Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
- 1 - ANÁLISE ESTRUTURAL I NOTAS DE AULA Assunto: Princípio dos Trabalhos Virtuais - 2 - 1- Força Generalizada, Deformações e Deslocamentos O conceito de força generalizada deve ser entendido com o significado de uma força, um binário de forças, ou um conjunto de forças e binários atuando em uma estrutura. Ao longo do texto este conceito é utilizado freqüentemente usando-se apenas a palavra força. Às vezes este conceito é encontrado na literatura sob a denominação de ação. Uma força generalizada pode ser interna ou externa, e uma força externa pode ser ativa ou reativa. A Fig.1 ilustra o significado de forças generalizadas externas (F1, e F2) atuando na extremidade livre B de uma viga em balanço, sendo F1 uma carga concentrada vertical e F2 um momento. As forças F1, e F2 são forças externas ativas, enquanto as reações de apoio em A, R1(componente vertical), e R2 (momento) são forças externas reativas. R1 F1 F2 R2 A BC Forças externas: • Ativas: F1, F2 • Reativas: R1, R2 Fig. 1 – Viga em Balanço: forças externas e internas Admitindo-se que a viga da Fig. 1 esteja em equilíbrio sob a ação das forças indicadas, secciona-se o trecho CB. Representando-se o diagrama de corpo livre desta parte, conforme mostrado na Fig. 2, para manter o equilíbrio da mesma é necessária a aplicação de uma componente de força cortante V e de um momento fletor M na seção C. A força cortante V e o momento fletor M são os esforços internos resultantes da integração das distribuições das tensões de cisalhamento e das tensões normais na seção C, respectivamente. Estas componentes de tensão caracterizam o que se chama estado de tensão, sendo mobilizadas nos diversos pontos do volume da barra pela ação do carregamento, - 3 - e podem ser calculadas conforme considerações desenvolvidas nos textos de Resistência dos Materiais. Os esforços internos na seção C serão também entendidos como forças generalizadas, neste caso serão forças internas generalizadas. Os valores máximos destas forças internas, isto é, os valores máximos que a viga suporta, dependem das características geométricas da seção transversal e da resistência do material da viga, sendo chamados genericamente de resistência da seção a força cortante e ao momento fletor. Durante a fase de projeto, um dos objetivos fundamentais é a definição de dimensões suficientes para as seções transversais e a especificação de materiais com resistência adequada para que a estrutura suporte com segurança os carregamentos atuantes. M V C B F2 F1 Forças internas: V, M Fig. 2 - Diagrama de corpo livre de um trecho de viga Uma estrutura solicitada por um sistema de forças sofre mudança de forma, o que é chamado de deformação. Neste processo os pontos da estrutura sofrem deslocamentos, ou seja, mudanças de posição em relação às suas posições iniciais e em relação uns aos outros. As deformações são definidas matematicamente por meio de considerações geométricas em cada ponto do volume do corpo ou da barra a partir das funções que descrevem os deslocamentos dos pontos segundo as direções dos eixos de referência. Esta definição é encontrada para os casos mais simples nos livros de Resistência dos Materiais, ou de forma mais rigorosa nos livros de Teoria da Elasticidade. As componentes de deformação são grandezas adimensionais e caracterizam completamente a mudança de forma de um elemento infinitesimal em torno de - 4 - um ponto. A deformação, ou estado de deformação, tal como a tensão, é uma grandeza tensorial, e para o caso de estruturas planas, contidas no plano xy, pode ser definida basicamente pelas componentes: εx εy εz e γxy. Os deslocamentos decorrem do efeito acumulado das deformações nos pontos do corpo ou da estrutura. Um deslocamento deve ser entendido genericamente como uma translação ou rotação de algum ponto da estrutura. A translação de um ponto costuma também ser referida como deslocamento linear e a rotação como deslocamento angular ou giro. Na realidade, os pontos de uma estrutura submetida a um carregamento qualquer ficam sujeitos a estados de tensão e se deformam em maior ou menor grau, conseqüentemente se deslocam. Durante o projeto estrutural, outro objetivo fundamental a ser atingido é especificar as peças da estrutura com dimensões e materiais adequados, para que sejam evitados deslocamentos excessivos quando a estrutura estiver em funcionamento sob ação dos carregamentos. As estruturas usuais, depois de acabadas, trabalham em regime de pequenos deslocamentos, conforme hipótese rotineira na análise das mesmas. Assim, em geral, estes deslocamentos não são facilmente perceptíveis ao usuário, a não ser em casos de comportamento anormal da estrutura. Na Fig. 3 é mostrada uma viga em balanço, deformada sob a ação de uma força vertical P aplicada a extremidade B, e os deslocamentos possíveis: translação ∆ e rotação θ. P A B Viga indeformada Viga deformada Fig. 3 – Deslocamentos numa viga em balanço O conceito de deslocamento decorrente das deformações, conforme exposto anteriormente, não deve ser confundido com deslocamento de corpo rígido (deslocamento geométrico), isto é, deslocamentos que ocorrem devido a movimentos de corpo rígido de uma estrutura. Estes podem surgir quando a - 5 - estrutura tem vinculação insuficiente em número ou devido a má disposição dos vínculos como é o caso das formas críticas, ou ainda em trechos de uma estrutura corretamente vinculada. Na Fig. 4, por exemplo, o trecho em balanço AB, da viga ABC, se desloca rigidamente quando a viga, corretamente vinculada, é carregada ao longo do vão BC. Os deslocamentos de corpo rígido em geral não estão associados à deformação da estrutura, e devem ser evitados a todo custo quando puderem advir de vinculação deficiente. 2 - Condições de Compatibilidade de Deslocamentos Na análise estrutural, além das condições de equilíbrio, devem ser satisfeitos todos os requisitos de compatibilidade de deslocamento. As condições de compatibilidade dizem respeito à continuidade dos deslocamentos e dos requisitos de vinculação da estrutura nos apoios. Assim, em geral, numa seção qualquer de uma barra da estrutura, sendo esta seção definida por um ponto sobre o eixo barra, tomando-se um ponto localizado um infinitésimo à esquerda e outro ponto situado um infinitésimo à direita, os deslocamentos destes pontos vizinhos à esquerda e à direita devem ser iguais ao deslocamento do ponto da seção para que haja continuidade de deslocamentos, desde que nesta seção não exista nenhum tipo especial de conexão que permita a ocorrência de descontinuidades de deslocamento. Assim, na Fig. 4, a flecha no ponto Se e no ponto Sd devem ser iguais à flecha ∆ no ponto S. A B P2P1 Se 1 S Sd C 1 2 2 Fig. 4 – Linha Elástica de Uma Viga Biapoiada - 6 - Na viga mostrada na Fig. 4, está representada uma linha elástica compatível com a vinculação da viga para um carregamento genérico no vão BC. O trecho em balanço AB supõe-se descarregado e, portanto não se deforma, mas gira rigidamente em torno de B. Os pontos B e C estão impedidos de se deslocarem na direção vertical e o ponto B também não pode se deslocar na direção horizontal, pois os respectivos deslocamentos estão impedidos de ocorrer pela ação dos apoios. Portanto, uma elástica compatível, tal como esboçada na Fig. 4, deve apresentar continuidade dedeslocamentos ao longo da estrutura e satisfazer as condições de contorno nos apoios. As rotações θ1 e θ2, respectivamente, à esquerda e à direita do apoio B, devem ter mesmo valor numérico e mesmo sentido. No ponto B não existe articulação interna entre os trechos AB e BC da viga, devendo-se observar que a viga aí se articula externamente. Na viga da Fig. 3 deve-se notar que o engastamento em A impede todos os deslocamentos possíveis da seção, isto é, deslocamento horizontal, vertical e giro, enquanto na extremidade B nenhuma componente de deslocamento está restringida. As condições de compatibilidade são muito importantes na análise estrutural pois permitem complementar o número de equações de equilíbrio estático quando se analisa uma estrutura hiperestática pelo método da forças. 