CálculoIIIProvaAem020511 - Rogério

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Universidade do Vale do Rio dos Sinos
Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
97954 – Ca´lculo III: Se´ries e Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis – Prova do Grau A – 2011/1 – Prof. Roge´rio
Nome:
1. Determine o intervalo de convergeˆncia de cada uma das se´ries de poteˆncias abaixo:
(a)
+∞∑
n=0
(4x + 7)n
n + 1
(b)
+∞∑
n=0
n! · xn
(2n)!
(c)
+∞∑
n=1
n · (x + 2)n
3n
(d)
+∞∑
n=1
x2n
5n · n3
2. Para cada uma das se´ries abaixo diga se ela converge ou diverge, justificando a
sua resposta.
(a)
+∞∑
n=1
8n1/3 +
√
n
5 + n3/2
(b)
+∞∑
n=1
(−1)n8n
1/3 +
√
n
5 + n3/2
3. Encontre os valores de x para os quais a se´rie geome´trica abaixo converge.
Em seguida, encontre a soma da se´rie (em func¸a˜o de x) para esses valores de x.
(a)
+∞∑
n=0
2nx−n (b)
+∞∑
n=0
(−1)nx3n
4. Aproxime a soma da se´rie com a precisa˜o de quatro casas decimais, ou seja, erro
inferior a 10−4 :
+∞∑
n=1
(−1)n
n! · (2n + 1)
5. Verdadeiro ou Falso. Justifique!
(a) Se
+∞∑
n=1
|an| diverge, enta˜o
+∞∑
n=1
an tambe´m diverge.
(b) Se
+∞∑
n=1
an diverge, enta˜o
+∞∑
n=1
a2n tambe´m diverge.
Valor de cada Questa˜o: 1. 3,6 2. 1,0 3. 1,0 4. 0,8 4. 0,6 .
Respostas:
1. (a) I =
[
−2,−3
2
)
. (b) I = R = (−∞,+∞). (c) I = (−5, 1). (d) I = [−
√
5,
√
5].
2. (a) DIVERGE. (b) CONVERGE.
3. (a) 1 +
2
x
+ ... =
1
1− 2
x
=
x
x− 2 , para |x| > 2 ou x ∈ (−∞,−2) ∪ (2,+∞) .
(b) 1− x3 + ... = 1
1− (−x3) =
1
1 + x3
, para |x3| < 1 ou |x| < 1 ou x ∈ (−1, 1) .
4. −0, 25316396566... 5. (a) Falso. (b) Falso.