Cálculo Diferencial e Integral I: Derivada de Funções e Aplicações

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE ENERGIA 
Profª.: Dra. Selma Helena Marchiori Hashimoto 
 
Cálculo Diferencial e Integral I 
Roteiro 4: DERIVADA DE FUNÇÕES E APLICAÇÕES 
 
1. A DERIVADA COMO UMA FUNÇÃO 
Já definimos que a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto 
  00 , xfx
, se 
existe, é o limite 
   
h
xfhxf
m
h
00
0
lim



 
 
 Sejam, 
   00 xfhxff 
 
e 
   00 xhxx 
 
 O quociente 
 
   
 
   
h
xfhxf
xhx
xfhxf
x
f 00
00
00 





 (1.1) 
é chamado quociente da diferença. 
 
 
Definição 1.1: A derivada da função f em x0 é o número 
 
 
   
h
xfhxf
xf
h
00
0
0 lim'



 (1.2) 
desde que este limite exista. 
 
 O quociente da diferença (1.1) é a inclinação da reta secante. Assim, a derivada 
 0' xf
 é a 
inclinação da tangente em 
  00 , xfx
. 
 
Observações: 
1. Dizemos que a função f é diferenciável em x0 se o limite 
 0' xf
 na definição 1.1 existe. Esse 
processo de calcular a derivada 
 0' xf
 é conhecido como diferenciação da função f. 
 
2. Quando 
 0' xf
 existe para todo x0 em um intervalo I, o processo de diferenciação produz uma 
nova função f ', definida no intervalo I, com valores 
  Ixxf ,'
. 
 
 2 
Definição 1.2: A derivada da função f no intervalo I, denotada por f ', é a função com valores 
 
   
h
xfhxf
xf
h


0
lim'
 
desde que este limite exista para todo x  I. 
 
Exemplo 1.1: Calcular a derivada da função linear 
  bmxxf 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, para a função linear 
  bmxxf 
, a função inclinação (derivada) f ' é a função 
constante 
  mxf '
. 
 
 
Observação: Forma equivalente do quociente da diferença (1.1): definindo 
hxx  0
, então 
0xxh 
. Assim, quando 
0h
, 
0xx 
. Obtemos, então: 
 
       
x
f
xx
xfxf
h
xfhxf
xf
xxxxh 







 00
limlimlim'
0
000
0
0
 
 
 
Exemplo 1.2: Calcular a derivada da função 
  2xxf 
 
 
 
 
 
 
 
 Por exemplo, 
         2'e63',42',00'  ffff . Em outras palavras, a derivada de 
  2xxf 
 é a função 
  xxf 2' 
. 
 
Exemplo 1.3: Calcular a derivada da função 
  xxf 
 
 
 
 
 
 Por exemplo, 
 
4
1
4' f
, 
   
272
1
27',
6
1
9'  ff
, mas 
 0'f
 não é definida. 
 3 
1.1 Propriedades da Derivada 
 
Teorema 1.1: Se as funções f e g são diferenciáveis em x e c é um número real qualquer, então, as 
funções 
gf 
 e 
fc 
 são também diferenciáveis em x, e 
 (a) 
       xgxfxgf ''' 
 
 (b) 
     xcfxcf '' 
 
 
 
Exemplo 1.4: Para 
  xxxh 43 2 
, encontre 
 xh'
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 1.2: Seja f definida em um intervalo aberto contendo x0. Se 
 0' xf
 existe, então f é 
contínua em x0. 
 
Demonstração: Para provar que f é contínuo em x0, devemos mostrar que 
   0
0
lim xfxf
xx


 
 
 Como, por hipótese, 
 0' xf
 existe, temos: 
        
   
 
   
 
 
0
0'
limlim
lim
limlim
0
0
0
0
0
0
0
00
00
0
00

























xf
xx
xx
xfxf
xx
xx
xfxf
xfxfxfxf
xxxx
xx
xxxx
 
 
 O que prova que 
   0
0
lim xfxf
xx


. 
 