3 - Comportamentos Básicos dos Materiais: Linearidade, Não-linearidade, Elasticidade, Plasticidade O comportamento físico de um material é definido pelas relações existentes entre as tensões atuantes e as correspondentes deformações por elas provocadas. Os conceitos de linearidade e elasticidade são teoricamente independentes, mas na prática muitas vezes se confundem. O entendimento correto destes conceitos relacionados ao material da estrutura é de fundamental importância, pois deles vai depender o comportamento global da estrutura. A linearidade física corresponde a uma relação diretamente proporcional entre tensões e deformações, conforme ilustrado na Fig. 5-a. Na Fig. 5-b mostra- - 7 - se o caso de um material cuja relação tensão-deformação é não-linear, isto é, as tensões não são diretamente proporcionais às deformações. σ ε a - Linearidade Física (a) ε σ b - Não-linearidade Física (b) σ - Tensão ε- Deformação Fig. 5 – Comportamento Linear e Não-linear do Material Diz-se que um material é elástico quando, uma vez deformado sob um determinado carregamento, ao se retirar este carregamento há um retorno à situação inicial (indeformada), isto é, sem deformações residuais. A trajetória percorrida no descarregamento é a mesma percorrida no carregamento. Portanto, elasticidade é a propriedade que certos materiais idealizados possuem de se deformarem quando submetidos a tensões, e de voltarem à condição inicial indeformada, quando o estado de tensão que causou a deformação é removido. No caso de não haver retorno à situação inicial, isto é, permanecerem deformações residuais, quando o material é carregado e em seguida descarregado, o material é dito elastoplástico. Neste caso uma parte da deformação é recuperável e outra não. Parte da energia absorvida durante o processo de carregamento é dissipada internamente para produzir deformações plásticas permanentes, alterando assim a estrutura interna do material em nível microscópico, e conseqüentemente as propriedades de rigidez e resistência do mesmo. Na Fig. 6 são apresentados os diagramas tensão x deformação típicos para material elástico não-linear, material elástico linear e material elastoplástico. - 8 - ε ε εεε Material elástico Material elástico perfeito (linear) Material elasto-plástico ε = εe + εp εp εe σσ σ σσ σ carga descarga εp = Deformação plástica residual εe = Deformação elástica Fig.6 – Diagramas Tensão x Deformação Típicos Deve-se observar que no caso de material elastoplástico, a trajetória de descarregamento não é a mesma do carregamento. A utilização de materiais do tipo elástico não-linear ou elastoplástico induz a estrutura a se comportar de forma não-linear, isto é, a relação entre as cargas e os deslocamentos não é neste caso diretamente proporcional. Uma aproximação teórica muitas vezes utilizada para simular os materiais elastoplásticos é o chamado comportamento elastoplástico perfeito, no qual abaixo de um certo limite de solicitação fy assume-se que o material apresenta comportamento elástico-linear; acima deste limite o comportamento é elastoplástico. Este comportamento é ilustrado pelo diagrama tensão x deformação da Fig.7, onde a tensão de escoamento fy é admitida como coincidente com a tensão limite de proporcionalidade do material. εeεp ε ε fy σ patamar de escoamento Fig. 7 – Material Elastoplástico Perfeito - 9 - Para valores de tensão σ abaixo da tensão de escoamento fy o comportamento é elástico-linear, enquanto para valores acima de fy o material se comporta como perfeitamente plástico, sendo fy o valor máximo de tensão que o material suporta. Quando a tensão atinge o valor fy o material começa a se deformar indefinidamente sob tensão constante. Os modelos de comportamento descritos acima são aproximações idealizadas do comportamento real dos materiais. Na realidade, os materiais com aplicação estrutural não apresentam o mesmo comportamento para todos os níveis de tensão. Para solicitações baixas, o comportamento é quase sempre aproximadamente elástico, assimilável a linear. Acima de certos níveis de tensão o comportamento passa a ser elastoplástico. Na maioria dos casos, nos projetos estruturais, os fatores de segurança aplicados sobre solicitações e resistências fazem com que os materiais quase sempre trabalhem em um nível de tensão abaixo de 40 % da sua tensão de escoamento. Por esta razão na maioria das vezes considera-se o material com comportamento elástico-linear para fins de análise estrutural, com isto obtém-se uma simplificação muito significativa na modelagem matemática do comportamento da estrutura. Isto vai significar no final do processo que o comportamento da estrutura vai ser descrito por um sistema linear de equações algébricas em termos das forças internas e externas incógnitas e dos carregamentos no caso do Método das Forças, ou em termos dos deslocamentos incógnitos e dos carregamentos no caso do Método dos Deslocamentos. Caso a hipótese de comportamento linear da estrutura não possa ser aplicada recai-se num sistema de equações não-lineares cuja solução é muito mais elaborada e dispendiosa. Neste caso os coeficientes das incógnitas do sistema de equações são dependentes dos valores das incógnitas e a solução do sistema em geral se baseia num esquema de solução incremental e iterativo. - 10 - Comportamento Geométrico das Estruturas: Linearidade e Não-linearidade Geométrica O comportamento geométrico de uma estrutura é definido pelas relações entre forças e efeitos estruturais correspondentes. A linearidade geométrica existe quando os efeitos são combinações lineares das causas. Exemplo: P 2 2P P Fig. 8 – Comportamento Linear Na Fig. 8 apresenta-se uma viga de comportamento linear. Existe linearidade, pois os efeitos estruturais são diretamente proporcionais às forças, isto é, ao se dobrar o valor da força externa P, o valor do deslocamento ∆ na extremidade da viga também fica dobrado. Para se ter comportamento linear numa estrutura exige-se necessariamente o comportamento linear do material (linearidade física), e linearidade geométrica da estrutura. Para a linearidade geométrica deve-se ter um arranjo adequado das barras e dos vínculos de forma que seja possível estabelecer as condições de equilíbrio estrutural na posição inicial da estrutura indeformada. Para tanto a estrutura deve funcionar em regime de pequenos deslocamentos e pequenas deformações. Não é possível uma estrutura apresentar comportamento linear se o material tiver comportamento não-linear,bem como não há possibilidade da - 11 - estrutura apresentar comportamento linear se apresentar alguma não-linearidade geométrica. A C B P α α Fig. 9 – Estrutura com não-linearidade geométrica Para estrutura apresentada na Fig. 9, não se consegue o equilíbrio no ponto C sem considerar a deformação das barras AC e BC e os conseqüentes deslocamentos. Assim, para formular o equilíbrio do nó C, conforme Fig. 9, é necessário levar em conta o ângulo α formado entre as barras na posição deformada e na posição inicial. Esta estrutura apresenta comportamento não- linear para qualquer valor de P e qualquer tipo de material, e é considerada uma forma crítica da estrutura apresentada na Fig. 10. A C B P ∆ α α Fig. 10 – Estrutura com Linearidade Geométrica Na Fig. 10 apresenta-se uma estrutura derivada da estrutura da Fig. ,9 mas cuja disposição de barras e vínculos permite a ocorrência de linearidade geométrica. Neste caso se a estrutura for composta de material elástico linear apresentará comportamento elástico linear como um todo, neste caso há proporcionalidade entre P e ∆. Se a estrutura da Fig. 10 for composta de barras muito delgadas e material muito deformável, de forma que os deslocamentos não possam ser considerados como pequenos, e de tal forma que o equacionamento da estrutura na posição indeformada leve a resultados significativamente diferentes daqueles obtidos - 12 - com o equacionamento para o equilíbrio na posição deformada, tem-se comportamento não-linear geométrico. Isto significa que não se podem desprezar os efeitos das rotações α das barras, e a variação dos comprimentos das barras AC e CB. Caso se utilize, neste problema, a simplificação de comportamento linear, os resultados serão muito diferentes do comportamento real, aparecendo portanto a necessidade de se considerar as rotações α na análise e configurando-se a necessidade de se considerar o comportamento não- linear geométrico. Quando é possível formular o equilíbrio considerando-se a configuração inicial indeformada da estrutura, tem-se a chamada teoria de primeira ordem, caso contrário, a formulação deve ser em teoria de segunda ordem. 