Análise de Função Cúbica

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3. Solução: Alternativa B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Onde se lê que a função é decrescente ou crescente no ponto 
deve-se considerar que a função é decrescente ou crescente no intervalo em 
torno do ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim analisando cada item teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Solução: 
O domínio da função f(x) são os números reais, ou seja, 𝐷 = ℝ. Vamos encontrar 
onde a função intercepta o eixo x. 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 
𝑥3 − 2𝑥 = 0 
𝑥(𝑥2 − 2) = 0 
𝑥 = 0 ou 𝑥2 − 2 = 0 
𝑥2 − 2 = 0 
𝑥2 = 2 
𝑥 = ±√2 
Assim a função intercepta o eixo x em 𝑥 = √2 𝑒 𝑥 = −√2 𝑒 𝑥 = 0 
 
 
5. Solução: 
Para encontrarmos as assíntotas temos que encontrar o limite da função quando 
x tende ao infinito. Logo, 
lim
𝑛→∞
(𝑥3 − 2𝑥) = + ∞ 
lim
𝑛→ − ∞
(𝑥3 − 2𝑥) = − ∞ 
 
 
6. Solução: 
Para encontrarmos os intervalos em que a função é crescente ou decrescente 
precisamos encontrar o ponto crítico da função. 
f(x) = x3 − 2x 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 2 
𝑓′(𝑥) = 0 
3𝑥2 − 2 = 0 
3𝑥2 = 2 
𝑥2 =
2
3
 
𝑥 = ±√
2
3
 
Analisando a função teremos: 
Intervalo F’(x) Conclusão 
(−∞, −√
𝟐
𝟑
) + 
F é crescente em 
(−∞, −√
2
3
) 
(−√
𝟐
𝟑
, √
𝟐
𝟑
) - 
F é decrescente em 
(−√
2
3
, √
2
3
) 
(−√
𝟐
𝟑
, ∞) + F é crescente (−√
2
3
, ∞) 
Utilizando o teste da primeira derivada teremos em 𝑥 = −√
2
3
 um ponto de 
máximo e em 𝑥 = √
2
3
 ponto de mínimo. 
 
 
7. Solução: 
Para verificarmos se a função possui pontos de inflexão, precisamos da segunda 
derivada da função. 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 2 
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 
𝑓′′(𝑥) = 0 
6𝑥 = 0 
𝑥 = 0 
Intervalo F’’(x) Conclusão 
(−∞, 𝟎) - 
F nesse intervalo é 
côncava para baixo 
(𝟎, ∞) + 
F nesse intervalo é 
côncava para cima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Solução: 
Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 9𝑥2 + 27𝑥 − 26 
 
Derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 9𝑥2 + 27𝑥 − 26 → 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 18𝑥 + 27. 
Gráfico da derivada da função. 
 
A função em 4 assumirá: 
𝑓(4) = (43) − 9(42) + 27(4) − 26 = 64 − 144 + 108 − 26 = 2 
A derivada da função em x= 4 será 
𝑓′(4) = 3(4)2 − 18(4) + 27 = 48 − 72 + 27 = 3 
 
 
 
7. Solução: 
Vamos avaliar os pontos críticos da função 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 9𝑥2 + 27𝑥 − 26 
Para isso, note que 
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 18𝑥 + 27 
𝑓′(𝑥) = 0 
3𝑥2 − 18𝑥 + 27 = 0 
𝑥 =
18 ± √(−18)2 − 4(3)(27)
2(3)
=
18 ± 0
6
= 3 
Logo, 𝑥 = 3 é ponto crítico de 𝑓. 
Ao estudar o sinal da função derivada 𝑓′ podemos observar que 𝑓 é crescente 
em todo seu domínio, já que 
 
Observe que 
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 − 18 
6𝑥 − 18 = 0 
6𝑥 = 18 
𝑥 = 3 
 
Quando estudamos o intervalo (−∞, 3) observamos que a segunda derivada de 
𝑓 assume valor negativo, enquanto que em (3, +∞) essa mesma derivada é 
positiva. Logo, como há mudança no sinal da segunda derivada, temos a 
mudança de concavidade na função 𝑓. 
Portanto, o ponto 𝑥 = 3 corresponde a um ponto de inflexão da função 𝑓, o que 
também pode ser verificado a partir do gráfico a seguir: