Limites e continuidade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
Profª.: Dra. Selma Helena Marchiori Hashimoto 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
LIMITES DE FUNÇÕES E CONTINUIDADE 
 
1. TANGENTES, ÁREAS E LIMITES 
Os matemáticos do século XVI tinham dois problemas a serem resolvidos: 
1. O Problema da Reta Tangente: Encontrar a inclinação da reta l tangente ao gráfico da 
função f, no ponto P. 
 
 
2. O Problema da Área: Encontrar a área da região R limitada pelo gráfico da função f e o 
eixo-x para a ≤ x ≤ b. 
 
 
O Cálculo Diferencial analisa a taxa de variação de uma função. Portanto, resolve o problema 1. 
O Cálculo Integral envolve um processo de soma generalizada que resolve o problema 2. 
 
 2 
1.1 A Tangente de uma Curva 
 O primeiro passo ao atacar o problema da reta tangente é definir claramente o que significa “reta 
tangente ao gráfico de f no ponto P”. 
 Da geometria sabemos que se o gráfico de f é um arco de uma circunferência então a tangente no 
ponto P pode ser definida como a única reta que intercepta a circunferência apenas no ponto P. 
 Esta definição é perfeitamente adequada para arcos de circunferências, mas fracassa para curvas 
mais gerais. Por exemplo, a figura (a) mostra várias retas interceptando o gráfico de f apenas no ponto 
P, mas nenhuma delas é uma tangente. A figura (b) mostra a tangente a P interceptando o gráfico de f 
em outros pontos. 
 
 
 Existe um outro meio, entretanto, de definir a tangente a uma circunferência que tem uma 
generalização satisfatória para as curvas mais gerais. 
 A figura a seguir ilustra que um segundo ponto Q sobre a circunferência determina uma secante 
que liga os pontos P e Q. 
 
 
 Quando o ponto Q se move em direção a P ao longo da circunferência, a reta secante gira tendo 
o ponto P fixo. 
 Vamos usar esta idéia para definir a tangente de forma mais geral. 
 3 
Definição 1.1: Sejam P e Q pontos sobre uma curva C. A reta tangente à curva C no ponto P, se 
existir, é a posição limite da reta secante que passa por P e Q, quando Q se 
aproxima de P ao longo da curva C. 
 
 Vamos agora determinar como definir a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma função f 
em um ponto P, de tal modo que seja consistente com esta noção de tangente a uma curva. 
 
 Considere a figura abaixo: 
 
 
 A inclinação da reta secante é: 
   
h
xfhxf
x
y 00 


 
 
 À medida que o ponto Q se aproxima de P ao longo do gráfico de f, o número h ≠ 0 se aproxima 
de zero. 
 
Então, a tangente ao gráfico de f em P, é a “posição limite” da secante por P e Q quando h se 
aproxima de zero, ou seja, a inclinação da tangente a P é igual ao valor limite da inclinação da reta 
secante quando h se aproxima de zero, e isto é igual ao limite quando h se aproxima de zero de 
   
h
xfhxf 00 
. 
 
   00 xfhxfy 
 
 4 
Exemplo 1.1: Encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico de 
  2xxf 
 no ponto (2,4). 
Solução: 
h -1 -0.1 -0.01 -0.001 0.001 0.01 0.1 1 
   
h
fhf 22 
 3 3.9 3.99 3.999 4.001 4.01 4.1 5 
 
Quando h se aproxima de zero para estes valores, a inclinação das secantes parecem aproximar-
se de 4. De fato: 
      220 4422 hhhhfhxf 
, e 
    422 20  fxf
 
 
 A inclinação da tangente é portanto, 
  44lim
0


hm
h
 
 
 
 
Definição 1.2: A inclinação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto 
  00 , xfx
, se 
existir, é o número 
   
h
xfhxf
m
h
00
0
lim



. 
 
 5 
Exemplo 1.2: Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de 
  233  xxxf
 no ponto 
(1,2). 
Solução: 
  22311 3 f
 
      26321311 233  hhhhhhf
 
 A inclinação da reta secante que passa por (1,2) é: 
     
0,63
226311 2
23




hhh
h
hhh
h
fhf
 
 A inclinação da reta tangente é portanto, 
  663lim 2
0


hhm
h
 
 Uma equação para a reta tangente que tem a inclinação m = 6 e passa pelo ponto (1,2) é: 
  046162  xyxy
. 
 
Exercícios 
1. Use a definição 1.2 para encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto dado. 
(a) 
   4,2,23  Pxxf
 
(b) 
   18,3,2 2  Pxxf
 
(c) 
   5,1,32 2  Pxxf
 
(d) 
   6,2,243 2  Pxxxf
 
(e) 
   11,2,33  Pxxf
 
(f) 
   16,2,4  Pxxf
 
(g) 
   1,2,
3
1


 P
x
xf
 
(h) 
   1,2,
4
2
 P
x
xf
 
 
2. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função 
  23xxf 
 no ponto (-1, 3). 
 
3. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função 
  2axxf 
, no ponto (1, a). 
 
4. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função 
  xxxf  22
, no ponto em 
que x = 1. 
 
 6 
5. Usando uma calculadora podemos aproximar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em 
  00 , xfx
 calculando a inclinação da secante    
h
xfhxf 00 
 para h pequeno. 
(a) Aproxime a inclinação da reta tangente ao gráfico de 
  xxxf 33 
 no ponto (2, 2) 
completando a tabela 1.1. 
(b) Use o método dos exemplos 1.1 e 1.2 para calcular a inclinação da reta tangente ao 
gráfico de 
  xxxf 33 
 no ponto (2, 2). Compare com a parte (a). 
 