4 - Princípio da Superposição dos Efeitos Quando uma estrutura tem comportamento elástico-linear (linearidade física e geométrica) pode-se considerar que os efeitos produzidos por várias causas podem ser obtidos combinando-se os efeitos produzidos pelas causas atuando individualmente. O princípio enunciado acima é conhecido como princípio de superposição dos efeitos e, na prática, pode ser aplicado quando o comportamento da estrutura é elástico-linear, ou seja: a) O material segue a Lei de Hooke (comportamento elástico-linear); b) Deslocamentos e deformações nos pontos da estrutura são pequenos (linearidade geométrica); c) Não existe interação entre efeitos de força axial e momento fletor nas barras (linearidade geométrica); d) A disposição das barras e de vínculos é tal que se pode formular o equilíbrio na posição inicial da estrutura indeformada. Como causas incluem-se forças e momentos externos aplicados, deslocamentos de apoio, gradientes de temperatura, e quaisquer carregamentos em geral. Como efeitos entendem-se reações de apoio, deslocamentos, tensões e deformações. - 13 - Na Fig. 11 apresenta-se um exemplo ilustrativo da aplicação do princípio de superposição dos efeitos no caso de uma viga submetida a forças externas F1 e F2. O cálculo de um efeito qualquer pode ser realizado considerando-se a aplicação simultânea de F1 e F2, ou alternativamente, pode ser efetuado aplicando-se cada uma das forças isoladamente e calculando-se o respectivo efeito parcial. O efeito total será a soma dos efeitos parciais se a estrutura tiver comportamento elástico linear. Por exemplo, na Fig.11 (a), F1 e F2 são forças externas aplicadas (causas) e considerando-se os efeitos RA, RB, MA (reações de apoio) e ∆C (deslocamento vertical em C). Na Fig.11 (b) e 11 (c) aplicam-se F1 e F2, respectivamente, e obtêm-se os efeitos individuais: R’A, R’B, M’A, ∆’C (causados por F1) e R’’A, R’’B, M’’A, ∆’’C (causados por F2), os efeitos totais podem ser calculados por meio de: RA = R’A + R’’A MA = M’A + M’’A (1) RB = R’B + R’’B ∆C = ∆’C + ∆’’C F2F1MA (a) C RA A RB B C F1M'A (b) C R'A A R'B B 'C F2M''A (c) C R''A A R''B B "C Fig. 11 – Princípio de Superposição dos Efeitos - 14 - Um outro caso de utilização do princípio de superposição dos efeitos é mostrado na Fig. 12, para uma viga submetida a um recalque ∆A e a uma rotação de apoio θA em A. A situação é inteiramente análoga à do exemplo anterior e o cálculo de um efeito qualquer pode ser efetuado aplicando-se cada um dos deslocamentos de apoio especificados, separadamente, e avaliando-se o respectivo efeito parcial, sendo o efeito total a soma dos efeitos parciais: RA = R’A + R’’A MA = M’A + M’’A (2) RB = R’B + R’’B ∆C = ∆’C + ∆’’C MA RA A A B (a) C C RB A M'A R'A A B (b) C C R'B ' ' A M''A R''A A B (c) C C R''B '' A Fig. 12 - Princípio de Superposição dos Efeitos – Viga com Recalque de Apoio - 15 - 5 - Correspondência entre Força e Deslocamento Um conceito importante e muito útil em análise estrutural é o de correspondência entre força e deslocamento. Considera-se que força e deslocamento são correspondentes quando: • São de mesma natureza, isto é, uma força corresponderá a um deslocamento linear, e um momento a um deslocamento angular (rotação); • Estão localizados no mesmo ponto da estrutura; • Têm mesma direção e mesmo sentido considerado como positivo. Por exemplo na Fig.13, a força vertical P na extremidade livre da viga em balanço corresponde ao deslocamento vertical ∆ neste mesmo ponto e ambos são considerados positivos quando estiverem dirigidos para baixo, sentido adotado como positivo neste caso. O momento M aplicado naquela mesma extremidade livre corresponde à rotação θ da extremidade e como têm o mesmo sentido (horário) terão o mesmo sinal. Caso os sentidos sejam contrários obviamente os sinais serão contrários. O sentido positivo pode ser arbitrado no início da análise e deve ser mantido a partir de então. P M P correspondente a ∆ M correspondente a θ Fig.13 – Correspondência entre Força e Deslocamento A relação de correspondência é diferente da relação de causa. No exemplo anterior, ∆ e θ são ambos causados pela ação conjunta de P e M. Assim na Fig.13, parte do deslocamento ∆ é causado pela força P e parte pelo momento M, o mesmo raciocínio vale para a rotação θ. Por meio do conceito de correspondência entre força e deslocamento pode-se estabelecer um sistema de coordenadas (sistema referência) ao longo da estrutura, relacionando estas grandezas às suas direções e sentidos e aos respectivos pontos de ocorrência. - 16 - 6 - Trabalho e Trabalho Complementar O trabalho W realizado por uma força constante P atuando sobre uma partícula durante a trajetória desta entre os pontos A e B, conforme Fig. 14, é definido como o produto da força pela projeção da distância AB, na direção de sua linha de ação. Portanto, θcosABPW ×= (3) θ φ θ ds A BS P B´ Força constante Patuando sobre a partícula na trajetória S do ponto A ao ponto B θ = ângulo entre a linha de ação da força P e a direção AB. Fig. 14 – Trabalho de uma força ao longo da trajetória de uma partícula O trabalho realizado pela força P durante um deslocamento infinitesimal ds medido sobre a trajetória percorrida entre A e B, é dado por: dscosPdW φ= (4) que integrado ao longo de S fornece o trabalho total produzido por P quando se desloca de A até B. ∫= B A dscosPW φ Se P é constante, ∫= B A dscosPW φ Como cos φ ds é a componente de ds na direção de P, ________ BB`PcosAB PW == θ (5) - 17 - O trabalho, portanto, não depende da trajetória percorrida por P, mas apenas da componente desta trajetória na direção dela própria ( ____ BB` ). Se a força P for aplicada lenta e gradativamente em um corpo elástico, a relação entre a força aplicada e o deslocamento correspondente no ponto de aplicação da força pode ser representado, de maneira geral, por um gráfico como o seguinte: P v Pe Pe + dP P P dv vf v Fig. 15 – Trabalho da força P durante o deslocamento v Caso de comportamento não-linear dscosdv φ= (6) sendo dv a componente do deslocamento na direção de P. Com base na Fig. 15, o trabalho será dado pela área entre a curva e o eixo horizontal. ∫= f v 0 dvPW (7) Se o comportamento é linear, o gráfico Carga X Deslocamento será conforme ilustrado na Fig. 16. - 18 - P P vf . v P = kv k= constante Fig. 16 – Trabalho da força P no caso de comportamento linear Neste caso, como P = kv e ∫= f v 0 dvPW 2 kvdvkvW 2 f v 0 f == ∫ Pv21W:. = (8) No caso da carga P, constante, já estar totalmente aplicada sobre o corpo e ocorrer um deslocamento v provocado por outra ação qualquer, o trabalho realizado por P durante a ocorrência de v será dado por Pv tal como se mostra na Fig.17. P v dv Pf P = constante v f Fig. 17 - Trabalho de carga integralmente aplicada durante um deslocamento posterior à aplicação ∫∫ == ff v 0 v 0 dvPdvPW PvW:. = (9) O trabalho complementar é definido como: ∫= P 0 C dPv W (10) Conforme Fig. 18, o trabalho complementar fica definido pela área entre a curva e o eixo vertical. - 19 - P vvfdv Pf dP W c Caso de comportamento não-linear, com P aplicada lenta e gradualmente. Fig. 18 – Trabalho Complementar Portanto observando-se as Fig. 17 e 18 conclui-se que: WPv W C −= (11) No caso de comportamento elástico-linear, conforme Fig. 19, Pf P Vf v W W c )12(Pv 2 1WW WdPvdvPW C C P 0 v 0 == === ∫∫ Fig. 19 – Trabalho complementar para o caso de comportamento linear Ou seja, o trabalho é igual ao trabalho complementar. Além disso, neste caso é aplicável o Princípio da Superposição dos Efeitos. Então, se houver várias cargas aplicadas, tal como se mostra na Fig. 20, o trabalho total é a soma dos trabalhos produzidos pelas cargas atuando individualmente. - 20 - Exemplo 6.1 - P4 P2P1 P3 v1 v2 v3 v4 . Caso de aplicação lenta, gradual e simultânea das cargas. Fig. 20 – Trabalho realizado por um sistema de várias cargas )13()4,3,2,1i(vP 2 1WW ii 4 1i C === ∑ = 7- Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) 7.1- Trabalho Virtual Diz-se virtual algo que não é real; imaginário portanto. Um deslocamento virtual ou uma força virtual são, respectivamente, um deslocamento imaginário ou uma força imaginária, arbitrariamente impostos sobre um sistema estrutural. O trabalho virtual pode ser considerado como o trabalho produzido em uma das duas situações abaixo relacionadas: • Trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual; • Trabalho realizado por forças virtuais durante um deslocamento real. Pode-se considerar aqui como deslocamento virtual um deslocamento provocado por alguma outra ação que não o sistema de carregamento em questão atuante na estrutura. Força virtual, da mesma forma, pode ser considerada uma outra força qualquer que não seja a que está provocando o deslocamento real. Portanto, na expressão do trabalho virtual, a força e o deslocamento envolvidos (virtual e real ou vice-versa) têm uma relação de correspondência, mas nunca de causalidade. - 21 - 7.2- Princípio