02 Erros

Prévia do material em texto

Cálculo Numérico
Teoria dos Erros
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Programa
1. Conceitos Básicos
a) Representação de números
b) Conversão de números
c) Aritmética de ponto flutuante
2. Erros
a) Erros absolutos e relativos
b) Erros de arredondamento e truncamento
c) Análise de erros
Cálculo Numérico
Teoria dos Erros – Conceitos Básicos
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Representação de números
 Sistema Decimal (10)
 10 dígitos disponíveis [0,1,2, ... ,9]
 “Posição” indica potência positiva de 10
 5432 = 5x103 + 4x102 + 3x101 + 2x100
 Sistema Binário (2)
 2 “bits” disponíveis [0,1]
 “Posição” indica potência positiva de 2
 1011 na base 2 = 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20
 8+0+2+1 = 11 na base decimal
Representação de números
 Fórmula Geral
 Base 
: 
 Logo, a decomposição polinomial do número 
é dada por: 
 Exemplo: Dado , temos que:
,
jik ,...,
,)...( 0121 aaaaa jj  )1(0  ka
0
0
1
1
2
2
1
1 ...    aaaaa jjjj
,)...( 0121 aaaaa jj 
0123 1091041081066849 
10
Representação de números
 Representação Números Fracionários
 Base Decimal (10)
 “Posição” da parte inteira indica potência positiva de 10
 Potência negativa de 10 para parte fracionária
 54,32 = 5x101 + 4x100 + 3x10-1 + 2x10-2
 Base Binária (2)
 “Posição” da parte inteira indica potência positiva de 2
 Potência negativa de 2 para parte fracionária
 10,11 na base 2 = 1x21 + 0x20 + 1x2-1 + 1x2-2
 2+0+1/2+1/4 = 2,75 na base decimal
Outros sistemas de numeração
 Maior interesse em decimal (10)
 Nossa anatomia e cultura 
 Binário (2) – uso nos computadores
 Outros Sistemas
 Octal (8), {0,1,2, ... , 7}
 Hexadecimal (16), {0,1,2, ... , 9, A,B,C,D,E,F}
 Duodecimal (relógio, calendário)
Alguns sistemas numéricos
Conversão de números – inteiros 
 Binário para decimal
 Já visto
 (1011)2 = 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20 = (11)10
 Inteiro decimal para binário
 Divisão inteira (do quociente) sucessiva por 2, até que 
este seja = 0 ou 1
 Binário = composição do último quociente (Bit Mais 
Significativo – BMS) com os restos das divisões (primeiro 
resto é bit menos significativo – bms)
Em inglês, Most Significant Bit – MSB e least significat bit –
lsb, respectivamente.
Conversão de números – inteiros 
 Exemplo: Converter 30 decimal para binário
Binário = BMS ... bms = 1 1 1 1 0
1 1 1 1 0 = 1x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 = 
16 + 8 + 4 + 2 + 0 = 30 decimal
Conversão de inteiros entre sistemas
 Procedimentos Básicos
 Decimal  Binário - Divisões sucessivas pela base do 
sistema para o qual desejamos converter o número (neste 
caso, divisões sucessivas por 2)
 Binário  Decimal - Decomposição polinomial do número 
a ser convertido
Conversão de inteiros entre sistemas
Conversão de fração
 Base 2 para Base 10
 Já visto (Decomposição Polinomial)
 (10,101)2 = 1x21 + 0x20 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 = 
= 2 + 0 + 1/2 + 0 + 1/8 = (2,625)10
Conversão de fração
 Base 10 para Base 2
 Devemos multiplicar parte fracionária por 2 até que parte 
fracionária do resultado seja 0 (zero)
X,XXX
 Bits da parte fracionária do número binário são obtidos 
das partes inteiras geradas após as multiplicações do 
número fracionário na base 10
X,XXX
 Bit imediatamente à direita da vírgula = Parte inteira da 
primeira multiplicação
 Não há inversão na ordem dos bits encontrados
Conversão de fração
 Exemplo: converter 0,625 decimal para binário
0,625 x 2 = 1,25, logo a primeira casa fracionária é 1; 
nova fração (resto) é 0,25 (agregamos o bit 1 ao 
número na base 2)
0,25 x 2 = 0,5 segunda casa é 0; 
nova fração (resto) é 0,5 (pois já agregamos o bit 0 ao 
numero na base 2)
0,5 x 2 = 1,0 terceira casa é 1; 
nova fração (resto) é 0,0 (pois já agregamos o bit 1 ao 
numero na base 2)
Resultado: 0,62510 = 0,1012
Conversão partes inteira e fracionária 
juntas
 Para converter um número com parte inteira e parte 
fracionária, devemos fazer a conversão de cada parte, 
separadamente
Conversão partes inteira e fracionária 
juntas
 (8,375)10 = ( ? )2
Exercícios
 Transforme em binário:
 5,8
 Resposta: 5,8 = 101,11001100... , uma dízima.
 11,6 
 Resposta: 11,6 = 1011,10011001100...
 a vírgula foi deslocada uma casa para a direita, 
pois 11,6 = 2 x 5,8 
Aritmética de ponto flutuante
 Representação pode variar (“flutuar”) a posição da 
vírgula, ajustando potência da base.
 54,32 = 54,32 x 100 = 5,432 x 101 = 0,5432 x 102 = 
5432,0 x 10-2
 Forma normalizada utiliza um único dígito antes da 
vírgula ( 0 ), e garante o que primeiro dígito depois da 
vírgula seja diferente de 0 
 Exemplo: 0,5432 x 101
Aritmética de ponto flutuante
 No sistema binário:
 11010 = 11,010 x 23 = 0,11010 x 25 = 0,0011010 x 27
 No caso dos números serem armazenados em um 
computador, os expoentes serão também gravados na 
base dois
 Como 310 = 112, 510=1012 e 710=1112
 11,010 x (2)11 = 0,11010 x (2)101 = 0,0011010 x (2)111
Na representação normalizada, há apenas um dígito 
antes da vírgula ( 0 )
 Exemplo: 0,11010 x (2)101
Aritmética de ponto flutuante
 Algumas definições
 No número 0,11010 x (2)101 , tomado como referência:
 0,11010 = significando (ou “mantissa”)
 101 = expoente
 Observações
 A base binária não precisa ser explicitada (o computador 
usa sempre a mesma) 
 O “0” antes da vírgula, na representação normalizada – se 
esta for adotada, também pode ficar implícito, 
economizando um bit (“bit escondido”).
Representação aritmética de ponto 
flutuante no computador
onde:
é a base em que o computador opera;
é o número de dígitos na mantissa
é o expoente (inteiro com sinal)
e
tddd  )...(. 21