Tabela 1.1 
0x
 h    
h
xfhxf 00 
 
 0.1 
 0.01 
 0.001 
 0.0001 
 -0.0001 
 -0.001 
 -0.01 
 -0.1 
 
6. Use a tabela 1.2 para aproximar a inclinação da reta tangente ao gráfico de 
xy sen
 no ponto 
(0, 0). 
Aplique o método dos exemplos 1.1 e 1.2 para obter uma expressão para o limite que deve ser 
calculado a fim de obter a inclinação da reta tangente. 
 
7. Mostre que a inclinação da reta tangente ao gráfico de 
  162  xxxf
 no ponto em que 
x = a é m = 2a + 6. Use esta informação para encontrar o número x em que a inclinação da 
tangente ao gráfico é zero. 
 
8. Seja 
  xxf 
. Complete a tabela 1.2 para o ponto (0, 0). A função valor absoluto tem um 
tangente no ponto (0, 0)? 
 7 
2. LIMITES DE FUNÇÕES 
 
A afirmação 
 xfL
ax
 lim
 
significa que os valores 
 xf
 estão tão próximos de L quanto desejarmos para todo x ≠ a, mas 
suficientemente próximo de a. 
 Esta definição não é uma definição rigorosa porque as frases “tão próximos de L quanto 
desejarmos” e “suficientemente próximo de a” são, de algum modo, imprecisas. 
 
Exemplo 2.1: Seja 
  12  xxf
. Então 
  7lim
3


xf
x
. 
 Para ver como esta função satisfaz a definição intuitiva de limite dada acima, analisaremos duas 
escolhas diferentes de “tão próximo” de 
 xf
 para L = 7. 
Por exemplo, vamos supor que 
 xf
 esteja próximo de 7 com um precisão de 0.5, isto é, 
5.7125.6  x
 
 Mas, 
25.375.25.625.55.7125.6  xxx
. 
Assim, para obter a precisão desejada de ±0,5 em torno de L = 7, restringimos x ao intervalo 
25.375.2  x
. 
Agora, se quisermos que 
 xf
 esteja próximo de 7 com uma precisão de 0.1, temos 
05.395.21.629.51.7129.6  xxx
. 
Portanto, se 
05.395.2  x
, então 
 xf
 está próximo de 7 com precisão de 0.1. 
 
Em geral, dada qualquer precisão desejada de 
 xf
 para 7, podemos encontrar um intervalo 
aberto I centrado em 3 tal que, se x pertence ao intervalo I, então o valor 
 xf
 difere de 7 por não 
mais do que a precisão prescrita. Assim, dizemos que 
  712lim
3


x
x
. 
 
 8 
Exemplo 2.2: A função 

x
x
xf
sen

 não é definida em x = 0. Entretanto, o limite 
1
sen
lim
0

 x
x
x
. 
 Observe a tabela 1.2: 
Tabela 1.2 
X 
x
xsen
 x 
x
xsen
 
0.8 0.896695 -0.002 0.999999 
0.5 0.958851 -0.005 0.999996 
0.2 0.993347 -0.02 0.999933 
0.08 0.998934 -0.05 0.999583 
0.05 0.999583 -0.08 0.998934 
0.02 0.999933 -0.2 0.993347 
0.005 0.999996 -0.5 0.958851 
0.002 0.999999 -0.8 0.896695 
 
 
 Esta evidência numérica é consistente com o gráfico de 
 xf
: 
 
 
 
 9 
Exemplo 2.3: Calcule  
x
x
x
11
lim
3
0


. 
Solução: A função 
 
 
x
x
xf
11
3


 não é definida para x = 0. Mas observando a tabela 1.3 vemos 
que quando x está se aproximando de zero, o valor 
 xf
 se aproxima de L = 3. 
Tabela 1.3 
X  
x
x 11
3
 x  
x
x 11
3
 
2.0 13.0 -0.001 2.997 
1.5 9.75 -0.01 2.9701 
1.0 7.0 -0.1 2.71 
0.5 4.75 -0.2 2.44 
0.2 3.64 -0.5 1.75 
0.1 3.31 -1.0 1.0 
0.01 3.0301 -1.5 0.75 
0.001 3.003 -2.0 1.0 
 
 Os dados sugerem que 
 
3
11
lim
3
0


 x
x
x
. 
 Podemos verificar este limite utilizando uma álgebra simples. De fato, 
   
0,33
33113311 2
23233






xxx
x
xxx
x
xxx
x
x . 
 Concluímos, portanto que as funções 
 
 
x
x
xf
11
3


 e 
  332  xxxg
 tem os mesmos 
valores, exceto para x = 0, em que 
 0f
 não é definida. Assim, os limites quando x se aproxima de 
zero destas duas funções devem ser os mesmos. 
 Nosso limite pode ser calculado como segue: 
    330033lim11lim 2
0
3
0



xx
x
x
xx
 
 Graficamente, temos: 
 
 10 
Exemplo 2.4: Calcule o limite 
6
23
lim
2
2
2 

 xx
xx
x
. 
Solução: Primeiro observemos que para x = 2 obtemos o quociente: 
0
0
624
264
622
2232
2
2






 
que não está definido. 
 Portanto, devemos fatorar o numerador e o denominador, obtendo para x ≠ 2, 
  
   3
1
32
12
6
23
2
2








x
x
xx
xx
xx
xx
. 
 