dos Trabalhos Virtuais para Corpos Rígidos Seja um corpo rígido sujeito a um sistema de forças reais Pi constantes e integralmente aplicadas a um corpo rígido conforme mostrado na Fig. 21. Se ele é submetido a um deslocamento virtual δv, sendo δvi as componentes do deslocamento virtual correspondentes aos Pi. P1 P2 δv2 δ v1 A B P3 δv3 C B A C Fig. 21 – Trabalho virtual realizado por forças reais O trabalho virtual realizado é dado pelas forças reais Pi durante o deslocamento virtual δv é dado por: )14(vPWvPvPvPW 3 1i ii332211 ∑ = =++= δδδδδδ Todas as grandezas virtuais serão denotadas pela letra δ precedendo a grandeza, por exemplo, δv significa deslocamento virtual e δF força virtual. Na Fig.21, considerando-se vi deslocamentos reais (provocados por um sistema de forças real) e δPi um sistema de forças virtuais (não são elas que provocam vi), tem-se uma expressão análoga para o trabalho virtual. )15(vPW 3 1i ii∑ = = δδ - 22 - Princípio dos Deslocamentos Virtuais - Para Corpos Rígidos “Se é aplicado um deslocamento virtual a um corpo rígido sujeito a um sistema de forças em equilíbrio, o trabalho virtual total realizado pelas forças é igual a zero”. Na Fig. 21 se o sistema de forças Pi estiver equilibrado, tem-se: )16(0vPW 3 1i ii == ∑ = δδ A recíproca também é verdadeira, ou seja: “Se o trabalho virtual total realizado por um sistema de forças reais atuando em um corpo rígido quando ele é submetido a um deslocamento virtual é igual a zero, o sistema de forças está em equilíbrio”. Exemplo 7.2.1- Como nas estruturas isostáticas os deslocamentos de apoio não provocam deformações na estrutura nem esforços internos, pode-se considerar que as estruturas isostáticas funcionam como corpos rígidos. Utilizando este fato, as reações de apoio de uma estrutura podem ser calculadas, como a que se segue, usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais aplicado aos corpos rígidos. Assim propõe-se calcular a reação vertical VB no apoio B. P a b A C B L Fig. 22 – Exemplo 2 SOLUÇÃO: Submetendo a viga ao deslocamento virtual em B, na direção vertical, correspondente à reação VB, mostrado abaixo, - 23 - P δvc VA HA δvB VB O trabalho virtual total é dado por: )17(0vPW n 1i ii == ∑ = δδ Notar que o deslocamento virtual correspondente à carga P é dado por: δvC Considerando que se pretende obter uma situação de equilíbrio de forças na viga, impõe-se a condição de trabalho virtual total nulo, ou seja: )18(0vVvPW BBC =−= δδδ )19(0vV L avPW, L avvComo BBBBC =−== δδδδδ Deve-se notar que o deslocamento virtual em B foi admitido para baixo, no sentido contrário deVB, portanto o trabalho virtual desta fica negativo. Além disto, as forças VA e HA não produzem trabalho pois não há nenhum deslocamento virtual correspondente a estas ações. Resolvendo a Equação 19 obtém-se: )20( L aPVB = Exemplo 7.2.2 - Usando o Princípio dos Trabalhos Virtuais, propõe-se calcular o momento MA no apoio A. MA PL L/2 δv3 δv2 L/2 P 2P δθ1 δθ4 Fig. 23 – Exemplo 3 - 24 - SOLUÇÃO: Impondo-se uma rotação virtual δθ4 no apoio A, a viga se desloca como um corpo rígido, de acordo com o PTV para corpos rígidos o trabalho virtual total é nulo, portanto: )24( 2 PL7M)23(0PLLP2 2 LPM )22(0PLLP2 2 LPM 2 LveLv L vtg;Como )21(0PLvP2vPM0W AA 4444A 4342 2 441 1234A ==+++− =+++− ==== =+++−= δθδθδθδθ δθδδθδδδθδθδθ δθδδδθδ 7.3 - Princípio dos Trabalhos Virtuais para Corpos Deformáveis Nos corpos deformáveis, pontos do interior do corpo podem mover-se uns em relação aos outros sem violar as condições de restrição. Portanto, neste caso, tanto as forças externas quanto as internas (esforços solicitantes) realizam trabalho. Genericamente, uma estrutura como a mostrada abaixo pode sofrer deformações deformando-se de forma compatível, isto é, sem apresentar descontinuidades e respeitando-se a vinculação nos apoios. dx dx Fig. 24 – Estrutura sujeita a deformações O elemento de barra dx estará sujeito, também genericamente, a resultantes de tensão representadas aqui pelos esforços solicitantes. - 25 - q dx N T M V V + N + T + M + q = força externa genérica V = esforço cortante N = força normal M = momento fletor T=momento de torção Fig. 25 – Esforços solicitantes num elemento infinitesimal A deformação da estrutura provoca deslocamentos relativos entre as seções transversais externas do elemento, mostradas a seguir: d δ dx def. axial dx def. de flexão dθ dx def. de cisalhamento d λ A A´ d φ dx def. de torção (por simplicidade de representação, fixou-se a extremidade da esquerda do elemento). - 26 - Nas ilustrações anteriores, devem ser notadas as seguintes relações de correspondência: N ↔ dδ (dδ = deslocamento relativo entre as seções extremas do elemento de barra na direção do eixo da barra) M ↔ dθ (dθ = rotação relativa entre as seções extremas do elemento de barra no plano da mesma) V ↔ dλ (dλ = deslocamento relativo no plano da barra entre as seções extremas do elemento de barra na direção perpendicular ao eixo) T ↔ dφ (dφ = rotação relativa entre as seções extremas do elemento em torno do eixo da barra) Portanto, existe um trabalho real interno produzido por estes esforços que, no caso de comportamento elástico linear é dado por pela integral do trabalho infinitesimal sobre cada elemento de barra dx. No caso das estruturas de comportamento elástico linear, este trabalho interno é a energia de deformação total que é igual ao trabalho realizado pelas forças externas durante o processo de deformação da estrutura. Todo o trabalho realizado pelo carregamento real é armazenado como energia de deformação e pode ser recuperado se o carregamento for removido. O trabalho interno total (energia de deformação) será: )25(]dTdVdMdN[ 2 1W estr estr estr estr int ∫ ∫ ∫ ∫+++= φλθδ Pelo Princípio da Conservação da Energia, o trabalho das forças internas é igual ao trabalho das forças externas: )26(WW intext = - 27 - Princípio dos Deslocamentos Virtuais para Corpos Deformáveis “Quando a uma estrutura deformável, em equilíbrio sob a ação de um sistema de carregamento, é dada uma pequena deformação virtual compatível, o trabalho virtual realizado pelas forças externas (carregamento) é igual ao trabalho virtual realizado pelas forças internas (esforços solicitantes)”. Chamando δWext o trabalho virtual das forças externas e δWint o trabalho virtual das forças internas, tem-se de acordo com o referido princípio: )27(WW intext δδ = . Observação: Os deslocamentos ou deformações virtuais devem ser compatíveis com as condições de contorno geométricas (apoios) e não devem violar a continuidade das deformações da estrutura. Considerando a estrutura seguinte: δθB θB P M vc A B C δvcδv δv = elástica virtual (ponto genérico). Fig. 26 – Estrutura com deformações reais e virtuais Onde: P e M: força e momento externos VC e θB: deslocamentos correspondentes a P e M, originados da deformação (real) causada pelo carregamento (P e M) δvC e δθB: deslocamentos virtuais correspondentes a P e M, impostos após a deformação real da estrutura . Não são provocados por P e M, mas sim da deformação virtual. Neste caso, o trabalho virtual externo será BCext MvPW θδδδ += - 28 - (notar que as reações de apoio não realizam trabalho pois os deslocamentos virtuais correspondentes são nulos). A deformação virtual imposta provoca deslocamentos virtuais das seções transversais, correspondentes aos esforços solicitantes reais atuantes nestas seções. Portanto, conforme figuras anteriores, o trabalho virtual das forças internas realizado ao longo de todo o comprimento da estrutura pode ser expresso por: )28(d)dMM(d)dVV(W B A B A int θλδ ∫∫ +++= pois, na viga em questão, os dois únicos esforços solicitantes existentes são V e M. Na expressão acima e para o que se segue, φδθλ d,d,d,d representam as deformações virtuais de um elemento de barra dx, associadas à deformação virtual imposta na barra. Aplicando o PTV, no equilíbrio tem-se δWext = δWint, portanto, )29(d)dMM(d)dVV(MvP B A B A θλθδδ ∫∫ +++=+ A expressão geral para estruturas deformáveis planas, considerando-se a existência dos quatro esforços solicitantes (N, M, V, T) e um carregamento externo qualquer, será: )30(d)dTT(d)dVV(d)dMM(d)dNN(Wext ∫ ∫ ∫ ∫ +++++++= φλθδ Desprezando-se os produtos de dois infinitésimos, tem-se: )31(dTdVdMdNWext ∫ ∫ ∫ ∫+++= φλθδ δW ext terá uma expressão para cada caso, genericamente: )32(vPW i n 1i iext δδ ∑ = = - 29 - Princípio das Forças Virtuais para Corpos Deformáveis De forma análoga ao PTV para deslocamentos virtuais, tem-se o Princípio das Forças Virtuais, que pode ser enunciado como: “Se a um corpo deformável que sujeito a