soma dos resultados obtidos no lanc¸amento de dois da-
dos(Exerc´ıcio 4 - Aula 1). Determine
a) a probabilidade de que a soma seja 7;
b) a probabilidade de que a soma seja maior do que 10.
Respostas: a) 16 , b)
1
12 .
Exerc´ıcio 2. • Existem n pessoas em um quarto.
a) Qual e´ a probabilidade de que pelo menos duas pessoas tenham a mesma data de aniversa´rio?
b) Calcule essa probabilidade para n = 50.
c) Como grande necessidade n ser para isso probabilidade de ser maior do que 0, 5?
Respostas: a) 1− P (A), onde P (A) = n(A)n(S) = (365).(364).....(365−n+1)(365)n , b) 0, 97, c) n = 23
Exerc´ıcio 3. • Uma comissa˜o de 5 pessoas deve ser selecionado aleatoriamente a partir de um grupo de 5 homens e
10 mulheres.
a) Encontre a probabilidade de que a comissa˜o seja composta por dois homens e treˆs mulheres;
b) Encontre a probabilidade de que a comissa˜o seja composta somente por mulheres.
Respostas: a) 0, 4, b) 0, 084
Exerc´ıcio 4. • Considere a experieˆncia de jogar uma moeda honesta repetidamente e contando o nu´mero de lanc¸amentos
necessa´rio ate´ que a primeira face cara aparec¸a.
a) Determine o espac¸o amostral do experimento;
b) Encontre a probabilidade de que o primeira face cara aparec¸a no lance k−e´simo lanc¸amento;
c) Verifique que P (S) = 1.
Respostas: a) S = {1, 2, 3, . . .}, b) pk = 12k , c)
∑∞
k=1
1
2k
Exerc´ıcio 5. • Considere o experimento do Exerc´ıcio 4.
a) Encontre a probabilidade de que a primeira face cara aparec¸a em um lance de nu´mero par.
b) Encontre a probabilidade de que a primeira face cara aparec¸a em um lance de nu´mero ı´mpar.
Respostas: a) 13 , b)
2
3
Exerc´ıcio 6. • Duas fa´bricas produzem pec¸as similares. A Planta 1 produz 1000 partes, 100 das quais sa˜o defeituosas;
a Planta 2 produz 2000 pec¸as,150 das quais sa˜o defeituosas. Uma parte foi selecionada aleatoriamente e foi encontrado
defeito. Qual e´ a probabilidade de que ela tenha vindo da fa´brica 1?
Resposta: 0, 4
Exerc´ıcio 7. • Um lote de 100 chips semicondutores conte´m 20 pec¸as defeituosas. Dois chips sa˜o selecionados de
forma aleato´ria, sem substituic¸a˜o, do lote.
a) Qual e´ a probabilidade de que o primeiro chip selecionado seja defeituoso?
b) Qual e´ a probabilidade de que o segundo chip selecionado seja defeituoso, uma vez que o primeiro tenha sido
defeituoso?
c) Qual e´ a probabilidade de que ambos estejam com defeito?
Respostas: a) 0, 2, b) 0, 192, c) 0, 0384
Exerc´ıcio 8. • Um nu´mero e´ selecionado aleatoriamente a partir de {1, 2, ..., 100}. Dado que o nu´mero seleccionado
e´ divis´ıvel por 2, encontre a probabilidade de que ele seja divis´ıvel por 3 ou 5.
Resposta: 0, 46
4
Exerc´ıcio 9. • Duas cartas sa˜o retiradas aleatoriamente a partir de uma deck. Encontre a probabilidade de que ambos
sejam ases.
Resposta: 1221
Exerc´ıcio 10. • Suponha que um teste de laborato´rio para detectar uma determinada doenc¸a tenha as seguintes
estat´ısticas:
evento A = a pessoa testada tem a doenc¸a
evento B = o resultado do teste seja positivo.
Sabe-se que P (B|A) = 0, 99 eP (B|A) = 0, 005 e 0, 1 por cento da populac¸a˜o tem realmente a doenc¸a. Qual e´ a
probabilidade de que uma pessoa tem a doenc¸a, uma vez que o resultado do teste tenha sido positivo?
Dica: Use P (B) = P (B|A)P (A) + P (B|A)P (A).
Resposta: 0, 165
Exerc´ıcio 11. • Dois nu´meros sa˜o escolhidos aleatoriamente entre os nu´meros de 1, 2, . . . , 10, sem reposic¸a˜o. En-
contrar a probabilidade de que o segundo nu´mero a ser escolhido seja igual a 5.
Resposta: 110
Exerc´ıcio 12. • Considere um canal de comunicac¸a˜o no qual a entrada do canal, X, pode assumir o estado 0 ou 1,
e similarmente, a sa´ıda do canal, Y , pode assumir o estado 0 ou 1. Por causa do ru´ıdo de canal, uma entrada 0 pode
ser convertida para uma sa´ıda 1 e vice-versa. O canal e´ caracterizado pelas probabilidades de transic¸a˜o de canais p0,
p1, q0 e q1
p0 = P (y1|x0), p1 = P (y0|x1), q0 = P (y0|x0) e q1 = P (y1|x1),
onde x0 e x1 denotam os eventos (X = 0) e (X = 1), respectivamente, e y0 e y1 denotam os eventos Y = 0 e Y = 1,
respectivamente. Note que p0 + q0 = 1 = p1 + q1. Se
P (x0) = 0, 5, p0 = 0, 1 e p1 = 0, 2.
a) Exiba P (y0) e P (y1);
b) Se 0 foi observado na sa´ıda, qual a probabilidade de 0 ter sido o valor de entrada?
c) Se 1 foi observado na sa´ıda, qual a probabilidade de 1 ter sido o valor de entrada?
d) Calcule a probabilidade de erro Pe.
Respostas: a) P (y0) = 0, 55, P (y1) = 0, 45, b) 0, 818, c) 0, 889, d) 0, 15
Exerc´ıcio 13. • No experimento de jogar dois dados justos, seja A o evento de o primeiro dado apresentar um
resultado ı´mpar, B o evento em que o segundo dado apresente um resultado ı´mpar, e C o evento em que a soma seja
ı´mpar. Mostre que os eventos de A, B, e C sa˜o dois a dois independente, mas A, B, e C na˜o sa˜o independentes.
Respostas: P (A ∩B) = P (A ∩ C) = P (A ∩ C) = 14 , P (A ∩B ∩ C) = 0 6= P (A)P (B)P (C) = 18
5