 Assim, 
5
1
32
12
3
1
lim
6
23
lim
22
2
2









 x
x
xx
xx
xx
 
 
 
 
Exemplo 2.5: Calcule 
x
x
x cos1
sen
lim
2

. 
Solução: 
 Primeiro observemos que 
  0sensen 22  
 e 
  011cos1  
. 
 
 Assim, numerador e denominador são ambos iguais a zero quando 
x
. Temos, então, de 
encontrar uma expressão equivalente para 
x
x
cos1
sen2

, isto é, 
  
1cos se,cos1
cos1
cos1cos1
cos1
cos1
cos1
sen 22








xx
x
xx
x
x
x
x
 
 
 Assim, 
    211cos1lim
cos1
sen
lim
2

 
x
x
x
xx 
. 
 
 
 11 
2.1 Limites que não existem 
Exemplo 2.6: O limite 
x
x
x 0
lim

 não existe. Para ver porque, utilizamos a definição de módulo, 






0 se
0se
xx
xx
x
 
 Para reescrever a função 
 
x
x
xf 
 como: 
 










0se
0se
x
x
x
x
x
x
xf 
 Se x está próximo de zero e for positivo, 
  1xf
. Mas, se x está próximo de zero e for negativo, 
  1xf
. 
 Para que o limite exista quando 
0x
, os valores de 
 xf
 devem se aproximar de um número 
L, quando x se aproxima de zero por qualquer um dos lados. Como não é o que acontece nesse 
exemplo, o limite não existe. 
 
Exemplo 2.7: 






 xx
1
senlim
0
 não existe. 
 De fato, os valores 
  






x
f
1
senx
 não se aproximam de um único número L quando 
0x
. 
 As tabelas 1.4, 1.5 e 1.6 a seguir ilustram as oscilações de 
 xf
 numericamente. A tabela 1.4 
sugere que o limite seria 1, a tabela 1.5 sugere que o limite seria 0 e a tabela 1.6 sugere que o limite 
seria 
2
2
. 
 
 Tabela 1.4 
X 






x
1
sen
 

2
 1 
5
2
 1 
9
2
 1 
13
2
 1 
17
2
 1 
 
 Tabela 1.5 
x 






x
1
sen
 
2
1
 0 
4
1
 0 
6
1
 0 
8
1
 0 
10
1
 0 
 
 Tabela 1.6 
x 






x
1
sen
 

4
 
2
2 
9
4
 
2
2 
17
4
 1 
25
4
 
2
2 
25
4
 
2
2 
 
 
Exercícios 
 
9. Para cada uma das funções dadas pelos seus gráficos, indique se: 
(i) 
 xf
ax
lim
 existe e é igual a 
 af
. 
(ii) 
 xf
ax
lim
 existe mas não é igual a 
 af
. 
(iii) 
 xf
ax
lim
 não existe. 
(a) 
 
 
(b) 
 
 
(c) 
 
10. Calcule o limite, se existir: 
(a) 
 73lim
2


x
x
 (b)  
x
x
x
93
lim
2
0


 (c) 
1
1
lim
2
1 

 h
h
h
 
(d) 
2
6
lim
2
2 

 x
xx
x
 (e) 
xx
x
x cossen
cos1
lim
2
0 


 (f) 
  xx
x
cossec2senlim
2



 
(g) 
1
32
lim
2
1 

 x
xx
x
 (h) 
x
xx
x
cossec
lim
2



 (i) 
h
h
h


93
lim
0
 
 
11. Esboce o gráfico de 
 xfy 
 e determine o limite de 
 xf
 quando 
0x
, se existir. Se o 
limite não existir explique o porquê. 
(a) 
 






0 se22
0 se 2
xx
xx
xf
 (b) 
 
 
 






0 se2
0 se2
3
2
xx
xx
xf
 
(c)    









0 se
11
0 se 33x-
3
2
x
x
x
xx
xf
 (d) 
 








0 se
sen
0 se 12
x
x
x
xx
xf
 
 
 
 13 
2.2 Definição Formal de Limite 
 Na seção anterior definimos o limite de uma função de maneira informal, dizendo que 
 xfL
ax
 lim
 
Significando que os valores 
 xf
 estão tão próximos de L quanto desejarmos, para todo x ≠ a, mas 
suficientemente próximo de a. 
Do ponto de vista da precisão matemática, esta noção informal de limite é problemática. A 
dificuldade repousa no uso da frase “próximo de a”. Uma afirmação matemática precisa pode 
envolver constantes, variáveis, sinal de igual, desigualdades, expressões aritméticas, e assim por 
diante, mas não referências vagas como “proximidade”. 
Para recuperar nossa noção intuitiva de limite com uma linguagem precisa, procedemos da 
seguinte forma: 
1. Em lugar da frase “os valores de 
 xf
 estão tão próximos de L quanto desejarmos”, usamos a 
desigualdade 
 
   Lxf
 (2.1) 
 
2. Em lugar da frase “para todo x ≠ a, mas suficientemente próximo de a”, usamos a 
desigualdade em que  é um número positivo pequeno 
 
 ax0
 (2.2) 
 A razão da parte esquerda da desigualdade é que não queremos x = a. 
 
3. Para ligar estas duas frases na forma desejada, dizemos que, não importa que  seja dado, 
podemos encontrar um número  tal que se x satisfaz a desigualdade (2.2), então 
 xf
 satisfaz 
a desigualdade (2.1). Isto é, queremos dizer que 
  pequenoéLxfquegarantepequenoax 
. 
 Estas convenções nos permitem fazer a definição formal de limite. 
 
