Prova 2.1 (com respostas) de Cálculo 1 UnB 2018

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Universidade de Brasília 
Departamento de Matemática 
Matemática 1 
2ª Prova Turmas A, AB, B, C, H 26/10/18 
Nome: Mat.: / 
 
 
1. ​[4,0 pontos] Faça o que se pede em cada um dos itens 
abaixo: 
(a) [1,0 ponto]​ Calcule a derivada da função ;e6x+4 
(b) [1,0 ponto]​ Determine f’(1), se f(x) = ln(x²+1); 
(c) No desenho abaixo está esboçado o gráfico da 
derivada de uma função f​, isto é, o gráfico de ​f’​, no 
intervalo (1, 5). 
 
(c1) Determine os pontos críticos de f no intervalo (1, 
5); 
(c2) Determine os intervalos em que f, é crescente. 
 
2. Uma empresa precisa levar energia elétrica do ponto A, situado numa das margens de 
um rio de 40m de largura , ao ponto C, situado na outra margem do rio. O fio a ser 
utilizado na água custa R$5,00 o metro linear, e o que será utilizado fora da água custa 
R$3,00 o metro linear. Com base nessas 
informações e na figura abaixo, responda os 
itens a seguir. 
 
(a) [0,5 ponto] Calcule o comprimento do 
segmento AB em função de x. 
(b) [0,5 ponto] Conclua do item acima que o 
custo total para instalar da tubulação é: 
 
(c) [1,0 ponto]​ Calcule a derivada C’(x). 
(d) [1,0 ponto] Sabendo que o único ponto crítico da função C no intervalo (0, 100) é x = 
30, determine para qual valor de x o custo é mínimo. 
 
 
Universidade de Brasília 
Departamento de Matemática 
Matemática 1 
2ª Prova Turmas A, AB, B, C, H 26/10/18 
Nome: Mat.: / 
 
 
 
3. Estima-se que, nos próximos 10 anos, a população de lobos em uma floresta seja dada, 
em milhares de animais, pela função: 
 
(a) [1,0 ponto] ​Calcule os pontos críticos da função P no intervalo (0,10). 
(b) [1,0 ponto] ​Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função ​P​. Em 
seguida, classifique cada ponto crítico como máximo local ou mínimo local. 
(c) [0,5 ponto] ​Determine os intervalos em que a concavidade do gráfico é voltada para 
baixo e os intervalos em que a concavidade é voltada para cima. 
(d) [0,5 ponto] ​Esboce o gráfico de ​P​. 
 
 
 
 
QUESTÃO 1 
Faça o que se pede em cada um dos itens abaixo: 
 
(a) Calcule a derivada da função ;e6x+4  
(b) Determine f’(1), se f(x) = ln(x²+1); 
(c) No desenho abaixo está esboçado o gráfico da derivada de uma função ​f​, 
isto é, o gráfico de ​f’​, no intervalo (1, 5). 
(i) Determine os pontos críticos de ​f​ no intervalo (1, 5); 
(ii) Determine os intervalos em que ​f​, é crescente. 
  
Resolução 
a) 
Essa derivada é calculada por meio da regra da cadeia. Veja: 
 
 
 
b) 
Vamos começar calculando a derivada de ​f(x)​. De novo, será necessário usar a 
regra da cadeia. 
 
 
 
 
 
Agora, basta substituir ​x = 1​ na expressão de ​f’(x)​. 
 
 
 
c1) 
Os pontos críticos de uma função ​f(x)​ ocorrem quando ​x​ satisfaz​ f’(x) = 0​. Como 
nós temos o gráfico de ​f’(x)​ no enunciado, podemos simplesmente ver que os 
pontos de ​x​ que tornam ​f’(x)​ nula são ​x = 2​ e ​x = 4​. Portanto, esses são os pontos 
críticos da função ​f(x)​. 
 
c2) 
Uma função ​f(x)​ é crescente em um intervalo ​]a,b[​ se ​f’(x) > 0 ​em ​]a,b[​. Podemos 
perceber que no intervalo ​]2,4[​, tem-se ​f’(x)<0​, basta olhar o gráfico, portanto 
nesse intervalo ​f(x)​ é decrescente. Já nos intervalos ​]1,2[ ​e ​]4,5[​, tem-se ​f’(x)>0​, 
portanto nesse intervalo ​f(x)​ é crescente. 
Então, ​f(x)​ é crescente se ​x ∈ ]1,2[ U ]4,5[​. 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 2 
Uma empresa precisa levar energia elétrica do ponto A, situado numa das 
margens de um rio de 40m de largura , ao ponto C, situado na outra margem do 
rio. O fio a ser utilizado na água custa R$5,00 o metro linear, e o que será utilizado 
 
 
fora da água custa R$3,00 o metro linear. Com base nessas informações e na 
figura abaixo, responda os itens a seguir. 
 
