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Funções e Limites Números e funções reais Conjunto dos Números Naturais (N) ◦ N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Conjunto dos Números Inteiros (Z) ◦ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} ◦ Positivos: Z+ = {0, 1, 2, 3, ...} ◦ Negativos: Z- = {..., -3, -2, -1, 0} ◦ Não nulos: Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} ◦ N Z (N está contido em Z) Conjunto dos Números Racionais (Q) ◦ Q = {a/b | a,b Z, b 0} ◦ Z Q (Z está contido em Q) Números e funções reais Conjunto dos Números Irracionais () ◦ É o conjunto formado por números cuja representação decimal é não exata e não periódica ◦ Exemplo: = 3,141592653589... Conjunto dos Números Reais (R) ◦ É o conjunto formado pela união dos conjuntos dos números racionais e irracionais R Q Z N Números e funções reais Reta Real ◦ Cada ponto de uma reta real representa um número real ◦ Numa reta real os números estão ordenados de maneira crescente da esquerda para a direita. ◦ Um número a é menor que qualquer número b colocado a sua direita e maior que qualquer número c a sua esquerda. 543210-1-2-3-4 R a bc Números e funções reais Plano Cartesiano ◦ O plano cartesiano é definido por dois eixos ortogonais ◦ Eixo x é o eixo das abscissas ◦ Eixo y é o eixo das ordenadas ◦ A origem do sistema é o ponto O ◦ As coordenadas do ponto P são os números reais x1 e y1 ◦ Par ordenado (x1 , y1) x y x1 y1 P(x1, y1) O Números e funções reais Domínio ◦ É o conjunto de valores assumidos por x. Imagem ◦ É o valor assumido pela função ao se aplicar a regra de correspondência para os elementos do domínio. Gráfico ◦ É a representação geométrica dos pares x e y no plano cartesiano. Retas Coeficiente angular da reta R: Obs.: ◦ Retas horizontais: m = 0 ◦ Retas verticais: Não têm m 12 12 horizontal variação verticalvariação xx yy x y m m X R Y 12 yyy 12 xxx ),(P 111 yx ),(P 222 yx 1x 2x 1y 2y Retas Equação da Reta: Forma Ponto – Coeficiente angular ◦ A equação abaixo é a equação na forma ponto – coeficiente angular que passa pelo ponto (x1, y1) e tem coeficiente angular m. 11 11 )( ou yxxmy xxmyy Retas Exemplo 1 ◦ Escreva uma equação para a reta que passa pelo ponto P(2, 3) com coeficiente angular -3/2. ◦ x1 = 2 ◦ y1 = 3 ◦ m = -3/2 6 2 3 3 2 3 3 2 2 3 3 11 xy xy xy xxmyy Retas Exemplo 2 ◦ Escreva uma equação para a reta que passa pelos pontos P1(-2, -1) e P2(3, 4). ◦ x1 = -2 ◦ y1 = -1 ◦ x2 = 3 ◦ y2 = 4 ◦ m = ? 1 21 )2(1)1( 11 xy xy xy xxmyy retadaequaçãodaCálculo 1 5 5 23 14 )2(3 )1(4 12 12 m xx yy m angularecoeficientdoCálculo Retas Equação reduzida da reta: ◦ m - coeficiente angular ◦ b - coeficiente linear Equação geral da reta: ◦ A e B diferentes de zero. bmxy CByAx R b)(0, X Y ),( yx b Aplicações Muitas variáveis importantes são relacionadas por equações lineares, como por exemplo, a relação entre as escalas de temperatura Fahrenheit e Celsius. )32( 9 5 32 5 9 FCouCF m b Funções e Gráficos Os valores de uma variável frequentemente dependem dos valores de outra variável ◦ A temperatura de ebulição da água depende da altitude (o ponto de ebulição diminui quando a altitude aumenta) ◦ O rendimento anual de suas economias depende da taxa de juros oferecida pelo banco Uma regra que associa a cada elemento de um conjunto A um único elemento de outro conjunto B é chamada de função. BA OBS: A é o domínio B é a imagem (contra-domínio) Funções e Gráficos Nomenclatura (Leonhard Euler) ◦ y é igual a f de