 
 4 
Observação: A recíproca do teorema 1.2 não é verdadeira. Isto é, uma função pode ser contínua no 
número x = a, mas não ser diferenciável em a. Um exemplo disso é a função valor absoluto 
  xxf 
 para x = 0. 
 
 
Exemplo 1.5: A função 
  xxf 
 não é diferenciável em x = 0. Para mostrar isto, escrevemos o 
quociente da diferença em 0. 
   







0,1
0,100
hse
hse
h
h
h
fhf
 
 
 Assim, a função valor absoluto seria diferenciável em 0 se 
h
h
h 0
lim

 existisse. Entretanto, já 
vimos que este limite não existe. Conseqüentemente, a função valor absoluto não é diferenciável em 
0. 
 
 Isto ocorre porque o gráfico de 
  xxf 
 tem um “canto” no ponto (0,0). Portanto, o gráfico 
não tem uma reta tangente bem definida em (0,0). 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Use a definição 1.2 para calcular f '. 
(a) 
  56  xxf
 
(b) 
 
1
1


x
xf
 
(c) 
  1 xxf
 
(d) 
 
2
1
x
xf 
 
 
2. Uma normal a uma curva no ponto P é uma reta que passa por P e é perpendicular à tangente. 
Encontre uma equação para a normal ao gráfico de 
  72  xxf
 no ponto 
 2,3P
. 
 
3. Seja 
 






1,22
1,2
xx
xxx
xf
 
 (a) f é diferenciável em 1? Por quê? 
 (b) f é contínua em 1? Por quê? 
 
4. Seja 
  xxf sen
. Calcule 
 0'f
 diretamente da definição 1.1. 
 
 
 
 5 
1.2 Regras para Calcular Derivadas 
 
Observação: Notação alternativa de derivada: 
Notação de Leibniz: 
 xf
dx
d
 e 
dx
df
 
Lê-se: derivada de f com relação à x. 
 
 
Definição 1.3: (Definição alternativa de derivada) 
x
f
dx
df
x 


 0
lim
 
 Se 
 xfy 
, podemos denotar a derivada por: 
'y
 e 
dx
dy
 
para representar a função derivada 
 xf '
. 
 
 
Teorema 1.3: Seja f uma função constante com valores 
  cxf 
 para todo x. Então 
  0' xf
, para 
todo x. 
 
 
Teorema 1.4: (Regra da Potência) 
Seja n um inteiro não nulo qualquer. A função 
  nxxf 
 é diferenciável para todo 
x e 
  1'  nnxxf
. 
Isto é, 
,2,1,1   nnxx
dx
d nn
. 
 
 
Exemplo 1.6: Calcule a derivada das seguintes funções: 
(a) 
  27xxf 
 
(b) 
4 xy
 
 
 
Exemplo 1.7: Calcular a derivada de: 
(a) 
  43 5  xxf
 
 
(b) 
  34 57  xxxf
 
 
(c) 
  564236 2345  xxxxxxf
 
 6 
 
Teorema 1.5: (Regra do Produto) 
 Sejam f e g diferenciáveis em x. Então, a função produto fg é diferenciável em x e 
           xg'xfxgxf'x'fg 
 
 
 
Exemplo 1.9: Para
    972  xxxf
, calcule 
 xf '
. 
Solução: Aplicando a regra do produto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Outra abordagem: 
 Podemos reescrever a função como 
  63112 2  xxxf
. Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1.10: Para a função 
    33963 343  xxxxxf
, a sua derivada é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
 
Teorema 1.6: (Regra do Quociente) 
Sejam f e g diferenciáveis em x, com 
  0xg
. Então, o quociente 
g
f
 é 
diferenciável em x é 
 
       
  2
''
xg
xgxfxgxf
x
g
f 







 . 
 
