2015 1 AP1 HM Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
1
a
 Avaliação Presencial de História da Matemática – 2015-1 
(gabarito) 
 
Questão 1 [3,0 pts] 
 
a) [1,5 pt] Multiplique, como os egípcios, 27 por 15, ou seja, tome 15 vezes o número 27 
b) [1,5 pt] Usando o método da falsa posição equacione (isto é, determine a equação que modela o 
problema) e resolva o Problema 24 do Papiro de Rhind: 
 
“Encontrar um número que, aumentado de sua sétima parte, dá 19.” 
 
Solução: 
a) 
∖1 27 
∖2 54 
∖4 108 
∖8 216 
16 432 
1 + 2 + 4 + 8 = 15 ⇒ 27 ⨯ 15 = 27 + 54 + 108 + 216 = 405. 
Uma maneira mais rápida de resolve este problema, também usada peloas egípcios, é a seguinte: 
1 27 
∖10 270 
∖5 135 
Da segunda para terceira linha, os números de cada coluna foram divididos por 2, então: 
10+ 5 = 15 ⇒ 27 ⨯ 15 = 270 +135 = 405. 
 
b) Eis a equação: 
𝑥 +
𝑥
7
= 19. 
 
O calculador egípcio pega inicialmente número 7 aumentado de sua sétima parte, isto é, 1. O que dá 
8. Agora ele precisa encontrar um número que seja para 19 o que 7 é para 8. Isto caracteriza uma 
proporção onde um dos quatros termos não é conhecido (
19
x
=
8
7
) (método da falsa posição). 
Logo x = 
133
8
. 
 
 
Questão 2: [2,0 pts] - Os babilônios usavam um sistema de numeração posicional sexagesimal (base 
60). Para representar os “algarismos” da base babilônica usaremos os dígitos da nossa escrita: 0, 1, 2, 
..., 59. Para separar as ordens (potências de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a 
parte inteira da parte “sexagesimal” usaremos “,” (a vírgula - assim como fazemos na base decimal). 
Por exemplo: o número 15x60
2
 + 7x60
0
 +26x60
-1
 + 51x60
-2
 será representado por 15 ; 0 ; 7 , 26 ; 51. 
a) [1,0 pt] Verifique, trabalhando no sistema sexagesimal dos babilônios, que o produto de 37;28 por 
19 é igual a 11;51;52. 
b) Determine os valores das expressões a seguir, usando a notação apresentada acima: 
b.1) [0,5 pt] 48;32 ⨯ 3,2 = 
b.2) [0,5 pt] 2;1;1 – 1;2;2 = 
 
Solução: 
a) Em primeiro lugar, resolvemos o problema utilizando as propriedades comutativa e associativa do 
sistema de numeração sexagesimal. 
 
Temos que 
37;28 = 37 ⨯ 601 + 28 ⨯ 600. 
19 = 19 ⨯ 600. 
Então, 
37;28 ⨯ 19 = (37 ⨯ 601 + 28 ⨯ 600 ) ⨯ 19 ⨯ 600. 
(37 ⨯ 601 + 28 ⨯ 600) ⨯ (19 ⨯ 600) = 
= (28 ⨯ 600) ⨯ (19 ⨯ 600) + (37 ⨯ 601) ⨯ (19 ⨯ 600)= 
= (28 ⨯ 19 ) ⨯ 600 + (37 ⨯ 19) ⨯ 601 = 
= 532 ⨯ 600 + 703 ⨯ 601 = 
= (8 ⨯ 601 + 52) ⨯ 600 + (11 ⨯ 601 + 43) ⨯ 601= 
= 8 ⨯601 ⨯ 600 + 52 ⨯ 600 + 11 ⨯ 601 ⨯ 601 + 43 ⨯ 601. 
Agrupando em relação às potências decrescentes de 60, temos: 
37;28 ⨯ 19 = 11 ⨯ 602 + 51 ⨯ 601 + 52 ⨯ 600 = 11;51;52. 
 
Exatamente como no caso do sistema decimal, podemos dispor estes cálculos no seguinte algoritmo, 
que nos evita ter que utilizar explicitamente as propriedades associativa e comutativa do produto. Ele 
reduz o cálculo a uma operação mecânica sem complicações. 
 
