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ESTATÍSTICA DESCRITIVA
Prof. Sérgio Carvalho
# Conceitos Iniciais Imprescindíveis
A prova não vai lhe perguntar o que é a Estatística, mas convém que saibamos que ela é
um ramo da matemática, e que trabalha com elementos de pesquisa ou com modelos
probabilísticos.
Como nosso alvo é a Estatística Básica, a maior parte do nosso trabalho será focado nos
elementos de pesquisa, ficando os tais modelos probabilísticos (Distribuição Binomial e
Distribuição Normal) para o final do nosso Curso. Daí, por hora, basta ficarmos com a idéia de
que trabalharemos com elementos de pesquisa.
Como é isso? Por exemplo: suponhamos que há uma sala com duzentas pessoas, e eu
pretendo realizar uma pesquisa, para saber qual a idade de cada uma delas. Ora, como não
tenho bola de cristal, o jeito será perguntar, de uma por uma: Quantos anos você tem? Já
pensaram, que pergunta deselegante...
Mas é o jeito! Para eu trabalhar com elementos de pesquisa, o primeiro e inevitável
passo será a coleta dos dados.
Pois bem, eu acabei de questionar aquelas duzentas pessoas e já estou de posse das
respostas que cada uma delas me passou. Ok? Vejamos algumas dessas respostas:
{28 anos, 35 anos, 17 anos, 14 anos, 22 anos, 31 anos, 45 anos, ...}
Facilmente se vê que esses dados estão desordenados, uma vez que acabaram de ser
recebidos (coletados) e ainda não foram submetidos a nenhuma espécie de organização. São os
chamados dados brutos!
É fácil supor que, se pretendo fazer uma análise, um estudo mais aprofundado desses
elementos, será imprescindível que os organizemos. Claro! Será mais fácil trabalhar com os
dados organizados que com dados brutos.
Organizar os dados é, portanto, a segunda etapa do processo estatístico!
A forma mais básica de organização dos dados é o conhecido rol, o qual consiste, tão
somente, em um arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente. Normalmente,
em prova, o rol vem com dados em ordem crescente!
Tomando aqueles dados brutos e os transformando em rol, teremos:
{14 anos, 17 anos, 22 anos, 28 anos, 31 anos, 35 anos, 45 anos, ...}
O rol não é a única maneira de organização dos dados. É apenas uma delas, a mais
simples!
Uma vez que estivermos com os elementos da pesquisa, coletados e organizados, será
conveniente descrevê-los. Descrever os dados é o mesmo que apresentá-los. E isso poderá ser
feito também de várias formas. Poderemos apresentar os dados por meio de uma tabela, por
meio de um gráfico, ou outra qualquer.
O fato é que, ao concluirmos essas três fases iniciais do processo estatístico – coleta,
organização e descrição dos dados – somente então estaremos aptos a passar às duas etapas
finais, que consistem em proceder à análise dos elementos para, enfim, chegarmos a uma
conclusão ou tomada de decisão.
Obviamente que a Estatística não se prestará a um objetivo tão pobre como o de
meramente coletar dados de pesquisa para dispô-los numa tabela. Claro que não! O alcance da
Estatística é maior: aqueles elementos servirão a uma análise, porque, ao final, queremos
chegar a uma conclusão! Existe uma decisão a ser tomada, e o será com base na conclusão a
qual a análise dos dados nos conduzir!
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A Estatística está na vida das pessoas, muito mais do que elas imaginam!
Não há um só medicamento vendido nas farmácias que não tenha sido submetido a
rigorosos controles estatísticos! Antes de virar “remédio”, aquela droga foi testada um zilhão de
vezes. Primeiro em bichos e depois em gente. E foram anotados os efeitos colaterais causados
pela droga, em cada uma das vezes que elas foram tomadas pelos pacientes. Esses dados foram
analisados, para gerar uma conclusão. Aquela substância só se transforma em medicamento e
chega às prateleiras se a conclusão for satisfatória e os riscos estiverem dentro de um padrão
aceitável.
Esse é apenas um minúsculo exemplo. São milhares deles!
Os autores costumam classificar a Estatística em Descritiva e Inferencial. Nossa
memorização passará pelo alfabeto: neste, o D vem antes do I. Assim, a Estatística Descritiva
(a do D) englobará as etapas iniciais do processo estatístico, quais sejam, a coleta, a
organização e a descrição dos dados. Já a Estatística Inferencial (a do I), se encarregará da
análise dos dados e tomada de decisão, que são as etapas finais do processo.
Ficou fácil: a Estatística do D vem antes da Estatística do I.
Pode-se resumir as três etapas da Estatística Descritiva em uma única palavra: síntese!
Daí, coletar os dados, organizá-los e descrevê-los é o mesmo que fazer a síntese dos dados. Ok?
Voltemos àquele exemplo inicial, das duzentas pessoas na sala. Minha pesquisa é sobre a
idade de cada uma delas. Ora, se eu tiver tempo e paciência para extrair a informação de todas
as pessoas da sala, estarei trabalhando com a população inteira. População, na Estatística, é,
pois, o conjunto universo do qual extraímos a informação! No exemplo da sala, aquelas
duzentas pessoas serão a população!
E se trabalho com a população inteira, estarei fazendo um estudo estatístico chamado
censo! Ou seja, o censo é uma forma de fazer uma pesquisa estatística, em que todos os
elementos da população são consultados!
Mas se eu considerar que duzentas pessoas é muita gente, e que eu perderia muito
tempo e dinheiro para coletar os dados de todos eles, haveria uma outra forma possível para
trabalharmos? Sim! Ao invés de usarmos toda a população para coletar as respostas,
escolheremos apenas uma parte menor dela, um subgrupo, que terá o poder de representá-la
por inteiro.
Suponhamos, então, que eu decidi fazer a pergunta a apenas cinqüenta pessoas. Esse
grupo menor será chamado de amostra, e estaremos realizando um estudo estatístico por
amostragem.
Atentemos para o fato de que amostra não é meramente um pedaço menor da
população! Não é só isso! A característica fundamental da amostra é a da representatividade!
Claro! Não adiantaria eu escolher uma única pessoa e perguntar a sua idade. Essa única
resposta, certamente, não teria o poder de representar a população toda. Não poderíamos
estender à população uma conclusão oriunda de um subgrupo não-significativo. Concordam?
Daí, uma pergunta: Mas, professor, qual seria o número mínimo de elementos de uma
população que poderia ser adotado, para que possamos considerá-lo uma amostra? Boa
pergunta! Existem cálculos para isso! E os veremos, oportunamente!
Por enquanto, basta-nos saber que de um lado existe a população, e esta relaciona-se
com o conceito de censo; de outro lado existe a amostra, relacionada com o conceito de
amostragem! Ok?
Mais adiante, numa próxima aula, veremos como o conhecimento desses dois conceitos
tem sido exigido em questões de provas recentes, envolvendo cálculos e tudo mais! (E veremos
como é um negócio fácil...)3
Se eu estudei a idade das pessoas daquela sala, então a minha variável estatística era
idade. Se eu for estudar peso, a variável será o peso. Se eu for estudar a religião praticada
pelas pessoas, essa será a variável. Em suma, variável estatística é o objeto do estudo!
Podemos classificar as variáveis estatísticas em variáveis quantitativas e em variáveis
qualitativas.
Serão quantitativas quando lhes pudermos atribuir um valor numérico. Qual a sua idade?
A resposta é um número? Sim! Então, idade é uma variável quantitativa. Quantos livros você lê
por ano? A resposta é um número? Sim! Então, número de livros lidos por ano é uma variável
quantitativa. Por outro lado, se pergunto qual a sua cor preferida, a resposta não é um valor
numérico. Logo, a variável será dita qualitativa.
Essa primeira classificação é bem simples. Concordam? Existe ainda uma
subclassificação!
Variáveis Quantitativas poderão ser ditas discretas ou contínuas.
Serão variáveis quantitativas discretas (também chamadas descontínuas) aquelas que
forem obtidas por um processo de contagem. Se para responder à pergunta “Quantas pessoas
moram na sua casa?” você precisa fazer uma contagem, então estamos diante de uma variável
discreta.
Já as variáveis contínuas são aquelas obtidas por um processo de medição! Se alguém
perguntar o seu peso, você precisará subir numa balança e medir. Assim, peso é uma variável
contínua.
Essas dicas – contagem para variável discreta e medição para variável contínua – são
conceitos mnemônicos, ou seja, usados para auxiliar a memorização. E os conceitos formais,
quais seriam? Vamos aprender por meio de dois exemplos.
Considere a reta abaixo, formada por resultados possíveis à pergunta “Quantas pessoas
moram na sua casa?” Teremos:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
Ora, sejam quantas forem as pessoas entrevistadas, todas as respostas recairão sempre
sobre os valores inteiros (1, 2, 3, 4, 5 etc). Ou seja, jamais alguém poderá dizer que moram
3,75 pessoas em sua casa! Concordam?
Por isso dizemos que a variável discreta é também chamada variável descontínua. Porque
entre um resultado possível e outro existe uma descontinuidade. Certo?
Agora, consideremos a seguinte reta de resultados possíveis abaixo, e que estejamos
investigando o peso de um grupo de pessoas. Vejamos:
10 20 30 40 50 60 70 80 90 ...
Poderia alguém responder que pesa 64,325kg? Claro! Observamos facilmente que para
esta variável não há qualquer descontinuidade entre um resultado possível e outro! Ou seja, a
variável contínua pode assumir qualquer resultado.
Esses conceitos – variável discreta e variável contínua – bem como a quase totalidade
dos demais conceitos estudados nesta aula inaugural, não têm sido cobrados nas provas mais
recentes da Esaf. Costumavam sê-lo, e muito, em provas mais antigas. Sendo assim, por que
temos que estudá-los? Primeiramente, porque ainda continuam presentes nos programas atuais.
E depois porque não há, simplesmente, como saltar esse conhecimento básico. Ele terá, sim,
sua utilidade, como veremos ao longo das aulas.
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Constarão de qualquer programa de Estatística Básica de concurso tópicos como Medidas
de Posição, Medidas Separatrizes, Medidas de Dispersão, Medidas de Assimetria, Medidas de
Curtose, entre outros. Ora, estudaremos o que significa e como se calcula cada uma dessas
medidas! O que precisamos saber é que todos esses cálculos serão realizados com base nos
dados de um determinado conjunto.
Chegamos ao ponto: a maneira mais usual de um conjunto de dados ser apresentado em
uma prova qualquer é por meio de uma tabela, que receberá o nome de Distribuição de
Frequências!
Voltemos ao exemplo daquela sala de aula, com duzentas pessoas, e eu quero saber
agora quantos livros cada um lê por ano. Pois bem, para simplificar minha vida, eu posso
estabelecer alguns intervalos, que representarão as respostas daquelas pessoas. Por exemplo:
pessoas que lêem de 0 a 5 livros por ano (cinco exclusive!); que lêem de 5 a 10 livros por ano
(dez exclusive!); que lêem de 10 a 15 (quinze exclusive!); e de 15 a 20. Colocando essas
classes de resultados numa coluna da tabela, teremos:
Classes
(número de livros
lidos por ano)
fi
(pessoas)
0 !--- 5
5 !--- 10
10 !--- 15
15 !--- 20
Total
Para complementar a tabela, agora eu pedirei: “Por gentileza, pessoas que lêem entre
zero e quatro livros por ano, levantem a mão!” Percebam que nesse momento se fará um
silêncio constrangedor... e todos meio com vergonha de erguer a mão e revelar que não são
leitores assim tão assíduos como gostariam de ser... Mas aí eu insisto: “Vamos lá, minha gente!
É só para eu preencher a tabela...” Resultado: 108 corajosas (e preguiçosas) pessoas ergueram
a mão. Repetindo a pergunta para leitores de cinco a nove livros por ano, 72 pessoas se
pronunciaram. Nova pergunta, agora para o intervalo de 10 a 14 livros, e apenas 18 pessoas
ergueram o braço. Finalmente, na última pergunta, duas míseras pessoas (o que é diferente de
duas pessoas míseras!), levantaram a mão.
Informando o resultado desta pesquisa na tabela, teremos o seguinte:
Classes
(número de livros
lidos por ano)
fi
(pessoas)
0 !--- 5
5 !--- 10
10 !--- 15
15 !--- 20
108
72
18
2
Total 200
Pronto, meus amigos! Estamos diante de uma Distribuição de Frequências! Trata-se,
portanto, de uma tabela que retratará o resultado de uma pesquisa realizada. A característica
marcante da Distribuição de Frequências é que a variável estudada estará subdivida em
classes!
Dedicaremos o restante desta aula inteira a conhecer e a dissecar uma Distribuição de
Frequências! Exploraremos ao máximo essa tabela, pois ela se tornou, por assim dizer, a alma
de uma prova de Estatística Básica! Saber trabalhar com uma Distribuição de Frequências é
meio caminho andado para se fazer uma boa prova!
5
No sentido inverso, se você não tiver desenvoltura para trabalhar com a Distribuição,
estará em maus lençóis na hora da prova! Ok?
A Distribuição de Frequências é nada mais que uma tabela, por meio da qual
conheceremos o resultado de uma pesquisa realizada.
O exemplo mostrado na aula de apresentação contemplava um grupo de duzentas
pessoas que seriam questionadas sobre o número de livros que cada uma delas lêem por ano.
(Lembrados?) Assim, o resultado desta enquete foi transcrito para uma tabela, e apresentado da
forma seguinte:
Classes(número de livros
lidos por ano)
fi
(pessoas)
0 !--- 5
5 !--- 10
10 !--- 15
15 !--- 20
108
72
18
2
Total 200
Pronto, meus amigos! Estamos diante de uma Distribuição de Frequências! Trata-se,
portanto, de uma tabela que retratará o resultado de uma pesquisa realizada. A característica
marcante da Distribuição de Frequências é que a variável estudada estará subdivida em
classes!
As classes serão, portanto, as subdivisões da nossa variável. É um conceito intuitivo.
Basta olharmos, e concluímos que essa Distribuição acima possui quatro classes:
à 1ª Classe) Pessoas que lêem entre zero e cinco livros por ano;
à 2ª Classe) Pessoas que lêem entre cinco e dez livros por ano;
à 3ª Classe) Pessoas que lêem entre dez e quinze livros por ano;
à 4ª Classe) Pessoas que lêem entre quinze e vinte livros por ano;
Observem que cada classe será margeada por dois limites, chamados respectivamente de
limite inferior (linf) e limite superior (lsup).
Esses limites são justamente os valores que você está enxergando no início e no fim de
cada classe. Assim, teremos que:
à 1ª Classe) linf=0 e lsup=5
à 2ª Classe) linf=5 e lsup=10
à 3ª Classe) linf=10 e lsup=15
à 4ª Classe) linf=15 e lsup=20
Facilmente vocês já observaram que onde acaba uma classe, começa a próxima! Não é
verdade? Ou seja, o limite superior de uma classe é igual ao limite inferior da classe seguinte.
Agora uma pergunta interessante, a qual você deverá tentar responder apenas olhando
para a tabela. Ok? Uma pessoa que lê exatamente 10 (dez) livros por ano entrará na contagem
da segunda classe ou da terceira? Veja a tabela novamente:
Classes
(número de livros
lidos por ano)
fi
(pessoas)
0 !--- 5
5 !--- 10
10 !--- 15
15 !--- 20
108
72
18
2
6
Total 200
Vemos que 10 é limite superior da segunda classe e inferior da terceira. Mas, e aí? Quem
lê 10 livros participará de qual das classes, segunda ou terceira?
Para responder a essa pergunta, precisamos conhecer o significado de intervalo de
classe! E esse conceito será definido com base no símbolo que estiver presente entre os limites
da classe.
No caso do exemplo acima, o símbolo presente é este: !----
Essa simbologia tem um significado. Ampliemos o símbolo para explicarmos melhor:
Linf Lsup
A presença do tracinho vertical no lado do limite inferior significa que ele estará incluído
no intervalo de classe. Falamos em intervalo fechado à esquerda.
A ausência do tracinho vertical no lado do limite superior quer dizer que este limite estará
excluído do intervalo! Falaremos em intervalo aberto à direita.
Daí, se analisarmos a segunda classe, teremos:
5 10
Esta classe possui como limites os valores 5 e 10. Porém, uma pessoa que lê exatamente
10 (dez) livros não entrará na contagem desta segunda classe, uma vez que 10 é limite superior
desta classe, e aqui temos que o intervalo é aberto à direita. Ou seja, o limite superior está
excluído desta contagem, embora faça parte da classe como um de seus limites!
Você conclui: classe é uma coisa; intervalo de classe é outra. Quem define o intervalo é a
simbologia que separa os limites das classes.
Este símbolo que vimos acima (ı----) é aquele com o qual trabalharemos sempre! É, por
assim dizer, a simbologia clássica!
Trabalharemos sempre com essa consideração: intervalo fechado à direita e aberto à
esquerda.
E por que será sempre assim? Porque nossa elaboradora, a Esaf, considera que em uma
Distribuição de Frequências, trabalha-se sempre com variáveis contínuas!
Todos lembrados do que é uma variável contínua? É aquela que pode assumir qualquer
resultado. Em outras: entre um resultado possível e outro, não pode haver qualquer
descontinuidade.
E se não pode haver descontinuidade entre resultados possíveis da variável, faz-se
necessário que onde termine uma classe, comece a próxima.
Alguém dirá: mas professor, número de livros lidos por ano é uma variável discreta! Sim.
Eu sei que é. Eu só usei essa variável para ilustrar o que é uma Distribuição de Frequências. Não
fui muito rigoroso com o exemplo. Ok?
