ANEIS POLINOMIO

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An¶eis de polino^mios
2.1 Primeiros conceitos
Seja A um anel comutativo, com elemento unidade 1.
Express~oes simb¶olicas da forma
p(x) = a0 + : : :+ anx
n =
nX
k=0
akx
k = anx
n + : : :+ a0
em que a0; : : : an 2 A e n 2 N, s~ao chamadas polino^mios sobre A (ou com
coe¯cientes em A), na indeterminada x.
Na nota»c~ao de polino^mios, convenciona-se que x0 = 1; x1 = x = 1¢x, e 1¢xk = xk,
para cada k 2 N. Assim, por exemplo, em Z3[x], x
2+x+2 ¶e o polino^mio 1x2+1x+2.
Desde j¶a, denotaremos por A[x] o conjunto desses polino^mios.
De¯ni»c~ao 2.1.1 (Igualdade de polino^mios) Dados dois polino^mios em A[x],
f(x) = anx
n + : : :+ a0 e g(x) = bmx
m + : : :+ b0;
com n ¸ m, dizemos que f(x) = g(x) se e somente se
ak = bk; para 0 · k · m e ak = 0 se k > m
De¯ni»c~ao 2.1.2 (Adi»c~ao de polino^mios) Dados dois polino^mios em A[x],
f(x) = anx
n + : : :+ a0 e g(x) = bmx
m + : : :+ b0;
com n ¸ m, de¯ne-se
f(x) + g(x) = (an + bn)x
n + : : :+ (a0 + b0);
convencionando-se que bk = 0 para k > m.
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De¯ni»c~ao 2.1.3 (Multiplica»c~ao de polino^mios) Sendo
f(x) = anx
n + : : :+ a0 e g(x) = bmx
m + : : :+ b0;
dois polino^mios em A[x], de¯ne-se
f(x) ¢ g(x) =
m+nX
k=0
ckx
k = cn+mx
n+m + : : :+ c0;
sendo ck =
P
i+j=k aibj , para cada k, 0 · k · m+ n.
Para ilustrar a de¯ni»c~ao acima, tomemos o caso n = 3;m = 2, ou seja, f(x) =
a3x
3 + a2x
2 + a1x+ a0, e g(x) = b2x
2 + b1x+ b0.
Ent~ao
f(x) ¢ g(x) = (a3x
3 + a2x
2 + a1x+ a0)(b2x
2 + b1x+ b0)
= a3b2x
5 + (a3b1 + a2b2)x
4 + (a3b0 + a2b1 + a1b2)x
3+
(a2b0 + a1b1 + a0b2)x
2 + (a1b0 + a0b1)x+ a0b0
Teorema 2.1.1 Sendo A um anel comutativo, com unidade, o conjunto A[x], com as
opera»c~oes + e ¢ de¯nidas acima, ¶e um anel comutativo com unidade u(x) = 1, elemento
zero z(x) = 0, em que, se p(x) =
Pn
k=0 akx
k 2 A[x], ent~ao seu inverso aditivo (oposto)
¶e o polino^mio ¡p(x) =
Pn
k=0(¡ak)x
k 2 A[x].
Demonstra»c~ao.. A demonstra»c~ao deste teorema ¶e f¶acil mas rotineiramente longa, e ser¶a
omitida aqui.
De¯ni»c~ao 2.1.4 (Grau de um polino^mio) Sendo f(x) =
Pn
k=0 akx
k, n ¸ 0, dize-
mos que f(x) tem grau n, e denotamos grau (f(x)) = n, se an 6= 0. Neste caso,
dizemos tamb¶em que an ¶e o coe¯ciente dominante de f(x) (e que anx
n ¶e o termo
dominante ou termo de maior grau de f(x)). Se f(x) ¶e o polino^mio nulo, diremos
que f(x) tem grau ¡1 (\menos in¯nito"). Note que, neste caso, o grau de f(x) ¶e
apenas simb¶olico, signi¯cando que o grau de f(x) n~ao ¶e um n¶umero natural
Proposi»c~ao 2.1.1 Seja A um anel comutativo com unidade e sejam
f(x) = anx
n + : : :+ a0 e g(x) = bmx
m + : : :+ b0
polino^mios em A[x]. Ent~ao
1. grau (f(x) + g(x)) · maxfgrau (f(x)); grau (g(x))g (convencionando-se que
¡1 < n; 8n 2 N)
2. Se an 6= 0 e an n~ao ¶e divisor pr¶oprio de zero, ent~ao
grau (f(x)g(x)) = grau (f(x)) + grau (g(x))
convencionando-se, caso necess¶ario, que n+ (¡1) = ¡1.