deslocamentos reais provocados por um sistema de forças em equilíbrio é aplicado um sistema equilibrado de forças virtuais, o trabalho virtual externo (produzido pelas forças virtuais externas quando ocorrem os deslocamentos reais) é igual ao trabalho virtual interno (produzido pelos esforços virtuais internos quando ocorrem as deformações reais das barras)”. intext WW δδ = (δWext e δWint são trabalhos virtuais complementares) Considerando-se a mesma viga anterior, P M v2 A B δQ θ v1 Fig. 27 – Estrutura com deformações reais e carga virtual Onde: P e M: força e momento externos reais δQ: força virtual v1, v2, θ : deslocamentos reais correspondentes a δQ, P, M (provocados por P e M). Tem-se então, neste caso, para o trabalho virtual externo, 1ext vQW ⋅= δδ A expressão para o trabalho virtual interno é a mesma anterior, sendo que, aqui, os esforços solicitantes são virtuais (provocados pela força virtual δQ) e os deslocamentos são reais (provocados por P e M): )33(d)dMM(d)VdV(W B A B A int θλδ ∫∫ +++= - 30 - Generalizando e desprezando os produtos de dois infinitésimos,tem-se a mesma uma expressão análoga à anterior para o PTV: )34(dTdVdMdNWext ∫ ∫ ∫ ∫+++= φλθδδ Aqui também, δWext terá uma expressão para cada caso. Genericamente: )35(vQW i n 1i iext ∑ = = δδ Nota-se que, como nenhuma restrição foi feita ao comportamento da estrutura, o PTV é aplicável a estruturas de comportamento elástico linear ou não-linear. 8 - Método da Carga Unitária (MCU) A particularização do Princípio dos Trabalhos Virtuais (forças virtuais) na qual se considera a força virtual (ou forças virtuais) com valor unitário é conhecida como Método da Carga Unitária (MCU). Também conhecido como Método do Trabalho Virtual, Método da Carga Substituta e Método de Maxwell- Mohr, o MCU pode ser utilizado para calcular deslocamentos (devidos a deformações reais causadas pelo carregamento) em estruturas isostáticas. Como o MCU é uma sistematização do PTV, sua formulação geral pode ser utilizada em estruturas de comportamento elástico linear e não-linear. Seja calcular um determinado deslocamento ∆ , por exemplo o deslocamento vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita a um sistema de cargas qualquer. - 31 - M C A B P q C ∆ = deslocamento vertical do ponto C (real) Fig. 28 – Estrutura sujeita a carga real Pelo MCU, considera-se um outro sistema de carregamento atuando sobre a mesma estrutura constituído de uma carga virtual unitária P correspondente ao deslocamento provocado ∆, A B P = 1 C P = força virtual unitária correspondente a ∆ Fig. 29 – Estrutura sujeita a carga virtual unitária Tem-se, pelo PTV, intext WW δδ = . O trabalho virtual neste caso é devido a forças virtuais e deslocamentos reais. O trabalho virtual externo será: ∆∆∆δ =×=⋅= 1PWext O trabalho virtual interno será, como visto anteriormente, )36(dTdVdMdNW estr estr estr estr int ∫ ∫ ∫ ∫+++= φλθδδ Sendo T,V,M,N os esforços solicitantes devidos à carga unitária P, e dδ, dθ, dλ, dφ as deformações elementares reais devidas ao carregamento prescrito. Igualando-se: )PTV(WW intext δδ = - 32 - Tem-se )37(dTdVdMdN estr estr estr estr ∫ ∫ ∫ ∫+++= φλθδ∆ Conforme mencionado esforços TeV,M,N referem-se à força virtual unitária e daqui por diante serão denotados, no que se segue, por n, m, v, t. Portanto, a equação geral do MCU será escrita: )38(dtdvdmdn estr estr estr estr ∫ ∫ ∫ ∫+++= φλθδ∆ Sendo válida para estruturas de comportamento elástico linear ou não-linear. Os deslocamentos dδ, dθ, dλ e dφ são provocados por carregamento externos em geral, bem como por variação de temperatura, recalques de apoio, modificações impostas na montagem; isto é, qualquer tipo de solicitação externa real que produza deformações na estrutura. Nas análises cotidianas em geral, admite-se que a estrutura apresente comportamento elástico-linear, isto é, estrutura constituída de material elástico- linear seguindo Lei de Hooke (σ = E.ε), apresentando linearidade geométrica. As cargas externas produzem tensões, representadas aqui por suas resultantes, os esforços solicitantes reais N, M, V, T e deformações reais dδ, dθ, dλ e dφ relacionadas entre si pelas expressões: )39(dx GJ Tddx GA Vfddx EI Mddx EA Nd S ==== φλθδ Nos quais E = módulo de elasticidade longitudinal, G = módulo de elasticidade transversal, A = área da seção transversal, I = momento de inércia da seção transversal, J = constante de torção da seção transversal, - 33 - fs = fator de forma para cisalhamento; depende da forma da seção transversal e leva em conta a distribuição da tensão de cisalhamento na seção. As grandezas seguintes presentes nos denominadores da Eq.39, são relacionadas abaixo com a respectiva nomenclatura : EA = módulo de rigidez à deformação axial; EI = módulo de rigidez à flexão; GA = módulo de rigidez ao cisalhamento; GJ = módulo de rigidez à torção; Substituindo-se as expressões das deformações nos elementos de barra, dadas pela Eq.39, na equação geral do MCU (Eq.38), tem-se: )40(dx GJ Ttdx GA Vvfdx EI Mmdx EA Nn estr estr estr estr S∫ ∫ ∫ ∫+++=∆ que é a expressão do MCU para estruturas de comportamento elástico-linear sujeita a um sistema de cargas externas qualquer. Em resumo, o cálculo de um deslocamento de uma estrutura isostática feito através do MCU pode ser sistematizado nas seguintes etapas (estrutura elástica-linear sujeita a cargas) 1. FASE L, quando a estrutura dada é submetida ao carregamento real especificado que produz o deslocamento ∆. Determinam-se os esforços solicitantes devidos ao carregamento real: N, M, V, T. 2. FASE U, quando aplica-se à estrutura descarregada uma carga unitária virtual correspondente ao deslocamento procurado e calculam-se os esforços solicitantes virtuais devidos a este novo carregamento: n, m, v, t. 3. Substituem-se os esforços das fases L e U na expressão do MCU, em seguida integra-se a contribuição de cada esforço ao longo de toda a - 34 - estrutura e no final somam-se todas as contribuições para a obtenção do deslocamento procurado ∆. A respeito da expressão do MCU podem ser feitas algumas observações: a) Os esforços virtuais n, m, v, t devem ter dimensão de força (ou momento) por unidade de carga para que se obtenha ∆ com dimensão de comprimento linear (ou rotação). )41(1][:.][1 ÷=∆=∆ ∫∫ b) Devem ser usadas as mesmas convenções de sinal para os esforços solicitantes das fases L e U. Assim, por exemplo, se é adotada a convenção de força normal considerando esforço de tração (N) com sinal positivo na Fase L, na Fase U deve-se adotar tração com sinal positivo na determinação de n. Conseqüentemente, o deslocamento ∆ terá sempre como sentido positivo o sentido arbitrado para a carga unitária virtual. c) A contribuição das deformações devidas a alguns esforços solicitantes no cálculo dos deslocamentos pode ser desprezada, em certas circunstâncias, visando reduzir trabalho de cálculo manual. Nesse sentido, o efeito das deformações devidas à força cortante costuma ser desprezado na determinação dos deslocamentos de vigas, pórticos planos e grelhas, por ter em geral uma influência secundária em comparação com as deformações decorrentes do momento fletor. Da mesma forma, a desconsideração da deformação axial das barras devida à força normal na análise de pórticos planos costumava ser adotada. Estas simplificações são encontradas com muita freqüência nos textos clássicos de Estática e Análise Estrutural. Entretanto, atualmente, com os recursos computacionais disponíveis, estas simplificações podem e devem ser evitadas, principalmente no caso de análise de estruturas de - 35 - grande responsabilidade, ou com grande número de barras, ou ainda quando não for possível se assegurar a adequação deste tipo de simplificação. A disponibilidade de modernos programas computacionais que incorporam todas estas deformações na análise tornam totalmente dispensáveis estas simplificações e eliminam quaisquer dúvidas na precisão dos resultados decorrentes de sua aplicação. - 36 - Considerações sobre a escolha da carga unitária a) Cálculo de Deslocamentos Absolutos a.(1) Deslocamento linear de um ponto (translação) Neste caso, a carga unitária a ser aplicada é uma força concentrada no ponto considerado, na direção do deslocamento procurado e no sentido positivo considerado para este deslocamento, ou seja, correspondente uma carga unitária correspondente ao deslocamento. (Fig.30) 1 Fig. 30 – Carga Unitária para cálculo de deslocamento linear a.(2) Rotação de uma seção transversal A carga unitária correspondente é um momento aplicado no ponto em questão. (Fig. 31) 1 Fig. 31 – Carga Unitária para cálculo de rotação a.