simplificações e integrais

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Para as integrais a seguir, realize as operações para simplificar e então integre. 
 
a) ∫
(2𝑥2+3)
2
𝑥2
𝑑𝑥 
b) ∫
(𝑥+1)3
3𝑥3
𝑑𝑥 
c) ∫ √5𝑥3 + √3𝑥4
3
 𝑑𝑥 
d) ∫
√3𝑥
𝑥3
+
𝑥3
√3𝑥
 𝑑𝑥 
e) ∫
2𝑥4+5𝑥√𝑥
𝑥2
 𝑑𝑥 
 
 
Resolução: 
a) Usando produto notável no numerador da integral ∫
(2𝑥2+3)
2
𝑥2
𝑑𝑥 vem: 
∫
(2𝑥2 + 3)2
𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
4𝑥4 + 12𝑥2 + 9
𝑥2
𝑑𝑥 = ∫
4𝑥4
𝑥2
𝑑𝑥 + ∫
12𝑥2
𝑥2
𝑑𝑥 + ∫
9
𝑥2
𝑑𝑥 = 
= ∫ 4𝑥2𝑑𝑥 + ∫ 12 𝑑𝑥 + ∫ 9𝑥−2 𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑥2𝑑𝑥 + 12 ∫ 𝑑𝑥 + 9 ∫ 𝑥−2 𝑑𝑥 = 
= 4.
𝑥3
3
+ 12 𝑥 +
9𝑥−1
−1
+ 𝐶 =
4𝑥3
3
+ 12𝑥 −
9
𝑥
+ 𝐶 
 
b) Aplicando produto notável no numerador da integral ∫
(𝑥+1)3
3𝑥3
𝑑𝑥 vem: 
∫
(𝑥 + 1)3
3𝑥3
= ∫
𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1
3𝑥3
 𝑑𝑥 = ∫
𝑥3
3𝑥3
𝑑𝑥 + ∫
3𝑥2
3𝑥3
 𝑑𝑥 + ∫
3𝑥
3𝑥3
𝑑𝑥 + ∫
1
3𝑥3
𝑑𝑥 = 
=
1
3
∫ 𝑑𝑥 + ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 + ∫
1
𝑥2
 𝑑𝑥 +
1
3
∫
1
𝑥3
𝑑𝑥 = 
1
3
∫ 𝑑𝑥 + ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 + ∫ 𝑥−2 𝑑𝑥 +
1
3
∫ 𝑥−3𝑑𝑥 = 
=
1
3
. 𝑥 + ln(𝑥) +
𝑥−1
−1
+
1
3
.
𝑥−2
−2
+ 𝐶 =
𝑥
3
+ ln(𝑥) −
1
𝑥
−
1
6𝑥2
+ 𝐶 
 
c) Para a integral ∫ √5𝑥3 + √3𝑥4
3
 𝑑𝑥 separando em duas partes e usando a 
propriedade relativa a radiciação √𝑎. 𝑏
𝑛
= √𝑎
𝑛 . √𝑏
𝑛
 vem: 
∫ √5𝑥3 + √3𝑥4
3
 𝑑𝑥 = ∫ √5𝑥3𝑑𝑥 + ∫ √3𝑥4
3
 𝑑𝑥 = ∫ √5 . √𝑥3𝑑𝑥 + ∫ √3
3
. √𝑥4
3
𝑑𝑥 = 
√5 ∫ 𝑥
3
2 𝑑𝑥 + √3
3
 . ∫ 𝑥
4
3 𝑑𝑥 = √5.
𝑥
5
2
5
2
+ √3
3
 .
𝑥
7
3
7
3
+ 𝐶 =
2√5 𝑥2√𝑥
5
+
3√3 
3
𝑥2 √𝑥
3
7
+ 𝐶 
 
 
d) ∫
√3𝑥
𝑥3
+
𝑥3
√3𝑥
 𝑑𝑥 = √3. ∫
𝑥
1
2
𝑥3
𝑑𝑥 +
1
√3
∫
𝑥3
𝑥
1
2
𝑑𝑥 = √3. ∫ 𝑥
−
5
2 𝑑𝑥 +
1
√3
∫ 𝑥
5
2 𝑑𝑥 = 
= √3.
𝑥
−
3
2
−
3
2
+
1
√3 
.
𝑥
7
2
7
2
+ 𝐶 =
−2√3
3𝑥√𝑥
+
2𝑥3√𝑥
7√3
+ 𝐶 
e) ∫
2𝑥4+5𝑥√𝑥
𝑥2
 𝑑𝑥 = 2 ∫
𝑥4
𝑥2
𝑑𝑥 + 5 ∫
𝑥
3
2
𝑥2
𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥2𝑑𝑥 + 5 ∫ 𝑥
−
1
2𝑑𝑥 = 
=
2𝑥3
3
+
5𝑥
1
2
1
2
+ 𝐶 =
2𝑥3
3
+ 10√𝑥 + 𝐶