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Demonstra»c~ao..
1. Se f(x) = 0 ou g(x) = 0, nada temos a provar.
Se f(x)6= 0 e g(x)6= 0, suponhamos que grau (f(x)) = n ¸ m = grau (g(x)).
Se n > m ent~ao o termo dominante de f(x)+g(x) ser¶a anx
n e teremos grau (f(x)+
g(x)) = n = maxfn;mg.
Se n = m, ent~ao f(x) + g(x) = (an+ bn)x
n+ : : :+ (a0+ b0). Da¶³, grau (f(x) +
g(x)) = n, se an+ bn 6= 0, enquanto que grau (f(x)+ g(x)) < n, se an+ bn = 0.
2. Se an 6= 0 e bm 6= 0, ent~ao f(x)g(x) = anbmx
n+m + termos de menor grau, e
assim, como anbm 6= 0 (pois an n~ao ¶e divisor pr¶oprio de zero), temos
grau (f(x)g(x)) = n+m = grau (f(x)) + grau (g(x))
Se g(x) = 0, teremos f(x)g(x) = 0, e ent~ao grau (f(x)g(x)) = ¡1 = n +
(¡1) = grau (f(x)) + grau (g(x)).
Corol¶ario 2.1.1 Seja A um anel de integridade e sejam f(x) e g(x) polino^mios em
A[x]. Ent~ao vale a igualdade
grau f(x)g(x) = grau f(x) + grau g(x)
convencionando-se que (¡1) + (¡1) = ¡1 e, 8n 2 N, n+ (¡1) = (¡1) + n =
¡1.
Demonstra»c~ao.. Suponhamos f(x) = anx
n + : : : + a0 e g(x) = bmx
m + : : : + b0. Se
an 6= 0 ou bm 6= 0, usamos diretamente o resultado da proposic~ao 2.1.1, j¶a que, num
anel de integridade n~ao h¶a divisores pr¶oprios de zero.
Se f(x) = 0 ou g(x) = 0, temos
grau (f(x)g(x)) = ¡1 = (¡1) + (¡1)
ou (¡1) +m
ou n+ (¡1)
= grau (f(x)) + grau (g(x))
Corol¶ario 2.1.2 Se A ¶e um anel de integridade ent~ao A[x] tamb¶em ¶e um anel de
integridade.
Demonstra»c~ao.. Se f(x) e g(x) s~ao polino^mios em A[x], ambos n~ao nulos, ent~ao o grau
de cada um ¶e um n¶umero natural. Assim,
grau (f(x)g(x)) = grau (f(x)) + grau (g(x)) 2 N;
de onde f(x)g(x)6= 0.
Logo, A[x] n~ao possui divisores pr¶oprios de zero e ent~ao, como ¶e um anel comu-
tativo com elemento unidade, ¶e um anel de integridade.
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De¯ni»c~ao 2.1.5 (Fun»c~ao polinomial induzida por um polino^mio) Dado um poli-
no^mio p(x) = anx
n+ : : :+a0 2 A[x], a ele corresponde uma fun»c~ao p:A! A, de¯nida
por
p(¸) = an¸
n + : : :+ a0 =
nX
k=0
ak¸
k; 8¸ 2 A
Essa fun»c~ao p ¶e chamada fun»c~ao polinomial associada ao polino^mio p(x) ou
fun»c~ao polinomial induzida pelo polino^mio p(x).
Observa»c~ao 2.1.1 Dois polino^mios diferentes podem induzir fun»c~oes polinomiais iguais!
Por exemplo, em Z3[x], os polino^mios p(x) = x
3 e q(x) = x s~ao diferentes. Mas para
cada a 2 Z3 = f0; 1; 2g, tem-se a
3 = a (veri¯que). Assim, as fun»c~oes polinomiais
induzidas p e q s~ao iguais.
De¯ni»c~ao 2.1.6 (Ra¶³zes ou zeros de um polino^mio) Dado um polino^mio p(x) 2
A[x], dizemos que um elemento c 2 A ¶e raiz ou zero de p(x) se p(c) = 0.
2.2 Divis~ao euclidiana
Teorema 2.2.1 (Algoritmo da divis~ao euclidiana em K[x], K um corpo)
Suponhamos que K ¶e um corpo. Ent~ao, dados dois polino^mios f(x) e g(x) em K[x],
com g(x)6= 0, existem polino^mios q(x) e r(x) em K[x], satisfazendo
f(x) = g(x) ¢ q(x) + r(x); e grau (r(x)) < grau (g(x))
(convencionando-se que ¡1 < m; 8m 2 N)
Al¶em disso, os polino^mios q(x) e r(x), nas condi»c~oes acima, s~ao ¶unicos.