 
Exemplo 1.11: Calcule 
 xf '
 para 
 
3
2
9
173
x
xx
xf



. 
Solução: Pela regra do quociente, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1.12: Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de 
22  xxy
 no ponto (1,2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8Exercícios 
1.Encontre a derivada da função: 
(a) 
  238 xxxf 
 
(b) 
  bxaxxf  3
 
(c) 
 
2
52 

x
xf
 
(d) 
    21  xxxf
 
(e) 
   23 xxxf 
 
(f) 
 
2
2 4325
xx
xxxf 
 
(g) 
 
x
xf


3
6
 
(h) 
 
3
4
1
44
x
xx
xf



 
(i) 
  53 25   xxxf
 
(j) 
    






x
xxxf
1
2
 
(k) 
 
2
3
1 






x
xf
 
(l) 
 
2
1
1









x
x
xf
 
(m) 
    7325   xxxxxf
 
(n) 
 
5
43
x
xx
xf


 
 
 
 
2. Encontre f’ de dois modos: primeiro, pela regra do produto; depois, expandindo para eliminar 
os parênteses. 
(a) 
    937 43  xxxxf
 
(b) 
  














2
1
1
1
xx
xf
 
 
3. Use a regra do produto para estabelecer a seguinte fórmula para a derivada do produto de três 
funções: 
                     xhxgxfxhxgxfxhxgxfxfgh '''' 
 
 
4. Utilize o resultado do exercício 3 para calcular a derivada: 
(a) 
     4312 2  ssssf
 (b) 
  




















2
1
1
11
xxx
xf
 
(c) 
   33 962  tttg
 
 
5. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função dada no ponto dado: 
(a) 
 
1
1



x
x
xf
 no ponto (1,0) (b) 
 
2
1
1 






x
xf
 no ponto (1,0) 
 
6. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função dada no ponto dado: 
(a) 
  12 3  xxf
, no ponto (1,3) 
(b) 
 
2
2
x
xf 
, no ponto 






2
1
,2
 
 9 
2. DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Teorema 2.1: A função 
  xxf sen
 é diferenciável para todo x, e 
  xxf cos' 
. A função 
  xxg cos
 é diferenciável para todo x, e 
  xxg sen' 
. Isto é, 
xx
dx
d
cossen 
 e 
xx
dx
d
sencos 
 
 
Demonstração: A demonstração deste teorema usa os limites: 
1
sen
lim
0

 h
h
h
 e 
0
cos1
lim
0


 h
h
h
 
 
 
 
 
       
x
xx
h
h
x
h
h
x
h
h
x
h
h
x
h
hxhx
h
xhxhx
h
xhx
x
dx
d
hh
h
h
h
h
cos
1cos0sen
sen
limcos
1cos
limsen
sen
cos
1cos
senlim
sencos1cossen
lim
sensen coscossen
lim
sensen
limsen
00
0
0
0
0













 


















 












 
e 
 
 
 
       
x
xx
h
h
x
h
h
x
h
hxhxos
h
xhxhx
h
xhx
xos
dx
d
hh
h
h
h
sen
1sen0cos
sen
limsen
1cos
limcos
sensen1cosc
lim
cossen sencoscos
lim
coscos
limc
00
0
0
0













 











 
 
 
Exemplo 2.1: Para 
xxy sen3
, a derivada é: 
 
 
 
 
 
 10 
Exemplo 2.2: Calcule 
dx
dy
 para 
x
x
y
cos2
cos2



. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.3: Calcule a derivada de 
xy tan
, onde ela for definida, e determine para quais valores 
de x a função 
xy tan
 é diferenciável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
xtan
 e a 
xsec
 são diferenciáveis para todos os valores de x em 
 






 ,2,1,0,
2
,0cos nnxx 
. 
 
 Podemos mostrar que: 
 
xxx
dx
d
xxx
dx
d
xx
dx
d
cotancosseccossec
tansecsec
cosseccotan 2



 
 11 
Exercícios 
1.Calcule 
 xf '
: 
(a) 
  xxf cos4
 
(b) 
  xxxf tan3
 
(c) 
    xxxf cotan23 
 
(d) 
  xxxf secsen 
 
(e) 
  xxxxxf sencos 
 
(f) 
 
x
x
xf
sen2 

 
(g) 
 
x
xx
xf
tan1
cossen



 
(h) 
 
xx
x
xf
tan54
cossec3
2 

 
(i)
 
xx
xx
xf
tan
cotan42



 
2. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de 
xxy sen
, no ponto 
 0,
. 
 