Mas na prova, para efeito de uma questão teórica, fica valendo o seguinte: na
Distribuição de Frequências, trabalhamos com variáveis contínuas!
7
Outras simbologias há na definição de outros tipos de intervalos de classe. Como não são
de nosso interesse, não trataremos a seu respeito.
O próximo elemento que estudaremos é a amplitude da classe. Um conceito muito
simples. Amplitude será, para nós, sinônimo de tamanho. Amplitude da classe será, portanto,
o tamanho da classe. Representaremos esse conceito com a letra h (minúscula).
Observando a nossa tabela, percebemos facilmente que todas as classe apresentam a
mesma amplitude (o mesmo tamanho). Senão, vejamos:
Classes
0 !--- 5
5 !--- 10
10 !--- 15
15 !--- 20
à h=5
à h=5
à h=5
à h=5
Pergunta: é obrigatório que todas as classes tenham a mesma amplitude? Não! Não é
obrigado! Mas é isso é algo esperado. A quase totalidade das Distribuições de Frequência
trazidas em provas usa classes de mesma amplitude. Mas isso não é uma regra. É apenas o
usual. Na prova do AFRF de 2005, por exemplo, a Esaf inovou e apresentou uma Distribuição em
que nem todas as classes possuíam a mesma amplitude.
Oportunamente veremos os efeitos, na resolução das questões, do fato de estarmos
diante de uma Distribuição de Frequência com classes de amplitudes diversas. Ok? A rigor, não
muda quase nada.
Falemos agora sobre o chamado Ponto Médio. O que vem a ser? Ora, o nome é
sugestivo: Ponto Médio (PM) é aquele valor que está rigorosamente no meio da classe. Cada
classe possui, portanto, seu próprio Ponto Médio. Às vezes é possível determinar o PM de uma
classe, só de olhar para ela. É o caso do nosso exemplo. Vejamos: qual é o valor que está
exatamente entre 0 e 5? É 2,5. Concordam? Claro!
Daí, 2,5 é o PM da primeira classe.
Mas se tivéssemos uma classe com os seguintes limites: 19,5 !--- 24,5. Pode ser que não
seja assim tão imediata a determinação desse PM.
Assim, calcularemos o PM da classe somando seus limites, e dividindo esse resultado por
dois. Ou seja: PM=(Linf+Lsup)/2.
Assim, para a classe 19,5 !--- 24,5 , teríamos: PM=(19,5+24,5)/2=22.
Só isso! Agora voltemos a nossa Distribuição de Frequências, e construamos a coluna dos
PontosMédios. Teremos:
Classes PM
0 !--- 5
5 !--- 10
10 !--- 15
15 !--- 20
2,5
7,5
12,5
17,5
Alguém conseguiu observar uma relação qualquer entre os Pontos Médios? Sim? Vemos
que a diferença entre dois pontos médios consecutivos foi sempre igual a uma constante.
Perceberam? Ou dito de outra forma: o próximo Ponto Médio é sempre igual ao anterior somado
a uma constante.
Neste caso, essa constante é 5. Ora, onde foi mesmo que vimos esse valor 5? Foi este
também o valor da amplitude das classes!
8
Concluiremos assim: sempre que todas as classes de uma Distribuição de Frequências
tiverem a mesma amplitude (mesmo h), observaremos que o próximo Ponto Médio será igual
ao anterior somado àquela amplitude.
É este o primeiro atalho do nosso Curso! Um bem simples, é verdade, mas não deixa de
ser um atalho! Assim, na hora de construirmos a coluna dos Pontos Médios, a primeira coisa a
observar é se todas as classes têm a mesma amplitude. Se for o caso, você irá apenas descobrir
o valor do primeiro Ponto Médio (o PM da primeira classe).
Daí, basta sair somar este PM com o h e prosseguir realizando essa mesma operação, até
chegar à última classe. No nosso exemplo, sabemos que h=5, logo, teremos:
Classes PM
0 !--- 5
5 !--- 10
10 !--- 15
15 !--- 20
2,5 à 1º PM, calculado!
(2,5+5) = 7,5
(7,5+5) = 12,5
(12,5+5)= 17,5
Pois bem! Já conhecemos quais os elementos de uma Distribuição de Frequências. Agora
precisamos saber por que essa tabela é chamada assim. O que vêm a ser essas tais
frequências? É sobre isso que falaremos a seguir.
Comecemos repetindo a tabela do nosso exemplo:
Classes
(número de livros
lidos por ano)
fi
(pessoas)
0 !--- 5
5 !--- 10
10 !--- 15
15 !--- 20
108
72
18
2
Total 200
Observemos que a segunda coluna nos revela o número de elementos que participa da
classe correspondente. Ou seja, o valor 108 na primeira classe da coluna do fi significa que há
108 pessoas no conjunto que lêem entre zero e cinco livros por ano (cinco exclusive).
Assim, concluímos: a coluna do fi, chamada frequência absoluta simples, indica o
número de elementos que faz parte da classe correspondente. Só isso. É a frequência de mais
fácil compreensão! E a mais importante delas também! Precisaremos conhecer os valores da fi
para podermos resolver quase todas as questões de uma prova.
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Podemos, assim, unir os dois esquemas de transformação em um só, e chegaremos ao
seguinte:
De simples para acumulada: somar com a diagonal
fac (iguais na primeira classe)
fi
fad (iguais na última classe)
(comparam-se os dois somatórios)
Fac (iguais na primeira classe)
Fi
Fad (iguais na última classe)
De acumulada para simples: próxima acumulada – acumulada anterior
Na seqüência, trocaremos apenas algumas palavras sobre o que venha a ser um
Histograma.
O Histograma é o gráfico estatístico que existe para representar os dados de uma
Distribuição de Frequências. Relacione sempre: Histograma para Distribuição de Frequências!
Ok? É muito fácil construir um Histograma. No eixo horizontal, anotaremos os limites das
classes; e no eixo vertical, as frequências absolutas simples.
Trabalhemos com a seguinte Distribuição de Frequências, e tentemos construir o
Histograma. Teremos:
Xi Fi
0 --- 10
10 --- 20
20 --- 30
30 --- 40
40 --- 50
3
4
3
2
1
n=13
fi
0 10 20 30 40 50 (Classes)
A primeira classe, que vai de zero a dez, tem fi igual a 3. Assim, o retângulo que
representará essa classe no histograma será o seguinte:
4
3
2
1
10
fi
0 10 20 30 40 50 (Classes)
Viram? A base do retângulo é definida pelos limites da classe, enquanto sua altura é
definida pela frequência absoluta simples daquela classe. Não é fácil? Facílimo! Para a segunda
classe, sabendo que o fi=4, teremos:
fi
0 10 20 30 40 50 (Classes)
A essa altura, todos já entenderam a feitura do Histograma, não é isso? Assim, vou logo
completar o gráfico, com base nos dados daquela Distribuição de Frequências apresentada
acima. Teremos:
fi
0 10 20 30 40 50 (Classes)
Enfim! Professor, mas por que foi mesmo que você apresentou o Histograma exatamente
neste momento? Porque é possível, embora muito raro, que a sua prova apresente o conjunto a
ser trabalhado por meio de um gráfico como esse!
Ou seja, em vez de apresentar a Distribuição de Frequências, a questão trará um
Histograma! E aí? O que fazer? Ora, com a mesma facilidade que você construiu um Histograma
partindo de uma Distribuição de Frequências, você poderá fazer o caminho de volta, e construir
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
111
a Distribuição, partindo de um Histograma! Concordam? Repito: é muito raro vir um Histograma
na prova. Mas não é impossível. E já aconteceu!
Querem ver um exemplo? Caiu numa prova bem antiga de Técnico da Receita Federal, do
tempo em que esse cargo se chamava TTN. O Histograma trazido pela prova foi o seguinte:
fi
12
10
8
6
4
2
2 4 6 8 10 12 14 16 idades
E aí? Você saberia transformar esse gráfico numa Distribuição de Frequências? Claro.
Ficaria o seguinte:
Classes fi
2 --- 4
4 --- 6
6 --- 8
8 --- 10
10 --- 12
12 --- 14
14 --- 16
2
6
10
12
8
6
4
# Medidas de Posição:
Nosso presente estudo dará início à análise das chamadas Medidas de Posição.
Porém, antes de as conhecermos, convém muitíssimo que nós saibamos quais são as
formas pelas quais um conjunto pode ser apresentado numa prova. As mais comuns formas de
apresentação de um conjunto são as três seguintes:
1ª) Rol: aqui os elementos do conjunto estarão dispostos numa ordem que pode ser
crescente ou decrescente. São exemplos de rol:
(1,2,3,4,5)
(1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5)
E assim por diante!
Não é muito comum encontrarmos um rol numa questão de prova, mas também não é
algo impossível. Entre as últimas provas da Receita, pôde-se ver um rol na prova de 1998 e na
de 2005. Entendido o que é um rol? Ótimo.
2ª) Dados Tabulados:
Vamos trabalhar com esse segundo exemplo de rol, acima. Será possível apresentarmos
os elementos desse conjunto na forma de uma tabela? Claro que sim!
12
Vamos ver como é que fica:
Xi fi
1 3
2 4
3 3
4 2
5 1
Vejam que a coluna do Xi apresenta os elementos (individualizados) do conjunto; e a
coluna do fi (a nossa conhecidíssima frequência absoluta simples) indica o número de vezes que
o elemento aparece no conjunto! Assim, vemos que o elemento 1 (Xi=1) aparece três vezes
naquele rol (fi=3); o elemento 2 (Xi=2) aparece quatro vezes (fi=4), e assim por diante.
Se quisermos saber quantos elementos há neste conjunto, o que teremos que fazer? Ora,
teremos que somar a coluna da frequência absoluta simples – fi.
Daí, já podemos guardar a seguinte informação: sempre que quisermos saber o n
(número de elementos de um conjunto), e esse conjunto estiver apresentado na forma de uma
tabela, basta somarmos os valores da coluna da frequência absoluta simples!
Ok? Assim, teremos:
Xi fi
1 3
2 4
3 3
4 2
5 1
n=13
Uma discussão existe acerca desta segunda forma de apresentação dos dados: há
autores que dizem que se trata de um tipo de Distribuição de Frequências; outros dizem que
não! Ora, para efeito de concurso, essa discussão não nos interessa em nada!
O que interessa é que você precisará saber trabalhar a questão de todo jeito! Assim, para
nós, aparecendo um conjunto na prova, e esse conjunto estando apresentado desta forma que
acabamos de ver acima, diremos que estamos diante de Dados Tabulados! E só! Ok?
3ª) Distribuição de Frequências:
Essa já é nossa velha conhecida! Na Distribuição de Frequências, diferentemente do que
ocorre no rol e nos dados tabulados, os elementos do conjunto estarão agrupados em classes,
em vez de serem apresentados de forma individualizada! Exemplo:
13
Xi fi
0 -- 10 3
10 -- 20 4
20 -- 30 3
30 -- 40 2
40 -- 50 1
n=13
Essencialmente, o que diferencia a Distribuição de Frequências das outras duas formas
de apresentação de um conjunto, vistas acima, é exatamente o fato de aqui, na Distribuição, os
dados estarem agrupados em classes!
Já usamos uma aula anterior para estudar com minúcia os elementos de uma
Distribuição, não é verdade?
Essencialmente, são essas as três formas mais usuais de apresentação de um conjunto:
Rol, Dados Tabulados e Distribuição de Frequências.
Porém, não são as únicas. Vamos aproveitar o ensejo para apresentar um tipo de gráfico,
chamado de Histograma! Já falamos sobre esse gráfico na aula passada! Lembrados?
Trabalhemos com a Distribuição de Frequências do exemplo acima, e tentemos construir o
Histograma. (Isso, inclusive, já foi feito)! Teremos:
fi
0 10 20 30 40 50 (Classes)
Pois bem! O que fizemos nesta aula, até o momento, foi conhecer as maneiras pelas
quais a Esaf, ou qualquer outra elaboradora, pode se utilizar para apresentar um conjunto de
elementos numa prova de Estatística.
Uma vez fornecido o conjunto – seja na forma de um rol, ou de dados tabulados, ou de
Distribuição de Frequências, ou de um Histograma, ou de um Diagrama de Ramos e
Folhas – já poderão ser solicitados, nas questões da prova, os cálculos de uma infinidade de
medidas estatísticas!
Ou seja, para um determinado conjunto, pode-se pedir o cálculo de:
à Medidas de Tendência Central (Média, Moda, Mediana);
à Medidas Separatrizes (Mediana, Quartis, Decis, Centis);
à Medidas de Dispersão (Amplitude Total, Desvio Absoluto, Desvio Padrão, Variância,
Coeficiente de Variação, Desvio Quartílico, Variância Relativa);
4
3
2
1
14
à etc, etc.
Considerando que o Histograma será transformado em uma Distribuição de Frequências e
que o Diagrama de Ramos e Folhas será transformado num Rol, resta que as três formas
básicas de apresentaçãodos dados serão, realmente: o Rol, os Dados Tabulados e a Distribuição
de Frequências.
Assim, para cada uma das medidas estatísticas que formos estudar, aprenderemos como
ela será calculada para o caso de o conjunto estar na forma de um Rol, ou de Dados Tabulados
ou de Distribuição de Frequências. Ok?
Então vamos lá!
Começaremos conhecendo as Medidas de Tendência Central – Média Aritmética, Moda
e Mediana.
# A Média Aritmética: X
Quando falarmos simplesmente em Média, saiba que estaremos nos referindo à Média
Aritmética. Ok? Existem outras espécies de Média, além da Aritmética, que serão estudadas
oportunamente.
Comecemos pelo cálculo da Média de um Rol.
Estou certo que esse é um cálculo que todos nós já realizamos. Suponhamos que você
ainda está na faculdade. O semestre começou, e você nem se deu conta disso. Eis que chegou o
dia da primeira prova! A sua nota foi um desastre: nota 3 (três).
Que lástima! Aí você disse: “Valha-me Deus, as aulas já começaram!” (Meio tardia essa
descoberta...!) O fato é que você procurou se redimir da nota baixa que tirou, e dedicou
esforços para a segunda prova. O resultado se fez perceber, e você conseguiu agora tirar um 8
(oito).
Ora, você sabia que para passar por média, teria que tirar um notaço na terceira e última
prova, uma vez que a média naquela sua faculdade era 7 (sete).
Assim, virou várias noites estudando e se dedicando àquela disciplina, de sorte que
conseguiu, merecidamente, tirar um 10 (dez) na terceira prova.
Tão logo recebeu esta última nota, você correu às contas, pois desejava saber se havia
passado por média, ou se necessitaria fazer a prova final.
Suas contas foram as seguintes:
à
( )
3
21
3
1083
=
++
=7,0
Parabéns! Você acaba de provar que é um aluno cobra! (Aquele que passa se
arrastando)! Mas passou, não foi? Isso é o que importa! (Igual no concurso: se você passar em
último lugar, vai ganhar o mesmo salário de quem passou em primeiro)!
Vejamos novamente as notas das três provas dessa pessoa: (3, 8, 10).
Isto é um rol? Sim!
Então, esta conta que foi feita para o cálculo da média das notas foi, rigorosamente, o
mesmo cálculo que se faz para se descobrir a Média Aritmética de um conjunto apresentado
na forma de um rol.
Ou seja: somam-se as notas, e divide-se este resultado pelo número de provas.
Falando-se de um modo genérico: somam-se os elementos do conjunto, e divide-se esse
resultado pelo número de elementos do conjunto!
Colocando-se essa definição em uma fórmula, usando-se da linguagem estatística,
teremos que:
15
n
Xi
X ∑=
Onde:
à X é a Média Aritmética;
à Σ é o sinal de somatório. O que vier após este símbolo deverá ser somado!
à Xi é cada elemento do conjunto;
à n é o número de elementos do conjunto.
Só isso! Nada mais fácil que se calcular a Média de um rol.
Pena que o Rol seja tão raro em provas...!
# A TRANSIÇÃO:
Esta palavra – Transição – está em destaque, porque nos acompanhará longamente
durante nosso Curso!
Aprenderemos, meus queridos, que há uma maneira facílima de migrarmos de uma
fórmula de Rol para a fórmula de Dados Tabulados. Da mesma forma, há como migrarmos da
fórmula dos Dados Tabulados para a fórmula da Distribuição de Frequências!
E essa maneira de fazer a migração de uma fórmula para outra é justamente a tal da
Transição que vamos aprender agora! Vamos lá!
1º) Como passar da fórmula do Rol para a dos Dados Tabulados?
Manda a primeira transição que façamos o seguinte:
à Repete-se a fórmula do rol; e
à Acrescenta-se no numerador da fórmula, sempre junto ao sinal de somatório (Σ), a
frequência absoluta simples fi.
Só isso!
Assim, se eu já aprendi que a fórmula usada para se calcular a Média Aritmética de um
conjunto apresentado na forma de um rol é:
à
n
Xi
X ∑= ...
... então, querendo agora construir a fórmula da Média Aritmética para um conjunto
apresentado na forma de Dados Tabulados, eu só precisarei seguir o que manda a transição! E
teremos:
Para Dados Tabulados:
n
Xi
X ∑= ......
Viram? Bastou repetir a fórmula do Rol (já conhecida!) e acrescentar o fi no numerador,
junto ao sinal de somatório!
Usamos a primeira Transição!
fi
16
E agora, caso queiramos construir a fórmula da Média Aritmética para uma Distribuição
de Frequências, como devemos proceder? Aí surge a segunda transição. Vejamos.