Prova da existe^ncia de q(x) e r(x).
Suponhamos f(x) = anx
n + : : : + a0, e g(x) = bmx
m + : : : + b0, sendo bm 6= 0
(por hip¶otese, g(x)6= 0).
Se grau (f(x)) < grau (g(x)) ent~ao a existe^ncia de q(x) e r(x) est¶a automati-
camente garantida: f(x) = g(x) ¢ 0 + f(x) e, assim sendo, basta tomar q(x) = 0 e
r(x) = f(x) para termos f(x) = g(x)q(x) + r(x) com grau (r(x)) < grau (g(x)).
Suponhamos ent~ao que grau (f(x)) > grau (g(x)) e fa»camos a prova da existe^ncia
de q(x) e r(x) por indu»c~ao sobre n = grau (f(x)), utilizando o segundo princ¶³pio de
indu»c~ao ¯nita.
Seja k um inteiro ¸ 0 e suponhamos que propriedade de existe^ncia de q(x) e r(x)
se veri¯ca quando grau (f(x)) · k.
Suponhamos ent~ao que grau (f(x)) = k + 1, sendo k + 1 > m = grau (g(x)).
Considere o polino^mio r1(x) = f(x)¡ ak+1b
¡1
m x
k+1¡mg(x). Temos ent~ao
r1(x) = f(x)¡ ak+1x
k+1¡mg(x)
18
= (ak+1x
k+1 + : : :+ a0)¡ ak+1b
¡1
m x
k+1¡m(bmx
m + : : :+ b0)
= (ak+1x
k+1 + : : :+ a0)¡ (ak+1x
k+1 + termos de menor grau)
Note que no c¶alculo acima, o termo ak+1x
k+1 ¶e cancelado, logo grau (r1(x)) < k + 1,
ou seja grau (r1(x)) · k. Por hip¶otese de indu»c~ao,
r1(x) = g(x)q1(x) + r(x); com grau (r(x)) < grau (g(x))
Logo,
f(x) = r1(x) + ak+1b
¡1
m x
k+1¡mg(x)
= g(x)q1(x) + r(x) + ak+1b
¡1
m x
k+1¡mg(x)
= g(x)[q1(x) + ak+1b
¡1
m x
k+1¡m] + r(x)
= g(x)q(x) + r(x)
sendo grau (r(x)) < grau (g(x)).
Prova da unicidade de q(x) e r(x).
Suponhamos que existam polino^mios q1(x); q2(x); r1(x) e r2(x), satisfazendo
f(x) = g(x)q1(x) + r1(x) = g(x)q2(x) + r2(x)
com grau (r1(x)) < grau (g(x)) e grau (r2(x)) < grau (g(x)).
Ent~ao teremos
g(x)[q1(x)¡ q2(x)] = r2(x)¡ r1(x)
Se q1(x)¡ q2(x)6= 0, ent~ao,
grau (r2(x)¡ r1(x)) = grau (g(x)[q1(x)¡ q2(x)])
= grau (g(x)) + grau (q1(x)¡ q2(x))
¸ grau (g(x))
Por outro lado,
grau (r2(x)¡r1(x)) · maxfgrau (r1(x)); grau (r2(x))g < grau (g(x))
e temos ent~ao uma contradi»c~ao.
Portanto os polino^mios q(x) e r(x) s~ao determinados de maneira ¶unica.
Observa»c~ao 2.2.1 Sendo f(x) e g(x)6= 0 polino^mios em K[x], denotamos
f(x) g(x)
r(x) q(x)
para representar o fato de que f(x) = g(x)q(x) + r(x).
Se grau (r(x)) < grau (q(x)), diremos que q(x) e r(x) s~ao, respectivamente, o
quociente e o resto da divis~ao euclidiana de f(x) por g(x).
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Proposi»c~ao 2.2.1 (Divis~ao euclidiana em A[x], A um anel comutativo com
unidade) SejamA um anel comutativo com unidade e sejam f(x) e g(x) dois polino^mios
dados em A[x], com g(x)6= 0. Se o coe¯ciente dominante de g(x) ¶e invert¶³vel em A,
ent~ao existem polino^mios q(x) e r(x) em A[x], satisfazendo
f(x) = g(x) ¢ q(x) + r(x); e grau (r(x)) < grau (g(x))
(convencionando-se que ¡1 < m; 8m 2 N)
Al¶em disso, os polino^mios q(x) e r(x), nas condi»c~oes acima, s~ao ¶unicos.