 
 
3. REGRA DA CADEIA 
 Antes de definir a regra da cadeia, consideremos o caso especial de uma potência g
n
 de uma 
função g. 
 Se g é uma função diferenciável de x, a regra do produto pode ser aplicada para calcular a 
derivada de seu quadrado: 
       
       
   xgxg
xgxgxgxg
xggxg
'2
''
2





 
 
 Generalizando, podemos obter a Regra de Potência para Funções: 
 Se 
 xgu 
 e 
 xguy nn 
, temos: 
    xgxgn
dx
du
nu
dx
dy nn '
11 

 
 
 
Exemplo 3.1: Calcule 
 xh'
, se 
   324 6xxxh 
. 
 
 
 
 
 
 
 12 
Exemplo 3.2: Para 9
3 7
3









x
x
y
, calcule 
dx
dy
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.3: Calcule 
dx
dy
 para 
xy 2sen
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 3.1: (Regra da Cadeia) 
 Se g é diferenciável em x e f é diferenciável em 
 xgu 
, então, a função composta 
fog é diferenciável em x, e 
        xgxgfxgf '''o 
 
Isto é, 
       xgxgfxgf
dx
d
'' 
 
 
Na notação de Leibniz: Se 
 ufy 
 e 
 xgu 
, então, 
dx
du
du
dy
dx
dy

 
 
 
 13 
Exemplo 3.4: Para 
 436
1
xx
y


, calcule 
dx
dy
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.5: Calcule 
dx
dy
 para 
 xxy  26sen
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema 3.2: (Regra da Potência para o caso de Expoentes Racionais) 
Seja 
  q
p
xxf 
, em que p e q são inteiros, com 
0p
e 
0q
. Então, f é 
diferenciável e 
 
1
'

 q
p
x
q
p
xf
 
 
Exemplo 3.6: Calcule 
 xf '
 onde 
  4 23 3 xxxf
 
 
 
 
 
 
 
 14 
Exercícios 
1. Forme a função composta 
  xgfy 
 com 
 xgu 
. Então, calcule 
dx
dy
 usando a Regra da 
Cadeia: 
(a) 
    23 1,1 xxguuf 
 
(b) 
     
x
xguuuf
1
,1 2 
 
(c) 
    41,tan xxguuf 
 
 
2. Determine a função 
 uf
 tal que 
 ufy 
. Então, calcule 
dx
dy
 usando a Regra da Cadeia: 
(a) 
  xxuxxy  22 ,sen
 
(b) 
xu
x
x
y sen,
sen1
sen1




 
(c) 
73
73
,
73
73
4











x
x
u
x
x
y
 
(d) 
xu
x
x
y 3,
73
73
4









 
 
3. Calcule a derivada das funções: 
(a) 
 32 4 xy
 
 
(b) 
  6cos xxy 
 
 
(c) 
 xxy 3sen 3 
 
 
(d) 
 xxy  2tan
 
 
(e) 
 34 5 xxy
 
 
(f) 
 32 9
1


x
y
 
(g) 
 62 1

xx
x
y
 
(h) 
   3
4
2 xxf
 
 
(i) 
 
x
xxf
1

 
 
(j) 
 
 
 3
4
2
3
2
2
1
1
x
x
xf



 
 
(k) 
  31 xxf 
 
 
(l) 
  3 2sen xxf 
 
 
 15 
4. A DERIVADA COMOTAXA DE VARIAÇÃO 
 Até agora temos interpretado a derivada como a inclinação da reta tangente ao gráfico de uma 
função. Existe, entretanto, uma outra interpretação que é extremamente importante: a interpretação da 
derivada como taxa de variação. 
 Por exemplo, se 
 ta
 é a área da superfície de um cubo de gelo que derrete no tempo t, então, 
veremos que 
 ta'
 representa a taxa na qual a área da superfície está variando. 
 