2º) Como passar da fórmula dos Dados Tabulados para a da Distribuição de
Frequências?
Manda a segunda transição que façamos o seguinte:
à Repete-se a fórmula dos Dados Tabulados; e
à Troca-se o Xi (elemento individualizado do conjunto) por PM (Ponto Médio) da classe!
E é só isso!
Mas qual seria o motivo de essa transição se fazer desta forma? Ora, por uma razão
muito simples. Basta comparar as duas primeiras formas de apresentação (Rol e Dados
Tabulados) com a Distribuição de Frequências, e veremos que naquelas estamos sempre
trabalhando com Xi (elementos individualizados do conjunto). Mas na Distribuição de
Frequências, nós deixamos de trabalhar com elementos individualizados, uma vez que agora
nossa variável passará a ser agrupada em classes!
Daí, na Distribuição, não há mais que se falar em elemento individualizado Xi. Terá ele
que ser substituído por aquele elemento que melhor representa cada classe. E esse elemento é
justamente o Ponto Médio!
Assim, conhecendo a fórmula da Média Aritmética para Dados Tabulados, e aplicando o
que nos manda a segunda transição, teremos que a Média para uma Distribuição de Frequências
será dada por:
n
fi
X ∑= .
A boa notícia, meus amigos, é que essa mesmíssima transição, que acabamos de
aprender, não se aplica somente a fórmulas de Média Aritmética. Não! Vai muito além disso!
Vamos usá-la para a memorização de várias outras medidas estatísticas, a exemplo do Desvio
Absoluto, do Desvio Padrão, da Variância, entre outras.
Primeiro, vejamos se ficou mesmo bem memorizada a nossa Transição!
Teremos:
Resumo da Transição:
1º) Você memoriza a fórmula do Rol;
2º) Repete a fórmula do Rol e acrescenta fi no numerador, sempre junto ao sinal de
somatório, e aqui chegamos à fórmula dos Dados Tabulados;
3º) Repete a fórmula dos Dados Tabulados e troca-se Xi por PM (Ponto Médio), e aqui
chegamos à fórmula da Distribuição de Frequências!
# Resumo das Fórmulas da Média Aritmética:
à Média Aritmética para Rol:
n
Xi
X ∑=
à Média Aritmética para Dados Tabulados:
n
Xifi
X ∑= .
PM17
à Média Aritmética para Distribuição de Frequências:
n
PMfi
X ∑= .
Agora, considerando que em aproximadamente 99% dos casos o conjunto vem, na
prova, expresso na forma de uma Distribuição de Frequências, convém que nos dediquemos
mais a esta forma de apresentação!
# Algumas Propriedades da Média Aritmética:
Considere o seguinte conjunto original (um rol): {1, 2, 3, 4, 5}
Qual é a média deste conjunto? Teremos: (1+2+3+4+5)/5=15/5 à X =3
E se agora tomarmos cada elemento (Xi) daquele conjunto original, e resolvermos
adicionar cada um deles à constante 10, por exemplo. O que teremos? Ora, teremos um novo
conjunto: {11, 12, 13, 14, 15}. Concordam?
Assim, já não mais estamos diante daquela variável original, e sim de uma variável
transformada! Transformada por meio de quê? De uma operação de soma!
E qual é a Média desse novo conjunto (dessa nova variável)? Façamos as contas:
(11+12+13+14+15)/5=65/5 à X =13.
Ora, nem precisaríamos ter feito essa conta! Pois existe uma propriedade que diz:
somando-se todos os elementos do conjunto com uma constante, a Média do novo conjunto será
igual à Média do conjunto original também somada com aquela mesma constante!
Foi verdade isso? Sim. A Média do conjunto original era X =3. Nós somamos cada
elemento do conjunto original com constante 10. Daí, a Média do novo conjunto será a média
anterior (3) somada também à constante 10. Ou seja, a nova Média será 13.
E se serve para soma, serve também para subtração!
Agora consideremos que cada elemento daquele conjunto original será multiplicado pela
constante 10. Ok? O que ocorrerá àquele conjunto? Será transformado em outro. Passaremos a
ter: {10, 20, 30, 40, 50}.
Não se trata mais da variável original e sim de uma variável transformada! Transformada
por quem? Por uma operação de multiplicação! Calculando a média do novo conjunto, teremos:
(10+20+30+40+50)/5=150/5 à X =30.
E nem precisaríamos ter feito este cálculo, pois existe uma propriedade da Média que diz:
multiplicando-se cada elemento de um conjunto original por uma constante, a nova Média será
igual à média anterior também multiplicada pela mesma constante!
Senão, vejamos: a média do conjunto original era X =3. Nós multiplicamos cada
elemento do conjunto original pela constante 10. Daí, a Média do novo conjunto será a média
anterior (3) multiplicada também pela constante 10. Ou seja, a nova Média será 30.
E se serve para produto, serve também para divisão!
Para melhorar a nossa vida e a nossa memorização, resumiremos essas propriedades
todas em uma única (e pequena) frase:
A MÉDIA É INFLUENCIADA PELAS QUATRO OPERAÇÕES!
Ok? É essa a frase que deve ficar guardada em nossa memória!
18
# MODA: Mo
Esse é um dos assuntos prediletos das alunas! Qualquer concurseira de respeito sabe que
Moda é aquilo que está em evidência. É isso mesmo? Assim na vida, assim na Estatística.
Moda, em sentido estatístico, será aquele elemento que mais aparece no conjunto!
Só isso! Nada mais fácil! Vamos aprender a reconhecer a moda de um rol, de dados
tabulados e de uma distribuição de frequências. Vamos lá.
à Moda do Rol:
Analise o conjunto abaixo, e me diga qual é o elemento que se sobressai aos demais:
{1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 10}
Facilmente se vê que o elemento de maior frequência, aquele que mais aparece no
conjunto, é o elemento Xi=3,0.
Está terminado! A Moda desse conjunto é 3. Diremos: Mo=3.
E não se fala mais nisso! Vocês acham, sinceramente, que a Esaf iria colocar uma
questão como essa em prova?
Quem pensou que não errou! Confira a questão abaixo, extraída do AFRF-1998:
(AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de
uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores
internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10,
10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23
Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal.
a) 7 b) 23 c) 10 d) 8 e) 9
Sol.: Vejam que o conjunto foi apresentado na forma de um rol. E seus elementos
representam preços. Daí, a questão pede que se calcule o preço modal.
Se os elementos representassem salários, a questão pediria o salário modal.
Se os elementos representassem pesos, a questão pediria o peso modal.
Se representassem idades, a idade modal. E assim por diante!
Pois bem! Aqui, usaremos a técnica milenar do dedo. Basta colocar o dedo em cima dos
elementos do conjunto, e contar, para descobrir aquele que aparece mais vezes que os demais!
Conclusão: o elemento Xi=8 é o que mais aparece. É aquele de maior frequência. Logo,
é a Moda desse conjunto e a resposta da questão!
E acreditem: isso valeu um ponto numa prova de Auditor-Fiscal da Receita Federal.
Isso corrobora a minha tese de que nem só de questões difíceis se faz uma prova!
Também existem as fáceis, as muito fáceis, as facílimas, e as estupidamente bestas!
E essas nós não podemos errar, nem em pesadelo.
Pois bem. Mais algumas informações:
à Se o conjunto apresenta uma só moda, será dito conjunto modal.
Mas, considere o rol abaixo:
{1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 9, 10}
Quem é a moda desse conjunto? Não é apenas uma, mas são duas: o elemento 2 e o
elemento 7. Estamos, pois, diante de um conjunto dito bimodal.
19
E se houver três ou mais modas em um conjunto? Então estaremos diante de um
conjunto multimodal.
Atente agora para o seguinte conjunto:
{1, 2, 3, 4, 5}
Quem arrisca dizer qual é a Moda dele? Existe algum elemento que se destaca em
relação aos demais? Um elemento que aparece mais que os outros? Não! Nenhum elemento se
destaca. Daí, concluímos que não há moda neste rol, de sorte que estamos diante de um
conjunto amodal.
Conclusão: diferentemente da Média Aritmética, que sempre existe e é única, a Moda
pode existir, pode não existir e, no primeiro caso, pode haver uma, ou duas, ou várias Modas
em um mesmo conjunto!
Alguma dúvida para a Moda de um rol? Creio que não! Adiante.
à Moda de Dados Tabulados:
Aqui estamos diante do que há de mais fácil neste Curso!
Ora, sabemos que a Moda é o elemento de maior frequência. Assim, diante do conjunto
seguinte, tente dizer qual é o elemento modal:
Xi fi
1
2
3
4
5
2
3
7
5
1
Neste caso, de o conjunto estar apresentado na forma de Dados Tabulados, sequerprecisamos aplicar a técnica do dedo. Basta deslizar pela coluna da frequência absoluta simples
(fi), procurando pela maior fi. Ao encontrarmos, saberemos que o elemento Xi a que ela se
refere será a Moda do conjunto!
Assim:
Xi fi
1
2
3
4
5
2
3
7
5
1
A Moda do conjunto é 3.
Só e somente só!
Viram como é fácil? Essa aí nunca caiu em prova, até agora!
à Moda para Distribuição de Frequências:
Aqui estamos diante de uma questão de prova em potencial.
Há dois métodos distintos para calcularmos a Moda de uma Distribuição: A Moda de
Czuber e a Moda de King.
Precisamos saber que a regra é trabalharmos com o método de Czuber.
Dito de outra forma: só calcularemos a Moda de uma distribuição de frequências pelo
método de King se a questão expressamente o determinar! Ok?
20
Consideremos o seguinte conjunto, supondo que represente os pesos de um grupo de
crianças:
Classes fi
0-10 2
10-20 4
20-30 7
30-40 5
40-50 2
Comecemos aprendendo o cálculo da Moda de Czuber. São dois passos:
1º) Identificar a classe modal.
Ora, classe modal é aquela de maior frequência absoluta simples (maior fi). Só isso!
Neste caso, a maior fi é 7, de sorte que a terceira classe será a classe modal. Teremos:
Classes fi
0-10 2
10-20 4
20-30 7
30-40 5
40-50 2
Até aqui, tudo tranqüilo? Tranqüilíssimo! Pois bem. O segundo passo consiste em:
2º) Aplicar a Equação da Moda de Czuber. É a seguinte:
h
pa
alMo .inf ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ+Δ
Δ
+=
Observem que os elementos desta fórmula serão extraídos daquela Classe Modal que
acabamos de identificar no primeiro passo. Ok? Assim, o limite inferior (linf) a que se refere a
equação é o limite inferior da classe modal; a amplitude (h) a que se refere a equação é a
amplitude da classe modal.
E esses deltas da fórmula, significam o quê? Delta significa diferença.
Quando falamos em Δa estamos nos referindo à diferença anterior. E quando falamos em
Δp estamos nos referindo à diferença posterior.
Tanto Δa quanto Δp serão calculados com base em um mesmo referencial: a frequência
absoluta simples da classe modal. Assim:
à Δa é a diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe anterior; e
à Δp é a diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe posterior.
No caso do nosso exemplo teremos:
Classes fi
0-10 2
10-20 4
20-30 7
30-40 5
40-50 2
Finalmente, resta-nos aplicar a fórmula de Czuber. E teremos que:
Δa=3
Δp=2
21
à h
pa
alMo .inf ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Δ+Δ
Δ
+= à 10.
23
320 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
+=Mo à Mo=26 à Resposta!
Pode haver questão mais fácil do que esta? Não pode! E cai na prova, exatamente desse
jeito! Um ponto garantido a mais para nós.
Aprendamos agora o cálculo da Moda de King. Em dois passos:
1º) Identificar a Classe Modal.
Já sabemos fazer isso: a classe modal é sempre aquela de maior frequência absoluta
simples!
2º) Aplicar a equação de King, que é a seguinte:
h
fafp
fplMo .inf ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+=
Os dados da equação da Moda de King serão também extraídos da Classe Modal.
Assim: linf se referirá ao limite inferior da classe modal; h é a amplitude da classe
modal.
E estas fp e fa, o que são? São, respectivamente:
à fp: frequência absoluta simples da classe posterior à da classe modal; e
à fa: frequência absoluta simples da classe anterior à da classe modal.
Nesta fórmula não calcularemos deltas, ou seja, não faremos diferenças. Tomaremos as
próprias frequências simples, a anterior e a posterior à fi da classe modal.
Assim, para o nosso exemplo, teremos que:
Classes fi
0-10 2
10-20 4
20-30 7
30-40 5
40-50 2
Daí:
à h
fafp
fplMo .inf ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+= à 10.
54
520 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
+=Mo à Mo=25,56 à Resposta!
Quero chamar atenção para um detalhe: na Moda de Czuber (que é a regra!), o
numerador do colchete é o Δa, enquanto o numerador da Moda de King é a fp. Perceberam
isso? Não pode errar a fórmula, senão a questão está perdida!
Vou frisar novamente: só usaremos o cálculo da Moda de King se a questão mandar
expressamente. Se ela não o fizer, trabalharemos com a Moda de Czuber, que é a moda dos
deltas, que é a regra! Ok?
Vamos dar uma olhadinha no rol abaixo:
à {1, 2, 2, 3}
Quem é a Moda deste rol? É 2. Concordam? E se tomarmos cada elemento deste
conjunto original e os somarmos à constante 10, por exemplo, o que ocorrerá? Passaremos a ter
um novo conjunto. O seguinte:
fa
fp
22
à {11, 12, 12, 13}
Quem é a nova Moda? É 12. E nem precisávamos ter feito este cálculo, uma vez que
existe uma propriedade que afirma que: somando todos os elementos do conjunto a uma
mesma constante, a nova moda será a anterior também somada àquela constante!
E se serve para soma, serve também para subtração!
Tomemos novamente o conjunto original. E se multiplicarmos cada elemento daquele
conjunto pela constante 10, o que ocorreria? Chegaríamos ao seguinte conjunto:
à {10, 20, 20, 30}
E a nova Moda é 20, como já poderíamos prever. Sim! Pois há uma propriedade,
segundo a qual: multiplicando todos os elementos de um conjunto original por uma mesma
constante, a nova moda será a anterior também multiplicada pela mesma constante!
E se serve para multiplicação, serve também para divisão!
Resumo da história: a Moda, a exemplo da Média Aritmética, também é influenciada
pelas quatro operações!
# Mediana: Md
Como o próprio nome pode sugerir, a Mediana é aquele elemento que está rigorosamente
no meio do conjunto, dividindo-o em duas partes iguais, ou seja, em duas metades!
O cálculo da Mediana é quase sempre uma questão certa na prova! Uma questão que não
podemos e não iremos errar de jeito nenhum!
à Mediana para o Rol:
Consideremos o seguinte conjunto:
à {10, 20, 30, 40, 50}Só olhando, seremos capazes de dizer qual é o elemento que está no meio deste
conjunto? Claro! É o elemento 30. Concordam? Ficaram dois elementos à sua direita, e dois à
sua esquerda. Ele está, portanto, no meio do conjunto. E sendo assim, é a Mediana!
à {10, 20, 30, 40, 50}
Md=30
Vocês perceberam que o conjunto acima tem um número ímpar de elementos. Para ele,
temos que n=5.
Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que o conjunto tiver um número ímpar de
elementos, significa que só haverá uma posição central.
E o elemento que ocupar esta posição central será a própria Mediana do conjunto!
Há um cálculo que podemos fazer para descobrir qual é a posição central, no caso de o
conjunto apresentar um número ímpar de elementos. Este cálculo é o seguinte:
à Posição Central = (n+1)/2
Isto é para quando n for um número ímpar!
Reparem bem que o resultado desta conta não é a Mediana do conjunto, e sim a sua
posição central. O elemento que ocupar esta posição central será, este sim, a Mediana.
No nosso exemplo, tínhamos n=5. (Um número ímpar, o que indica a existência de uma
única posição central)! Assim, faremos: (n+1)/2=(5+1)/2=3ª Posição!
23
Esta é a posição central do conjunto! Daí, usando novamente a técnica milenar do dedo,
você vai contar as posições do conjunto, até chegar à terceira. O elemento que a ocupar será a
Mediana que estamos procurando! Teremos:
à {10, 20, 30, 40, 50}
3ª Posição à Md=30
E se o conjunto tiver um número par de elementos? Aí a história é outra. Vejamos. Se
nosso conjunto for o seguinte:
à {10, 20, 30, 40, 50, 60}
Quantos elementos há? Seis elementos. Temos, pois: n=6. Um número par de
elementos! Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que houver um número par de elementos
no conjunto, significa que haverá duas posições centrais!
Estas posições centrais poderão ser encontradas da seguinte forma:
à 1ª Posição Central: (n/2)
à 2ª Posição Central: a vizinha posterior.
Neste caso, em que n=6, teremos:
à 1ª Posição Central: (n/2)=6/2= 3ª Posição!
à 2ª Posição Central: a vizinha posterior = 4ª Posição!
As duas posições centrais estão, portanto, identificadas. Resta descobrir quais são os dois
elementos que as ocupam.
E vejam o que será feito para calcularmos a Mediana.
Teremos:
à {10, 20, 30, 40, 50, 60}
4ª Posição à 30
Md=(30+40)/2 à Md=35,
3ª Posição à 40
Ou seja, se n é um número par, descobriremos quais são os dois elementos que ocupam
as duas posições centrais, somaremos esses elementos e dividiremos o resultado desta soma
por dois. Assim, chegaremos à Mediana do conjunto!
Ficou evidenciado neste exemplo que a Mediana não necessariamente terá que ser um
dos elementos do conjunto! Viram? Esse valor 35 não é um dos elementos! E no entanto é a
Mediana!