(a) Calcule o comprimento do segmento AB em função de x. 
(b) Conclua do item acima que o custo total para instalar da tubulação é: 
 
(c) Calcule a derivada C’(x). 
(d) Sabendo que o único ponto crítico da função C no intervalo (0, 100) é x = 30, 
determine para qual valor de x o custo é mínimo. 
 
Resolução 
a) 
Temos aqui um triângulo retângulo, por meio de pitágoras, conseguimos 
escrever uma função que dê o comprimento ​AB​ em função de ​x​. Perceba que o 
valor máximo de ​x ​é 100 m e o valor mínimo de ​x ​é zero. 
 
 
 
b) 
Nesse item, precisamos ficar atentos que o valor do fio que está em contato com 
a água, ou seja aquele que vai de ​A​ a ​B ​custa R$ 5,00/metro e o fio que não está 
em contato com a água, ou seja aquele que vai de ​B ​a ​C​ custa R$ 3,00/metro. O 
comprimento do fio ​BC​ será ​d​BC​ = 100 - x​. A função custo é desenvolvida a seguir. 
 
 
 
 
 
c) 
Vamos calcular a derivada usando a regra da cadeia. 
 
 
 
 
d) 
Se existe apenas um ponto crítico no intervalo, temos ali o nosso mínimo. 
Sabendo-se que o ponto crítico está em ​x = 30​, basta que substituamos esse valor 
na nossa função ​C(x)​: 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 3 
Estima-se que, nos próximos 10 anos, a população de lobos em uma floresta seja 
dada, em milhares de animais, pela função: 
 
(a) Calcule os pontos críticos da função P no intervalo (0,10). 
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função P. Em 
seguida, classifique cada ponto crítico como máximo local ou mínimo local. 
(c) Determine os intervalos em que a concavidade do gráfico é voltada para 
baixo e os intervalos em que a concavidade é voltada para cima. 
(d) Esboce o gráfico de P. 
 
Resolução 
a) 
Para calcular os pontos críticos de uma função, devemos calcular sua derivada 
primeira e igualar a zero! Os valores de ​x​ que satisfizerem essa igualdade serão 
nossos pontos críticos. 
 
 
 
 
Como ​t = -2​ não pertence ao intervalo que estamos analisando, o único ponto 
crítico é ​t = 8​. Vamos ver, agora, quanto vale ​P(8)​: 
 
 
b) 
Os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função são dados pelo 
sinal da derivada primeira. Se ​P’(t) > 0​, então ​P(t) ​é crescente e se ​P’(t) < 0​, então 
P(t)​ é decrescente. 
 
Nós já sabemos o valor de ​t​ que anula ​P’(t)​, então agora precisamos analisar os 
valores de ​t​ que tornam ​P’(t) ​negativa e os valores de ​t​ que tornam ​P’(t)​ positiva 
dentro do intervalo ​(0,10)​. Veja: 
 
 
Isto é, ​P(t)​ é crescente em ​(0,8)​ e decrescente em ​(8,10)​. Além disso, podemos 
dizer que ​t=8​ é um ponto de máximo. 
 
c) 
Para saber a concavidade de ​P(t)​ precisamos calcular ​P’’(t) ​e igualar a zero. 
 
 
 
Isto significa que ​t=3​ é um possível ponto de inflexão. A concavidade de ​P(t)​ é 
determinada de acordo com o sinal de ​P’’(t)​. Quando ​P’’(t)>0​ a concavidade de 
P(t)​ é para cima e quando ​P’’(t)<0​ a concavidade de ​P(t)​ é para baixo. 
 
 
 
 
 
Ou seja, em ​(0,3)​, a função ​P(t) ​é côncava para cima e em ​(3,10)​, a função ​P(t)​ é 
côncava para baixo. 
 
d) 
Com todas as coisas que descobrimos acima, conseguimos esboçar o gráfico de 
P(t)​. Mas antes disso, vamos ver quanto vale a função ​P ​nos extremos do intervalo. 
Isto é, quanto vale ​P(0)​ e ​P(10)​. 
 
 
 
Ótimo, agora conseguimos traçar o gráfico: 
 
 
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