Demonstra»c~ao.. A prova desta proposi»c~ao ¶e a mesma usada para provar o Teorema
2.2.1. Note que l¶a, para provar a existe^ncia de q(x) e r(x) ¯zemos uso t~ao somente
do fato de que o coe¯ciente dominante de g(x) ¶e invert¶³vel. Para a prova da unicidade
de q(x) e r(x) ¯zemos uso do resultado da proposi»c~ao 2.1.1. Aqui tamb¶em temos
\grau (g(x)[q1(x) ¡ q2(x)]) = grau (g(x)) + grau (q1(x) ¡ q2(x))", pois o coe¯ciente
dominante de g(x), sendo invert¶³vel, n~ao ¶e divisor pr¶oprio de zero.
Proposi»c~ao 2.2.2 Sejam A um anel comutativo com unidade, f(x) 2 A[x], e a 2 A.
O resto da divis~ao euclidiana de f(x) por x¡ a ¶e a constante f(a).
Demonstra»c~ao.. Notemos primeiramente que o coe¯ciente dominante de x ¡ a ¶e 1,
que ¶e invert¶³vel em A. Assim sendo, a divis~ao euclidiana de f(x) por x¡ a ¶e poss¶³vel.
Como grau (x¡ a) = 1, o resto da divis~ao de f(x) por x¡ a ¶e um polino^mio constante
r(x) = k.
Temos ent~ao f(x) = (x¡ a)q(x) + k para algum polino^mio q(x) em A[x].
Logo, f(a) = (a¡ a)q(a) + k = k.
De¯ni»c~ao 2.2.1 Sendo f(x) e f(x) polino^mios em A[x], A um anel comutativo com
unidade, dizemos que f(x) ¶e fator de g(x), ou que f(x) divide g(x), ou ainda que
g(x) ¶e divis¶³vel por f(x), e denotamos f(x) j g(x), se g(x) = f(x)q(x) para algum
polino^mio q(x) 2 A[x].
Corol¶ario 2.2.1 Sejam A um anel comutativo com unidade, f(x) 2 A[x], e a 2 A.
Ent~ao a ¶e raiz de f(x) se e somente se x ¡ a ¶e um fator de f(x) (ou seja f(x) =
(x¡ a)q(x) para algum polino^mio q(x) 2 A[x]).
Demonstra»c~ao.. Utilizando a proposi»c~ao anterior, a ¶e raiz de f(x) , f(a) = 0 , o
resto da divis~ao de f(x) por x¡ a ¶e 0. Logo, a ¶e raiz de f(x) , f(x) ¶e divis¶³vel por
x¡ a.
Exemplo 2.2.1 Daremos aqui um exemplo de uma divis~ao euclidiana em Z12[x].
Consideremos em Z12[x], f(x) = 4x
4 + 2x3 + 6x+ 2 e g(x) = 5x2 + x+ 2.
Como o coe¯ciente dominante de g(x), 5, ¶e invert¶³vel em Z12, existem q(x) e r(x)
satisfazendo f(x) = g(x)q(x) + r(x), e grau (r(x)) < 2 = grau (g(x)). Al¶em disso,
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conforme a proposi»c~ao 2.2.1, os polino^mios q(x) e r(x), satisfazendo tais condi»c~oes, s~ao
¶unicos.
Para calcular q(x) e r(x) usamos o m¶etodo da chave.
Dispomos inicialmente os polino^mios f(x) e g(x) num diagrama como segue:
4x4 + 2x3 + 0x2 + 6x+ 2 5x2 + x+ 2
Em seguida, calculamos o \quociente dos termos dominantes," (4x4)=(5x2) =
5
¡1
¢4x2 = 5 ¢4x2 = 20x2 = 8x2, e completamos o diagrama iniciado acima, escrevendo
o termo 8x2 abaixo da \chave." Este termo ¶e o termo dominante do quociente q(x).
4x4 + 2x3 + 0x2 + 6x+ 2 5x2 + x+ 2
8x2
A seguir, calculamos o produto 8x2 ¢(5x2+x+2) = 4x4+8x3+4x2 e escrevemo-lo
sob o \dividendo" f(x):
4x4 + 2x3 + 0x2 + 6x+ 2 5x2 + x+ 2
4x4 + 8x3 + 4x2 8x2
Obtemos ent~ao o primeiro \resto intermedi¶ario" r1(x), calculando a diferen»ca
f(x)¡ 8x2 ¢ g(x) = f(x)¡ (4x4 + 8x3 + 4x2).