A prova do Fiscal da Receita de 1998 cobrou uma questão para se determinar a Mediana
de um rol. Fazendo uma pequena e irrelevante adaptação, foi o seguinte:
(AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de
uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores
internacional. A unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9,
9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15,
15, 16, 16, 18, 23
Assinale a opção que corresponde à mediana:
24
a) 9,0 b) 9,5 c) 8,0 d) 8,5 e) 10
Sol.: Estamos diante de um rol de 50 elementos. Portanto, n=50, que é um número par! Se n é
um número par, teremos duas posições centrais, que serão, respectivamente:
à 1ª Posição Central: (n/2)=50/2= 25ª Posição
à 2ª Posição Central: a vizinha posterior = 26ª Posição
Sabendo disso, e usando a milenar técnica do dedo, contaremos os elementos, para
saber quais deles ocupam estas duas posições centrais. Vamos lá:
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9,
9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15,
15, 16, 16, 18, 23
Os dois elementos que ocupam as duas posições centrais são, ambos, iguais a 9. Nem
precisaremos perder tempo somando-os e dividindo o resultado por dois. Concordam?
Basta dizer que a Mediana é igual a 9 e pronto! Daí: Md=9 à Resposta!
# Mediana para Distribuição de Frequências:
Esta, sim, é questão muito provável na sua prova!
Consideremos o seguinte conjunto:
Classes fi
0-10 2
10-20 4
20-30 7
30-40 5
40-50 2
Se ele representa, suponhamos, os pesos de um grupo de crianças, então a questão lhe
pedirá que encontre o peso mediano; se fossem idades, a questão pediria a idade mediana; se
fossem salários, o salário mediano. E assim por diante!
O primeiro passo é identificar a Classe Mediana!
Para isso, trilharemos o seguinte caminho:
à Calcular a fração da Mediana: (n/2).
No cálculo da mediana de uma distribuição de frequências, não faz nenhuma diferença se
n é par ou é ímpar. Seja como for, o nosso cálculo será sempre esse mesmo: (n/2).
à Construirmos a coluna da fac (frequência absoluta acumulada crescente).
à Compararemos os valores da fac com o resultado da fração da mediana (n/2), fazendo
a seguinte pergunta: Esta fac é maior ou igual a (n/2)?
Começaremos a fazer esta pergunta desde a fac da primeira classe (lá em cima) e a
repetiremos, descendo fac por fac, até que a resposta seja SIM.
Quando a resposta for sim, pararemos, procuraremos a classe correspondente, e esta
será a nossa Classe Mediana.
Vamos fazer isso?
Teremos:
25
Classes fi
0-10 2
10-20 4
20-30 7
30-40 5
40-50 2
n=20
à n/2 = 10
Agora, construindoa fac, teremos:
Classes fi fac
0-10 2 2
10-20 4 6
20-30 7 13
30-40 5 18
40-50 2 20
n=20
Fazendo a pergunta, teremos:
Classes fi fac
0-10 2 2 à 2 é maior ou igual a 10? Não! (Adiante!)
10-20 4 6 à 6 é maior ou igual a 10? Não! (Adiante!)
20-30 7 13 à 13 é maior ou igual a 10? SIM! (PARAMOS AQUI!)
30-40 5 18
40-50 2 20
n=20
E a terceira classe é a nossa classe mediana!
Uma vez conhecedores da Classe Mediana, faremos com ela um desenho!
Vejamos novamente nosso conjunto:
Classes fi fac
0-10 2 2
10-20 4 6
20-30 7 13
30-40 5 18
40-50 2 20
n=20
Traremos essa classe mediana aqui para fora, e nosso desenho será construído da
seguinte maneira:
à Na parte de cima do desenho, colocaremos os limites da classe. Teremos:
Limites da Classe: 20 30
Até aqui, tudo bem?
Na parte de baixo do desenho, colocaremos as frequências absolutas acumuladas
crescentes (fac) associadas a esses dois limites!
Como assim? Vejamos: se eu perguntar quantos elementos já foram acumulados até o
limite inferior 20, o que você responderá? Veja o conjunto novamente:
àClasse Mediana!
26
Classes Fi Fac
0-10 2 2
10-20 4 6
20-30 7 13
30-40 5 18
40-50 2 20
n=20
Teremos acumulado 6 elementos, concordam?
E se eu perguntar quantos elementos já foram acumulados até o limite superior 30, o
que você dirá? Vejamos no conjunto:
Classes Fi Fac
0-10 2 2
10-20 4 6
20-30 7 13
30-40 5 18
40-50 2 20
Teremos acumulado 13 elementos!
Conclusão: na hora de identificar as frequências acumuladas associadas aos dois limites
da classe mediana, estas fac serão, sempre e respectivamente, a fac da classe anterior, e a
fac da própria classe mediana! Assim, complementando nosso desenho, teremos:
Limites da Classe: 20 30
fac associadas: 6 13
Faltando quase nada para terminarmos o desenho! Agora perguntaremos: qual é a
posição da Mediana? É o resultado da fração (n/2). Quanto? 10. Pois bem! Esse 10 corresponde
à posição, e posição corresponde à frequência acumulada. Assim, localizaremos a décima
posição do conjunto na parte de baixo do desenho. Teremos:
Limites da Classe: 20 30
fac associadas: 6 10 13
Ora, a esta décima posição corresponde qual elemento dentro da classe? Corresponde à
Mediana. Assim, concluiremos o desenho, fazendo:
Limites da Classe: 20 Md 30
fac associadas: 6 10 13
É preciso agora que você releia com calma os passos necessários à feitura deste desenho
acima. À primeira vista, parece ser complicado. Mas não é! Quando nos habituarmos a
trabalhar com ele, estejam certos de que se tornará facílimo!
Uma vez diante deste desenho, marcaremos o pedaço da classe que vai do limite inferior
até a Mediana, e procuraremos por quatro valores.
Os seguintes:
27
Limites da Classe: 20 Md 30
fac associadas: 6 10 13
Encontrando estes quatro valores, teremos:
Limites da Classe: 20 Md 30
fac associadas: 6 10 13
Os quatro valores encontrados preencherão os quatro espaços de uma igualdade entre
duas frações. Uma dessas frações será composta pelos valores referentes à classe inteira. E a
segunda delas, pelos valores referentes à classe quebrada!
Teremos:
7
10
4
X
28
10 x
7 4
Multiplica-se cruzando, e teremos: à X=(4x10)/7 à X=5,71
Agora, resta-nos olhar para o desenho, e constataremos que para chegar à Mediana,
teremos que somar o limite inferior ao X que acabamos de calcular.
Teremos: Md=20+X à Md=20+5,71 à Md=25,71 à Resposta!
Façamos mais um exemplo: uma questão de fiscal da Receita:
(AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que
segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de
frequências seguinte:
Classes Frequência (f)
29,5-39,5 4
39,5-49,5 8
49,5-59,5 14
59,5-69,5 20
69,5-79,5 26
79,5-89,5 18
89,5-99,5 10
Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo X.
a) 71,04 d) 68,08
b) 65,02 e) 70,02
c) 75,03
Sol.: A questão pediu o cálculo da Mediana da Distribuição de Frequências. Vamos fazer isso
apenas seguindo os passos que aprendemos acima, como se estivéssemos seguindo uma receita
de bolo. Não tem errada! Vamos:
1º) Encontrar o valor do n (somando a coluna da fi) e calcular a fração da Mediana
(n/2). Teremos:
Classes fi
29,5-39,5 4
39,5-49,5 8
49,5-59,5 14
59,5-69,5 20
69,5-79,5 26
79,5-89,5 18
89,5-99,5 10
n=100
à (n/2)=50
2º) Construir a coluna da fac (frequência absoluta acumulada crescente):
29
Classes fi fac
29,5-39,5 4 4
39,5-49,5 8 12
49,5-59,5 14 26
59,5-69,5 20 46
69,5-79,5 26 72
79,5-89,5 18 90
89,5-99,5 10 100
n=1003º) Comparar os valores da fac com o valor da fração da Mediana (n/2), fazendo a velha
pergunta: esta fac é maior ou igual a (n/2)? até que a resposta seja sim!
Classes fi fac
29,5-39,5 4 4 à 4 é maior ou igual a 50? Não! (Adiante!)
39,5-49,5 8 12 à 12 é maior ou igual a 50? Não! (Adiante!)
49,5-59,5 14 26 à 26 é maior ou igual a 50? Não! (Adiante!)
59,5-69,5 20 46 à 46 é maior ou igual a 50? Não! (Adiante!)
69,5-79,5 26 72 à 72 é maior ou igual a 50? SIM! (PARAMOS AQUI!)
79,5-89,5 18 90
89,5-99,5 10 100
n=100
Com esses passos iniciais, conseguimos identificar qual é a Classe Mediana (69,5-79,5).
Resta-nos preparar o desenho, para cálculo da Mediana!
Comecemos com a parte de cima do desenho, onde colocaremos os limites da Classe
Mediana. Teremos:
Limites da Classe: 69,5 79,5
Na parte de baixo do desenho, colocaremos as frequências absolutas acumuladas
crescentes associadas àqueles dois limites. Já sabemos: serão sempre a fac da classe anterior
e a fac da própria classe mediana. Teremos:
Limites da Classe: 69,5 79,5
fac associadas: 46 72
Quase lá! Qual é a posição da Mediana neste conjunto? É o resultado da fração: 50.
Assim, associada à posição 50 teremos a Mediana. Nosso desenho completo é o seguinte:
Limites da Classe: 69,5 Md 79,5
fac associadas: 46 50 72
30
Uma vez que o desenho já está completo, iremos à procura de quatro valores. Temos:
Limites da Classe: 69,5 Md 79,5
fac associadas: 46 50 72
Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte:
10 x
26 4
Multiplica-se cruzando, e teremos: à X=(4x10)/26 à X=1,54
Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana ao
valor do X que acabamos de calcular. Teremos:
à Md=69,5+1,54 à Md=71,04 à Resposta!
E aí? Fácil, não? Facílimo! E vai ficar ainda mais quando você praticar, resolvendo várias
questões de provas recentes!
Convém que você repita as resoluções até que esses passos fiquem todos automatizados
em sua mente. Na hora da prova, é só ligar o piloto automático e sair resolvendo a questão sem
dificuldade alguma!
Mais algumas informações. Considere o seguinte conjunto:
à {1, 2, 3}
A Mediana, todos concordam, é Md=2.
Se somarmos os elementos deste conjunto com a constante 10, teremos:
à {11, 12, 13}
26
10
4
X
31
E a nova mediana é 12. Ou seja, valeu aqui também para a Mediana a propriedade da
soma (e da subtração)!
Se multiplicarmos todos os elementos do conjunto original por 10, teremos:
à {10, 20, 30}
A nova mediana é 20. Vale também para a Mediana a propriedade do produto (e da
divisão)!
Em suma: a Mediana também é influenciada pelas quatro operações!
Se você trocar 3 por 300, nosso conjunto original agora será:
à {1, 2, 300}
E a Mediana continuará a ser 2. Ou seja, a Mediana, assim como a Moda (e
diferentemente da Média), não é influenciada por valores extremos!
# Medidas de Dispersão (ou de Variabilidade):
Estudaremos apenas as 3 medidas de Dispersão mais importantes e mais cobradas em
prova, quais sejam, o Desvio Padrão, a Variância e o Coeficiente de Variação.
Tais medidas nos dirão quão próximos ou quão distantes, entre si, estão os elementos do
conjunto!
# Desvio Padrão: S
É sinônimo de Dispersão Absoluta! (Guarde isso!).
Essa é, de longe, a medida de dispersão mais presente em prova! E por uma razão bem
simples: além da memorização das fórmulas, teremos sobretudo que conhecer com segurança
as suas propriedades. Ok? Comecemos pelas fórmulas!
Aqui novamente a transição (aquela que aprendemos para as fórmulas da Média
Aritmética!) vai nos socorrer! Você só terá o trabalho de memorizar a fórmula do Desvio Padrão
para um rol. O restante das fórmulas (para Dados Tabulados e para Distribuição de Frequências)
você leva de graça! (Pague uma e leve três!). Teremos:
à Desvio Padrão para Rol:
( )
n
XXi
S ∑ −=
2
E agora você vai lembrar: a fórmula do Desvio Padrão é a fórmula da raiz! Ok?
E se aplicarmos aquela nossa conhecida transição? Como ficarão as outras duas
fórmulas? Teremos:
1ª transição: colocando fi junto ao sinal de somatório:
à Desvio Padrão para Dados Tabulados:
( )
n
XXifi
S ∑ −=
2
.
2ª transição: trocando Xi por PM:
à Desvio Padrão para Distribuição de Frequências:
( )
n
XPMfi
S ∑ −=
2
.
32
Até agora, o que temos? Temos três fórmulas. Mas atenção: o Desvio Padrão é a
primeira medida deste Curso em que haverá diferença na fórmula, caso estejamos trabalhando
com um conjunto que represente toda a população, ou apenas uma amostra! Entendido? Faz
diferença na fórmula do Desvio Padrão se o conjunto é a população ou se é uma amostra!
Essas três fórmulas que vimos acima servem para o cálculo do Desvio Padrão
Populacional. Nós as aplicaremos se o conjunto for uma população! E quando saberemos que o
conjunto da questão é a população? Quando não for dito que é uma amostra!
Ou seja, a regra é a seguinte: o conjunto da questão da prova só será uma amostra se
isso for dito pelo enunciado! Caso contrário, não será amostra: será população! Ok?
Mas, e se a questão disser que o conjunto é uma amostra ou, por outra, pedir o cálculo
do Desvio Padrão Amostral?
O que faremos? Ora, saberemos que amostral se refere a amostra, de sorte que todas as
três fórmulas vistas acima, que servem para o cálculo populacional, terão que sofrer uma
pequena modificação, para se adequar ao cálculo amostral. Essa pequena modificação consiste
em acrescentarmos um menos 1 no denominador. Assim, teremos:
à DesvioPadrão Amostral para Rol:
( )
1
2
−
−
= ∑
n
XXi
S
1ª transição: colocando fi junto ao sinal de somatório:
à Desvio Padrão Amostral para Dados Tabulados:
( )
1
.
2
−
−
= ∑
n
XXifi
S
2ª transição: trocando Xi por PM:
à Desvio Padrão Amostral para Distribuição de Frequências:
( )
1
.
2
−
−
= ∑
n
XPMfi
S
Mas, professor, e se a questão disser que o conjunto é uma amostra, e eu esquecer de
colocar o menos 1 no denominador da fórmula? Bem, neste caso, você errará a questão.
Simplesmente isso! Ou seja, o menos um no denominador do desvio padrão amostral é
imprescindível! Se esquecer, erra!
Aliás, só a título de informação, esse menos um é chamado de fator de correção de
Bessel. Esse nome não é importante. Pode ser esquecido sem problemas. O que não podemos
esquecer de colocá-lo na fórmula.
Pois bem, ainda não acabou o estudo das fórmulas!
Se você reparar bem as equações que já dispomos, verá que em todas elas existe um
produto notável no numerador. Repararam? É o que está no parêntese! Esse produto notável
pode ser desenvolvido, de sorte que podemos realizar um desenvolvimento algébrico com essas
fórmulas básica, até chegarmos a novas fórmulas, que nada mais serão que as primeiras,
apresentadas de outro jeito.
Entendido? Obviamente que irei poupar a todos do tal desenvolvimento algébrico. (E nem
pense que na prova você teria tempo para fazê-lo!). O que nos interessa é o resultado. Qual é a
fórmula desenvolvida do Desvio Padrão para um rol? É a seguinte:
à Fórmula Desenvolvida do S para Rol:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= ∑ ∑n
Xi
Xi
n
S
2
2.1
33
E aí? O que acharam? Ninguém se assuste, por favor! Tenho certeza que se você repetir
esta fórmula umas dez vezes, na décima vez já estará parecendo fácil.
Uma pergunta: vocês acham que se tomarmos os elementos de um mesmo conjunto, e
aplicarmos a eles as duas fórmulas do Desvio Padrão, a básica e a desenvolvida, chegaremos ao
mesmo resultado? O que você diz?
Claro que sim! Trata-se, na verdade, de uma mesma fórmula, apenas apresentada de
duas maneiras diferentes! O resultado será necessariamente o mesmo!
Então você dirá: se é assim, eu vou ficar apenas com a básica, que é menorzinha...” E eu
respondo: péssimo negócio! Haverá questões que serão imediatamente resolvidas na prova, se
você se lembrar da equação desenvolvida! Já veremos isso.
Antes, porém, precisamos conhecer também as fórmulas desenvolvidas do desvio padrão
para Dados Tabulados, e para Distribuição de Frequências!
E como faremos isso? Aplicando a transição! Teremos:
1ª transição: colocando fi junto ao sinal de somatório:
à Fórmula Desenvolvida do S para Dados Tabulados:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= ∑ ∑ n
Xifi
Xifi
n
S
2
2 ...1
2ª transição: trocando Xi por PM:
à Fórmula Desenvolvida do S para Distribuição de Frequências:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= ∑ ∑ n
PMfi
PMfi
n
S
2
2 ...1
Quase lá! Só resta lembrar que essas três fórmulas desenvolvidas do desvio padrão que
vimos acima servem apenas no caso de o conjunto trabalhado representar toda a população!
Mas se a questão disser que o conjunto é uma amostra, ou exigir o cálculo do desvio padrão
amostral, então precisaremos modificar também as fórmulas desenvolvidas, acrescentando
aquele mesmo menos um no denominador.