 14 
Definição 2.1: Seja 
 xf
 definida para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto 
possivelmente em a. Dizemos que o número L é o limiteda função f quando x se 
aproxima de a, e escrevemos 
 xfL
ax
 lim
 
 se, e somente se, dado qualquer número 
0
, existe um número correspondente 
0
, tal que se 
 ax0
, então 
   Lxf
. 
 
 Em outras palavras, 
 xfL
ax
 lim
, significa que os valores 
 xf
 estão tão próximos de L quanto 
desejarmos (dentro de  unidades) para todo x ≠ a, mas suficientemente próximo de a. 
 
Exemplo 2.8: Demonstre usando a definição 2.1, que 
  712lim
3


x
x
. 
Solução: De acordo com a definição 2.1, L = 7 e a = 3. Além disso, as seguintes desigualdades são 
equivalentes: 
Dado qualquer número pertencente a  
   Lxf
 
 
   712x
 (2.3) 




32
62
x
x 
 
2
3

x
 (2.4) 
 Ainda, de acordo com a definição 2.1, devemos encontrar uma distância  aceitável para cada 
precisão 
0
 dada, afim de provar que o limite é 7. 
 A equação (2.4) obtida a partir de (2.3) é a chave para isto. 
 De fato, os cálculos acima mostram que 
 
2
3712
  xx
. 
 É exatamente esta equivalência que nos mostra como escolher . Com 
2

 
, sabemos que se 
 30 x
, então a desigualdade 
2
3

x
 é verdadeira e, portanto, a desigualdade (2.3). 
 
 Formalmente, a demonstração é: 
 15 
 Seja 
0
 dado. Vamos escolher 
2

 
. Segue, então, que se 
 30 x
, então 
 














2
2
3 pois,2
32
62712
x
x
xx
 
 Ou seja, se 
 30 x
, então 
   712x
, como exigido pela definição 2.1. 
 
 
Exemplo 2.9: Prove que 
  1134lim
2


x
x
. 
Solução: Neste caso, 
  2e11,34  aLxxf
. 
 Temos as seguintes desigualdades equivalentes: 
 
 
4
2
24
84
1134










x
x
x
x
Lxf
 
 Dado 
0
, escolhemos 
4

 
. Segue, então, que se 
 20 x
, então 
 








4
4
4
24
841134
x
xx
 
 Assim, com 
4

 
 temos que se 
 20 x
, então 
   1134x
. 
 16 
Exemplo 2.10: Prove que 
  374lim 2
2


xx
x
. 
Solução: Neste caso, temos que 
  2e3,742  aLxxxf
. Assim, se  é um número positivo 
dado, as seguintes desigualdades são equivalentes: 
 
 
 










2
2
44
374
2
2
2
x
x
xx
xx
Lxf
 
 Se tomarmos 
 
, segue que se 
 20 x
, então 
   3742 xx
. 
 Isto prova que 
  374lim 2
2


xx
x
, de acordo com a definição 2.1. 
 
2.3 Propriedades de Limite 
1. 
cc
ax


lim
, c = constante 
2. 
ax
ax


lim
 
 A afirmação 1 diz que o limite da função constante 
  cxf 
 é sempre o número c, independente 
de quem seja a. 
 A afirmação 2 diz que o limite da função linear 
  xxg 
 quando x se aproxima de a é o valor da 
função em a, isto é, g(a) = a. 
 O teorema que segue estabelece uma álgebra dos limites, pela qual limites de somas, produtos e 
quocientes de funções podem ser calculados a partir de limites de termos individuais. 
 
Teorema 2.1: Suponhamos que 
  Lxf
ax


lim
 e 
  Mxg
ax


lim
, existem. Seja c um número qualquer. 
Então, cada um dos seguintes limites existem com os valores indicados: 
a) 
         MLxgxfxgxf
axaxax


limlimlim
 
b) 
      cLxfcxcf
axax


limlim
 
c) 
           MLxgxfxgxf
axaxax


limlimlim
 
d)  
 
 
 
0 que desde ,
lim
lim
lim 



M
M
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
 
 
 17 
Demonstração: Faremos a demonstração das partes a) e b). As duas últimas, embora similares 
às duas primeiras são logicamente mais complexas 
 
a) Queremos mostrar que, dado 
0
, existe um 
0
 tal que 
         MLxgxfax então, ,0 se 
Para isto, consideremos as hipóteses dadas do problema: 
- Dado 
0
, como 
  Lxf
ax


lim
, então existe um número 
01 
 tal que se 
10  ax
, então, 
  1 Lxf
. 
- Da mesma forma, dado 
0
, como 
  Mxg
ax


lim
, então existe um número 
02 
 tal 
que se 
20  ax
, então, 
  2 Mxg
. 
Consideramos, então,  como sendo o menor dos números 1 e 2, isto é, 
 21,min  
. 
Assim, utilizando estas informações, temos:             
   








2
21
MxgLxf
MxgLxfMLxgxf
 
Isto demonstra que 
     MLxgxf
ax


lim
, ou seja, 
“O limite da soma é a soma dos limites”. 
 
b) Primeiro observemos que se c = 0, então, 
  cLxcf
ax


lim
 é exatamente 
00lim 
ax
, que é 
obviamente verdadeiro. 
Vamos supor, então, que c ≠ 0. Queremos provar que dado 
0
, existe um 
0
 tal que 
se 
 ax0
, então, 
   cLxcf
. 
- Mas, por hipótese, temos que dado 
0
, existe 
0
 tal que se 
 ax0
, então, 
 
c
Lxf


 (lembre-se que c ≠ 0). 
 Assim, dado 
0
 existe um 
0
 tal que se 
 ax0
, então, 
        
c
cLxfcLxfccLxcf
. 
Isto mostra que 
   cLxcf
ax


lim
. 
 