4x4 + 2x3 + 0x2 + 6x+ 2 5x2 + x+ 2
4x4 + 8x3 + 4x2 8x2
6x3 + 10x2 + 6x+ 2
Reiteramos ent~ao o algoritmo, agora como se part¶³ssemos de dividir r1(x) = 6x
3+
10x2+6x+2 por g(x). Agora somamos (6x3)=(5x2) = 5
¡1
¢6x = 5 ¢6x = 30x = 6x ao
termo 8x2 previamente calculado, calculamos ent~ao o produto 6x ¢ g(x), escrevemo-lo
abaixo do primeiro resto intermedi¶ario r1(x) e calculamos a diferen»ca r1(x)¡ 6x ¢ g(x).
4x4 + 2x3 + 0x2 + 6x+ 2 5x2 + x+ 2
4x4 + 8x3 + 4x2 8x2 + 6x
6x3 + 10x2 + 6x+ 2
6x3 + 6x2
4x2 + 6x+ 2
Tendo obtido ent~ao um segundo \resto intermedi¶ario," r2(x) = 4x
2+6x+2. Note
que r2(x) = r1(x)¡ 6x ¢ g(x) = f(x)¡ 8x
2 ¢ g(x)¡ 6x ¢ g(x) = f(x)¡ (8x2+6x)g(x).
Finalmente completamos o quociente q(x) com o termo (4x2)=(5x2) = 5
¡1
¢ 4 = 5 ¢ 4 =
20 = 8 e ¯nalizamos a divis~ao euclidiana subtraindo 4x2 + 8x+ 4 de 4x2 + 6x+ 2:
21
4x4 + 2x3 + 0x2 + 6x+ 2 5x2 + x+ 2
4x4 + 8x3 + 4x2 8x2 + 6x+ 8
6x3 + 10x2 + 6x+ 2
6x3 + 6x2
4x2 + 6x+ 2
4x2 + 8x+ 4
10x+ 10
Assim, obtemos q(x) = 8x2 + 6x + 8 e r(x) = 10x + 10, satisfazendo f(x) =
q(x)g(x) + r(x) (veri¯que), e grau (r(x)) = 1 < grau (g(x)).
2.3 M¶aximo divisor em K[x], K um corpo
De¯ni»c~ao 2.3.1 (Polino^mio mo^nico) Sendo A um anel comutativo com unidade, um
polino^mio p(x) 2 A[x] ¶e dito ser mo^nico se p(x) 6= 0 e o seu coe¯ciente dominante
(coe¯ciente do termo de maior grau) ¶e igual a 1, a unidade do anel A.
Assim, um polino^mio mo^nico em A[x] ¶e um polino^mio da forma p(x) = xn +
an¡1x
n¡1 + : : :+ a0.
Proposi»c~ao 2.3.1 Sejam K um corpo e f(x), g(x) e h(x) polino^mios em K[x].
1. Se f(x) j g(x) ent~ao (¸f(x)) j g(x), 8¸ 2 K, ¸6= 0.
2. Se f(x) j g(x) e g(x) jh(x) ent~ao f(x) jh(x).
3. Se f(x) j g(x) e f(x) jh(x) ent~ao f(x) j (®g(x) + ¯h(x)), 8®; ¯ 2 K.
4. Se f(x) j g(x) e f(x) j (g(x)§ h(x)) ent~ao f(x) jh(x).
5. Se f(x) j h(x) e h(x) j f(x) ent~ao f(x) = ¸h(x), para algum ¸ 2 K, ¸6= 0.
6. Se f(x) j h(x) e h(x) j f(x), e ambos s~ao polino^mios mo^nicos, ent~ao f(x) = h(x).
De¯ni»c~ao 2.3.2 Sendo f(x) e g(x) dois polino^mios em K[x], K um corpo, dizemos
que d(x) 2 K[x] ¶e um m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x), se d(x) satisfaz as duas
propriedades:
1. d(x) divide (¶e fator de) ambos f(x) e g(x);
2. todo polino^mio p(x) que divide f(x) e g(x) tamb¶em divide d(x) (simbolicamente:
8p(x) 2 K[x]; p(x) j f(x) e p(x) j g(x)) p(x) j d(x))
Proposi»c~ao 2.3.2 Sejam K um corpo, e f(x) e g(x) polino^mios em K[x].
22
1. Se f(x) = g(x) = 0, ent~ao d(x) = 0 ¶e m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x).
Reciprocamente, d(x) = 0 ¶e m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x) somente se
f(x) = g(x) = 0.
2. Se d(x) 2 K[x] ¶e m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x), ent~ao, para cada ¸ 2 K,
¸6= 0, ¸d(x) tamb¶em ¶e m¶aximo divisor de f(x) e g(x).