x )(xfy Variável independente (domínio) Variável dependente (contra-domínio ou imagem) X (domínio) Y (imagem) Funções Definição: Sejam R o conjunto dos números reais e, A e B dois subconjuntos de R. Uma função f de A em B é uma lei que associa a cada elemento x de A, um único elemento y = f(x) do conjunto B. Neste caso, dizemos que y é uma função de x, ou seja, f é uma função real de uma variável real e denotamos por: • x é chamada de variável independente. • y é chamada de variável dependente. • A é chamado de domínio, denotado por A = 𝔻(f). • B é chamado de contra domínio , denotado por B = C𝔻(f). Funções e Gráficos Domínios e imagens ◦ Quando definimos uma função y = f(x) com uma fórmula e o domínio não é citado explicitamente ou restrito pelo contexto, considera-se que o domínio seja o maior conjunto de valores de x para os quais a fórmula fornece valores reais de y – domínio natural. ◦ Se queremos restringir o domínio de algum modo devemos dizê-lo. ◦ Exemplo: O domínio de y = x2 é o conjunto dos números reais. Se queremos somente valores positivos de x devemos escrever y = x2, x > 0. ◦ Os domínios e as imagens de muitas funções de uma variável real a valores reais são intervalos ou combinações de intervalos, que podem ser abertos, fechados ou semi-abertos e finitos ou infinitos. Funções e Gráficos As extremidades de um intervalo são chamadas pontos de fronteira e os pontos restantes são chamados pontos interiores. Intervalos que contêm os pontos de fronteira são fechados e os que não contêm são abertos. ◦ Aberto AB ◦ A < x < B ou (A, B) ◦ Fechado AB ◦ A ≤ x ≤ B ou [A, B] ◦ Fechado em A e aberto em B ◦ A ≤ x < B ou [A, B) ◦ Aberto em A e fechado em B ◦ A < x ≤ B ou (A, B] x A B x A B x A B x A B Gráfico de uma função Uma função pode ser representada por pares ordenados e seu gráfico é um subconjunto do ℝ2, isto é: Gr(f) = {(x,y) ℝ2/x𝔻(f) e y = f(x) 𝕀m(f)} ou Gr(f) = {(x,f(x)) ℝ/ x 𝔻(f) } (x,y) y1 x1 x2 y2 y=f(x) x y 𝔻(f)={x∊ℝ/x1 x x2}=[x1 , x2] 𝕀m(f)=[y1 , y2] Zeros e sinais de uma função x y Zeros ou raízes da função são os pontos de interseção do gráfico da função com o eixo Ox, ou seja, f(x)=0, ou ainda, onde y=0. y=f(x) Os sinais da função: Acima do eixo Ox ela é positiva e abaixo é negativa. x1 x2 x3 ]-∞,x1] y<0 [x1,x2] y>0 [x2,x3] y<0 [x3,+∞[ y>0 ++ ▁ ▁ Função do 1º Grau baxy Uma função de 1º grau, ou RETA, é toda função real do tipo : Onde: a = taxa de variação da função; b = ponto onde a reta toca o Eixo Y; R b)(0, X Y ),( yx b Propriedades da Reta É definida por um polinômio de 1o grau; Possui uma única raiz real, isto é, ela cruza o Eixo X em apenas um ponto; O sinal da taxa de variação a fornece a informação sobre o crescimento ou decrescimento da função: a < 0 função decrescente; a > 0 função crescente; Propriedades da Reta Só tocam o eixo X uma vez. Se a < 0, a função decresce. Se a > 0, a função cresce. - - - As funções de 1º Grau possuem apenas uma raiz, que é justamente onde a reta (que representa a função de 1º Grau) cruza o Eixo x. Isto é, onde a função tem valor zero. a bxbaxbaxy 00 Raízes da Função de 1º Grau Função Afim y = ax + b ∀a≠0 e bℝ θ a>0 reta crescente b a coeficiente angular a = tgθ b coeficiente linear a<0 reta decrescente θ b Função do 1º grau Função Linear y = ax + b θ a>0 reta crescente a<0 reta decrescenteθ y = ax Até 40h 3,00 por hora Acima de 40h + 50% (4,50 por hora) Salário Bruto = (até 40h) + (acima de 40h) Sendo x o número total de horas, S(x) = 40.3 + (x – 40).4,5 S(x) = 120 + 4,5x – 180 = 4,5x - 60 Exercícios Fixa ...... 