 18 
Exemplo 2.11: Calcule 
 63lim 2
2


x
x
. 
 
Exemplo 2.12: Calcule 








 21 1
32
lim
x
x
x
. 
 
 
Teorema 2.2: (Extensão do teorema 2.1 para potências inteiras de x e funções potência) 
 Suponhamos que 
  Lxf
ax


lim
. Para qualquer inteiro positivo n = 1,2,3,... vale que: 
a) 
nn
ax
ax 

lim
 
b) 
      nn
ax
n
ax
Lxfxf 

limlim
 
 
Exemplo 2.13: Calcule 
 xxx
x
473lim 24
2


. 
 
Exemplo 2.14: Calcule 
 323
2
53lim xxx
x
 

. 
 
Exemplo 2.15: Calcule 
 33
2
17lim 

xx
x
. 
 
 
Teorema 2.3: Sejam m, n inteiros positivos. Então, 
a) se m é par, 
m
n
m
n
ax
ax 

lim
, para 
 a0
; 
b) se m é ímpar, 
m
n
m
n
ax
ax 

lim
, para 
 a
. 
 
Exemplo 2.16: Calcule 











2
3
4
3lim xx
x
. 
 
 
 19 
Teorema 2.4: (Teorema do Confronto, ou “Sanduíche”) 
Suponha que o limite de 
 xg
 e o limite de 
 xh
 existam quando 
ax 
, e que 
   xhLxg
axax 
 limlim
. Se a função f satisfaz a desigualdade 
     xhxfxg 
 para todo x em um 
intervalo aberto contendo a (exceto possivelmente para x = a), então, 
 
  Lxf
ax


lim
 
 
Interpretação Geométrica do Teorema do “Sanduíche”: 
 
 
 
Exemplo 2.17: Use o teorema do “sanduíche” para mostrar que 
0senlim
0


x
x
. 
 
Exemplo 2.18: (Limite Fundamental) Mostre, usando o teorema do “sanduíche”, que 
1
sen
lim
0

 x
x
x
 
 
 
Exercícios 
12. Considerando 
  952lim
2


x
x
, 
(a) Mostre que 
   952x
, se e somente se, 
2
2

x
. 
(b) Encontre um 

 apropriado para 
.05.0,4.0,2
 
 
13. Considerando 
  33lim 2
0


x
x
, 
(a) Mostre que 
   332x
, se e somente se, 
x
. 
(b) Encontre um 

 apropriado para 
3.0,1,2. 
 
 20 
14. Use as propriedades de limites para calcular: 
(a) 
 73lim
3


x
x
 
(b) 
3
3
lim
2
2 

 x
xx
x
 
(c) 
xx
xx
x



2
5
2
3
4
2
lim
 
(d) 
 2
4
1lim xx
x


 
(e) 
3
32
lim
2
3 

 x
xx
x
 
(f) 
x
x
x 2sen
tan
lim
0
 
(g) 
2
4
lim
4 

 x
x
x
 
(h) 2
3
2
3
7
1
2lim 









xx
x
 
15. Nas questões (a) e (b) suponha que 
  2lim 

xf
ax
 e 
  3lim 

xg
ax
 e calcule o limite 
especificado. 
(a) 
   xgxf
ax
3lim

 (b)     
   xfxg
xgxf
ax 4
46
lim
2



 
 
16. Use a desigualdade trigonométrica 
xx sen
 para provar que 
0senlim
0


xx
x
. 
 
17. Use o fato de que 
1
sen
lim
0

 x
x
x
 (limite fundamental) para calcular o limite: 
(a) 
x
x
x 2
sen
lim
0
 (b) 
x
x
x 4
tan
lim
0
 
 
18. Suponha que 
  22 11 xxfx 
 para todo x. Calcule 
 xf
x 0
lim

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
2.4 Limites Laterais 
 Considere o gráfico de uma função 
 xf
 
 
 Este gráfico tem a propriedade de que quando x é escolhido próximo de a, mas à direita de a, os 
correspondentes valores da função 
 xf
 estão próximos ao número L. Este é o conceito de limite à 
direita, cuja notação é: 
  Lxf
ax


lim
 
 
 Analogamente escrevendo 
  Mxf
ax


lim
 
significa que os valores de f(x) estão próximos de M se x está próximo de a pela esquerda (limite à 
esquerda). 
 
Observação: O conceito de limite lateral obedece a definição intuitiva e formal de limite. 
 
 
Exemplo 2.17: Como 
  xxf 
 não é definida para 
0x
, o limite de 
x
 quando 
0x
 não 
existe. Entretanto, podemos escrever que 
0lim
0


x
x
. 
 
Exemplo 2.18: Para a função 
 
x
x
xf 
 quando 
0x
, como já concluímos 
x
x
x 0
lim

 não existe. 
Entretanto, seus limites laterais existem. De fato, 
 
 22 
Exemplo 2.19: O gráfico a seguir corresponde à função maior inteiro, definida por: 
   . com inteiromaior xnnx 
 
 
 
 Por exemplo, 
            ,77,322.1,25.2   etc. 
 Embora 
  x
nx
lim
 não exista, ambos limites laterais existem. Por exemplo, 
      1xlime2xlim
2x2x

 
; 
      3lime2lim
22

 
xx
xx
. 
 