Teremos:
à Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral de um Rol:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= ∑ ∑n
Xi
Xi
n
S
2
2.
1
1
1ª transição: colocando fi junto ao sinal de somatório:
à Fórmula Desenvolvida do S Amostral para Dados Tabulados:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= ∑ ∑ n
Xifi
Xifi
n
S
2
2 ...
1
1
34
2ª transição: trocando Xi por PM:
à Fórmula Desenvolvida do S Amostral para Dist. de Frequências:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= ∑ ∑ n
PMfi
PMfi
n
S
2
2 ...
1
1
E com isso, concluímos a primeira etapa do estudo do Desvio Padrão: a memorização das
fórmulas.
A rigor, se você prestar bem atenção, são doze fórmulas. Mas você pagou apenas
duas, e levou todas as outras para casa! Como foi isso? Bastou você memorizar a fórmula
básica para o rol, e a fórmula desenvolvida para o rol. Daí, aplica-se a transição, e pronto! E
mais: se a questão disser que o conjunto é amostra, você vai e põe um menos 1 no
denominador!
Para estas fórmulas ficarem bem memorizadas, vou repeti-las todas na seqüência.
Teremos:
# Fórmulas do Desvio Padrão: S
à Fórmula Básica do Desvio Padrão Populacional para Rol:
( )
n
XXi
S ∑ −=
2
Esta acima é a primeira que você terá realmente que memorizar!
à Fórmula Básica do Desvio Padrão Populacional para Dados Tabulados:
( )
n
XXifi
S ∑ −=
2
.
à Fórmula Básica do Desvio Padrão Populacional para Distribuição de Frequências:
( )
n
XPMfi
S ∑ −=
2
.
à Fórmula Básica do Desvio Padrão Amostral para Rol:
( )
1
2
−
−
= ∑
n
XXi
S
à Fórmula Básica do Desvio Padrão Amostral para Dados Tabulados:
( )
1
.
2
−
−
= ∑
n
XXifi
S
35
à Fórmula Básica do Desvio Padrão Amostral para Distribuição de Frequências:
( )
1
.
2
−
−
= ∑
n
XPMfi
S
à Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Populacional para Rol:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= ∑ ∑n
Xi
Xi
n
S
2
2.1
Esta acima é a segunda que você terá realmente que memorizar!
à Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Populacional para Dados Tabulados:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= ∑ ∑ n
Xifi
Xifi
n
S
2
2 ...1
à Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Populacional para Distribuição de
Frequências:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= ∑ ∑ n
PMfi
PMfi
n
S
2
2 ...1
à Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral para Rol:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= ∑ ∑n
Xi
Xi
n
S
2
2.
1
1
à Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral para Dados Tabulados:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= ∑ ∑ n
Xifi
Xifi
n
S
2
2 ...
1
1
à Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral para Distribuição de Frequências:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= ∑ ∑ n
PMfi
PMfi
n
S
2
2 ...
1
1
IMPORTANTE: Reparem nestas últimas três fórmulas, que o fator de correção (o menos 1) só
entra no denominador que fica dentro do parêntese! Ok?
Temos doze fórmulas no papel. E você só precisou memorizar duas delas! As demais
saíram por transição!
36
# Propriedades do Desvio Padrão:
à O desvio padrão não é influenciado por operações de soma ou subtração.
Assim, se uma questão de prova nos der o seguinte rol: (101, 102, 103, 104, 105), e
pedir que calculemos o seu desvio padrão, o que podemos fazer?
Ora, as contas seriam muito grandes para chegarmos à resposta! Mas você pode pensar
assim: já que soma e subtração não alteram o desvio padrão, eu posso pegar todos os
elementos desse conjunto original, e subtrair cada um deles de uma mesma constante. Cem,
por exemplo. E chegaremos a um novo conjunto, que é o seguinte: (1, 2, 3, 4, 5).
São valores mais baixos? Sim, consideravelmente! E se encontrarmos para este novo
conjunto o valor do Desvio Padrão, esse resultado encontrado será exatamente o mesmo Desvio
Padrão daquele outro conjunto original! O mesmo!
à O desvio padrão somente é influenciado por operações de produto ou divisão:
multiplicaremos ou dividiremos pela própria constante.
Significa o quê? Significa que se conhecermos o desvio padrão de um conjunto original
(por exemplo, S=2), e se todos os elementos desse conjunto original forem multiplicados por
uma constante (por exemplo, multiplicados por 5), então chegaremos a um novo conjunto, cujo
novo desvio padrão será o S do conjunto original também multiplicado por 5.
Entendido isso?
Muitas questões de provas recentes elaboradas pela Esaf têm explorado esse
conhecimento. São questões que nos falam em variável transformada! Passemos a um exemplo.
Exemplo: Considere a seguinte transformação: (X-2)/3. Se o desvio padrão da variável
transformada é igual a 4, qual será o desvio padrão da variável original X?
Sol.: Sempre que o enunciado nos fornecer uma transformação da variável, já podemos, de
imediato, fazer o desenho de transformação. Esse desenho é simples, é rápido de ser feito, e
não deixará você errar a questão de jeito nenhum!
Podemos chamar a variável transformada de Y, por exemplo. Assim, nossa transformação
é a seguinte: Y=(X-2)/3. Fazendo a parte de cima do desenho, teremos:
1º)-2 2º)÷3
Xi Yi
Todos entenderam como se fez esse caminho de ida do desenho acima? Tomamos
a variável original X e, com ela, realizamos duas operações (aquelas da transformação!):
subtraímos todo mundo por 2, e depois dividimos todo mundo por 3.
E se agora resolvermos desenhar o caminho de volta, ou seja, as operações que nos
farão voltar à variável original. O que faremos? Fácil: inverteremos as operações do caminho de
ida. Só isso! Nada mais fácil. Teremos:
1º)-2 2º)÷3
Xi Yi
2º)+2 1º)x3
37
Observem todos que se inverteu também a seqüência das operações: onde terminou lá
em cima, começou aqui embaixo; e onde começou lá em cima, acabou cá em baixo. Ok? Pronto!
Não dá mais para errar essa questão!
O dado fornecido pelo enunciado foi que o Desvio Padrão da variável transformada é
igual a 4. Quem é a variável transformada? É o Y. Assim, do lado do Y, teremos que:
1º)-2 2º)÷3
Xi Yi Sy=4,0
2º)+2 1º)x3
Mas o Sy não me interessa! Interessa-me o Sx. Assim, partindo do Desvio Padrão de um
lado, chegarei ao Desvio Padrão do outro! Para tanto, precisarei percorrer as operações do
caminho adequado (de cima ou de baixo), lembrando-me das propriedades do Desvio Padrão!
Façamos isso: estamos partindo com Sy=4. A primeira operação que surge no caminho
de volta (de baixo) é um produto! Você vai fazer esse produto? Claro que sim! (Desvio padrão
só não é alterado por soma e subtração!). Teremos:
à 4 x 3 = 12
Por enquanto, temos S=12. Na seqüência, surge uma soma (+2). Faremos essa soma? O
que vocês me dizem? Não! E por que não faremos? Porque operações de soma (ou subtração)
não alteram o desvio padrão. Passaremos direto pela soma, e teremos, enfim, que:
à Sx=12,00
Entendido?
Alguém se lembra de como são as propriedades da Média Aritmética? Não? Elas cabem
todas numa única frase. Ninguém lembra? A Média é influenciada pelas quatro operações!
Assim, se a questão nos falasse sobre aquela mesma transformação da variável que
vimos acima, e dissesse ainda que a média da variável transformada é igual a Y =8,0, e pedir
que calculemos a média da variável original ( X )? Vejamos:
1º)-2 2º)÷3
Xi Yi Y =8,0
2º)+2 1º)x3
Ora, simplesmente percorreremos as operações do caminho de volta (caminho de baixo),
lembrando-nos das propriedades da Média, já que é com ela que estamos trabalhando.38
Se a Média é influenciada pelas quatro operações, então qualquer conta que aparecer
neste caminho de volta nós teremos que realizar. Assim, teremos que:
à 8 x 3 = 24 e 24 +2 =26
Ou seja: X =26,0
# Variância: S2
Neste momento, vou aproveitar a ótima oportunidade, e dizer a todos que a próxima
medida de dispersão que iremos estudar será a chamada Variância.
Precisamos saber, precisamente agora, que a Variância é, conceitualmente, o quadrado
do Desvio Padrão!
Ou seja: Variância = (Desvio Padrão)2
Ou seja de novo: Variância = S2
Ora, sabendo disso, e sabendo também que todas as fórmulas do desvio padrão têm raiz
quadrada, se as elevarmos ao quadrado, o que ocorrerá com todas elas? Perderão o sinal da
raiz. Só isso!
Em suma: se eu conheço as fórmulas do Desvio Padrão, então também conheço as
fórmulas da Variância: basta tirar o sinal da raiz! Assim, teremos:
# Fórmulas da Variância:
à Fórmula Básica da Variância Populacional para Rol:
( )
n
XXi
S ∑ −=
2
2
à Fórmula Básica da Variância Populacional para Dados Tabulados:
( )
n
XXifi
S ∑ −=
2
2 .
à Fórmula Básica da Variância Populacional para Distribuição de Frequências:
( )
n
XPMfi
S ∑ −=
2
2 .
à Fórmula Básica da Variância Amostral para Rol:
( )
1
2
2
−
−
= ∑
n
XXi
S
à Fórmula Básica da Variância Amostral para Dados Tabulados:
( )
1
.
2
2
−
−
=∑
n
XXifi
S
39
à Fórmula Básica da Variância Amostral para Distribuição de Frequências:
( )
1
.
2
2
−
−
=∑
n
XPMfi
S
à Fórmula Desenvolvida da Variância Populacional para Rol:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= ∑ ∑ n
Xifi
Xifi
n
S
2
22 ...1
à Fórmula Desenvolvida da Variância Populacional para Dados Tabulados:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= ∑ ∑ n
Xifi
Xifi
n
S
2
22 ...1
à Fórmula Desenvolvida da Variância Populacional para Distribuição de Frequências:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= ∑ ∑ n
PMfi
PMfi
n
S
2
22 ...1
à Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Rol:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= ∑ ∑n
Xi
Xi
n
S
2
22 .
1
1
à Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Dados Tabulados:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= ∑ ∑ n
Xifi
Xifi
n
S
2
22 ...
1
1
à Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Distribuição de Frequências:
( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
= ∑ ∑ n
PMfi
PMfi
n
S
2
22 ...
1
1
Vejam que negócio da China nós fizemos: memorizamos duas fórmulas (as duas do rol),
e levamos vinte e quatro para casa! Pague duas, e leve vinte e quatro! Excelente, não acham?
Basta você lembrar de fazer a transição, e lembrar de pôr o menos 1 no denominador, se
o conjunto for uma amostra!
Pois bem! Ainda não acabamos o estudo do Desvio Padrão. Eu apenas abri um parêntese,
para aproveitar as suas fórmulas que estavam no papel, para mostrar que bastava tirar o sinal
da raiz, e já estaremos com as fórmulas da Variância.
Voltemos agora ao estudo das Propriedades do Desvio Padrão.
40
# Propriedades do Desvio Padrão:
à O desvio padrão não é influenciado por operações de soma ou subtração.
Assim, se uma questão de prova nos der o seguinte rol: (101, 102, 103, 104, 105), e
pedir que calculemos o seu desvio padrão, o que podemos fazer?
Ora, as contas seriam muito grandes para chegarmos à resposta! Mas você pode pensar
assim: já que soma e subtração não alteram o desvio padrão, eu posso pegar todos os
elementos desse conjunto original, e subtrair cada um deles de uma mesma constante. Cem,
por exemplo. E chegaremos a um novo conjunto, que é o seguinte: (1, 2, 3, 4, 5).
São valores mais baixos? Sim, consideravelmente! E se encontrarmos para este novo
conjunto o valor do Desvio Padrão, esse resultado encontrado será exatamente o mesmo Desvio
Padrão daquele outro conjunto original! O mesmo!
à O desvio padrão somente é influenciado por operações de produto ou divisão:
multiplicaremos ou dividiremos pela própria constante.
Significa o quê? Significa que se conhecermos o desvio padrão de um conjunto original
(por exemplo, S=2), e se todos os elementos desse conjunto original forem multiplicados por
uma constante (por exemplo, multiplicados por 5), então chegaremos a um novo conjunto, cujo
novo desvio padrão será o S do conjunto original também multiplicado por 5.
# Propriedades da Variância:
à A Variância não é influenciada por operações de soma ou subtração.
Mesmo entendimento que tivemos para o desvio padrão!
à A Variância somente é influenciada por operações de produto ou divisão:
multiplicaremos ou dividiremos pelo quadrado da constante.
# Coeficiente de Variação: CV
O CV é também conhecido por dispersão relativa!
Conceitualmente, teremos que:
X
SCV =
Estão lembrados que o desvio padrão também se chama dispersão absoluta?
Pois bem! O CV é dito dispersão relativa, exatamente porque ele é igual à dispersão
absoluta (o desvio padrão) em relação a alguém. E esse alguém é a Média Aritmética! Ok?
Precisamos saber ainda que o CV é uma medida adimensional, ou seja, não depende da
unidade da variável trabalhada!
Essa informação já caiu muitas vezes, em questões teóricas de provas mais antigas!
Mas o que significa isso? Ora, considere que estamos com um conjunto que representa os
pesos de um grupo de crianças. Ok? Assim, nossa variável é peso, e é medida na unidade
quilos. Assim, se calcularmos a Média, será um valor em kg. Se calcularmos o desvio padrão,
será um valor em Kg. Finalmente, colocando Desvio Padrão e Média na fórmula do CV, teremos
que Kg corta com Kg.
Conclusão: o CV é adimensional. (Isso não cai mais em prova há um bom tempo...)41
# Probabilidade:
Pelo exame das últimas questões de concurso (sobretudo da Esaf), percebemos que há sete
tópicos relacionados à Probabilidade, os quais, se bem compreendidos, serão a chave para
acertarmos qualquer questão de prova. Senão, vejamos!
Esses referidos tópicos são os seguintes:
à Conceito de probabilidade;
à Árvore de probabilidades;
à Situações excludentes;
à “Caminho de probabilidades”
à Eventos independentes;
à Probabilidade da união de dois eventos; e
à Probabilidade condicional.
Aprenderemos esses tópicos, um a um, por meio da resolução de exercícios diversos.
# Conceito de Probabilidade:
Exemplo 01) Uma urna contém dez bolinhas, sendo quatro delas azuis e seis
vermelhas. Ao retirar aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade
que ela seja vermelha?
Sol.:
O conceito de Probabilidade é facílimo. Trata-se de uma divisão!
Antes de mais nada, convém saber que a questão de Probabilidade é inconfundível.
Haverá no enunciado sempre a pergunta: Qual a probabilidade de ...? No máximo, a questão
trocará a palavra probabilidade pela palavra chance. (Mas isso também não é algo comum de
ocorrer)!
Daí, procuraremos saber qual é a probabilidade de realização de um determinado evento!
Teremos, então, que o conceito que buscamos é o seguinte:
Probabilidade =
possíveisresultadosden
favoráveisresultadosden
°
°
Pois bem! Vejamos como é fácil a coisa. Qual é o evento em análise neste exemplo?
Retirar uma bola azul da urna! Ora, a tal urna contém dez bolas. Daí, se quero retirar apenas
uma delas, quantos serão os resultados possíveis para essa retirada? Dez, é claro! Já temos o
nosso denominador!
Passemos ao numerador, os resultados favoráveis. A pergunta é: favoráveis a quem?
Favoráveis à realização do evento! Ora, se eu pretendo retirar uma bola azul da urna, então
quantos serão os resultados que satisfarão essa exigência do evento (bola azul)? Quatro! (Só há
quatro bolas azuis na urna!).
De posse dos resultados favoráveis e possíveis para o evento em tela, faremos:
à P = 4 / 10 = 0,40 = 40% à Resposta!
42
De antemão, convém sabermos que a Probabilidade tem valor máximo de 100%. Neste
caso (P=100%), estaremos diante do chamado evento certo!
Por exemplo: qual a probabilidade de obtermos um valor menor que 7 no lançamento de
um dado? Ora, trata-se de um evento certo! Há aqui uma certeza matemática! A probabilidade
será, portanto, de 100%.
A idéia oposta ao do evento certo é a do evento impossível: aquele cuja probabilidade de
ocorrência é de 0% (zero por cento)! Exemplo: qual a probabilidade de eu ganhar na loteria sem
jogar? Nenhuma! Qualquer criança acerta essa resposta!
Entre um evento impossível e um evento certo, infindáveis são as possibilidades (e as
probabilidades!).
Este é, pois, o conceito de probabilidade! Façamos outro exemplo:
Exemplo 02) Uma urna contém dez bolinhas, numeradas de 1 a 10. Ao retirar
aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade que ela tenha um
número par?
Sol.:
Retomemos o nosso conceito:
Probabilidade =
possíveisresultadosden
favoráveisresultadosden
°
°
O evento agora é retirar uma bola da urna, e queremos que ela seja par!
Daí, para retirar uma bola de urna que contém dez bolas, haverá – irrefutavelmente –
dez resultados possíveis! Concordam? (Já temos o denominador!)
Acerca do numerador, perguntaremos: qual é a exigência do evento? É que a bola
retirada tenha um número par. Quantos são os resultados que atendem, que satisfazem, essa
exigência? Ora, são cinco (as bolas de números 2, 4, 6, 8 e 10).
Pronto! Lançando os valores no conceito, teremos:
à P=(5/10)=0,50=50% à Resposta!