4.1. Velocidade como Medida pela Derivada 
 Imagine um objeto que se mova ao longo de uma reta, tal como, por exemplo, um automóvel 
sobre uma pista. Na física, definimos a velocidade de tal objeto pela equação 
 
TemponoVariação
PosiçãonaVariação
Velocidade
 (4.1) 
 O significado da equação (4.1) é que ela representa uma velocidade média para o período de 
tempo em questão. De fato, muitas vezes durante o percurso a velocidade do objeto pode assumir 
valores diferentes. 
 
 Existe uma situação especial na qual podemos utilizar a teoria da derivada para definir a 
velocidade de um objeto em cada instante, ao invés de ter apenas a velocidade média em um intervalo 
de tempo finito. 
 Primeiro, o movimento do objeto deve ser ao longo de uma reta (movimento retilínio), ao invés 
de ao longo de uma curva geral. Segundo, devemos ter uma função posição s que fornece a 
localização 
 ts
 do objeto ao longo da reta para cada tempo t. 
 Para definir a velocidade de um objeto no tempo 
0t
 (velocidade instantânea no tempo 
0t
), 
observamos que se 
0h
, então 
   00 tshts 
 é a mudança (variação) na posição do objeto 
correspondente ao intervalo de tempo com pontos finais 
0t
 e 
ht 0
. 
 
 Assim, a expressão 
 
   
h
tshts
MédiaVelocidade 00


 (4.2) 
é precisamente a velocidade (média) como definida pela equação (4.1). 
 16 
 Quando 
0h
 a velocidade média correspondente ao intervalo de tempo que vai diminuindo 
fornece uma medida precisa da velocidade no instante 
0tt 
. Por esta razão, definimos a velocidade 
no tempo 
0tt 
 como sendo o valor limite destas velocidades médias, isto é, 
 
 
   
 0
00
0
0 'lim ts
h
tshts
tv
h




 (4.3) 
se este limite existir. 
 A equação (4.3) simplesmente nos diz que a velocidade é a derivada da função posição. 
 
Definição 4.1: Se a função diferenciável s fornece a posição no tempo t de um objeto que se move ao 
longo de uma reta, então a velocidade 
 tv
 no tempo t é a derivada 
   tstv '
. Isto é, 
   ts
dt
d
tv 
. 
 
 
Exemplo 4.1: Iniciando no tempo t = 0, uma partícula move-se ao longo de uma reta tal que sua 
posição no tempo t segundos é 
  862  ttts
 metros. 
(a) Calcule sua velocidade no tempo t. 
(b) Quando sua velocidade é zero? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4.2: Suponha que um balão esférico é inflado, tal que, no tempo t (em segundos) seu raio é 
2t centímetros. Qual é a taxa média de variação da área de sua superfície de t = 1 a t = 2? Qual é a taxa 
instantânea da variação de t = 2? 
 
 
 
 17 
Exemplo 4.3: Para a função 
  ttf sen
, a taxa média de variação no intervalo 






2
1
,
4
1
 é: 
 
 
 
 
 
 
 A taxa instantânea de variação em 
4
1
t
 é: 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1. Calcule a taxa média de variação da função dada no intervalo de tempo dado. Então, calcule a 
taxa instantânea de variação no tempo 
0t
 especificado. 
(a) 
   
2
,32,1 0
2 s
tttts 
 
(b)
    1,10,1 03  tttttf
 
 
2. Uma partícula move-se ao longo de uma reta tal que sua posição no tempo t é 
 
1
22



t
t
ts
 
unidades. Calcule sua velocidade no tempo 
3t
. 
3. Uma bola de neve esférica cujo raio inicial é 10,16 cm inicia seu derretimento, de forma que 
seu raio decresce de acordo com a fórmula 
24 tr 
, t medido em minutos. 
(a) Qual a taxa média de variação de seu volume nos intervalos de tempo 
10  t
 e 
21  t
? 
(b) Qual a taxa instantânea da variação de seu volume em 
1t
? 
 18 
5. DERIVADA DE ORDEM SUPERIOR 
 
Definição 5.1: (Derivada Segunda) 
A derivada segunda de uma função f, em relação à variável x, é denotada por 
 xf ''
, ou 
2
2
dx
fd
, e definida como 
 
   
h
xfhxf
xf
h
''
lim''
0



 
desde que o limite exista. 
 