Teorema 2.5: 
 xf
ax
lim
 existe, se e somente se, ambos os limites laterais existem e são iguais. Isto 
é, 
  Lxf
ax


lim
 se, e somente se, 
   xfLxf
axax  
 limlim
. 
 
Exemplo 2.20: Dada a função 
 






1,2
1,34
2 xx
xx
xf
 
calcule o 
 xf
x 1
lim

. 
 
 
 
 
 
 
 23 
2.5 Limites Infinitos 
 Seja f uma função definida por 
 
x
xf
1

. Iremos analisar o comportamento numérico desta 
função através das tabelas a seguir. 
 (a) Comportamento de f à esquerda de x = 0: 
x -1 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 
f(x) -1 -10 -100 -1000 -10000 
 Podemos notar que quando 
 0x
, ou seja, por valores menores que zero, os valores da 
função decrescem sem limite. 
 
 (b) Comportamento de f à direita de x = 0: 
x 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 
f(x) 1 10 100 1000 10000 
 Podemos notar que quando 
 0x
, ou seja, por valores maiores que zero, os valores da 
função crescem sem limite. 
 
Baseado neste exemplo, podemos afirmar que quando x está próximo de 0 esta função não tem 
os valores se aproximando de um limite bem definido. Observe o gráfico: 
 
 Analisando, agora, o comportamento da função 
 
2
1
x
xf 
, nas proximidades de x = 0, 
observamos que: 
 24 
 
 (a) Comportamento de f à esquerda de x = 0: 
x -1 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 
f(x) 1 100 10000 1000000 100000000 
 
 (b) Comportamento de f à direita de x = 0: 
x 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 
f(x) 1 100 10000 1000000 100000000 
 
 Observamos pelas tabelas, que se 
 0x
 ou 
 0x
 os valores da função crescem sem limite. 
Assim, podemos afirmar, por este exemplo que, quando 
0x
 esta função tem os valores se 
aproximando de um limiar (infinito = 

). Observe o gráfico: 
 
 
 Neste caso, dizemos que não existe o limite de 
 
2
1
x
xf 
 no ponto x = 0, mas denotamos tal 
fato por: 

 20
1
lim
xx
 
 
 Por causa desta notação costuma-se dizer que algumas funções têm limites infinitos e por causa 
deste limite, dizemos também que o gráfico desta função tem uma assíntota vertical, que é uma reta 
cuja equação é dada por x = 0, neste caso. 
 
 25 
Definição 2.2: Seja 
 xf
 definida para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto 
possivelmente em a. Diz-se que f tem limite infinito, quando x se aproxima de a, 
o que é denotado por: 
  

xf
ax
lim
 
 se, para todo número real  > 0,existir um  > 0 tal que se 
 ax0
, então 
  xf
. 
Observação: De modo similar, pode-se chegar à conclusão que para a função 
 
2
1
x
xg 
 não existe 
limite no ponto x = 0, no entanto pode-se representar um resultado, como descrito anteriormente, por: 


 20
1
lim
xx
. 
 
2.6 Limites no Infinito 
 Analisaremos agora o comportamento de 
 
x
xf
1

, quando x cresce arbitrariamente 
 x
, 
ou quando x decresce arbitrariamente 
 x
: 
 (a) Comportamento de f para x pequenos: 
x -1 -10 -100 -1000 -10000 -100000 
f(x) -1 -0,1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 
 
 (b) Comportamento de f para x grandes: 
x 1 10 100 1000 10000 100000 
f(x) 1 0,1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 
 
 Pelas tabelas observamos que: 
  0lim 

xf
x
 e 
  0lim 

xf
x
 
 E quando construímos o gráfico de f, observamos que existe uma reta (assíntota) horizontal 
que é a reta y = 0, que nunca toca a função, mas se aproxima dela em 

 e em 

. 
 26 
 
 Temos então uma definição geral, englobando tal situação: 
 
Definição 2.3: Seja 
 xf
 definida para todo x em um intervalo 
 ,a
. Escrevemos: 
  Lxf
x


lim
 
 quando, para todo número real  > 0,existir um  > 0 tal que 
   Lxf
 e 
sempre que x > . 
Formalizaremos agora o conceito de assíntota horizontal. 
 
Definição 2.4: Dizemos que a reta y = L é uma assíntota horizontal do gráfico de f se: 
  Lxf
x


lim
 ou 
  Lxf
x


lim
 
 
 
 
Exemplo 2.21: Calcule o 
422
13
lim
2
2


 xx
x
x
. 
 
 
 
 
 A interpretação geométrica deste fato é que a reta horizontal 
2
3
y
 é uma assíntota do gráfico 
da função 
 
422
13
2
2



xx
x
xf
. 
 27 
 A figura a seguir é um esboço do gráfico de f. 
 
 
 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Quando, no cálculo do limite de uma função, aparecer uma das 
seguintes formas: 



1,,0,0,,,
0
0 00
 
que são denominadas expressões indeterminadas, nada se poderá concluir de imediato sobre o limite 
sem um estudo mais aprofundado de cada caso. 
 