# Situações Excludentes, Árvore de Probabilidades e Eventos Independentes:
Vejamos esses conceitos, por meio do exemplo seguinte:
Exemplo 03) (TCE-RN 2000 ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5
anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando
os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5
anos é de:
Sol.:
Vamos analisar a primeira frase do enunciado: “a probabilidade de um gato estar vivo
daqui a 5 anos é 3/5”.
Temos que nos habituar a ler uma frase que fala da probabilidade de ocorrência de um
evento, já tentando vislumbrar se existe uma situação excludente para aquele evento. Como
é isso? Ora, o evento que estamos tratando é o gato estar vivo daqui a 5 anos. A situação
excludente para o gato estar vivo é justamente o gato estar morto!
43
Claro! Por que razão chamamos situações excludentes? Porque uma exclui a outra! Ou
seja, se o gato estiver vivo é porque não estará morto; e vice-versa: se estiver morto é porque
não estará vivo. E não há uma terceira possibilidade!
O que devemos saber sobre as situações excludentes? Devemos saber que a soma das
probabilidades de ocorrência de situações excludentes será sempre igual a 100%.
Ou seja, se somarmos a probabilidade de o gato estar vivo daqui a cinco anos e a
probabilidade de o gato estar morto daqui a cinco anos, teremos que 100% será o resultado
desta soma!
Daí, sabendo que a probabilidade de o gato estar vivo é de (3/5), então a fração que
representará o evento de o gato estar morto será exatamente de (2/5). Claro! Pois somando
(2/5) a (3/5) dará igual a 1, que é 100%.
Ora, apenas analisando essa primeira frase, já podemos começar a compor a nossa
árvore de probabilidades! O que é isso? É apenas um desenho, que nos ajudará a enxergar
melhor a questão. Daí, até aqui, teremos que:
VIVO (3/5)
GATO
MORTO (2/5)
Prosseguindo a leitura do enunciado, é dito que a probabilidade de um cão estar vivo
daqui a 5 anos é 4/5. Facilmente conseguimos imaginar a situação excludente para o cão
estar vivo. Qual será? O cão estar morto! Claro! E se somarmos essas duas probabilidades (cão
vivo e cão morto), o resultado será 100% (ou então 1, se estivermos trabalhando com a
notação unitária)!
Daí, de quanto será a probabilidade de o cão estar morto daqui a cinco anos? É a fração
que falta a 4/5 para chegar a 5/5, ou seja, para chegar a 100%. Será, portanto, de 1/5.
Com isso, já dá para completarmos a árvore de probabilidades dessa questão.
Teremos:
VIVO (3/5)
GATO
MORTO (2/5)
VIVO (4/5)
CÃO
MORTO (1/5)
Pois bem! Até aqui, já aprendemos a desenhar uma árvorede probabilidades, e a
saber o que são situações excludentes, e que a soma das probabilidades dessas situações
excludentes será sempre 100% (ou sempre 1, que é o mesmo que 100%)!
Prosseguindo a leitura do enunciado, veremos o seguinte: “Considerando os eventos
independentes...”
Então esses quatro eventos que temos acima na árvore de probabilidades (gato vivo,
gato morto, cão vivo, cão morto) são eventos independentes!
O que temos que saber acerca de eventos independentes? Apenas que se quisermos
calcular a probabilidade de ocorrência simultânea de dois ou mais desses eventos, teremos que
multiplicar as probabilidades de cada um deles.
44
Ou seja, se temos que:
P(cão vivo)=4/5 e P(gato vivo)=3/5
E quisermos saber a probabilidade, ao mesmo tempo, de o cão estar vivo e de o gato
estar vivo, faremos:
P(gato vivo & cão vivo) = P(gato vivo) x P(cão vivo) = (3/5) x (4/5) = 12/25
Então é isso que precisamos saber sobre eventos independentes!
Agora retornemos ao enunciado: a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui
a 5 anos é de?
A palavra chave dessa pergunta é a palavra somente! Ora, a questão falava de duas
figuras: o cão e o gato. Se se deseja saber a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a
5 anos, podemos traduzir essa pergunta de outra forma: “Qual a probabilidade de o cão
estar vivo daqui a 5 anos & o gato estar morto?”
Ora, se quero somente o cão vivo, é porque quero também o gato morto!
Olhemos de novo para a nossa árvore de probabilidades:
VIVO (3/5)
GATO
MORTO (2/5)
VIVO (4/5)
CÃO
MORTO (1/5)
Já vimos que esses eventos (cão vivo & gato morto) são eventos independentes! Daí, se
procuramos a probabilidade de ocorrência simultânea desses dois eventos, faremos:
à P(cão vivo & gato morto)= P(cão vivo) x P(gato morto)
à P(cão vivo & gato morto)= (4/5)x(2/5) =8/25 (Resposta!)
Com base nessa resolução, você já temos plenas condições de resolver a questão
seguinte, que por sinal também é da Esaf, e foi cobrada na prova do MPOG/2003. Foi a
seguinte:
EXEMPLO 04) (MPOG/2003/ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem
de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do
torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo
torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro,
a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a:
a) 4/5 b) 10/25 c) 12/25 d) 3/5 e) 4/5
Sol.:
Procuremos, na primeira leitura, verificar a existência de algum evento que admita uma
situação excludente. Tem? Sim: Paulo ser escolhido! Qual seria a situação excludente? Ora, seria
Paulo não ser escolhido, obviamente! O mesmo se dá para o evento Roberto ser escolhido, cuja
situação excludente seria Roberto não ser escolhido.
Aprendemos há pouco que a soma das probabilidades de situações excludentes é sempre
igual a 100%. Daí, nossa árvore de probabilidades para esse exemplo será a seguinte:
45
PARTICIPAR (3/5)
PAULO
NÃO PARTICIPAR (2/5)
PARTICIPAR (1/5)
ROBERTO
NÃO PARTICIPAR (4/5)
A questão também informa que estamos diante de eventos independentes! Ou seja, caso
queiramos descobrir a probabilidade simultânea de mais de um deles, teremos que fazer o
produto das respectivas probabilidades!
Por fim, a questão pergunta qual é a probabilidade de somente o Paulo participar do
torneio. Ora, ninguém se engana mais! Traduziremos esse questionamento da seguinte forma:
Qual a probabilidade de o Paulo participar &, ao mesmo tempo, de o Roberto não participar do
torneio? Entendido? Teremos:
PARTICIPAR (3/5)
PAULO
NÃO PARTICIPAR (2/5)
PARTICIPAR (1/5)
ROBERTO
NÃO PARTICIPAR (4/5)
à P(Paulo participar & Roberto não participar) = (3/5) x (4/5) = 12/25 à Resposta!
# Caminho de Probabilidades:
Conheceremos esse conceito por meio do exemplo seguinte:
EXEMPLO 05) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o
outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num
determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao
acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê
ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a:
Sol.:
Começaremos analisando a questão dos cartões que o juiz tem no bolso. São três, e o
enunciado disse que o juiz irá tirar qualquer um deles, de forma aleatória! Ora, se a retirada é
feita de forma aleatória, a probabilidade de ser retirado qualquer dos três cartões será a mesma
e igual a 1/3 (um cartão favorável em três possíveis)!
Daí, já podemos começar a desenhar nossa árvore de probabilidades! Teremos:
46
Cartão (vermelho-vermelho) (1/3)
Cartão (amarelho-amarelo) (1/3)
Cartão (amarelo-vermelho) (1/3)
Só que a questão não pára por aí. Segue com a seguinte pergunta: qual a probabilidade
de, ao retirar o cartão do bolso, a face vermelha fique voltada para o juiz e a face amarela fique
voltada para o jogador?
Ora, para que fique uma cor voltada para o juiz e outra cor voltada para o jogador, é
óbvio que o cartão retirado do bolso terá que ser o de duas cores! De outra forma, seria
impossível. Concordam?
Ocorre que, ao retirar o cartão de duas cores do bolso, surgem aqui duas novas
situações, as quais deverão ser acrescidas à nossa árvore de probabilidades! São as seguintes:
Cartão (vermelho-vermelho) (1/3)
Cartão (amarelho-amarelo) (1/3)
Face Vermelha p/ o juiz e
Face Amarela p/o jogador
Cartão (amarelo-vermelho) (1/3)
Face Amarela p/ o juiz e
Face Vermelha p/ o jogador
Observemos que essas duas novas situações são também situações excludentes! Claro!
Se ocorrer a de cima, é porque não ocorreu a de baixo, e vice-versa! Como são apenas duas
situações excludentes, as probabilidades de cada uma ocorrer é 1/2.
Concluindo, portanto, nossa árvore de probabilidades, teremos:
47
Cartão (vermelho-vermelho) (1/3)
Cartão (amarelho-amarelo) (1/3)
Vermelho p/ o juiz e (1/2)
Amarelo p/ o jogador
Cartão (amarelo-vermelho) (1/3)
Amarelo p/ o juiz e (1/2)
Vermelho p/ o jogador
Aqui, olhando para essa árvore acima, veremos que surge um novo conceito! Estamos
falando do caminho de probabilidades! O que é isso? É tão-somente um caminho em que há
duas (ou mais) probabilidades que se sucedem! Ou em outras palavras, é um caminho em que
há mais de um evento, de modo que um é posterior ao outro.
Olhando para o desenho acima, vemos que existem dois caminhos de probabilidade.
Vou destacar primeiro um, e depois o outro. Vejamos:
Cartão (vermelho-vermelho) (1/3)
Cartão (amarelho-amarelo) (1/3)
Vermelho p/ o juiz e (1/2)
Amarelo p/ o jogador
Cartão (amarelo-vermelho) (1/3)
Amarelo p/ o juiz e (1/2)
Vermelho p/ o jogador
Está em azul nosso caminho de probabilidades. Nele, vemos que um evento se sucede
ao outro. O primeiro é a escolha do cartão de duas faces; o segundo é o fato de a face vermelha
ficar voltada para o juiz, e a amarela para o jogador!
O que interessa saber acerca de um caminho de probabilidade é que quando
estivermos diante de um, não nos interessará mais a probabilidade individual de um evento ou
do outro: interessar-nos-á a probabilidade de todo o caminho!
E para descobrirmos a probabilidade que é o resultado de um caminho de
probabilidades, teremos sempre que multiplicar as probabilidades individuais de cada evento
que compõe aquele caminho.
48
Daí, para chegarmos à probabilidade que resulta deste caminho azul acima, faremos
(1/3)x(1/2), e chegaremos ao seguinte:
Cartão (vermelho-vermelho) (1/3)
Cartão (amarelho-amarelo) (1/3)
Vermelho p/ o juiz e (1/2) ⇒ (1/6)
Amarelo p/ o jogador
Cartão (amar.-verm.) (1/3)
Amarelo p/ o juiz e (1/2)
Vermelho p/ o jogador
Essa probabilidade que encontramos (1/6) é o resultado deste caminho de
probabilidade e representa a ocorrência dos dois eventos que compõem este caminho.
Ou seja, (1/6) é justamente a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e
de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela. É exatamente isso o que a questão está
perguntando!
Daí, nossa resposta, encontrada apenas pelo resultado de um caminho de
probabilidades, é igual a (1/6).
Observemos que para acertar essa questão, tivemos que usar os seguintes
conhecimentos: 1º) saber o que são situações excludentes; 2º) saber desenhar uma árvore de
probabilidades; 3º) saber o que é um caminho de probabilidades, e como se chega a sua
probabilidade resultante!
Passemos a mais um exemplo!
EXEMPLO 06) (SERPRO 2001 ESAF) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes,
de Genésio ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A
probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de
navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se
ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de
1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso
em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é:
Sol.:
Numa leitura calma deste enunciado, vemos que ele é todo muito propício para que
façamos o desenho da árvore de probabilidades, observando atentamente as situações
excludentes que nos são apresentadas!
Senão, vejamos: a primeira coisa que nos diz a questão é que o Genésio só pode viajar
de dois modos: navio ou avião. E diz também que estes dois modos de ele viajar são
mutuamente excludentes! Ora, aqui foi dito de forma expressa: são duas situações
excludentes!
Foi dito ainda quais são as probabilidades de o Genésio viajar de navio e de avião.
49
Daí, já podemos iniciar o desenho da árvore de probabilidades!
Teremos:
Navio (40%)
Avião (60%)
Só uma observação: na hora que o enunciado falou que viajar de navio e viajar de avião
são situações excludentes, e acrescentou que a probabilidade de o Genésio ir de navio é de
40%, então não seria necessário ter informado que a probabilidade de ele ter ido de avião é de
60%. Já seria nossa obrigação saber disso, uma vez que a soma das probabilidades de situações
excludentes é sempre 100%. Não é verdade?
Pois bem! Só que o enunciado não parou por aí! Surgem, na seqüência da leitura, mais
duas outras situações. Quer tenha o Genésio viajado de navio, quer tenha viajado de avião, ele
poderá chegar com atraso ao congresso! Isso é dito pelo enunciado!
E se pode chegar com atraso, nós já somos capazes de deduzir que, contrariamente, ele
pode também chegar em tempo, ou seja, sem atraso. É evidente que se Genésio chegar em
tempo é porque não atrasou; e se atrasar, é porque não conseguiu chegar em tempo.
Concordam? Ou seja, essas duas situações – chegar atrasado e chegar em tempo – são
situações excludentes! O enunciado traz quais são as probabilidades de Genésio chegar atrasado
nos dois casos (tendo ido de navio e tendo ido de avião), de modo que já teremos como
completar a nossa árvore de probabilidades, da seguinte forma:Atrasado (8,5%)
Navio (40%)
Em tempo (91,5%)
Atrasado (1%)
Avião (60%)
Em tempo (99%)
Boa oportunidade essa para nós explorarmos o desenho acima!
Quantos caminhos de probabilidade nós temos nessa árvore de probabilidades?
Temos quatro caminhos:
1º) viajar de navio & chegar atrasado;
2º) viajar de navio & chegar em tempo;
3º) viajar de avião & chegar atrasado;
4º) viajar de avião & chegar em tempo.
Já sabemos que, diante de um caminho de probabilidades, as probabilidades
individuais já deixaram de ser interessantes para nós! Só nos vão interessar as probabilidades
resultantes de cada caminho!
50
Sabemos também que, para chegar a essas probabilidades resultantes, teremos que
multiplicar as probabilidades individuais de cada caminho! Não é isso mesmo? É isso mesmo!
Daí, analisemos esta árvore e esses caminhos, caso a questão fizesse uma dessas
seguintes perguntas:
1) Qual a probabilidade de Genésio ir de navio e de chegar atrasado?
O que lhes parece? Será que isso que está sendo pedido acima é o resultado de algum
caminho de probabilidade? Claro! É logo do primeiro caminho! Vejamos:
Atrasado (8,5%)
Navio (40%)
Em tempo (91,5%)
Atrasado (1%)
Avião (60%)
Em tempo (99%)
Daí, multiplicando-se as probabilidades individuais desse caminho, teremos:
à (0,40)x(0,085)= 0,034 = 3,4% à Resposta!
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(navio & atrasado)=0,034
2) Qual a probabilidade de Genésio ir de avião e chegar atrasado?
Novamente a pergunta feita acima nos remete a um dos caminhos de probabilidade. Qual
deles? O terceiro. Vejamos:
Atrasado (8,5%)
Navio (40%)
Em tempo (91,5%)
Atrasado (1%)
Avião (60%)
Em tempo (99%)
Multiplicando-se as probabilidades individuais desse caminho, teremos:
à (0,60)x(0,01)= 0,006 = 0,6% à Resposta!
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(avião & atrasado)=0,006
51
3) Qual a probabilidade de Genésio chegar atrasado?
A pergunta aqui foi diferente! Só falou no evento “atraso”, sem estabelecer o meio de
transporte! Daí, fica claro que há dois caminhos que nos conduzem a esse resultado chegar
atrasado. E são justamente os seguintes:
Atrasado (8,5%) ⇒ 3,4%
Navio (40%)
Em tempo (91,5%)
Atrasado (1%) ⇒ 0,6%
Avião (60%)
Em tempo (99%)
Ora, como são dois os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremos
portanto que somar essas duas probabilidades resultantes de ambos. Teremos, pois, que:
à 3,4% + 0,6% = 4% à Resposta!
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(chegar atrasado)=0,04
4) Qual a probabilidade de Genésio chegar em tempo?
Aqui também não foi estabelecido qual seria o meio de transporte que levaria Genésio a
não se atrasar! De modo que essa pergunta ficou muito fácil de ser respondida. Senão,
vejamos: no item anterior, encontramos que a probabilidade de Genésio chegar atrasado
(independente do transporte utilizado) foi de 4%.
Ora, será que chegar atrasado e chegar em tempo não são situações excludentes? Claro
que sim! Já sabemos disso! Logo, se somarmos as probabilidades dessas duas situações (chegar
atrasado e chegar em tempo), teremos que chegar a 100%. Daí, faremos:
à P(atrasado) + P(em tempo) = 100%
à 4% + P(em tempo) = 100%
à P(em tempo)=100% - 4%
à P(em tempo) = 96% à Resposta!
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(em tempo)=0,96
Com essas quatro perguntas acima, queremos mostrar que uma questão de
probabilidade pode morrer tão somente pela análise desses tais caminhos de probabilidade,
oriundos da árvore de probabilidades! Ou não!
Por que “ou não”? Porque pode haver mais! E o que pode haver a mais? Pode haver a
mais o seguinte: pode ocorrer de a questão, após fornecer todos os elementos necessários e
suficientes para que nós desenhemos a árvore de probabilidades, ela trazer (assim como
quem não quer nada!) mais uma informação.
