Lista 7

Prévia do material em texto

Lista 7 – Funções de Duas e Três Variáveis – Derivada Parcial de Primeira Ordem 
 
 
1) Para cada função abaixo, calcule as derivadas parciais (ou derivadas parciais de primeira ordem) 
xf
 e 
yf
. Lembre-se: 
x
f
f x



 e 
y
f
f y



. 
 
(a) 
432),( 2  yxyxf
 (b) 
22),( yxyxyxf 
 (c) 
)2)(1(),( 2  yxyxf
 
 
(d) 
2)1(),(  xyyxf
 (e) 
22),( yxyxf 
 (f) 3/2
3
2
),( 






y
xyxf
 
 
(g) 
yeyxf xy ln),( 
 (h) 
)3(cos),( 22 yxyxf 
 (i) 
1
),(



xy
yx
yxf
 
 
(j) 
)(),( yxseneyxf x  
 
 
 
2) Para cada função abaixo, calcule as derivadas parciais (ou derivadas parciais de primeira ordem) 
xf
, 
yf
 e 
zf
. Lembre-se: 
z
f
f z



. 
 
(a) 
22 21),,( zxyzyxf 
 (b) 
xzyzxyzyxf ),,(
 (c) 
22),,( zyxzyxf 
 
 
(d) 
2/1222 )(),,(  zyxzyxf
 (e) 
)32ln(),,( zyxzyxf 
 (f) 
)ln(),,( xyyzzyxf 
 
 
(g) 
)( 222),,( zyxezyxf 
 (h) 
xyzezyxf ),,(
 
 
 
3) Dada a função 
yxyxyxf 231),( 
, calcule: 
 
(a) 
)2,1(xf
 (b) 
)2,1(yf
 
 
Lembre-se: 
)2,1(
)2,1(
x
f
f x



 e 
)2,1(
)2,1(
y
f
f y



. 
 
 
4) Dada a função 
2324),( xyyxyxf 
, calcule: 
 
(a) 
)1,2(xf
 (b) 
)1,2(yf
 
 
 
5) Dada a função 
22),,( yzxzyxf 
, calcule 
)3,2,1(zf
. Lembre-se: 
)3,2,1(
)3,2,1(
z
f
f z



. 
 
 
6) Dada a função 
222),,( yzxyzyxf 
, calcule 
)3,0,1(yf
. 
 
7) Calcule o valor de 
x
z


 (ou 
)xz
 no ponto 
)1,1,1(
, supondo que a equação 
023  yzxzxy
 define 
z
 
como função das variáveis independentes 
x
 e 
y
, e supondo que a derivada parcial anterior existe. Este 
método de cálculo é conhecido como diferenciação implícita. 
Sugestão: Derive os dois lados da equação em relação a 
x
 (com 
y
constante), considerando que 
),( yxfz 
. Note: 
xx zzz
23 3)( 
. 
 
8) Calcule o valor de 
z
x


 (ou 
)zx
 no ponto 
)3,1,1( 
, supondo que a equação 
04ln 2  xxyxz
 
define 
x
 como função das variáveis independentes 
y
 e 
z
, e supondo que a derivada parcial anterior 
existe. 
Sugestão: Derive os dois lados da equação em relação a 
z
(com 
y
constante), considerando que 
),( zyfx 
. Note: 
zz xxx 2)(
2 
 e 
zz x
x
x
1
)(ln 
. 
 
 
Respostas 
1) (a) 
xf x 4
 
3yf
 
 (b) 
yxf x  2
 
yxf y 2
 
 (c) 
)2(2  yxf x
 
12  xf y
 
 (d) 
)1(2  xyyf x
 
)1(2  xyxf y
 
 (e) 
22 yx
x
f x


 
22 yx
y
f y


 
 (f) 
3/1
3
2
2
2








y
x
x
f x
 
3/1
3
2
3
1








y
x
f y
 
 (g) 
yyef xyx ln
 







y
yxef xyy
1
ln
 
 (h) 
)3()3cos(6 22 yxsenyxf x 
 
)3()3cos(4 22 yxsenyxyf y 
 
 (i) 
2
2
)1(
1



xy
y
f x
 
2
2
)1(
1



xy
x
f y
 
 (j) 
 )()cos( yxsenyxef xx 

 
)cos( yxef xx 

 
 
2) (a) 
2yf x 
 
xyf y 2
 
zf z 4
 
 (b) 
zyf x 
 
zxf y 
 
xyf z 
 
 (c) 
1xf
 
22 zy
y
f y


 
22 zy
z
f z


 
 (d) 
2/3222 )( zyx
x
f x


 
2/3222 )( zyx
y
f y


 
2/3222 )( zyx
z
f z


 
 (e) 
zyx
f x
32
1


 
zyx
f y
32
2


 
zyx
f z
32
3


 
 (f) 
x
yz
f x 
 
]1)[ln(  xyzf y
 
)ln(xyyf z 
 
 (g) 
)( 2222 zyxx xef

 
)( 2222 zyxy yef

 
)( 2222 zyxz zef

 
 (h) 
xyz
x yzef

 
xyz
y xzef

 
xyz
z xyef

 
 
3) (a) 
13)2;1( xf
 (b) 
2)2;1( yf
 
 
4) (a) 
1)1;2( xf
 (b) 
1)1;2( yf
 
 
5) 
12)3;2;1( zf
 
 
6) 
9)3;0;1( yf
 
 
7) 
2)1;1;1( xz
 
 
8) 
6/1)3;1;1( zx