 
Exercícios 
20. Para cada função cujo gráfico é o da figura indicada, calcule os limites, se existirem: 
(a) 
 
(i) 
 xf
x 1
lim
 (ii) 
 xf
x 1
lim

 (iii) 
 xf
x 0
lim
28 
(b) 
 
(i) 
 xf
x 2
lim

 (ii) 
 xf
x 2
lim
 (iii) 
 xf
x 2
lim
 
 
21. Considere o gráfico de 
 xf
 mostrado na figura abaixo. Para que números a, temos: 
 
(a) 
   afxf
ax


lim
? 
(b) 
   afxf
ax


lim
? 
(c) 
 xf
ax
lim
 existe? 
(d) 
 xf
ax
lim
 existe e é igual a 
 af
? 
 
22. Calcule o limite, se existir: 
(a) 
2lim
2


x
x
 
(b) 










2
3
2
5
0
5lim xx
x
 
(c) 
2
4
lim
4 

 x
x
x
 
(d) 
2
44
lim
2
2 

 x
xx
x
 
(e) 
  xx
x 3
lim
 
(f) 
  x
x


1lim
3
 
(g) 
4
12
lim
3
2


 x
xx
x
 
(h) 
xx
1
lim
0


 
(i) 
4
12
lim
23
4


 xx
xx
x
 
(j) 
1
lim
 x
x
x
 
(k) 
x
x
x
1
lim
0


 
 29 
23. Seja 
 






0,1
0,cos
xx
xx
xf
 
(a) Calcule 
 xf
x 0
lim
 (b) Calcule 
 xf
x 0
lim
 (c) 
 xf
x 0
lim

 existe? 
 
24. Seja 
 






3,12
3,2
xx
xx
xf
. Prove que 
  5lim
3


xf
x
 
 
25. Seja  









1,
11,
1,2
2 xx
xx
x
xf
 
(a) Esboce o gráfico de f. 
(b) 
 xf
x 1
lim

 existe? Justifique. 
(c) 
 xf
x 1
lim

 existe? Justifique. 
 
 
3 CONTINUIDADE 
Quando definimos limite de 
 xf
 quando x tende para a, enfatizamos que este limite não é 
necessariamente igual a 
 af
. De fato, 
 af
 pode nem mesmo ser definida. 
A partir de agora voltaremos nossa atenção para o caso em que 
   afxf
ax


lim
. 
Se isto ocorrer, dizemos que a função f é contínua em x = a. 
 
Definição 3.1: Suponhamos que a função f é definida em um intervalo aberto contendo o número 
a. Então f é contínua em a, se 
   afxf
ax


lim
 
Caso contrário, dizemos que f é descontínua em a. 
 
 
 
 30 
Observações: 
1. A definição de continuidade exige duas coisas: primeiro que 
 xf
ax
lim
 exista, e segundo que a 
função f seja definida no número a. 
2. A definição 3.1 é uma definição de continuidade no número a para funções que são definidas 
sobre um intervalo aberto em torno de a. 
 
 Geometricamente, continuidade é uma propriedade que garante que o gráfico de f não terá uma 
interrupção (ou será “quebrado”) em 
  afa,
. Cada uma das funções, cujos gráficos são dados a 
seguir, são descontínua em a. 
 
 
 
 
Exemplo 3.1: Calcule os números x para os quais 
 
2
42



x
x
xf
 é contínua. 
 af
 não é definida 
 
      existe não limlimlim xfxfxf
axaxax 


 
 
   xfaf
ax
 lim
 
 31 
 
 A descontinuidade no número 2 é chamada de descontinuidade removível, pois podemos 
eliminar (remover) a descontinuidade em 
2x
 definindo 
    4lim2
2


xff
x
 
 Em outras palavras acrescentamos 
2x
 ao domínio de f definindo a nova função 
 










2,4
2,
2
4
ˆ
2
xse
xse
x
x
xf
 
 A função 
fˆ
 é, então, contínua para todo x, e concorda com f para 
2x
. 
 
 
Exemplo 3.2: Outra função com uma descontinuidade removível é 
 
x
x
xf
sen

. 
 Embora 
 0f
 é indefinida, já mostramos que 
1
sen
lim
0

 x
x
x
 
 Podemos, portanto, “remover” a descontinuidade para 
0x
, definindo: 
 








0,1
0,
sen
ˆ
xpara
xpara
x
x
xf
 
 A função 
fˆ
 é, então, contínua para 
0x
. 
 
Teorema 3.1: Se a função f e g são contínuas para 
ax 
 e se c é um número real qualquer, então, 
as seguintes funções são também contínuas em 
ax 
: 
(a) f + g 
 
(b) 
fc 
 
(c) 
gf 
 
 
(d) 
g
f
, desde que 
  0ag
. 
 32 
Teorema 3.2: Para cada inteiro positivo n = 1, 2, 3,..., 
(a) a função 
  nxxf 
 é contínua para todo x. 
(b) se a função g é contínua em 
ax 
, a função 
    nxgxf 
 é contínua em 
ax 
. 
 
 A combinação dos teoremas 3.1 e 3.2 mostra que qualquer polinômio é contínuo para todo x, e 
qualquer função racional é contínua para todo x diferente daquele que anula seu denominador. 
 
Por exemplo: 
(a) O polinômio 
  72 23  xxxf
 é contínuo para todo x. 
 
(b) A função racional 
 
6
73



x
xx
xg
 é contínua para todo x, com 
6x
. 
 
(c) A quarta potência de 
 xg
 
   
4
3
4
6
7









x
xx
xgxh
 
é contínua para todo x, com 
6x
. 
 