4,60 + 0,96 por quilômetro Para um valor de 19,00 F(x) = 4,60 + 0,96.x 19 = 4,6 + 0,96.x 14,4 = 0,96.x 15 = x Exercícios X – preço de tabela À vista: (30% de desc) = 0,7.x Cartão de crédito: 1,1.x Logo 0,7.x = 7000 x = 10.000 E portanto, no cartão 1,1.10000 = 11000 Exercícios cbxax 2y Uma função de 2º grau, também chamada de função QUADRÁTICA, representada por uma PARÁBOLA, é toda função real do tipo: Desde que a ≠ 0; Função de 2º Grau É definida por um polinômio de 2o grau; Pode possuir: Duas raízes reais e distintas; Duas raízes reais e iguais; Nenhuma raiz real (não cruza o Eixo X). O sinal de a fornece a informação sobre a concavidade da função: a < 0 concavidade para baixo; a > 0 concavidade para cima; Propriedades da Parábola Propriedades da Parábola Podem ter três tipos de raízes. Se a < 0, a concavidade é para baixo. Se a > 0, a concavidade é para cima. Para encontrar as raízes de funções de 2º Grau, resolvemos a equação: 02 cbxax Cuja solução pode ser dada pela fórmula de Bhaskara: acbcom a b x 4, 2 2 Raízes da Função de 2º Grau Função Quadrática Função do 2º grau a>0 concavidade para cima a<0 concavidade para baixo Função Quadrática > 0 = 0 <0x1 x2 x1 = x2 Propriedades das Funções -4 -2 -1 -3 Propriedades das Funções 1-1 f(x+a) com a>0 deslocamento para a esquerda f(x-a) com a>0 deslocamento para a direita Propriedades das Funções Propriedades das Funções 2 -2 2 4f(x) e –f(x) são simétricas em relação ao eixo Ox -4 f(x) e f(-x) são simétricas em relação ao eixo Oy Função Polinomial 3 raízes reais diferentes 2 raízes reais iguais e 1 diferente 2 raízes complexas e 1 real Função Potência Função Potência Função Potência Função Potência Função Potência Função Potência Função Racional São função do tipo , onde g(x) e h(x) são polinômios na mesma variável. Exemplo: Dada a função , determine o domínio, a imagem e esboce o gráfico das seguintes funções: 1 -1 -1 -1 1 Função Logarítmica 1 1 Função Exponencial 1 1 1 Função definida por Sentença Aberta 1 0 2 -1 Função Modular 1/2 1/4 Círculo Trigonométrico e os eixos das funções trigonométricas Seno e Cossecante Cosseno e Secante Tangente Cotangente 0 + - Seno e Cossecante 0 Funções sen(x) e cossec(x) θ y x 0 /2 3/2 2 5/2 3 1 -1 -/2 - -3/2 -2 Função Seno y x 0 /2 3/2 2 5/2 3 1 -1 -/2 --3/2 -2 cosseno e secante 0 Funções cos(x) e sec(x) θ y x 0 /2 3/2 2 5/2 3 1 -1 -/2 - -3/2 -2 Função Cosseno y x 0 /2 3/2 2 5/2 3 1 -1 -/2- -3/2 -2 Função Secante 0 Funções tg(x) e cotg(x) θ Eixo da tangente Eixo da cotangente Função Tangente y x 0 /2 3/2 2 5/2-/2 - y x 0 /2 3/2 2 -/2 - -3/2 Função cotangente Função Inversas das funções sen(x), cos(x) e tg(x) y x 0 /2 3/2 2 5/2 3 1 -1 -/2 - -3/2 -2 /2 1-1 -/2 f(x)=sen(x) f -1(x)=arcsen(x) /2 1-1 f(x)=cos(x) f -1(x)=arccos(x) y x 0 /2 3/2 2 5/2 3 1 -1 -/2 - -3/2 -2 y x 0 /2 3/2 2 5/2-/2 - f(x)=tg(x) /2 -/2 f-1 (x)=arctg(x) Funções Hiperbólicas Das funções trigonométricas, temos que P(x,y)=(cosθ,senθ) está sobre uma circunferência de equação x2+y2=1. . θ P(x,y) x y 1 Para as funções hiperbólicas, temos que P(x,y)=(coshθ,senhθ) está sobre uma hipérbole de equação x2-y2=1. P(x,y)=(coshθ,senhθ) θ x y Definições: 1 Seno hiperbólico Cosseno hiperbólico Outras funções hiperbólicas Tangente hiperbólica 1 -1 Cotangente hiperbólica 1 -1 cotgh(x)tgh(x) Secante hiperbólica 1 Cossecante hiperbólica sech(x) cosech(x)
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