(3) Rotação de Corda Corda é a linha reta que liga dois pontos quaisquer da estrutura. Portanto, uma rotação de corda é a rotação deste segmento em relação à posição inicial e, neste caso, deve-se aplicar na corda um momento unitário por meio de um binário de forças nas extremidades desta corda. (Fig.32) - 37 - A' A L 1/L B B' 1/L 1L L 1M == A figura mostra o binário que produz um momento unitário sobre a corda AB . Fig. 32 – Carga Unitária para cálculo de rotação de corda Em treliças sujeitas apenas a cargas nos nós, as rotações sofridas pelas barras são movimentos de corpo rígido, calculados, portanto, como rotações de cordas. L 1/L 1 1/L . Rotação da barra AB calculada com a ajuda do binário indicado na figura (produz um momento unitário) Fig. 33 – Carga Unitária para cálculo de corda na treliça b)Cálculo de Deslocamentos Relativos O cálculo de um deslocamento relativo entre dois pontos A e B, numa dada direção, pode ser feito em duas etapas: - Cálculo do deslocamento absoluto em A na direção especificada; - Cálculo do deslocamento absoluto em B na direção especificada; Se as cargas unitárias aplicadas em A e B, nestas etapas anteriores, possuem sentidos iguais, a diferença dos dois resultados fornecerá o deslocamento relativo procurado. Se os sentidos das cargas unitárias forem - 38 - contrários, o deslocamento relativo será encontrado através da soma dos dois deslocamentos. O cálculo de deslocamentos relativos pode ser simplificado fazendo-se as duas etapas de uma só vez, isto é, aplicando-se à estrutura, duas cargas unitárias de sentidos contrários. O resultado final será o deslocamento procurado. b.(1) Variação da distância entre 2 pontos Caso se queira calcular o deslocamento linear relativo entre dois pontos A e B, na direção da linha que os une, o sistema de cargas virtuais aplicado será como o mostrado na Fig.34. 1 A A' B' B 1 Obtém-se desta maneira o deslocamento ∆, cujo valor será ∆ = ∆´+ ∆´´ Fig. 34 – Deslocamento Relativo entre dois pontos b.(2) Rotação relativa das extremidades de duas barras (em uma articulação) A 1 C 1 B Obtém-se θ cujo valor será θ = θ´ + θ´´ Fig. 35 – Rotação relativa entre as seções adjacentes numa rótula interna No caso de uma rotação relativa entre duas seções tal como se mostra na Fig.35, pode ser aplicado um par de momentos unitários de sentidos opostos. b.(3) Rotação relativa de cordas (ou de barras de treliça) - 39 - No caso de rotação relativa entre duas cordas da estrutura, aplicam-se dois momentos unitários de sentido contrário, através dos binários correspondentes (Fig.36). A L1 C 1 B C' L2 1 1/L1 1/L1 1/L2 1/L2 Fig. 36 – Carga unitária para cálculo de rotação relativa entre duas cordas θ = θ´ + θ´´ é a rotação relativa entre as cordas AC e CB. A Fig.37 mostra a diferença entre rotação relativa de cordas e de seções. DA B γ C β DA B α C ω Fig. 37 – Rotação relativa entre duas seções e entre duas cordas Rotação relativa entre barras na seção C Æ φ = β - γ Rotação relativa entre as cordas BC e CD Æ θ = α - ω - 40 - 9 - Exemplos de aplicação 9.1 – Solução por integração analítica Nos exemplos seguintes vai-se aplicar a equação do MCU com as simplificações tais como as mencionadas anteriormente visando a redução do trabalho de cálculo e como forma de facilitar o entendimento global do processo. Para efeito didático, atribuiu-se um número romano a cada termo da equação: ∫ ∫ ∫ ∫+++= estr estr estr estr S dxGJ Ttdx GA Vvfdx EI Mmdx EA Nn )IV()III()II()I( ∆ Exemplo 9.1.1 – Calcular o deslocamento vertical do ponto B da estrutura, desprezando-se o efeito das deformações devidas à força cortante. EI = 2 x 105 kNm2 (constante) B = ? 25 kN/m 50 kN 3 m BA SOLUÇÃO: O deslocamento vertical (flecha) em B será considerado positivo se for para baixo (afundamento do ponto B) FASE L – Estrutura com carregamento real - 41 - A B 25 kN/m 3 m VA =125 kN M A =262,5 kN.m x 262,5 50 kN Diagrama de momento fletor (M) 3 0 2 2 x25x50M −−= Observar que adotou-se a convenção clássica de momentos fletores, considerando o momento que produz tração na face inferior (face de referência) como momento fletor positivo. FASE U - Cálculo dos esforços solicitantes virtuais : Aplicando-se à estrutura uma força unitária virtual correspondente ao deslocamento procurado (∆B): A B 3 m x VA =1 M A = 3 1 - 42 - 3 Diagrama de momento fletor (m) 3 0 x1m −= Observar que a carga vertical unitária foi aplicada para baixo conforme sentido positivo assumido para a flecha em B e que a convenção de sinais de m é a mesma utilizada na Fase L. Na expressão do MCU, as integrais I e IV referem-se a esforços inexistentes (N e T) neste caso, portanto se anulam. A integral III não será calculada pois será desprezado o efeito de da força cortante conforme previsto no início do problema. A expressão reduz-se então a: m10x516,3:setemIntegrandodx)x5,12x50()x( EI 1 dx EI Mm 3 B 2 B −=−−−−= = ∫ ∫ ∆∆ ∆ O sinal positivo de ∆B indica que o deslocamento tem o mesmo sentido da carga unitária, isto é, para baixo. Se a carga unitária tivesse sido arbitrada para cima, ∆B resultaria com sinal negativo o que indicaria, também, o sentido para baixo. Exemplo 9.1.2 – Na viga do Exemplo 9.1.1, calcular a rotação da seção B, desprezando-se o efeito das deformações devidas à força cortante. SOLUÇÃO: Como a estrutura e o carregamento são os mesmos do Exemplo 9.1.1, a FASE L é a mesma. Portanto, - 43 - 3 0 2 2 x25x50M −−= FASE U Como o deslocamento procurado é a rotação em B, a carga unitária correspondente a ser adotada é um momento unitário em B. Adotar-se-á o momento unitário no sentido horário: A B 3 m MA = 1 VA = 0 1 Diagrama de momento fletor (m) 1 3 0 1m −= Substituindo-se os valores, rad10x688,1 dx)x5,12x50()1( EI 1 3 B 3 0 2 B −= −−−= ∫ θ θ Notar que na Fase U a convenção de sinais de momento fletor usada foi a mesma do Exemplo 9.1.1. Como foi arbitrado o sentido horário para a carga unitária e θB obtido foi positivo, isto significa que a rotação em B é horária, ou seja, o sentido de θB concorda com o sentido do momento unitário. A configuração deformada da viga é mostrada a seguir, - 44 - B = 3,516 x 10 m B = 1,688 x 10 rad -3 -3 Exemplo 9.1.3 – Calcular o deslocamento vertical do ponto C da viga abaixo, desprezando o efeito das deformações devidas à força cortante. Dado: EI = 2,0 x 10 5 kNm2 (constante) A B 20 kN/m 5 m C 3,5 m1,5 m SOLUÇÃO: FASE L A B 20 kN/m C 5 m x V A = 50 kN V B = 50 kN - 45 - (M) Mmax = 62,5 kN.m 5 0 2 2 x20x50M −= FASE U Notar que o deslocamento procurado é a flecha ∆C. Adota-se neste caso força unitária vertical em C para cima. (força unitáriavirtual correspondente a ∆C). A B 3,5 m x V A = - 0,70 V B = - 0,30 1 1,5 m C M max = 1,05 (m) 5 5,1 5,1 0 )5,1x(1x70,0m x70,0m −+−= −= Sendo força normal e momento de torção inexistentes e desprezando-se o efeito da força cortante tem-se: ∫= dxEIMm∆ Substituindo-se as expressões de M e m obtém-se: ∫∫ −−+−+−−=∆ 5 5,1 2 5,1 0 2 C dx)x10x50()5,1xx70,0(EI 1dx)x10x50()x70,0( EI 1 Integrando-se: - 46 - m10x617,6 4C −−=∆ O sinal negativo indica que o deslocamento tem o sentido oposto ao arbitrado para a carga unitária, isto é, para baixo. Exemplo 9.1.4 – Calcular o deslocamento horizontal do nó D do pórtico abaixo, desprezando-se as influências das deformações axiais e da força cortante. EI = 2,0 x 10 5 kNm2 (constante) DA B C 5 m 3 m 50 kN SOLUÇÃO: FASE L DA B C 50 kN x H A = 50 kN x x VD = 30 kNVA = - 30 kN - 47 - (M) 150 150 5 0BC 3 0CD 3 0AB x30150M 0M x50M −= = = FASE U DA B C x x x 1 VA = 0 VD = 0 H A = -1 Deslocamento procurado: ∆D horizontal ↔ força unitária horizontal em D (arbitrada para a esquerda) 3 3 3 (m ) 3 0CD 5 0BC 3 0AB x1M3Mx1m −=−=−= Observar que foi adotada uma coordenada xi acompanhando o eixo de cada barra, com os respectivos sentidos indicados no início da solução para se formularem as expressões de momento fletor na Fase L (M) e na Fase U (m). - 48 - Como no caso não ocorre momento de torção, além disto desprezando-se o efeito das deformações axiais e de cisalhamento da força cortante, tem-se para a expressão do MCU: ∫= dxEIMm∆ Substituindo as expressões de M e m na expressão anterior obtém-se: ]dx)0()x(dx)x30x150()3(dx)x50()x([ 3 0 5 0 3 0 D ∫∫∫ ⋅−+−⋅−+⋅−=∆ Integrando-se, tem-se: ∆D = -7,875 x 10-3 m (sinal negativo, significando que o deslocamento horizontal ∆D é para a direita). 