7PEAEgraduacao_Correlacao_e_Regressao_Linear_simples_Modo_de_Compatibilidade_

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09/06/2013
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Probabilidade e Estatística Probabilidade e Estatística 
aplicada à Engenhariaaplicada à Engenharia
Profa. Marília GomesProfa. Marília Gomes
-- CorrelaçãoCorrelação entreentre variáveisvariáveis quantitativasquantitativas::
CoeficienteCoeficiente dede correlaçãocorrelação linearlinear dede PearsonPearson
-- RegressãoRegressão LinearLinear SimplesSimples
UnB UnB –– Universidade de BrasíliaUniversidade de Brasília
FGA FGA –– Faculdade UnB GamaFaculdade UnB Gama
Graduação Graduação –– ciclo básicociclo básico
• Tipos de variáveis:
- Quantitativa: discreta ou contínua
- Qualitativa: nominal ou ordinal
REVISANDO...REVISANDO...
REVISANDO...REVISANDO...
• Deseja-se verificar se existe associação
entre duas variáveis quantitativas X e Y:
Como medir a intensidade da 
relação entre as duas variáveis?
O PROBLEMAO PROBLEMA
OS DADOSOS DADOS
i Xi Yi 
1 X1 Y1 
2 X2 Y2 
: : : 
n Xn Yn 
 
 
• Representação dos pares de valores ( xi,
yi ) , i = 1, 2, ... , n num sistema
cartesiano ‘nuvem’ de pontos;
• Recurso gráfico bastante útil para se
verificar associação entre variáveis
quantitativas;
• Quando tomamos as variáveis duas a
duas podemos verificar o que sucede a
uma variável, X, quando outra variável, Y,
varia.
DIAGRAMA DE DISPERSÃODIAGRAMA DE DISPERSÃO
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DIAGRAMA DE DISPERSÃODIAGRAMA DE DISPERSÃO DIAGRAMA DE DISPERSÃODIAGRAMA DE DISPERSÃO
A análise não é alterada, se
trocamos as variáveis X e Y,
ou seja, a existência ou não
da relação não depende de
qual variável é considerada
independente.
O modelo matemático,
porém, será alterado a
depender de quem é X.
• Medida do grau de relacionamento
LINEAR entre duas variáveis
quantitativas:
 (rho)  coeficiente de correlação
populacional
r coeficiente de correlação amostral
COEFICIENTE DE COEFICIENTE DE 
CORRELAÇÃO LINEARCORRELAÇÃO LINEAR
• Fórmula operacional:
COEFICIENTE DE COEFICIENTE DE 
CORRELAÇÃO LINEARCORRELAÇÃO LINEAR
CÁLCULO DE CÁLCULO DE rr
i Xi Yi Xi2 Yi2 XiYi
1 X1 Y1 X12 Y12 X1Y1
2 X2 Y2 X22 Y22 X2Y2
: : : : : :
n Xn Yn Xn2 Yn2 XnYn
  Xi  Yi  Xi2  Yi2  XiYi
INTERPRETAÇÃO DE INTERPRETAÇÃO DE rr
Sentido
da
relação
(Sinal de r )
Intensidade
da
relação
( | r | )
Coeficiente de
Correlação
r
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INTERPRETAÇÃO DE INTERPRETAÇÃO DE rr
• Correlação Positiva: quanto maior o
valor de X, maior o valor de Y.
- Se a correlação for “perfeita”, o coeficiente de
correlação será igual a 1.
• Correlação Negativa: quanto maior o
valor de X, menor o valor de Y
- Se a correlação for “perfeita”, o coeficiente de
correlação será igual a -1
SENTIDO DA RELAÇÃOSENTIDO DA RELAÇÃO
- Em caso de
"absoluta
independência" o
coeficiente de
correlação será igual
a 0 (zero).
SENTIDO DA RELAÇÃOSENTIDO DA RELAÇÃO
 A não existência de correlação linear (r
= 0), não significa que não exista outro
tipo de relação, por exemplo, exponencial
ou uma parábola (função quadrática);
 Correlação não significa causalidade:
- Uma correlação indica a existência de uma
relação entre as variáveis na qual os valores
das mesmas alteram-se simultaneamente. A
existência de uma correlação entre X e Y, por
exemplo, pode significar que X tem influência
sobre Y, ou que Y influi sobre X;
OBSERVAÇÕESOBSERVAÇÕES
 Correlação não significa causalidade:
- Quando falamos de causalidade, referimo-nos
à influência que uma dada variável assume
sobre outra, ou seja, quando existe causalidade
reportamos que a variável X é a causa das
alterações registradas na variável Y.
(http://pubaddict.wordpress.com/2006/08/21/correlacao-e-causalidade/)
(http://www.leg.ufpr.br/~silvia/CE701/node73.html)
OBSERVAÇÕESOBSERVAÇÕES ALGUMAS APLICAÇÕES...ALGUMAS APLICAÇÕES...
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EXERCÍCIO 1EXERCÍCIO 1
RESP.: r = -0,775
EXERCÍCIO EXERCÍCIO 22
RESP.: r = 0,975
EXERCÍCIO EXERCÍCIO 33
RESP.: r = 0,85RESP.: r = 0,85
EXERCÍCIO EXERCÍCIO 44
RESP.: r = -0,775
• Modelo matemático para analisar relações
entre variáveis;
• Permite a predição de uma variável em
função de outra.
MODELOS DE REGRESSÃOMODELOS DE REGRESSÃO MODELOS LINEARESMODELOS LINEARES
Qual a reta que 
melhor se ajusta 
a estes dados?
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
200 400 600 800 1000 1200
hematócrito
he
m
og
lo
bi
na
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MODELOS LINEARESMODELOS LINEARES
• Equação da reta:
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6
x
y
Inclinação da reta
Intercepto
a e b - parâmetros da 
reta
bxay 
MODELOS LINEARESMODELOS LINEARES
• Método dos mínimos quadrados:
MODELOS LINEARESMODELOS LINEARESMODELOS LINEARESMODELOS LINEARES
• Método dos mínimos quadrados:
MODELOS LINEARESMODELOS LINEARES
• Exemplo:
MODELOS LINEARESMODELOS LINEARES
• Continuação
exemplo...
1429,9
7
64
2857,30
7
212
7222
2150
64
212
2












n
y
y
n
x
x
x
xy
y
x
MODELOS LINEARESMODELOS LINEARES
• Continuação exemplo...
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MODELOS LINEARESMODELOS LINEARES
• Qualidade do ajuste na Regressão:
- Coeficiente de Determinação (R2):