 
3.1. Continuidade em Intervalos 
 
Definição 3.2: (i) A função f é contínua no intervalo aberto (a, b) se for contínua em cada 
 bax ,
. 
 (ii) A função f é contínua no intervalo fechado 
 ba,
 se for contínua em (a, b), e, 
além disso 
   afxf
ax


lim
 e 
   bfxf
bx


lim
 
 
 
 33 
 A continuidade é definida de modo análogo em intervalos tais como (a, b], [a, ∞), etc. 
 
 
Exemplo 3.3: A função 
  xxf 
 é contínua no intervalo [0,∞). Em outras palavras 
0,lim 

aax
ax
 e 
 00lim
0
fx
x


. 
 
Teorema 3.3: Sejam m e n inteiros positivos. A função 
  m
n
xxf 
 é: 
(a) contínua em [0,∞) se m é par; 
(b) contínua em (-∞,∞) se m é ímpar. 
 
Exemplo 3.4: Utilizando os teoremas anteriores, podemos concluir que as seguintes funções são 
contínuas nos intervalos dados 
(a) 
  xxxf 32 
 em [0,∞) 
(b) 
 
x
xx
xf



1
3
2
2 em (-∞,1) e (1,∞) 
(c) 
 
  32
56 2
3
3
2



xxx
xx
xf
 em (0,2) e (2,∞) 
 
 
3.1.1 Definição Alternativa de Continuidade 
Teorema 3.4: Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo o número a. Então, f é 
contínua em a se, e somente se, 
   afhaf
h

0
lim
. 
A função f é contínua em (a, b], mas não em 
[a, b]. 
 34 
Demonstração: Seja 
axh 
. Então, 
ax 
, se, e somente se, 
0h
. Além disso, 
  xaxaha 
, tal que 
   xfhaf 
 e 
   xfhaf
axh 
 limlim
0
. 
 Portanto, 
   afhaf
h

0
lim
 é equivalente a 
   afxf
ax


lim
, que é a definição de continuidade 
(definição 3.1). 
 
 
Exemplo 3.5: Mostre que a função 
  xxf sen
 é contínua para todo x. 
 
 
 
 
 
Teorema 3.5: Seja f uma função contínua em um intervalo aberto contendo o número L. Se o limite 
  Lxg
ax


lim
 
 existe, então, 
       Lfxgfxgf
axax


limlim
 
 Este teorema afirma que se a função “de fora” na função composta fog é contínua, 
podemos “passar o limite para dentro da função f”. 
 
Exemplo 3.6: 
(a) 
       0sen0senlimsensenlim 2
0
2
0


 xx
xx
. 
 Neste caso, 
  xxf sen
 e 
  2xxg 
. 
 
(b) 
2
2
2
1sen
lim
2
1
2
sen
lim
2
sen
lim
000

  x
x
x
x
x
x
xxx
. 
 
 
 35 
3.1.2 Teorema do Valor Intermediário 
Teorema 3.6: Seja f contínua no intervalo [a, b] com 
   bfaf 
. Seja d um número qualquer 
entre 
 afe 
 bf
. Então, existe, no mínimo, um número 
 bac ,
 tal que 
  dcf 
. 
 O teorema do valor intermediário é um teorema de existência. Ele simplesmente garante que, no 
mínimo, um número c existe que satisfaz a condição 
  dcf 
. Entretanto, não nos diz como 
encontrará este número. 
 
 
 
Exemplo 3.7: A função 
  13  xxf
 é contínua no intervalo [0,2]. Como 
  10 f
 e 
  32 f
, o 
teorema do valor intermediário garante que se d é qualquer “valor intermediário” com 1 < d < 3, existe 
um número 
 2,0c
 com 
  dcf 
. Em particular se 
2
5
d
, então, 
 
2
5
cf
. 
Portanto, 
3
33
4
1
4
1
2
5
1  ccc
. 
 
 
 
 
 
 36 
Exemplo 3.8: Use o teorema do valor intermediário para resolver a desigualdade 
xxx 54 23 
. 
Solução: Primeiro, convertemos a desigualdade na forma 
  0xf
. 
054 23  xxx
 
Assim, seja 
  xxxxf 54 23 
. Com f é um polinômio, f é contínua em 
  ,
. Os zeros de f são: 
      515454 223  xxxxxxxxxxf
, 
tal que 
  0xf
 para x = -1, 0 e 5. 
 A tabela a seguir mostra o sinal de f em cada intervalo. 
Intervalo X 
 xf
 Conclusão 
 1,
 
2x
 
  0142 f
 
   1, em 0 xf
 
 0,1
 
2
1
x
 
0
8
11
2
1






f
 
   0,1 em 0 xf
 
 5,0
 
1x
 
  081 f
 
   5,0 em 0xf
 
 ,5
 
6x
 
  0426 f
 
    ,5 em 0xf
 
 
Exercícios 
26. Dê os intervalos sobre os quais a função é contínua: 
(a) 
 
1
1


x
xf
 (b) 
 






2,1
2,1
xx
xx
xf
 (c) 
 
2
2
2 


xx
x
xf
 (d)  











21
2
1
214
1
2
x,x
x,x
xx,
xf 
27. A função 
 
1
12



x
x
xf
 tem uma descontinuidade removível em x = 1. Determine como 
definir 
 1f
 tal que a função seja contínua em 1. 
28. Calcule a constante k que torne a função contínua em x = a: 






2,10
2,
xx
xx
y
k , a = 2 
29. Use o teorema 3.5 para calcular o limite: 
(a) 
 53
8
1lim x
x


 (b)
 x
x




coslim
2
 
30. Resolva a desigualdade 
  0xf
 ou 
  0xf
 usando o teorema do valor intermediário: 
(a) 
  86 xx
 (b) 
09 24  xx