9.2 – Solução Utilizando Tabelas de Integrais de Produto de Duas Funções Ao observar-se a equação do MCU para estruturas com comportamento elástico-linear sujeitas a cargas, ∫ ∫ ∫ ∫+++= estr estr estr estr S dxGJ Ttdx GA Vvfdx EI Mmdx EA Nn∆ Nota-se que, para estruturas (ou trechos de estruturas) com E, G, I e A constantes, cada integral se resume a uma integral do produto de duas funções polinomiais, ou seja, ∫ ∫ ∫ ∫+++= estr estr estr estr S dxtT GJ 1dxvV GA fdxmM EI 1dxnN EA 1∆ Cada uma das integrais tem a forma: ∫ ⋅=Ι 2 1 x x dx)x(g)x(f - 49 - Onde f(x), g(x) podem ser funções de x0, x1, x2, ..., x n . Para facilitar o processo de integração, valores de integrais de produto de diversas funções f(x) e g(x) foram tabeladas (tabela de Kurt-Bayer). Esta tabela encontra-se no Anexo 1 (Tabela 1), assim como alguns exemplos de sua utilização. Exemplo 9.2.1 – Calcular o deslocamento vertical do nó C do pórtico abaixo, considerando efeitos de flexão e deformação axial. Dados: EA = 2,1 x 107 kN; EI = 4,375 x 105 kNm2 A B 3 m C 80 kN 20 kN.m 2 m 1,5 m Desprezando-se o esforço cortante: ∫ ∫+= estr estr C dxmMEI 1dxnN EA 1∆ SOLUÇÃO: FASE L: VA = 80 kN 80 kN MA = 420 kN.m 20 kN.m (N) (M) 48 420 160 180 A B C FASE U: - 50 - A B C 1 MA = 5 0,6 2 5 (n) (m) 2 1 Usando-se Tabela 1: - parcela de ∆C devida à deformação axial: ∫ dxEANn ∫∫ += BCAB)N(C (dx)__________([EA1∆ 0,6 48 ]dx) m10429,3)5,26,048()10 21 1( 6NC 6N C −×=∆×××=∆ - parcela de ∆C devida à flexão: dxEI mM∫ ∫= AB)M(C ([EA1∆ 5 2 420 180 ∫+ BC (dx) 1602 ]dx) )]}5,2)(160)(2( 3 1[)]180)(5()420)(2()]180)(2()420)(5[(2{ 6 1{[ EI 1 BCAB )M( C −−+−−+−−+−−+−−=∆ m10221,8 3)M(C −×=∆ - deslocamento total em C: )M( C )N( C ∆+∆ )baixopara(m10224,8 3)M(C −×=∆ obs.: O deslocamento devido à força normal corresponde a 0,04 % do total (em C). - 51 - Exemplo 9.2.2 – Calcular o deslocamento vertical e a rotação da extremidade D, em torno do eixo CD, na grelha. Desprezar o efeito da força cortante. A 40 kN 20 kN.m 4 m 20 kN C D 2 m 2 m B EI = 1,5 x 105 Nm2 GJ = 9,9 x 10 4 KNm2 (ângulo de 90°) Desprezando-se o efeito das deformações devidas à força cortante, ∫∫ += estrestr )N( C dxtTGJ 1dxmM EI 1∆ SOLUÇÃO 1) Deslocamento vertical ∆D FASE L: C 40 kNMA=480 kN.m VA=100 kN A TA=200 kN.m B 20 kN D 20 kN.m (M) 80 (T) 80 480 80 200 200 - 52 - FASE U: (carga unitária correspondente a ∆D) A B 1 C D 1 2 6 6 2 2 2 2 2 (m) (t) ∫= ABC ([EI1∆ 6 2 80 480 ∫+ BC (dx) 2 200 ∫+ * CD (dx) 2 80 ]dx) ∫+ AB ([ GJ 1 2002 ∫+ BC (dx) 2 80 ]dx)0_____0____(dx) CD ∫+ * O diagrama M da barra CD deve ser decomposto (a tangente não é nula em D), e a integral na barra CD fica: ∫=Ι CD ( 2 80 ∫+ CD (dx) 2 10 dx) Usando-se a Tabela 1: ∆D = 0,0552 m (para baixo) 2) Rotação θ D ( em torno do eixo CD) FASE L: a mesma do item B-1 FASE U: (carga unitária correspondente a θ D) - 53 - A B C D (m) (t) 1 0 0 1 1 1 1 0_____( EI 1 AB D ⎢⎢⎣ ⎡= ∫θ 480 80 ∫+ BC (dx) 1 200 +dx) 0______( CD ∫ 80 ⎢⎣ ⎡+ ∫ AB ( GJ 1]dx) 1 200 +dx) 0_____( BC ∫ 80 +dx) ∫ CD 1 0 ]dx) Usando a tabela 1: θD = 0,0094 rad ( no mesmo sentido da carga unitária) Exemplo 9.2.3 – Calcular o deslocamento vertical do nó G e a rotação da barra 7 da treliça. EA = 2 x 10 6 kN (constante) A B C D E 11 5 10 F 1 2 m 8 9 100 kN G 6 7 12 H 13 2 m 2 3 2 m 4 2 m 2 m 2 m 50 kN - 54 - Como o único esforço solicitante presente em treliças é a força normal, a expressão para o deslocamento se reduz a: dx EA nN estr ∫=∆ Como, além disso, a força normal em cada barra é constante, tem-se: i N 1i i ii i N 1i i ii L EA Nn dx EA Nn ∑∫∑ == ==∆ (Onde N é o número de barras da treliça e Li o comprimento da barra i) SOLUÇÃO: 1) Deslocamento vertical ∆G FASE L: Força normal nas barras (Ni) 50 100 H A = -50 V A = 75 VE = 25 N1 = -25 N7 = 0 N2 = -25 N8 = 0 N3 = -25 N9 = 0 N4 = -25 N10 = 106,07 N5 = 0 N11 = 106,07 N6 = 0 N12 = 35,36 N13 = 35,36 FASE U: (Carga unitária correspondente a ∆G) Força normal nas barras (ni): - 55 - 1 H A = 0 V A = 0,5 VE = 0,5 n1 = -0,5 n7 = 0 n2 = -0,5 n8 = 0 n3 = -0,5 n9 = 0 n4 = -0,5 n10 = 0,7071 n5 = 0 n11 = 0,7071 n6 = 0 n12 = 0,7071 n13 = 0,7071 Por simplicidade, o cálculo do deslocamento será, neste caso, calculado através de um quadro, como o mostrado a seguir. i 13 1i i ii G LEA Nn∑ = =∆ BARRA ni Ni Li (EA)i i iii )EA( LNn 1 -0,5-25 2,0 2 x 10 6 1,25 x 10 -5 2 -0,5 -25 2,0 2 x 10 6 1,25 x 10 -5 3 -0,5 -25 2,0 2 x 10 6 1,25 x 10 -5 4 -0,5 -25 2,0 2 x 10 6 1,25 x 10 -5 5 0 0 2,0 2 x 10 6 0 6 0 0 2 √2 2 x 10 6 0 7 0 0 4,0 2 x 10 6 0 8 0 0 2 √2 2 x 10 6 0 9 0 0 2,0 2 x 10 6 0 - 56 - 10 0,7071 106,07 2 √2 2 x 10 6 10,61 x 10 -5 11 0,7071 106,07 2 √2 2 x 10 6 10,61 x 10 -5 12 0,7071 35,36 2 √2 2 x 10 6 3,536 x 10 -5 13 0,7071 35,36 2 √2 2 x 10 6 3,536 x 10 -5 ∑ = 33,281 x 10 -5 Fazendo o somatório dos elementos da última coluna, ∆ G = 33,281 x 10 -5 m (para baixo) 2) Rotação da barra 7 (θ 7): FASE L: A mesma do item C.1 FASE U: (Carga unitária correspondente à rotação da barra: binário que produz um momento unitário) Força normal nas barras (ni) V A =-0,125 0,25 0,25 HA = 0 VE = 0,125 n1 = 0,125 n7 = 0 n2 = 0,125 n8 = 0 n3 = -0,125 n9 = 0 n4 = -0,125 n10 = - 0,1768 n5 = 0 n11 = - 0,1768 n6 = 0 n12 = 0,1768 n13 = 0,1768 obs.: 0,25 L3 = 0,25 4 = 1 → momento unitário na barra 7 Montando o quadro: - 57 - BARRA ni Ni Li (EA)i i iii )EA( LNn 1 0,125 -25 2,0 2 x 10 6 -3,125 x 10 -6 2 0,125 -25 2,0 2 x 10 6 -3,125 x 10 -6 3 -0,125 -25 2,0 2 x 10 6 3,125 x 10 -6 4 -0,125 -25 2,0 2 x 10 6 3,125 x 10 -6 5 0 0 2,0 2 x 10 6 0 6 0 0 2 √2 2 x 10 6 0 7 0 0 4,0 2 x 10 6 0 8 0 0 2 √2 2 x 10 6 0 9 0 0 2,0 2 x 10 6 0 10 -0,1768 106,07 2 √2 2 x 10 6 -2,652 x 10 -5 11 -0,1768 106,07 2 √2 2 x 10 6 -2,652 x 10 -5 12 0,1768 35,36 2 √2 2 x 10 6 8,840 x 10 -6 13 0,1768 35,36 2 √2 2 x 10 6 8,840 x 10 -6 ∑ = -3,536 x 10 -5 rad10536,3L )EA( Nn 5 i 13 1i i ii 7 − = ×−== ∑θ (No sentido oposto ao do binário aplicado, portanto, anti-horário). - 58 - Exemplo 9.2.4 – Calcular a rotação relativa entre as barras 1 e 4 da treliça. EA = 2,0 x 10 6 kN (constante) 2 m 30 kN 60 kN 1 2 43 5 A B C D 2 m SOLUÇÃO: FASE L: FASE U: 30 60 A H C = 30 V C = 90 VD = -30 0,5 A HC = 0 VC = 0 V D = 0 0,5 0,5 0,5 Forças normais Ni das barras no quadro Forças normais ni das barras no quadro - 59 - Obs.: binários unitários (0,5 x 2 m) de sentidos contrários, nas barras 1 e 4 levam ao valor da rotação relativa diretamente BARRA ni Ni Li (EA)I i iii )EA( LNn 1 0 30 2,0 2 x 10 6 0 2 -0,7071 -42,4 2,828 2 x 10 6 4,24 x 10 -5 3 0,5 -60 2,0 2 x 10 6 -3,0 x 10 -5 4 0 30 2,0 2 x 10 6 0 5 0,5 0 2,0 2 x 10 6 0 ∑ = 1,24 x 10 -5 rad1024,1L )EA( Nn 5 i 5 1i i ii 41 − = − ×== ∑θ (No sentido dos binários, isto é, aumentando o ângulo entre as barras). Exemplo 9.2.5 – Calcular a rotação relativa das seções da articulação do pórtico tri-articulado. E = 2,1 x 10 8 kN/m2. Considerar apenas efeito de flexão. Momentos de inércia: I1 = 39727 cm4 I2 = 19062 cm4 I3 = 55962 cm4 Áreas: A1= 100 cm2 A2 = 72,6 cm2 A3 = 118 cm2 - 60 - 5 m 8 m 8 m 20 kN 10 kN / m B A C D E I 1 /A 1 I2/A2 I3/A3 I3/A3 FASE L: 20 10 B A C D E H A = 21,9 V A = 13,7 V E = 66,3 HE = 41,9 - - - - (M) 109,5 109,5 209,5 209,5 A B C D E FASE U: (dois momentos unitários de sentidos contrários no ponto C) B A C D E H A = 0,2 V A = 0 V E = 0 HE = 0,2 1 1 - - - (m) 1 1 1 1 ∫= AB1 r (EI 1θ 109,51 ∫+ BC2 ( EI 1dx) 109,51 +dx) ∫ * CD3 ( EI 1 209,51 ∫+ DE3 ( EI 1dx) 209,51 dx) - 61 - * O diagrama M da barra CD deve ser decomposto. Portanto, a integral da barra CD fica: ⎢⎢⎣ ⎡ ∫ CD3 ( EI 1 209,51 ∫+ CD (dx) 80 1 ]dx) Usando a Tabela 1 para as integrações, obtém-se: θ = 1,96 x 10 -2 rad (No mesmo sentido dos momentos) Efeito da FORÇA CORTANTE no cálculo de deslocamentos A parcela correspondente à força cortante na expressão do deslocamento, isto é: ∫= λ∆ dvC é, muitas vezes, avaliada considerando-se dx GA Vd S ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞== αλ , onde τ τα LNS = ( LNτ = tensão de cisalhamento na linha neutra, A V=τ = tensão de cisalhamento média, Sα = coeficiente de cisalhamento). Esta maneira de avaliar dλ é aproximada porque não considera a variação das deformações de cisalhamento ao longo da altura da viga (baseou-se o cálculo na distorção na linha neutra da flexão simples). A consideração das deformações por cisalhamento pode ser feita de maneira mais precisa calculando-se o trabalho virtual interno sobre o elemento infinitesimal de volume e considerando-se a distribuição de tensões e deformações de cisalhamento na seção transversal da barra. θ1 θ2 θr = θ1 +θ2 - 62 - No MCU, δWext = δWint , onde o trabalho virtual externo é δWext = 1 x ∆ e o trabalho virtual interno foi considerado como δWint = ( esforços solicitantes x deformações correspondentes), integrados no comprimento da barra. Para considerar-se a distribuição de tensões no cálculo, toma-se um elemento de volume dx dy dz de