 Na prática, calcular a derivada segunda significa derivar novamente a partir da função derivada, 
desde que essa derivada exista. 
 
Exemplo 5.1: Calcule a derivada segunda da função 
  753 234  xxxxf
. 
 
 
 
 
 
Exemplo 5.2: Calcule a derivada segunda da função 
  1sen  xxf
. 
 
 
 
 
 
Observação: Se 
''f
 é uma função diferenciável, a sua derivada dada por
'''f
, é denominada derivada 
terceira de f. A derivada de ordem n dada por f
(n)
 é obtida pela derivada da derivada de ordem n – 1 de 
f. 
 
Exemplo 5.3: Derive sucessivamente a função 
  4xxf 
 até reduzi-la a zero. 
 19 
6. APLICAÇÕES DA DERIVADA 
 
6.1 Máximos e Mínimos 
 Para obter pontos de máximo ou de mínimo de uma função, basta construir o gráfico da função e 
identificar tais pontos. Porém, nem sempre é simples a construção do gráfico de muitas funções. 
Sendo assim, usaremos a definição de derivada de funções para encontrar tais pontos. 
 
Definição 6.1: (Ponto crítico) 
 Considerando-se uma função f definida sobre um domínio D, se 
Dx 0
 e 
  0' 0 xf
, 
0x
 é chamado de ponto crítico ou ponto estacionário. 
 
 Encontrar pontos críticos nos quais a derivada é nula significa encontrar pontos onde a variação 
é nula, ou, ainda, para pontos muito próximos dos pontos críticos, a variação é aproximadamente nula. 
 
Exemplo 6.1: A função 
  2xxf 
, definida sobre [-1, 2], possui 
0x
 como ponto crítico, pois 
  00' f
. 
 Graficamente, temos: 
 
 
 
 
Definição 6.2: (Extremos absolutos) 
 Seja f uma função de domínio D. Então 
 cf
 é 
(a) o máximo absoluto de f em D se e somente se 
   cfxf 
 para qualquer 
que seja x em D. 
(b) o mínimo absoluto de f em D se e somente se 
   cfxf 
 para qualquer 
que seja x em D. 
 
 Máximos e mínimos absolutos (ou globais) também são chamados de extremos absolutos. 
Geralmente omitimos os termos ‘absoluto’ e ‘global’, dizendo apenas máximo e mínimo. 
 20 
Definição 6.3: (Extremos locais) 
 Seja c um ponto interior do domínio da função f. Então 
 cf
 será: 
(a) um valor máximo local em c se e somente se 
   cfxf 
 para qualquer x 
em um intervalo aberto que contenha c. 
(b) um valor mínimo local em c se e somente se 
   cfxf 
 para qualquer x 
em um intervalo aberto que contenha c. 
 
Teorema 6.1: (Pierre Fermat) 
 Se uma função f possui um ponto de extremo (máximo ou mínimo) local em 
cx 
 
e a função f é diferenciável neste ponto, então 
cx 
 é um ponto crítico, isto é, 
  0' cf
. 
 
Observações: 
1. Pelo teorema 6.1, se 
cx 
 é um ponto de extremo local para f, a derivada de f se anula e passa 
uma reta tangente horizontal à curva 
 xfy 
 no ponto 
  cfc,
. 
 
 
2. Existem funções com um ponto crítico em 
cx 
, que não é ponto de máximo nem de mínimo 
local para f, como, por exemplo, a função 
  3xxf 
 definida sobre a reta, 
0x
 é ponto 
crítico, mas este não é um ponto de extremo para f. Neste caso, chamamos o ponto 
0x
 de 
ponto de inflexão. 
 
 
 
 
 21 
3. Seos pontos de extremos locais para f estiverem nas extremidades do domínio de f, as 
derivadas laterais de f poderão existir e ser não nulas. Por exemplo, a função 
  21 xxf 
 
definida sobre [-1, 2] possui três extremos, onde 
1x
 e 
2x
 são pontos de mínimo local e 
0x
 é um ponto de máximo local, mas 
  21' f
 e 
  42' f
. 
 
