AD1 CIV 2014.1 (Gabarito)

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV – AD1 – Tutor
Questa˜o 1 [2,5 pts]: Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o, inverta a ordem de integrac¸a˜o e calcule
I =
∫ 2
1
∫ lnx
0
(x− 1)√1 + ey dy dx.
Soluc¸a˜o: Temos I =
∫∫
D
(x−1)√1 + ey dx dy, onde D = {(x, y) ∈ R2 ; 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ lnx},
cujo esboc¸o e´:
x
y
ln 2
1 2
D
y = lnx =⇒ x = ey
Figura 1: Regia˜o D
x
y
ln 2
1 2
D
x=ey x=2
Figura 2: Regia˜o D
Enquadrando D como uma regia˜o do tipo II, temos:
D : 0 ≤ y ≤ ln 2, ey ≤ x ≤ 2.
Enta˜o
I =
∫ ln 2
0
∫ 2
ey
(x− 1)√1 + ey dx dy =
∫ ln 2
0
√
1 + ey
[
x2
2
− x
]2
ey
dy
=
∫ ln 2
0
√
1 + ey
[
(2− 2)−
(
e2y
2
− ey
)]
dy =
∫ ln 2
0
(1 + ey)1/2
(
ey − e
2y
2
)
dy
=
1
2
∫ ln 2
0
(1 + ey)1/2
(
2ey − e2y) dy = 1
2
∫ ln 2
0
(1 + ey)1/2 (2− ey) ey dy.
Fazendo u = 1 + ey, temos du = ey dy e ey = u− 1.
Para y = 0, temos u = 2 e para y = ln 2, temos u = 1 + eln 2 = 1 + 2 = 3.
Enta˜o,
I =
1
2
∫ 3
2
u1/2(2− u+ 1) du = 1
2
∫ 3
2
u1/2(3− u) du = 1
2
∫ 3
2
(
3u1/2 − u3/2) du
=
1
2
[
3 · 2
3
u3/2 − 2
5
u5/2
]3
2
=
1
2
[
2u3/2 − 2
5
u5/2
]3
2
=
1
2
· 2
5
[
5u3/2 − u5/2]3
2
=
1
5
[
(5 · 3√3− 9√3)− (5 · 2√2− 4√2)] = 1
5
(6
√
3− 6√2) = 6
5
(
√
3−√2).
Ca´lculo IV – AD1 AD1 – Tutor 2
Questa˜o 2 [2,5 pts]: Calcule
∫∫
D
4(x2+y2) cos(x2+2xy−y2) dA, sendo D a regia˜o no primeiro
quadrante, limitada pelas curvas x2 − y2 = 1, x2 − y2 = 9, xy − 1 = 0 e xy − 2 = 0.
Soluc¸a˜o: Consideremos a mudanc¸a de varia´veis:
u = x2 − y2, v = 2xy.
Temos:
• u+ v = x2 − y2 + 2xy = x2 + 2xy − y2
• u2 + v2 = x4 − 2x2y2 + y4 + 4x2y2 = x4 + 2x2y2 + y4 = (x2 + y2)2
=⇒ x2 + y2 =
√
u2 + v2.
Assim, o integrando 4(x2 + y2) cos(x2 + 2xy − y2) transforma-se em 4
√
u2 + v2 cos(u+ v).
A fronteira da regia˜o transformada Duv fica limitada pelas retas u = 1, u = 2, v = 2 e v = 4.
x
y
Duv
1 2
2
4
Figura 3: Regia˜o Duv
O jacobiano J−1 =
∂(u, v)
∂(x, y)
e´ dado por:
J−1 =
∂(u, v)
∂(x, y)
=
∣∣∣∣∣∣
∂u
∂x
∂u
∂y
∂v
∂x
∂v
∂x
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣2x −2y2y 2x
∣∣∣∣ = 4x2 + 4y2 = 4√u2 + v2,
donde,
J =
∂(x, y)
∂(u, v)
=
1
4
√
u2 + v2
.
Pela fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis, temos:∫∫
D
4(x2 + y2) cos(x2 + 2xy − y2) dA =
∫∫
Duv
4
√
u2 + v2 cos(u+ v)|J | du dv
=
∫∫
Duv
4
√
u2 + v2 cos(u+ v)
1
4
√
u2 + v2
du dv =
∫∫
Duv
cos(u+ v) du dv
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV – AD1 AD1 – Tutor 3
=
∫ 2
1
∫ 4
2
cos(u+ v) dv du =
∫ 2
1
[sen(u+ v)]v=4v=2 du
=
∫ 2
1
[sen(u+ 4)− sen(u+ 2)] du = [− cos(u+ 4) + cos(u+ 2)]21
= [− cos(2 + 4) + cos(2 + 2)]− [− cos(1 + 4) + cos(1 + 2)]
= − cos 6 + cos 4 + cos 5− cos 3.