60
2
 60
1
 60
0
 
vão 
11 
vão 
8 
 
 37 28 
 19 
11 51 52 
 
Obs: 28 x 19 = 532 = 8 x 60 + 52 (dá 52 e vão “8” grupos de 60) 
37 x 19 = 703 = 11 x 60 + 43 (dá 43 e vão “11” grupos de 602); 
Em 43 grupos de 60 temos que somar ainda “8” grupos de 60, resultando em 51 grupos de 60. 
 
b.1) 
60
2
 60
1
 60
0
 60
-1
 
 48 32 
 3 2 
 1 37 4 
2 25 36 
2 27 13 4 
 
Obs: para simplificar omitiremos a potência 60
0
 (60
0
=1) 
(48x60 + 32) x (3+2x60
-1
) = (48x60 + 32) x (2x60
-1
) + (48x60 + 32) x (3) 
(48x60 + 32) x (2x60
-1
) 
(32) x (2x60
-1
) = 64 x 60
-1
 = (60+4) x 60
-1
 = 1 +4x 60
-1
 (isto é, 4 e vai um grupo de 60
0
) 
(48x60) x (2x60
-1
) = 96... temos que somar ainda o “1” que foi ... = 97 = 1x60 + 37 
Este produto parcial dá 1x60 + 37 + 4x60
-1
 (I) 
(48x60 + 32) x (3) 
32x3 = 96 = 1x60 +36 (isto é, 36, e vai “1” grupo de 60) 
(48x60) x (3) = 144x60... temos que somar ainda o “1” grupo de 60 que foi ... = 145x60 = 
(2x60+25)x60 = 2x60
2
+25x60 (isto é, 25, e vão “2” grupos de 602) 
Este produto parcial dá 2x60
2
+25x60+36 (II) 
 
Para finalizar a propriedade distributiva precisamos fazer (I) + (II) 
1;37,4 +2;25;36 
60
2
 60
1
 60
0
 60
-1
 
 vai 
1 
 
 1 37 4 
2 25 36 
2 27 13 4 
 
b.2) 
 
60
2
 60
1
 60
0
 
2 1 1 
1 2 2 
 
 
Obs.: Usaremos aqui a técnica do “pedir emprestado”... neste caso, quando pedimos “1” emprestado 
d ordem seguinte “vem 60”. Como de 1 não podemos tirar 2, precisaremos emprestado. Observe 
60
2
 60
1
 60
0
 
2 0 61 
1 2 2 
 59 
 
60
2
 60
1
 60
0
 
1 60 61 
1 2 2 
 58 59 
 
60
2
 60
1
 60
0
 
1 60 61 
1 2 2 
0 58 59 
 
2;1;1 – 1;2;2 = 2;0;61 – 1;2;2 = 1;60;61 – 1;2;2 = 0;58;59 
Questão 3 [3,0 pontos]: Os gregos desenvolveram os conceitos de média aritmética, média 
geométrica e média harmônica a partir do estudo de propriedades das proporções: 
i. média aritmética - dados os números a e c, a média aritmética é o número b que satisfaz a 
seguinte proporção: 
a−b
b−c
=
a
a
 
 
ii. média geométrica - dados os números a e c, a média geométrica é o número b que satisfaz a 
seguinte proporção: 
a−b
b−c
=
a
b
 
 
iii. média harmônica - dados os números a e c, a média harmônica é o número b que satisfazia a 
seguinte proporção: 
a−b
b−c
=
a
c
 
 
Assim, com base nas definições acima, mostre: 
 
a) [0,5 pt] que a média aritmética b entre os números a e c é dada por b =
a+c
2
 ; 
b) [0,5 pt] que a média geométrica b entre os números a e c é dada por b = √ac ; 
c) [0,5 pt] que a média harmônica b entre os números a e c é dada por b =
2ac
a+c
. 
d) [1,5 pt] No semicírculo abaixo, O é o centro e DB é perpendicular ao diâmetro AC. Identifique na 
figura os segmentos cujas medidas representam as médias aritmética, geométrica e harmônica das 
medidas dos segmentos AB e BC. Justifique sua resposta. 
 