3. Se d1(x) e d2(x) s~ao m¶aximos divisores comuns de dois polino^mios f(x) e g(x),
ent~ao d1(x) = ¸d2(x), para algum ¸ 2 K, ¸6= 0.
4. Se d1(x) e d2(x) s~ao polino^mios mo^nicos, e ambos s~ao m¶aximos divisores comuns
de dois polino^mios f(x) e g(x), ent~ao d1(x) = d2(x), ou seja, s¶o pode haver um
m¶aximo divisor comum mo^nico de dois polino^mios f(x) e g(x).
Demonstra»c~ao..
1. Um m¶aximo divisor comum d(x) de f(x) e g(x) ¶e fator de ambos os polino^mios.
Al¶em disso, segundo a de¯ni»c~ao 2.3.2, d(x) ¶e divis¶³vel por todo fator de f(x) e
g(x). Se f(x) = g(x) = 0, d(x) deve ser divis¶³vel por 0, logo s¶o pode ser 0.
Reciprocamente, se d(x) = 0 ¶e um m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x) ent~ao
¶e fator de ambos, logo f(x) = g(x) = 0.
2. A prova ¶e deixada como exerc¶³cio.
3. Sendo d1(x) e d2(x) ambos m¶aximos divisores comuns de f(x) e g(x), pela se-
gunda condi»c~ao na de¯ni»c~ao 2.3.2, temos que f(x) j g(x) e g(x) j f(x), logo pela
proposi»c~ao 2.3.1, f(x) = ¸g(x) para algum ¸ 2 K, ¸6= 0.
4. ¶E conseqÄue^ncia imediata do item 3.
Observa»c~ao 2.3.1 Dados dois polino^mios f(x) e g(x) em K[x], K um corpo, denota-
mos
d(x) = mdc (f(x); g(x))
se d(x) ¶e mo^nico e ¶e um m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x). Conforme o ¶ultimo
item da proposi»c~ao2.3.2, um m¶aximo divisor comum de tal natureza ¶e ¶unico. Tamb¶em
usaremos a mesma nota»c~ao no caso 0 = mdc (0; 0).
Teorema 2.3.1 (Existe^ncia de mdc (f(x); g(x))) Sendo f(x) e g(x) dois polino^mios
em K[x], K um corpo, n~ao simultaneamente nulos, existe um polino^mio mo^nico d(x)
que ¶e m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x).
Demonstra»c~ao.. Considere o conjunto
A = fp(x) j p(x) = a(x)f(x) + b(x)g(x); com a(x) e b(x) em K[x]; e p(x)6= 0g
Notemos que A6= ¿: como f(x)6= 0 ou g(x)6= 0, um dos polino^mios 1 ¢ f(x) +
0 ¢ g(x) e 0 ¢ f(x) + 1 ¢ g(x) ¶e n~ao nulo.
23
Como o grau de cada polino^mio em A ¶e um n¶umero natural, pelo princ¶³pio do
menor n¶umero natural, existe em A um polino^mio d(x), digamos d(x) = ®(x)f(x) +
¯(x)g(x), de menor grau poss¶³vel.
A¯rmamos que d(x) ¶e um m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x).
Provaremos primeiramente que d(x) j f(x).
Pelo teorema do algoritmo da divis~ao em K[x], K um corpo, temos que existem
q(x); r(x) 2 K[x], com f(x) = d(x)q(x) + r(x) e grau (r(x)) < grau (d(x)).
Se r(x) = 0, ent~ao f(x) = d(x)q(x) e portanto d(x) j f(x).
Mostraremos ent~ao a impossibilidade de termos r(x)6= 0:
Supondo r(x)6= 0, teremos
r(x) = f(x)¡ d(x)q(x)
= f(x)¡ [®(x)f(x) + ¯(x)g(x)]q(x)
= [1¡ ®(x)q(x)]f(x) + [¡q(x)¯(x)]g(x)
logo, r(x) 2 A. Mas 0 · grau (r(x)) < grau (d(x)) e temos ent~ao uma contradi»c~ao,
pois dentre os polino^mios de A, d(x) ¶e o de menor grau.
Analogamente, prova-se que d(x) j g(x).
Para ¯nalizar a prova de que d(x) ¶e um m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x),
suponhamos que h(x) ¶e um polino^mio em K[x] tal que h(x) j f(x) e h(x) j g(x). Ent~ao,
h(x) j (®(x)f(x) + ¯(x)g(x)), ou seja, h(x) j d(x).
Portanto, conforme a de¯ni»c~ao 2.3.2, d(x) ¶e um m¶aximo divisor comum de f(x)
e g(x).