Questa˜o 3 [2,5 pts]: Calcule a massa de uma laˆmina que tem a forma da regia˜o plana limitada
pelas curvas x2+ y2 = 2x, x2+ y2 = 4x, y = x e y =
√
3
3
x, sendo a densidade no ponto P = (x, y)
proporcional a` distaˆncia do ponto a` origem.
Soluc¸a˜o: A massa M e´ dada por M =
∫∫
D
δ(x, y) dA, onde δ(x, y) = k
√
x2 + y2, com k constante
de proporcionalidade.
Logo, M = k
∫∫
D
√
x2 + y2 dA.
O esboc¸o da laˆmina D e´:
x
y
1 2 4
D
1
2
y=
x
y=
√ 3
3
x=
1√ 3
x
Figura 4: Regia˜o D
Usando coordenadas polares, temos:
x = r cos θ, y = r sen θ, dx dy = r dr dθ, x2 + y2 = r2, tg θ =
y
x
ou θ = arctg
y
x
.
Vamos descrever D em coordenadas polares. Temos:
x2 + y2 = 2x =⇒ r2 = 2r cos θ r 6= 0=⇒ r = 2 cos θ;
x2 + y2 = 4x =⇒ r2 = 4r cos θ r 6= 0=⇒ r = 4 cos θ;
y = x =⇒ y
x
= 1 =⇒ tg θ = 1 =⇒ θ = pi/4;
y =
√
3
3
x =⇒ y
x
=
√
3
3
=
1√
3
=⇒ tg θ = 1√
3
=⇒ θ = pi/6;
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV – AD1 AD1 – Tutor 4
x
y
pi
4pi
6
Drθ
r=2 cos θ
r=4 cos θ
Figura 5: Regia˜o Drθ
Assim, temos Drθ : pi/6 ≤ θ ≤ pi/4, 2 cos θ ≤ r ≤ 4 cos θ.
Enta˜o, fazendo as substituic¸o˜es na integral dupla, temos:
M = k
∫∫
Drθ
√
r2 r dr dθ = k
∫∫
Drθ
r2 dr dθ
= k
∫ pi/4
pi/6
∫ 4 cos θ
2 cos θ
r2 dr dθ = k
∫ pi/4
pi/6
[
r3
3
]4 cos θ
2 cos θ
dθ
=
k
3
∫ pi/4
pi/6
(64 cos3 θ − 8 cos3 θ) dθ = 56k
3
∫ pi/4
pi/6
cos3 θ dθ
=
56k
3
∫ pi/4
pi/6
(1− sen2 θ) cos θ dθ = 56k
3
[
sen θ − sen
3 θ
3
]pi/4
pi/6
=
56k
9
[
3 sen θ − sen3 θ]pi/4
pi/6
=
56k
9
[(
3
√
2
2
− 2
√
2
8
)
−
(
3
2
− 1
8
)]
=
56k
9
(
10
√
2
8
− 11
8
)
=
7k
9
(
10
√
2− 11) u.m.
Questa˜o 4 [2,5 pts]: Encontre k > 0, de modo que o volume dentro do hemisfe´rio z =√
16− x2 − y2 e fora do cilindro x2 + y2 = k2, seja a oitava parte do volume do hemisfe´rio.
Soluc¸a˜o: O esboc¸o do so´lido W e´:
x y
z
W
4 4
k k
Figura 6: So´lido W
x
y
Dxy
4
4
k
k
Figura 7: Regia˜o Dxy
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV – AD1 AD1 – Tutor 5
Temos V (W ) =
∫∫∫
W
dV =
∫∫
Dxy
∫ √16−x2−y2
0
dz dx dy =
∫∫
Dxy
√
16− x2 − y2 dx dy.
Passando para coordenadas polares, temos:
V (W ) =
∫∫
Drθ
√
16− r2 r dr dθ
onde Drθ e´ dado por:
Drθ : k ≤ r ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ 2pi.
Logo,
V (W ) =
∫ 4
k
(16− r2)1/2r
∫ 2pi
0
dθ dr = 2pi
∫ 4
k
(16− r2)1/2r dr
=
2pi
−2
∫ 4
k
(16− r2)1/2(−2r) dr = −pi 2
3
[
(16− r2)3/2
]4
k
= −2pi
3
(
0− (16− k2)3/2) = 2pi
3
(16− k2)3/2.
Mas, V (W ) =
1
8
(volume do hemisfe´rio) =
1
8
(
1
2
· 4
3
· pi · 43
)
=
16pi
3
.
Enta˜o,
2pi
3
(16− k2)3/2 = 16pi
3
=⇒ (16− k2)3/2 = 8 =⇒ 16− k2 = (23)2/3
=⇒ 16− k2 = 4 =⇒ k2 = 12 k > 0=⇒ k = 2√3.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