 
 
 
4. Para definir os pontos de máximo e de mínimo absolutos (ou globais), basta comparar os 
valores da função em todos os pontos críticos encontrados e nos extremos do intervalo. 
 
 
 
 Existe um critério que faz uso da derivada primeira para identificar se um ponto localizado no 
interior do domínio da função, é ponto de extremo (máximo ou mínimo) local para f. 
 Este critério se baseia nas seguintes idéias: 
1. Se a função é crescente as retas tangentes em cada ponto de seu gráfico possuem coeficientes 
angulares positivos. 
2. Se a função é decrescente as retas tangentes em cada ponto de seu gráfico possuem coeficientes 
angulares negativos. 
3. Se existe algum ponto de extremo local a reta tangente ao gráfico neste ponto tem coeficiente 
angular zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
6.1.1 Teste da derivada primeira 
 
 
Teorema 6.2: Seja f uma função diferenciável sobre um conjunto S, possuindo um ponto crítico 
cx 
 no interior de S, isto é, 
  0' cf
: 
 
(a) Se a derivada de f é positiva à esquerda de 
cx 
 e é negativa à direita de 
cx 
, 
então c é um ponto de máximo para f. 
 
(b) Se a derivada de f é negativa à esquerda de 
cx 
 e é positiva à direita de 
cx 
, 
então c é um ponto de mínimo para f. 
 
 
 
 
 
Exemplo 6.2: Seja a função 
  2xxf 
 definida sobre [-1, 2]. Sabemos que 
  xxf 2' 
, assim o único 
ponto crítico ocorre em 
0x
. 
 
 Temos que: 
 
  0se0'
0se0'


xxf
xxf
 
 
 Assim, pelo teste da derivada primeira, concluímos que 
0x
 é um ponto de mínimo local para f. 
 
 
 
  0' xf
 
mínimo 
  0' xf
 
  0' xf
 
  0' xf
 
máximo 
  0' xf
 
  0' xf
 
 23 
Exemplo 6.3: Dada a função 
  xxxxf 96 23 
, encontre os pontos críticos e determine se esses 
pontos são pontos de extremos da função. 
Solução: Para encontrar os pontos críticos de f, precisamos encontrar os pontos em que 
  0' xf
. 
Como, 
  9123' 2  xxxf
, temos os pontos críticos 
3x
 e 
1x
. 
 Aplicando o teste da derivada primeira, temos: 
 
 
 
 










1se0'
1se0'
3se0'
3se0'
xxf
xxf
xxf
xxf
 
 
 Assim, 
3x
 é um ponto de máximo local e 
1x
 é um ponto de mínimo local. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6.4: A função modular 
  xxf 
 definida sobre [-1, 1] possui um ponto crítico em 
0x
, 
que é um ponto do domínio em que não existe a derivada de f. Esse ponto é ponto de mínimo local. 
 
 
Exemplo 6.5: A função 
  xsenxf 
 definida em 
  ,
, possui máximo em 
x
 e 
2

x
 e 
mínimo em 
2

x
 e 
x
. 
 
 
 24 
Exemplo 6.6: A função 
 
x
xxf
1

 definida sobre [-3, 3], não possui derivada em 
0x
. Seus 
pontos críticos são 
1x
 e 
1x
, sendo o ponto 
 2,1 
 um máximo local e o ponto 
 2,1
 um 
mínimo local. 
 
 
 
 
 
Observações: 
1. O critério da derivada primeira pode ser escrito na forma: Se f é uma função diferenciável 
sobre um intervalo [a, b] e existe um ponto 
cx 
 no intervalo aberto (a, b) para o qual 
 cf '
 
é diferente de 0, então este ponto 
cx 
 não pode ser ponto de máximo nem de mínimo para f. 
Lembrando que nem todo ponto crítico de uma função é ponto de extremo dessa função. 
 
2. Se f é uma função contínua definida sobre um intervalo fechado e limitado [a, b], então f 
assume o seu valor máximo (ou mínimo): 
 Nas extremidades do intervalo [a, b], ou 
 Em pontos críticos de f, ou 
 Em pontos onde a derivada de f não existe. 
 