Essa informação adicional, que muito pode nos parecer inservível, será na verdade
essencial para nossa resolução. O que temos de saber é que essa informação adicional não
virá nos falando de uma probabilidade! Não! Ela virá falando de um FATO!
52
Ou seja, uma informação que é um fato dado; algo que passa a ser do nosso
conhecimento!
Vamos fazer um teste: vamos recolocar abaixo o nosso enunciado. Você vai lê-lo
novamente, com muita calma e muita atenção, tentando descobrir se foi fornecida pela questão
esta tal de informação adicional; este fato dado, que passa a ser do seu conhecimento. Ok?
Aí segue o enunciado:
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra
participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de
navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de
chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a
probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que
Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A
probabilidade de ele ter ido de avião é:”
E aí? Alguém achou uma frase suspeita? Uma frase que veio sozinha? E que não falou
nada de probabilidade? E que só nos informou um fato dado?
NÃO?????? Não é possível...! Tente novamente:
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra
participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de
navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de
chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a
probabilidade de chegar ao congressocom dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que
Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A
probabilidade de ele ter ido de avião é:”
E agora, melhorou? Agora todo mundo vai dizer que já tinha visto da primeira vez...
Pois é, minha gente! Aqui teremos novidades: quando a questão fornecer todos os
elementos necessários para desenharmos a árvore de probabilidades e para construirmos os
caminhos de probabilidades, mas não se contentar apenas com isso, de modo a nos revelar
ainda um fato, estaremos diante de uma questão da chamada probabilidade condicional.
E o que é isso? É muito fácil. Probabilidade condicional será a probabilidade de
ocorrência de um evento “A”, dado que sabemos que ocorreu um outro evento “B”.
Esse evento “B” é justamente aquele que nos é dado a conhecer pela informação
adicional; por aquela frase que vem sozinha, e apenas nos revela um fato dado; algo que passa
a ser do nosso conhecimento.
Retornemos novamente ao nosso enunciado, para ver se entendemos o que está sendo
solicitado por esta questão.
Vamos por partes! Podemos dividir esse enunciado em três pedaços, representados
abaixo em cores diferentes:
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra
participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de
navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de
chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a
probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que
Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A
probabilidade de ele ter ido de avião é:”
1º) O primeiro pedaço que destacamos (em vermelho) servirá apenas para uma coisa: para
desenharmos a árvore de probabilidades e os respectivos caminhos de probabilidade.
2º) A segunda parte do enunciado (destacada em azul) se resume a uma única frase: é o fato
dado! É aquela informação que passa a ser conhecida por nós todos! Repito: não é uma
probabilidade: é um fato!
53
3º) A terceira e última parte do enunciado (destacada em verde) é a pergunta!
Pronto! Estamos quase lá! Agora só nos resta definir exatamente o que a questão quer
de nós. Para saber isso, começaremos pela pergunta do enunciado: a terceira parte! Qual a
probabilidade de Genésio ter ido de avião?
Sabendo que esta é a pergunta da questão, só nos falta averiguar uma coisa: foi
fornecido pelo enunciado aquela informação adicional? Aquele fato dado? Foi? Sim!
E qual foi mesmo esse fato dado? Foi que Genésio chegou atrasado!
Daí, o que a questão está mesmo querendo saber é o seguinte:
“Qual a probabilidade de Genésio ter ido de avião, dado que chegou atrasado?”
Essa é a pergunta completa!
Essa é a pergunta da probabilidade condicional. Por que condicional? Porque está
submetida a uma condição! Qual condição? A de que exista um fato que nós estamos certos que
ocorreu!
Veja como a pergunta acima se enquadra perfeitamente no modelo da probabilidade
condicional:
“Qual a probabilidade de ocorrência de um evento “A”, dado que sabemos
que ocorreu um evento “B”?
Observemos que o que virá após o dado que será sempre o fato fornecido pelo
enunciado!
Utilizando a nomenclatura própria da matemática, reduziremos a pergunta acima ao
seguinte: P(A dado B)=?
Esta é a pergunta da probabilidade condicional. Para respondê-la, teremos que aplicar
a seguinte fórmula:
)(
)()(
BP
BeAPBdadoAP =
Aplicando a fórmula acima à nossa questão, teremos:
à P(avião dado atrasado) = P(avião & atrasado) / P(atrasado)
Vejamos que o numerador desta fórmula P(avião & atrasado) é exatamente a resposta
da “pergunta b”, que foi analisado há pouco por nós, e em que concluímos que: P(avião &
atrasado)=0,006.
Vejamos ainda que o denominador da fórmula P(atraso) corresponde, por sua vez, à
resposta da “pergunta c” , vista acima, com o que concluímos que: P(atrasado)=0,04.
Pronto! Dispondo dos elementos todos da fórmula da probabilidade condicional,
chegaremos ao seguinte:
à P(avião dado atraso) = P(avião & atraso) / P(atraso)
à P(avião dado atraso) = 0,006 / 0,04 = 0,15 = 15% à Resposta!
Exemplo 07) (Analista MPU/2004) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no
mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que
lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20%
das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das
vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa
54
e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa
sopa tenha sido feita por José é igual a?
Sol.: Convém relermos o enunciado, tentado já ver se é possível estabelecermos aquela divisão
em partes! Será que é possível. Vejamos:
“Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de
forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é
feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais
a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das vezes, e Maria 20% das vezes. Como de
costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está
salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a?”
A primeira parte é aquela que usaremos para desenhar a árvore de probabilidades,
observando as situações excludentes, e construindo, se for o caso, os caminhos de
probabilidade.
A segunda parte (em vermelho) é um informação adicional que nos revela um fato. Algo
que passa a ser do nosso conhecimento! Não é uma probabilidade: é um fato dado!
A terceira parte é a pergunta da questão!
Trabalhando a primeira parte do enunciado, chegaremos à seguinte árvore de
probabilidades:
sopa salgada (10%)
JOÃO (40%)
sopa normal (90%)
sopa salgada (5%)
JOSÉ (40%)
sopa normal (95%)
sopa salgada (20%)
MARIA (20%)
sopa normal (80%)
Agora temos que formular a pergunta completa da questão!
O que está sendo questionado na última parte do enunciado? A pergunta é qual a
probabilidade de José ter feito a sopa?
Existe dentro do enunciado uma informação adicional, que nos dá a conhecer um fato?
Sim! Qual é esse fato? É que a sopa ficou salgada! Ora, que a sopa ficou salgada é um fato
dado pela questão. É algo doqual agora temos conhecimento.
Daí, a pergunta completa desta questão é a seguinte:
“Qual a probabilidade de José ter feito a sopa, dado que a sopa ficou salgada?”
Estamos diante de uma probabilidade condicional.
Na linguagem da probabilidade, teremos: P(José dado salgada)=?
Aí é só aplicar a fórmula da probabilidade condicional. Teremos:
à P(José dado salgada)= P(José & salgada) / P(salgada)
55
O numerador P(José & salgada) será a probabilidade resultante de um único caminho
de probabilidade. O primeiro deles! Vejamos:
sopa salgada (10%)
JOÃO (40%)
sopa normal (90%)
sopa salgada (5%) ⇒ 0,40 x 0,05 = 0,02
JOSÉ (40%)
sopa normal (95%)
sopa salgada (20%)
MARIA (20%)
sopa normal (80%)
Já no tocante ao denominador P(salgada), teremos que somar as probabilidades
resultantes de três caminhos de probabilidades para chegarmos a ele. Teremos:
sopa salgada (10%) ⇒ 0,40 x 0,10 = 0,04
JOÃO (40%)
sopa normal (90%)
sopa salgada (5%) ⇒ 0,40 x 0,05 = 0,02
JOSÉ (40%)
sopa normal (95%)
sopa salgada (20%) ⇒ 0,20 x 0,20 = 0,04
MARIA (20%)
sopa normal (80%)
Daí, jogando os dados na fórmula da probabilidade condicional, teremos que:
à P(José dado salgada)= 0,02 / (0,04+0.02+0,04)
à P (José dado salgada) = 0,02/0,10 = 20% à Resposta!
Dando continuidade ao estudo da Probabilidade, veremos agora mais alguns conceitos
que ainda não foram comentados. Quais sejam:
à Probabilidade da união de dois eventos; e
à Probabilidade binomial.
56
# Probabilidade da União de Dois Eventos:
Esta situação se verificará sempre que a questão de probabilidade trouxer uma pergunta
referente a dois eventos, conectados entre si pela partícula ou.
Por exemplo, pode ser que a questão apresente uma série de dados e no final pergunte:
Qual a probabilidade de ocorrência do evento A ou do evento B?
Saberemos, então, de imediato, que a partícula ou significará união! Trabalharemos,
assim, com uma fórmula própria: a da Probabilidade da União de Dois Eventos:
P(evento A ou evento B)=P(evento A)+P(evento B) – P(evento A e evento B)
Reparemos bem na terceira parcela da fórmula acima: P(evento A e evento B). Esta
parcela trata acerca da probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos A e B.
Aprendemos na aula passada que, caso os eventos A e B sejam eventos independentes,
então a probabilidade de ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será encontrada pelo produto
das probabilidades individuais! Lembrados disso?
Pois bem! Vejamos alguns exemplos que nos ajudarão a entender melhor essa teoria.
Exemplo 1) Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma bolinha é
escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de se observar um múltiplo de 2 ou de 4?
Sol.: Vemos facilmente que esta questão trata de dois eventos, e não apenas de um! Quais
são esses dois eventos?
à Retirar uma bolinha numerada com um múltiplo de dois; e
à retirar uma bolinha numerada com um múltiplo de quatro.
Na pergunta da questão, esses dois eventos estão conectados entre si pela partícula ou,
o que nos leva a concluir que estamos trabalhando com a probabilidade da união de dois
eventos!
Teremos, pois, que:
à P(múltiplo de 2 ou múltiplo de 4)=P(múltiplo de 2)+P(múltiplo de 4)-P(múltiplo de
2 e múltiplo de 4)
O que temos a fazer é descobrir o valor de cada uma das parcelas. Vamos lá!
à P(múltiplo de 2)=?
Sabemos que probabilidade é uma fração: Resultados favoráveis / resultados possíveis!
Daí, na hora de retirarmos uma bolinha de uma urna que contém dez delas, quantos
serão os resultados possíveis? Serão 10, obviamente! É esse nosso denominador.
Queremos agora que a bolinha retirada seja múltiplo de 2. Quantos são os resultados que
satisfazem essa exigência (resultados favoráveis)? Ora, são 5. Senão, vejamos:
à {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ⇒ (cinco múltiplos de 2)!
Daí, teremos:
à P(múltiplo de 2)= (5/10)
Passemos a trabalhar a segunda parcela da equação:
à P(múltiplo de 4)=?
Quantos são os resultados possíveis para a retirada de uma bola, se a urna tem dez
bolas? Dez. (É o nosso denominador)!
57
E quantos são os resultados que satisfazem a exigência de a bola retirada ser múltiplo de
4? Ou seja, quantos são os resultados favoráveis? São 2. Vejamos:
à {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ⇒ (dois múltiplos de 4)!
Daí, teremos que:
à P(múltiplo de 4)=(2/10)
Pois bem! Só nos falta calcular agora a terceira parcela da equação:
à P(múltiplo de 2 e múltiplo de 4)=?
Já sabemos que há dez resultados possíveis para a retirada de uma bola dessa urna!
Mas quantos serão os resultados favoráveis? Ou seja, quantos serão os resultados que
satisfazem, ao mesmo tempo, a exigência de a bola retirada ser um múltiplo de 2 e um múltiplo
de 4? Essa é fácil. Vejamos:
à {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ⇒ (são também apenas 2 resultados, ao mesmo tempo,
múltiplos de 2 e múltiplos de 4)!
Daí, teremos que:
à P(múltiplo de 2 e múltiplo de 4)=(2/10)
Finalmente, lançando todos esses resultados na equação da união de dois eventos,
teremos:
à P(múltiplo de 2 ou múltiplo de 4)=(5/10)+(2/10)–(2/10)
E:
à P(múltiplo de 2 ou múltiplo de 4)=(5/10)=0,50= 50% à Resposta!
Ou seja, não tem segredo! Basta recordar da fórmula e aplicá-la! Mais um exemplo.
Exemplo 2) (ESAF) Um dado “honesto” é lançado juntamente com uma moeda não
viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na
moeda é:
a) 1/5
b) 1/4
c) 2/4
d) 3/5
e) 3/4
Sol.: Percebemos que aqui também haverá dois eventos envolvidos: o lançamento de um
dado e o lançamentode uma moeda. Obviamente que lançar um dado e lançar uma moeda são
eventos que não dependem um do outro, ou seja, o resultado de um não influencia em nada o
resultado do outro. Em outras palavras, são eventos independentes, embora o enunciado
não tenha dito isso expressamente!
Pois bem! Vamos ao nosso raciocínio.
Trabalhando primeiro com o dado. Quantas possibilidades de resultado há no
lançamento de um dado? Ora, há seis possibilidades: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
E quantos modos diferentes há de esse resultado ser um numero ímpar? Vejamos: {1,
2, 3, 4, 5, 6}. Ora, haverá três possibilidades.
Daí, ao lançarmos um dado, a probabilidade de o resultado ser ímpar será:
P(resultado ímpar no dado)
2
1
6
3
==
58
Passemos ao caso da moeda! Quantos resultados possíveis há no lançamento de uma
moeda “não viciada”? Dois: {cara, coroa}.
Quantos resultados possíveis de “coroa”? Apenas um. Logo, a probabilidade de, ao
lançarmos uma moeda, dar coroa é de:
P(coroa na moeda)
2
1
=
Quase lá! Quando o enunciado pede que se determine a probabilidade de se obter um
número ímpar no dado ou coroa na moeda, estará falando, obviamente, da união entre esses
dois eventos. Já sabemos que a existe uma fórmula própria para esses casos. Teremos:
P(ímpar no dado ou coroa na moeda)=P(ímpar dado)+P(coroa moeda)–P(ímpar dado
e coroa moeda)
Pois bem! As duas primeiras parcelas da equação acima já foram calculadas. Resta-nos a
última! Eis o xis da questão: esta última parcela há que ser muito bem pensada por nós. Por
quê? Porque se estivermos trabalhando com eventos independentes – e esse é o nosso caso! –
então esta parcela será encontrada pelo produto das probabilidades dos dois eventos.
Teremos:
à P(ímpar no dado e coroa na moeda)=P(ímpar no dado) x P(coroa na moeda)
Daí, encontraremos que:
à P(ímpar no dado e coroa na moeda)= (1/2) x (1/2) = (1/4)
Finalmente, aplicando os resultados obtidos na nossa equação, encontraremos que:
à P(ímpar no dado ou coroa na moeda)=(1/2)+(1/2)–(1/4)=(3/4) à Resposta!
# Distribuições de Probabilidade:
Distribuição Binomial:
E a questão de distribuição binomial fará a seguinte pergunta:
Qual a probabilidade de se obter S sucessos, em n tentativas?
Como reconhecer a questão de Distribuição Binomial?
à Ela perguntará por uma probabilidade;
à Ela tratará de um experimento que se repetirá n vezes, sempre mantidas as
mesmas condições originais.
à Este experimento só admite dois resultados: sucesso e fracasso.
à Este experimento diz respeito a uma variável discreta.
à Tais resultados (sucesso e fracasso) são mutuamente excludentes, ou seja,
ocorrendo um, o outro está automaticamente descartado.
à A cada repetição do experimento, as probabilidade de sucesso p e de fracasso q
se mantêm constantes.
à Cada tentativa é independente da outra.
59
Questões de Fixação:
1ª) Uma moeda será lançada cinco vezes consecutivas. Qual a probabilidade de se verificarem 3
resultados cara?
2ª) Um casal quer ter oito filhos. Qual a probabilidade de nascerem exatamente 5 meninas,
considerando que não venham gêmeos?
3ª) Um candidato tem apenas 2% das intenções de voto. Qual a probabilidade de que, em 100
eleitores escolhidos ao acaso, encontremos cinco que desejem votar nesse candidato?
Questões de Concursos:
4ª) (ESAF) Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro importado. Dez pessoas dessa
cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente 7 das
pessoas selecionadas possuam carro importado é:
a) (0,1)7 . (0,9)3 d) 120 . (0,1) . (0,9)7
b) (0,1)3 . (0,9)7 e) 120 . (0,1)7 . (0,9)
c) 120 . (0,1)7 . (0,9)3
5ª) (ESAF) São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual é a probabilidade de resultar
exatamente duas caras e duas coroas?
a) 25% b) 37,5% c) 42% d) 44,5% e) 50%
Se uma variável tem distribuição binomial, diremos que:
Xà B(n,p)
Equações:
à Probabilidade Binomial:
P(S sucessos)=Cn,S.(p)S.(q)F
Onde:
Cn,s= n!/[s!(n-s)!]
n é o número de repetições do experimento;
p é a probabilidade de ocorrência de sucesso;
q é a probabilidade de ocorrência de fracasso;
S é o número de sucessos desejados;
F é o número de fracassos.
à Valor Esperado:
E(x)= µ = n.p
à Variância:
Var(x)= σ2 = n.p.q
à Desvio Padrão:
Desvio Padrão(x)= σ =
60
Distribuição Poisson:
E a questão de distribuição de Poisson fará a seguinte pergunta:
Qual a probabilidade de se obter S sucessos, neste determinado intervalo (de tempo,
de espaço etc)?