 
Solução: 
 
a) de 
a−b
b−c
=
a
a
, deduz-se a - b = b – c => 2b = a + c => b =
a+c
2
. 
 
b) de 
a−b
b−c
=
a
b
, deduz-se ab – b² = ab – ac, e consequentemente ac = b² => b = √ac . 
 
 
c) de 
a−b
b−c
=
a
c
 deduz-se ab – ac = ac – bc, e consequentemente 2ac = b(a+c) => b =
2ac
a+c
 
 
 
 
 
d) 
 
Considere a=m(AB) e c=m(BC). 
 
Média aritmética 
2.m(AO) = m(AB)+m(BC) = a+c => m(AO) = [m(AB)+m(BC)]/2, isto é, m(AO) é a média aritmética 
de AB e BC; 
 
Média geométrica 
Observe que o triângulo ACD é retângulo em D e DB é sua altura relativa à hipotenusa AC. Logo, 
[m(DB)]
2
 = [m(AB)].[m(AC)] = a.c => [m(DB)] = (a.c)
1/2
; isto é, m(DB) é a média geométrica de AB 
e BC; 
 
Média harmônica 
Observe que os triângulos ODB e EDB são semelhantes. Logo 
𝑚(𝐷𝐸)
𝑚(𝐷𝐵)
=
𝑚(𝐷𝐵)
𝑚(𝑂𝐷)
=> 𝑚(𝐷𝐸) =
[𝑚(𝐷𝐵)]2
𝑚(𝑂𝐷)
=
𝑎𝑐
𝑎 + 𝑐
2
=
2𝑎𝑐
𝑎 + 𝑐
; 
 
isto é, m(DE) é a média harmônica de AB e BC. 
 
 
 
Questão 4 [2,0 pts] – Eis um problema e sua solução da obra de Al-Khwarizmi, “Al-Labr W´al 
Muqabalah”: 
 
“Um quadrado mais dez raízes do mesmo é igual a trinta e nove. Qual é o quadrado? – A 
solução é a seguinte: Tome a metade do número de raízes, obtendo cinco. Isto é, 
multiplicando por si mesmo – o produto será vinte e cinco. Adicione isto a trinta e nove e a 
soma será sessenta e quatro. Tome então a raiz quadrada disto, que é igual a oito e subtraia 
disto a metade do número de raízes, queé cinco. A diferença é três. Esta é a raiz do número 
procurado – e o próprio quadrado é nove.” 
 
a) [1,5 pt] Formule o problema e sua solução com a simbologia atual (na análise da solução, 
formule-a passo a passo como no texto, indentificando-a com uma solução atual). 
b) [0,5 pt] Faça um esboço do raciocínio geométrico utilizado por Al-Khwarismi. 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
a) Observe que: 
 
² 10 39 Um quadrado mais dez raízes do mesmo é igual a trinta e nove
² ? Qual é o quadrado?
x x
x
  
 
 
A partir daí, temos que: 
10
5 Tome a metade do número de raízes, obtendo cinco;
2
5 5 25 Multiplicando por si mesmo, o produto será vinte e cinco;
25 39 64 Adicioneisto a trinta e nove e a soma é sessenta e quatro;
64 8 Tome entã
 
  
  
  o a raiz quadrada disto, que é igual a oito;
8 5 3 E subtraia disto a metade do número de raizes, que é cinco. A diferença é três;
3 Esta é a raiz do número procurado;
9 E o próprio quadrado é nove.
  


 
 
b) Imagine um quadrado com um lado desconhecido medindo x. Construa retângulos com área 
medindo 5x e monte a figura em forma de L abaixo. 
 
 
Pela equação, essa figura tem área igual a 39. 
Para completar o quadrado precisamos acrescentar o quadrado de área igual a 25. 
 
 
Daí, (𝑥 + 5)2 = 64 . De onde obtem-se 𝑥 + 5 = √64 = 8. 
Logo 𝑥 = 8 − 5 = 3. 
Um abraço fraterno, 
Prof. Wanderley. 
Adicione isto a trinta e nove e a soma é sessenta e quatro;