2.4 Algoritmo euclidiano para o c¶alculo do mdc em
K[x], K um corpo
Lema 2.4.1 Sejam f(x) e g(x) dois polino^mios em K[x], K um corpo, com g(x)6= 0,
e seja r(x) o resto da divis~ao euclidiana de f(x) por g(x). Ent~ao
mdc (f(x); g(x)) = mdc (g(x); r(x))
Demonstra»c~ao.. Seja d(x) = mdc (f(x); g(x)).
Por hip¶otese, f(x) = g(x)q(x) + r(x), ou seja, r(x) = f(x)¡ g(x)q(x).
Como d(x) j f(x) e d(x) j g(x), temos que d(x) j r(x).
Assim, d(x) j g(x) e d(x) j r(x).
Seja agora p(x) um polino^mio em K[x] que divide g(x) e r(x). Mostraremos que
p(x) divide d(x).
24
Como f(x) = g(x)q(x) + r(x), temos que p(x) j f(x). Logo, p(x) j f(x) e
p(x) j g(x)) p(x) j d(x).
Assim, pela de¯ni»c~ao 2.3.2, d(x) = mdc (g(x); r(x)).
Lema 2.4.2 Sejam K um corpo, f(x) e g(x) polino^mios em K[x], ambos n~ao nulos,
e de¯namos uma seqÄue^ncia de polino^mios em K[x] da seguinte forma:
1. r1(x) = f(x);
2. r2(x) = g(x);
3. Para cada ¶³ndice k, com k ¸ 2, se rk(x) 6= 0, de¯ne-se rk+1(x) como sendo o
resto da divis~ao euclidiana de rk¡1(x) por rk(x):
rk¡1(x) rk(x)
rk+1(x) ¤
e se rk(x) = 0, a seqÄue^ncia termina em rk(x).
Ent~ao a seqÄue^ncia r1(x); r2(x); : : : ¶e ¯nita e termina num zero, ou seja, existe um
indice n tal que rn(x)6= 0 e rn+1(x) = 0.
Demonstra»c~ao.. Temos que r1(x) e r2(x) s~ao polino^mios n~ao nulos e r3(x) ¶e o resto da
divis~ao de r1(x) por r2(x). Ent~ao ou r3(x) = 0.
Se r3(x) = 0, tomamos n = 2 e temos o resultado enunciado.
Se r3(x)6= 0, temos 0 · grau (r3(x)) < grau (r2(x)) e de¯nimos r4(x), o resto
da divis~ao de r2(x) por r3(x).
Teremos ent~ao grau (r4(x)) < grau (r3(x)) < grau (r2(x)).
Suponhamos ent~ao que para um determinado ¶³ndice k, temos grau (rk(x)) <
grau (rk¡1(x)) < : : : < grau (r2(x)).
Ent~ao, ou rk(x) = 0 ou podemos de¯nir rk+1(x), o resto da divis~ao de rk¡1(x)
por rk(x).
Teremos ent~ao
grau (rk+1(x)) < grau (rk(x)) < grau (rk¡1(x)) < : : : < grau (r2(x))
A seque^ncia de graus tem um primeiro elemento, que ¶e ¡1, sucedido pela
seqÄue^ncia de n¶umeros naturais, logo n~ao pode decrescer inde¯nidamente, de onde existe
um ¶³ndice n tal que rn(x)6= 0 mas rn+1(x) = 0.
Teorema 2.4.1 (Algoritmo Euclidiano para o c¶alculo do mdc) Seja K um
corpo, e sejam f(x) e g(x) polino^mios n~ao nulos em K[x], e seja r1(x), r2(x),: : :,
rn(x), rn+1(x), a seqÄue^ncia de¯nida pelo lema 2.4.2.
Ent~ao rn(x) ¶e um m¶aximo divisor comum de f(x) e g(x).
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Demonstra»c~ao.. Pelas hip¶oteses do lema 2.4.2, temos
r3(x) ¶e o resto da divis~ao de r1(x) por r2(x)
: : :
rk+1(x) ¶e o resto da divis~ao de rk¡1(x) por rk(x) (se rk(x)6= 0)
: : :
rn(x) ¶e o resto da divis~ao de rn¡2(x) por rn¡1(x)
rn¡1 ¶e divis¶³vel por rn(x) (visto que rn+1(x) = 0).
Temos ent~ao, usando repetidas vezes o resultado do lema 2.4.1,
rn(x) = mdc (rn¡1(x); rn(x))
= mdc (rn¡2(x); rn¡1(x))
...
= mdc (rk¡1(x); rk(x))
= mdc (rk(x); rk+1(x)
...