 
 
 
 
 25 
6.1.2 Teste da derivada segunda 
Teorema 6.3: (Concavidade) 
Seja f uma função diferenciável duas vezes sobre um conjunto S, então: 
(a) Se 
  0'' xf
 em algum ponto x de S, então o gráfico de f tem a concavidade voltada para 
cima nas vizinhanças de x. 
(b) Se 
  0'' xf
 em algum ponto x de S, então o gráfico de f tem a concavidade voltada para 
baixo nas vizinhanças de x. 
 
Teorema 6.4: (Máximos e mínimos) 
Seja f uma função diferenciável sobre um conjunto S, tal que a sua derivada seja uma função 
contínua. Supondo que f possui um ponto crítico 
cx 
 em S, isto é, 
  0' cf
, temos: 
(a) Se 
  0'' xf
 então 
cx 
 é um ponto de máximo local para a função f. 
(b) Se 
  0'' xf
 então 
cx 
 é um ponto de mínimo local para a função f. 
(c) Se 
  0'' xf
 então 
cx 
 pode ser um ponto de inflexão, caso haja mudança de sinal da 
derivada segunda na vizinhança de x, ou, caso contrário, ponto de máximo ou mínimo local. 
 
 Às vezes, várias derivadas sucessivas da função se anulam no ponto crítico, assim o critério da 
derivada segunda para máximos e mínimos necessita ser ampliado como segue. 
 
Teorema 6.5: (Máximos e mínimos usando a n-ésima derivada) 
Seja f uma função que possui todas as n primeiras derivadas contínuas sobre um conjunto S. 
Admitindo que f possui um ponto crítico c em S, isto é, 
  0' cf
 e que: 
          0...''''' 14   cfcfcfcf n
 
mas 
  cf n
 é diferente de zero. 
Assim, 
(a) Se n é par e 
   0cf n
, 
cx 
 é ponto de máximo local para a função f. 
(b) Se n é par e 
   0cf n
, 
cx 
 é um ponto de mínimo local para a função f. 
(c) Se n é ímpar e 
  cf n
 é diferente de zero, 
cx 
 não é ponto de mínimo para f, nem ponto 
de máximo para f. Este ponto 
cx 
 recebe o nome de ponto de inflexão horizontal para a 
função f. 
 26 
Exemplo 6.7: A função 
  21 xxf 
 definida sobre [-1,2] possui ponto crítico em 
0x
. Como 
  020'' f
, pelo teorema 6.5, 
0x
 é ponto de máximo local para f. 
 
Exemplo 6.8: Encontre e classifique os pontos críticos das funções a seguir e esboce seus gráficos: 
(a) 
  52489 23  xxxxf
 
(b) 
   44 xxf 
 
(c) 
  33  xxf
 
(d) 
   2,0,cos3  xxxf
 
 
Exercícios 
1. Calcule as derivadas de segunda ordem das funções: 
(a) 
  tttts  35 2
 
(b) 
  xxxxf 52 
 
(c) 
 
42
2


x
x
xf
 
(d) 
   2cos3 2f
 
(e) 
  129 2  sssg
 
(f) 
  xxf 3
 
 
2. Derive as funções do exercício anterior (quantas vezes forem necessário) até obter um 
resultado nulo (derivada igual a zero), se possível. 
 
3. Nas funções que seguem, encontre os máximos e mínimos locais e os pontos de inflexão e 
construa, a partir daí, os gráficos correspondentes: 
(a) 
   32 5 xxf
 
(b) 
 
3
2


x
x
xg
 
(c) 
  42  xxf
 
(d) 
   32 xxf
 
(e) 
  962  xxxf
 
(f) 
  223 xxxf 
 
 
4. Identifique os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os (considerando o intervalo no 
qual a função é definida): 
(a) 
  32,5
3
2
 xxxf
 
(b) 
  20,4 2  xxxxf
 
(c) 
  25,0,
1
2
 x
x
xf
 
(d) 
 
2
3
2
,sec

 xxxf
 
(e) 
  81,3  xxxf
 
(f) 
 





0,23
0,3
2 xxx
xx
xf