Questões de Fixação:
1ª) Suponha que, em média, o telefone toque 4 vezes ao dia em uma casa. Qual a
probabilidade de que, num certo dia qualquer, ele toque exatamente duas vezes? (Considere
que: e-4=1,83).
Como reconhecer a questão de Distribuição Poisson?
à Ela perguntará por uma probabilidade;
à Ela também é uma distribuição discreta;
à Ela se parece muito com a binomial;
à Não é empregada em experimentos nos quais se está interessado no número de
sucessos obtidos em n tentativas, como ocorre no caso da distribuição binomial.
à Está-se interessado em saber o número de sucessos ocorridos durante um intervalo
contínuo, que pode ser um intervalo de tempo, de espaço etc. Exemplos:
- O número de vezes que o telefone toca durante um dia;
- O número de acidentes automobilísticos ocorridos numa rodovia durante um mês;
- O número de defeitos encontrados em um rolo de arame de 500 metros.
Equação:
à Probabilidade de Poisson:
P(S) = (e-µ . µS) / S!
Onde:
P(S) é a probabilidade de S ocorrências no intervalo;µ é o valor esperado ou número médio de ocorrências no
intervalo;
e = 2,71828
à Valor Esperado:
E(x)= µ
à Variância:
Var(x)= σ2 = µ
à Desvio Padrão:
Desvio Padrão(x)= σ =
61
2ª) Suponha que, em média, o telefone toque 4 vezes ao dia em uma casa. Qual a
probabilidade de que, num certo dia qualquer, ele toque no máximo duas vezes? (Considere
que: e-4=1,83).
3ª) Uma aluna, quando assiste a aulas em salas com ar-condicionado, espirra, em média, três
vezes por hora. Qual a probabilidade de que, em uma hora, ela espirre cinco vezes?
4ª) Uma aluna, quando assiste a aulas em salas com ar-condicionado, espirra, em média, três
vezes por hora. Qual a probabilidade de que, em três horas, ela espirre dez vezes?
Distribuição Normal:
à Características da Curva Normal:
Como reconhecer a questão de Distribuição Normal?
à Ela perguntará por uma probabilidade;
à Esta probabilidade estará relacionada a um intervalo e dirá respeito a uma
variável contínua. Exemplos:
- Qual a probabilidade de que uma pessoa pese entre 45 kg e 58 kg?
- Qual a probabilidade de que uma pessoa pese acima de 72 kg? (Intervalo: de 72 kg
até mais infinito)
- Qual a probabilidade de que uma pessoa gaste, para ler um jornal, entre 32
minutos e 43 minutos?
- Qual a probabilidade de que uma pessoa gaste menos de 25 minutos para ler um
jornal? (Intervalo: de menos infinito até 25 minutos).
Esta probabilidade não será calculada por uma fórmula, e sim pela área verificada
sob uma curva: a curva Normal ou de Gauss. Esta curva é construída pela seguinte
fórmula:
NÃO É PRECISO DECORAR ESTA FÓRMULA!!!
à Ela serve apenas para sabermos que haverá infinitas curvas normais, cada uma
delas definidas pela média (µ) e pela variância (σ2) do conjunto! Ou seja, média e
variância são os parâmetros de uma distribuição normal.
à Assim, se uma variável tem distribuição normal, diremos que:
Xà N(µ,σ2)
à Se são infinitas curvas normais, precisaríamos de infinitas tabelas para nos
auxiliar no cálculo da área sob a curva!
Mas só existe uma tabela: a da CURVA NORMAL PADRONIZADA!!
à Esta Curva Normal Padronizada apresenta: µ=0 e σ2=1.
A variável normal padronizada será chamada de Z
à Com a tabela da curva Z encontramos a área da curva entre 0 (zero) e um outro
valor especificado, à direita de zero. Esta área será a própria probabilidade!
à Ocorre que qualquer distribuição normal particular (X) pode ser transformada na
variável normal padronizada (Z), da seguinte forma:
62
à Fazendo essa transformação, encontraremos na tabela a área sob a curva normal
padronizada, e que corresponderá à probabilidade que estamos procurando!
à Em outras palavras: haverá uma única tabela para descobrirmos probabilidades de toda e
qualquer variável contínua que tenha distribuição normal!
# Características da Curva Normal:
- É simétrica:
Frequência
µ Variável
- Apresenta a seguinte propriedade:
Frequência
-3σ -2σ -1σ µ +1σ +2σ +3σ Variável
68,26%
95,44%
99,74%
# Exemplificando uma Questão de Distribuição Normal:
Suponhamos que um conjunto represente os pesos de um grupo de pessoas. Para este
conjunto, verificou-se que a média dos pesos era de µ =25 kg e a variância era de 2σ =9 kg2.
(Reparem na unidade da variância, que estará sempre elevada ao quadrado)!
Consideremos ainda que se saiba que esta variável se distribui normalmente. Assim,
diremos apenas que: XàN(25, 9).
63
Entendido até aqui? Reparem que se a variância deste conjunto é 9, então o seu desvio
padrão (definido como a raiz quadrada da variância) será igual a 3.
Pois bem! Reparem agora na pergunta que será feita: sabendo que a variável X tem
distribuição normal, qual a probabilidade de que uma pessoa qualquer deste conjunto apresente
peso variando entre 25 e 28 quilogramas?
Vejam que no estudo da probabilidade associada à distribuição normal, estaremos
sempre investigando a probabilidade referente a um intervalo da variável.
Neste caso, a primeira coisa a fazer é reduzir a variável X à variável padronizada Z. Os
dois valores de X que conhecemos são 25 (que é a média do conjunto) e 28.
Assim, usando a fórmula da redução, teremos:
à Para X=25 à Z=
σ
µ)( −Xi
à Z=
3
)2525( −
à Z=0,00
à Para X=28 à Z=
σ
µ)( −Xi
à Z=
3
)2528( −
à Z=1,00
Assim, realizamos a transformação da variável, e já estamos trabalhando com a Curva
Normal Padronizada! Modificou-se, portanto, a pergunta da questão!
A nova pergunta agora é a seguinte: considerando a Curva Normal Padronizada (ou
Reduzida), qual a probabilidade de Z estar dentro do intervalo que vai de Z=0 até Z=1?
E para esta pergunta, meus queridos, existe uma tabela prontinha, que nos dará a
resposta quase que de forma imediata!
# A Tabela da Distribuição Normal Padronizada:
Precisamos conhecer bem como se faz a pesquisa a esta tabela, pois é por meio dela que
chegaremos à solução desejada.
Já é do conhecimento de todos que a curva normal é simétrica em torno da média
aritmética, e que cada metade da área sob a curva representa 50%. Pois bem!
IMPORTANTE:
A tabela da Curva Normal Padronizada nos indicará sempre o percentual de elementos
que está no intervalo que vai de Z=0 até um Z qualquer.No caso, desejamos conhecer o percentual que há entre Z=0 e Z=1. Ilustrativamente,
teremos:
z=0 z=1
64
Neste momento, resta conhecermos a tabela. Ela será mais ou menos assim:
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0 00,00 00,40 00,80 01,20 01,60 01,99 02,39 02,79 03,19 03,59
0.1 03,98 04,38 04,78 05,17 05,57 05,96 06,36 06,75 07,14 07,53
0.2 07,93 08,32 08,71 09,10 09,48 09,87 10,26 10,64 11,03 11,41
0.3 11,79 12,17 12,55 12,93 13,31 13,68 14,06 14,43 14,80 15,17
0.4 15,54 15,91 16,28 16,64 17,00 17,36 17,72 18,08 18,44 18,79
0.5 19,15 19,50 19,85 20,19 20,54 20,88 21,23 21,57 21,90 22,24
0.6 22,57 22,91 23,24 23,57 23,89 24,22 24,54 24,86 25,17 25,49
0.7 25,80 26,11 26,42 26,73 27,04 27,34 27,64 27,94 28,23 28,52
0.8 28,81 29,10 29,39 29,67 29,95 30,23 30,51 30,78 31,06 31,33
0.9 31,59 31,86 32,12 32,38 32,64 32,90 33,15 33,40 33,65 33,89
1.0 34,13 34,38 34,61 34,85 35,08 35,31 35,54 35,77 35,99 36,21
1.1 36,43 36,65 36,86 37,08 37,29 37,49 37,70 37,90 38,10 38,30
1.2 38,49 38,69 38,69 39,07 39,25 39,44 39,62 39,80 39,97 40,15
1.3 40,32 40,49 40,66 40,82 40,99 41,15 41,31 41,47 41,62 41,77
1.4 41,92 42,07 42,22 42,36 42,51 42,65 42,79 42,92 43,06 43,19
1.5 43,32 43,45 43,57 43,70 43,83 43,94 44,06 44,18 44,29 44,41
1.6 44,52 44,63 44,74 44,84 44,95 45,05 45,15 45,25 45,35 45,45
1.7 45,54 45,64 45,73 45,82 45,91 45,99 46,08 46,16 46,25 46,33
1.8 46,41 46,49 46,56 46,64 46,71 46,78 46,86 46,93 46,99 46,06
1.9 47,13 47,19 47,26 47,32 47,38 47,44 47,50 47,56 47,61 47,67
2.0 47,72 47,78 47,83 47,88 47,93 47,98 48,03 48,08 48,12 48,17
2.1 48,21 48,26 48,30 48,34 48,38 48,42 48,46 48,50 48,54 48,57
2.2 48,61 48,64 48,68 48,71 48,75 48,78 48,81 48,84 48,87 48,90
2.3 48,93 48,96 48,98 49,01 49,04 49,06 49,09 49,11 49,13 49,16
2.4 49,18 49,20 49,22 49,25 49,27 49,29 49,31 49,32 49,34 49,36
2.5 49,38 49,40 49,41 49,43 49,45 49,46 49,48 49,49 49,51 49,52
2.6 49,53 49,55 49,56 49,57 49,59 49,60 49,61 49,62 49,63 49,64
2.7 49,65 49,66 49,67 49,68 49,69 49,70 49,71 49,72 49,73 49,74
2.8 49,74 49,75 49,76 49,77 49,77 49,78 49,79 49,79 49,80 49,81
2.9 49,81 49,82 49,82 49,83 49,84 49,84 49,85 49,85 49,86 49,86
3.0 49,87
4.0 49,997
A consulta a esta tabela se faz olhando-se primeiramente para a coluna da esquerda, e
em seguida para a primeira linha.
Não esqueçamos que as porcentagens constantes no miolo da tabela representam a área
sob a curva normal, delimitada pela linha do z=0 e de um outro valor de z qualquer. Assim, na
tabela acima, procuraremos sempre por este z qualquer.
Se queremos, como em nosso exemplo, descobrir a porcentagem de elementos entre
z=0 e z=1,00, interessa-nos encontrar este 1,00 na tabela. Começamos procurando pelo 1,0
na coluna da esquerda. Uma vez encontrado, correremos nossa vista pela linha de cima,
procurando pelo 0,00. E por que isso? Porque 1,00 é o mesmo que 1,0 (encontrado na coluna
da esquerda) + 0,00 (encontrado na linha de cima).
65
Vejamos na tabela:
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0 00,00 00,40 00,80 01,20 01,60 01,99 02,39 02,79 03,19 03,59
0.1 03,98 04,38 04,78 05,17 05,57 05,96 06,36 06,75 07,14 07,53
0.2 07,93 08,32 08,71 09,10 09,48 09,87 10,26 10,64 11,03 11,41
0.3 11,79 12,17 12,55 12,93 13,31 13,68 14,06 14,43 14,80 15,17
0.4 15,54 15,91 16,28 16,64 17,00 17,36 17,72 18,08 18,44 18,79
0.5 19,15 19,50 19,85 20,19 20,54 20,88 21,23 21,57 21,90 22,24
0.6 22,57 22,91 23,24 23,57 23,89 24,22 24,54 24,86 25,17 25,49
0.7 25,80 26,11 26,42 26,73 27,04 27,34 27,64 27,94 28,23 28,52
0.8 28,81 29,10 29,39 29,67 29,95 30,23 30,51 30,78 31,06 31,33
0.9 31,59 31,86 32,12 32,38 32,64 32,90 33,15 33,40 33,65 33,89
1.0 34,13 34,38 34,61 34,85 35,08 35,31 35,54 35,77 35,99 36,21
1.1 36,43 36,65 36,86 37,08 37,29 37,49 37,70 37,90 38,10 38,30
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
4.0 49,997
Qual foi o resultado encontrado? Foi 34,13. Isso significa que 34,13% dos elementos do
conjunto estão localizados entre o z=0 e o z=1. Ou, dito de outra forma, 34,13% dos
elementos situam-se entre os pesos 25kg e 28kg. Esta porcentagem, para ser convertida em
probabilidade, basta que seja dividida por 100, o que equivale a deslocar a vírgula duas casas
para a esquerda.
Assim, ao z=1 corresponde o valor 34,13%, ou a probabilidade de 0,3413.
Concluímos: a probabilidade de que uma pessoa qualquer desse conjunto apresente peso
entre 25 kg e 28 kg é 34,13% (ou de 0,3413)!
# Outro Exemplo:
Alteremos o enunciado: considerando aquele mesmo conjunto de pesos de um grupo de
pessoas, em que XàN(25,9), se a questão perguntasse agora pelo percentual de elementos
com peso acima de 28 quilogramas, o que faríamos?
Inicialmente, faríamos a transformação da variável. Assim:
à Para X=28 à Z=
σ
µ)( −Xi
à Z=
3
)2528( −
à Z=1,00
Daí, ilustrativamente, o que estamos buscando é a seguinte área:
Z=0 Z=1
66
Ora, para descobrirmos o valor da área marcada no desenho acima, teremos, na
verdade, que fazer uma subtração entre duas porcentagens!
Sabemos que toda a metade do desenho à direita do z=0 representa 50% do conjunto.
Uma vez sabendo que o percentual de elementos entre z=0 e z=1 é de 34,13%
(resultado do exercício anterior), então poderemos dizer que:
à P(z>1)=0,50-0,3413
à P(z>1)=0,1587
Percebam que, neste caso, a resposta não vem diretamente da tabela, uma vez que esta
expressará sempre (não podemos esquecer isto!) a porcentagem de elementos que se
encontram entre z=0 e um z qualquer.Ok?
Assim, 15,87% dos elementos do conjunto têm peso acima de 28 kg. Ou, por outra,
0,1587 é a probabilidade de alguém deste conjunto pesar mais que 28 kg.
Questões de Fixação:
1ª) Qual a probabilidade de z pertencer à região destacada?
Frequência
-3σ -2σ -1σ µ +1σ +2σ +3σ Variável
2ª) Qual a probabilidade de z pertencer à região destacada?
Frequência
-3σ -2σ -1σ µ +1σ +2σ +3σ Variável
67
3ª) Qual a probabilidade de z pertencer à região destacada?
Frequência
-3σ -2σ -1σ µ +1σ +2σ +3σ Variável
4ª) Qual a probabilidade de z pertencer à região destacada?
Frequência
-3σ -2σ -1σ µ +1σ +2σ +3σ Variável
5ª) Qual a probabilidade de z pertencer à região destacada?
Frequência
-3σ -2σ -1σ µ +1σ +2σ +3σ Variável
68
6ª) Determinar a área limitada pela curva normal em cada um dos casos:
a) entre z = 0 e z = 1,2
b) entre z = -0,68 e z = 0
c) entre z = -0,46 e z = 2,21
d) entre z = 0,81 e z = 1,94
e) à esquerda de z = -0,6
7ª) Considerando que XàN(40,16), qual o valor de Z para Xi=44?
8ª) Seja X com os seguintes parâmetros: N(25,36). Qual o valor de Z para Xi=18?
9ª) Supondo que XàN(40,16), qual a probabilidade de X pertencer ao intervalo 40 a 45?
10ª) Considerando que XàN(30,16). Calcular:
a) P(X>40)=?
b) P(X<20)=?
c) P(35<X<42)=?
11ª) Um grupo de crianças apresenta peso médio de 25 kg e desvio padrão de 3 kg. Sabendo
que o peso tem distribuição normal, qual a probabilidade de que uma pessoa qualquer desse
conjunto apresente peso variando entre 25kg e 28kg?
12ª) Para o mesmo conjunto de crianças da questão anterior, XàN(25,9), qual o percentual de
elementos com peso acima de 28 kg?
13ª) O tempo necessário para se resolver uma determinada prova é distribuído normalmente,
com uma média de 80 minutos e um desvio padrão de 10 minutos. Responda às seguintes
perguntas:
a) Qual é a probabilidade de se completar a prova em uma hora ou menos?
b) Qual é a probabilidade de que um estudante complete a prova em mais de 60 minutos
porém em menos de 75 minutos?
c) Considere que a classe tenha 60 estudantes e que o período de exame seja de 90
minutos de duração. Quantos estudantes você espera que serão incapazes de completar
o exame no tempo determinado?
14ª) Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com média 65kg e desvio
padrão 5kg. Qual é o número de alunos que se pode esperar encontrar entre 60 e 70kg?
Considere P(0<z<1)=0,34 .
a) 400 c) 416 e) 430
b) 408 d) 420
Questão de Concurso:
15ª) (ESAF) Um fabricante de baterias de automóvel afirma que a média de vida útil de sua
bateria é 60 meses. Entretanto, a garantia dada à sua marca é apenas de 36 meses. Assuma
que o desvio padrão da vida útil dessas baterias seja 10 meses, e que a distribuição de
frequência é aproximadamente normal. Qual a probabilidade de as baterias desse fabricante
durarem mais de 50 meses?
a) 68% c) 84%
b) 76% d) 92%Mais conteúdos dessa disciplina
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