= mdc (r3(x); r2(x))
= mdc (r2(x); r1(x))
= mdc (g(x); f(x)) = mdc (f(x); g(x))
26
2.5 Problemas do Cap¶³tulo 2
1. Liste todos os polino^mios de grau 2 em Z3[x].
2. Quantos s~ao os polino^mios de grau 3 em Z4[x]?
3. Calcule o quociente e o resto da divis~ao euclidiana de x7+1 por 2x3+1 em Q[x].
4. Calcule o quociente e o resto da divis~ao euclidiana de x7+1 por 2x3+1 em Z3[x].
5. Calcule d(x) = mdc (f(x); g(x)), nos casos:
(a) f(x) = x5 + x4 + x3 + 1, g(x) = x5 + x2 + x+ 1, em Z2[x].
(b) f(x) = x4 + x3 + x2 + 2, g(x) = x4 + 1, em Z3[x].
(c) f(x) = x27 ¡ 1, g(x) = x16 ¡ 1, em Q[x].
6. Quantas ra¶³zes em Z6 possui o polino^mio p(x) = x
3 + 5x 2 Z6[x]?
7. Em Z6[x], (2x + 3)(3x + 5) = x + 3. Isto n~ao contradiz a propriedade de que
grau (f(x)g(x)) = grau (f(x)) + grau (g(x))?
8. Prove os resultados enunciados na proposi»c~ao 2.3.1.
9. Prove que se f(x) e g(x) s~ao polino^mios sobre K, K um corpo, n~ao simultane-
amente nulos, ent~ao mdc (f(x); g(x)) ¶e o polino^mio mo^nico d(x) de maior grau
que ¶e fator de ambos f(x) e g(x).
10. Seja A um anel comutativo com unidade. Mostre (prove) que
(a) Um divisor pr¶oprio de zero em A ¶e tamb¶em um divisor pr¶oprio de zero em
A[x].
(b) Se A[x] tem divisores pr¶oprios de zero, ent~ao A tamb¶em os tem.
(c) A[x] ¶e um anel de integridade se e somente se A ¶e um anel de integridade.
11. Mostre que se p ¶e primo, ent~ao, em Zp[x], (x+ a)
p = xp+ap. [Sugest~ao: Mostre
que se p ¶e primo e 1 · n · p ¡ 1 ent~ao o n¶umero binomial
¡
p
n
¢
¶e divis¶³vel por
p. Depois aplique a f¶ormula do bino^mio de Newton, (x+ a)p =
Pp
n=0
¡
p
n
¢
xnap¡n.
Note que
¡
p
n
¢
= p!
n!(p¡n)!
¶e sempre um inteiro, pois ¶e o n¶umero de combina»c~oes de
p objetos, tomados n a n. Repare tamb¶em que se 1 · n < p, os inteiros n! e
(p¡ n)! n~ao cont¶em o primo p como fator, mas p! sim.]
12. (Algoritmo de Briot-Ru±ni para divis~ao por x¡ a) Sejam A um anel comutativo
com unidade e seja a um elemento de A. Dado um polino^mio f(x) 2 A[x], de
grau n ¸ 1, para efetuar divis~ao euclidiana de f(x) por x¡ a podemos recorrer a
um algoritmo pr¶atico que dispensa a divis~ao pelo m¶etodo da chave.
Suponhamos que f(x) = anx
n + an¡1x
n¡1 + : : :+ a1x+ a0. Dispomos os coe¯-
cientes de f(x) no diagrama
an an¡1 : : : a1 a0
a bn bn¡1 : : : b1 b0
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no qual os coe¯cientes bn; bn¡1; : : : ; b1 e b0 s~ao calculados da seguinte forma:
bn = an
bn¡1 = a ¢ bn + an¡1
...
b1 = a ¢ b2 + a1
b0 = a ¢ b1 + a0
Mostre que os polino^mios quociente e resto da divis~ao de f(x) por x ¡ a s~ao
respectivamente q(x) = bnx
n¡1 + bn¡1x
n¡2 + : : :+ b2x+ b1 e r(x) = b0.
[Sugest~ao: (autor: Robinson) Deduza que grau (q(x)) = n ¡ 1 e escreva q(x) =
bnx
n¡1 + bn¡1x
n¡2 + : : : + b2x + b1 e r(x) = b0. Agora, usando o fato de que
g(x) = (x¡a)q(x)+r(x) e comparando os coe¯cientes de ambos os termos desta
igualdade, obtenha as rela»c~oes acima].
Note que o algoritmo de Briot-Ru±ni tamb¶em nos prove^ um m¶etodo alternativo
para calcular f(a) = b0.
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