uma barra sujeita a flexão e força cortante. dy dx dz dy dx τ xy τ xy σ x σ x σ x - tensão normal τ xy - tensão de cisalhamento - distribuição da tensão normal e deformação correspondente: h dx σ y LN d θ ε dx dx h - distribuição da tensão de cisalhamento e deformação correspondente: z y b x h dx τ γ h dx γ dx No MCU, as tensões são virtuais e as deformações são reais. Portanto, considerando validade da Lei de Hooke: σ = Eε e τ = G γ, tem-se: - 63 - . FASE L: (deformações causadas por carregamento real) GIb VQ EI yM =⋅= γε Pelas figuras nota-se que: dx GIb VQdxd dx EI M yEI yMdx y d =≡ === γλ εθ Onde: M = momento fletor na seção Y = distância do ponto à linha neutra I = momento de inércia da seção V = força cortante na seção Q = momento elástico da área acima do ponto considerado. B = largura da seção no ponto E = módulo de elasticidade longitudinal G = módulo de elasticidade transversal . FASE U: (tensões causadas por carregamento virtual) Ib VQ I ym == τσ Onde m = momento fletor virtual na seção v = força cortante virtual na seção. O trabalho virtual interno realizado por σ e τ quando acorrem ε e γ no elemento dx dy dz, é δWint = (σ dydz) . (ε dx) + (τ dy dz) . ( γ dx) = resultante = dδ = resultante = dλ de de força na força na seção seção Substituindo os valores de σ, ε, τ, γ: ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞+⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞= dzdydx bGI QVvdzdydx EI mMyW 22 2 2 2 intδ - 64 - Integrando no volume, tem-se o trabalho interno total: dzdydx bGI QVvdzdydx EI mMyW V 22 2 V 2 2 int ∫∫ += Como numa seção reta da barra m, M, v, V, E, G, I são constantes, a expressão acima pode ser escrita: dxdzdy b Q GI Vvdxdzdyy EI mMW A 2 2 2 A 2 2int ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡+⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡= ∫∫∫∫ Mas, Idzdyy A 2 =∫ (momento de inércia da seção) Chamando dzdy b Q I Af A 2 2 2S ∫= , Pode-se escrever: A Ifdzdyb Q 2 S A 2 2 =∫ O valor fs é chamado fator de forma para cisalhamento (característica geométrica da seção). Então, ∫ ∫+= estr estr Sint dxGA Vv fdx EI Mm W Observa-se que a parcela devida à flexão não teve o seu valor modificado quando se integrou a tensão no volume. Como Wext = Wint, para o caso de uma barra sujeita a força cortante e momento fletor: ∫ ∫+= estr estr S dxGA Vv fdx EI Mm∆ Os valores de fs e de αs para algumas seções transversais comuns estão listadas a seguir. - 65 - Seção Transversal α s fs 2 3 5 6 3 4 9 10 * 2 2 * * paredes finas alma total A A alma total A A Fonte: Mecânica dos Sólidos Vol. 2 - Timoshenko / Gere Nota-se que, em geral, fs ≤ αs, portanto, os deslocamentos calculados com fs são menores que os calculados com αs. Na tabela anterior, deve-se observar que nos casos de seções constituídas de retângulos finos, a alma é constituída pelos retângulos verticais, caso de perfis I e caixão, que são os elementos responsáveis pela resistência à força cortante. 9.3 – Solução usando parcela da força cortante Exemplo 9.3.1 – A estrutura seguinte foi resolvida anteriormente considerando-se somente o efeito da flexão, e foi encontrado para o deslocamento horizontal em D o valor: - 66 - ∆D (M) = -7,875 x 10 -3 m (para a direita). Calcular agora a parcela do deslocamento devido à influência das deformações devidas à força cortante. Dados: EI = 2 x 10 5 kNm2 , GA = 14 x 10 5 kN (constantes) e seção transversal retangular: 5 6fS = . A B 50 kN D C 3 m 5 m 50 (V) 30 A H =-1 V A = 0 V D = 0 FASE U 1 1 1 (v) Utilizando a tabela de integração de produtos, o deslocamento horizontal de D devido à força cortante será: 50 kN H A =50 kN V A = -30 kN V D = 30 kN FASE L - 67 - ⎢⎣ ⎡=∆ ∫ AB S)V( D (GA f 1 50 0____(dx) BC ∫ 30 ∫ CD (dx) 1 ]dx)0____ [ ] [ ]3)50)(1( 10145 6)LVv( GA f 5AB S)V( D ×−××=⋅⋅=∆ m10286,1 4)V(D −×−=∆ O deslocamento total, devido ao momento e à força cortante, será m10004,8 3)V(D )M( DD −×−=∆+∆=∆ . A parcela devida à cortante é portanto; 1,61 % do deslocamento total. Exemplo 9.3.2 – Calcular a flecha no meio do vão da viga abaixo, considerando a contribuição das deformações de flexão e do cisalhamento. 45 kN/m 10,0 m A B 23 24 cm/kN108G )aço(cm/kN101,2E ×= ×= Seção transversal Perfil VS - 800 x 111 (dimensões em mm) - Propriedades geométricas: 4cm155074I = 2 mesa cm80A = Fator de forma para cisalhamento * : 2 alma cm62A = 29,262 142 A A f alma total S === ∴ 2almamesatotal cm142AAA =+= * obtido na tabela anterior l l 320 12,5 775 12, 5 8 - 68 - FASE L: (V) 225 225 562,5 (M) FASE U: 1 V A =0,5 H A = 0 V B =0,5 5 m 5 m (v) 0,5 0,5 (m) 2,5 dx GA vVfdx EI mM estr S estr ∫∫ +=∆ CM ∆∆ Infl. do momento Infl. da cortante . O deslocamento é composto de duas parcelas, uma devida à flexão e outra ao cisalhamento. Utilizando a tabela de integrais de produtos (Anexo 1), tem-se : 1) Contribuição do momento fletor )( M∆ ⎢⎣ ⎡=∆ ∫5 0 )M( ( EI 1 2,5 562,5 ∫+ 10 5 (dx) 2,5 562,5 ]dx) Substituindo os valores: m018,0M =∆ 2) Contribuição da força cortante )( C∆ : ⎢⎣ ⎡=∆ ∫5 0 )C( ( GA 1 2250,5 ∫+ 10 5 (dx) 0,5 225 ]dx) 45 kN/m V A =225 H A = 0 V B =225 A B - 69 - Substituindo os valores: m001134,0C =∆ A flecha será então: m01913,0001134,0018,0CM =∆+=∆+∆=∆ A influência da força cortante no deslocamento total é, então, 0593,0 C =∆ ∆ → ∆ C corresponde a 5,93 % do deslocamento total - 70 - 10- Deslocamentos devidos a Variações de Temperatura e Deformações Prévias As estruturas isostáticas, quando submetidas a variações de temperatura ou quando algumas de suas partes são executadas com dimensões diferentes das especificadas em projeto, podem sofrer deformações e, portanto, deslocamentos de pontos devidos a estas deformações. O cálculo destes deslocamentos envolve a determinação, para cada caso, dos valores dos deslocamentos reais dδ e dθ na expressão geral do MCU: ∫∫ +=∆ estrestr dmdn θδ É importante observar que não há o aparecimento de tensões em estruturas isostáticas sujeitas a estes tipos de agente, pelo fato de não haver impedimento às deformações que ocorrem. 10.1- Deslocamentos devidos a Variações de Temperatura Serão considerados aqui os seguintes tipos de variação de temperatura: variação uniforme e variação linear ao longo da altura da seção da barra, que provocam deformações distintas. a) Variação Uniforme de Temperatura Uma variação uniforme de temperatura provoca uma variação volumétrica na barra com mudanças nas suas dimensões sem alteração nas relações entre estas dimensões. O efeito é similar ao efeito produzido por três tensões normais σx, σy, σz, de valores iguais, num estado triplo de tensões. Tratando-se de estruturas reticuladas, pode-se simplificar a análise e considerar como única deformação a deformação axial (variação no comprimento da barra) análoga à produzida por uma força axial. - 71 - A B B’ L L AB - comprimento inicial AB’ - Comprimento final - Barra AB sujeita a um aumento uniforme de temperatura ∆T A variação no comprimento de um elemento dx da barra, devida a uma variação uniforme de temperatura, pode ser calculado pela expressão: dxTd ⋅∆⋅= αδ dx dδ Onde: α = coeficiente de dilatação térmica (comumente tomado como 10 -5 °C -1 para concreto e aço) ∆T = valor da variação de temperatura Esta variação térmica axial é análoga à deformação axial provocada pela força normal. Obs: Por “variação uniforme” de temperatura entende-se que todas as fibras da barra, numa seção, sofrem um mesmo valor de ∆T, isto é, numa seção transversal, ∆T é constante. Mas, ao longo do eixo da barra, ∆T pode variar, o que não muda o caráter axial da deformação. Portanto, o valor de um determinado deslocamento devido a uma variação uniforme de temperatura á, no MCU, obtido pela expressão: dxTn estr ⋅∆⋅⋅=∆ ∫ α A deformação térmica axial, sendo análoga à deformação axial da força normal, deve ter convenção de sinais compatível com os sinais das deformações da força normal. Assim, como em geral, considera-se força normal de tração com sinal positivo, que tende a alongar a elemento de barra produzindo deformação axial positiva, o acréscimo de temperatura ∆T tende a causar alongamento do elemento de barra, deformação axial térmica que deverá ser considerada - 72 - positiva. Portanto, considerando-se acréscimos de temperatura como positivos e decréscimos como negativos, obtém-se uma convenção de sinais compatível com as deformações normais baseadas na convenção de sinais onde força normal de tração é positiva e de compressão, negativa. b) Variação Linear de Temperatura (na altura da barra) Se a variação de temperatura numa face da barra é diferente da variação na face oposta, pode-se
Compartilhar