t
;01 d,,...,1),1(0 tjd j  
e
Representação aritmética de ponto 
flutuante no computador
 O número de bits disponíveis para representar os 
números no computador não é infinito
 O padrão IEEE 754 para ponto (vírgula) flutuante é a 
representação mais comum para números reais em 
computadores de hoje, incluindo PC's compatíveis com 
Intel, Macintosh, e a maioria das plataformas Unix/Linux.
 O padrão (ou norma) IEEE 754 define dois formatos 
básicos para os números em ponto flutuante:
 O formato ou precisão simples, com 32 bits; e,
 O duplo com 64 bits
 Sinal: 0 = + e 1 = -
 Combinações: Sinal + Expoente + Mantissa
Padrão IEEE 754 para floats
Sinal Expoente(+/-) Significando
Simples (32bits) 1 [bit31] 8 [bits30-23] 23 [bits22-00]
Dupla (64 bits) 1 [bit63] 11 [bits62-52] 52 [bits51-00]
Limitações na representação de floats
 A quantidade finita de bits na representação pode 
implicar nos seguintes erros:
 Truncamento ou Arredondamento
 Overflow
 Underflow
Limitações na representação de floats
 Exemplo: Máquina no seguinte sistema:
Logo o formato dos números nesse sistema:
Menor valor representado em módulo:
Maior valor representado em módulo: 
 .5,5;3;10  et
 5,5,0,90,10.0 1321  eddddd je
65 1010100.0  m
9990010999.0 5 M
Limitações na representação de floats
 Situações possíveis:
a) .
 Número contém 5 dígitos na mantissa
 Possíveis Soluções:
 Truncamento:
 Arredondamento:
 Assunto do próximo tópico
31023589.089.235 x
310235.0 
310236.0 
Limitações na representação de floats
 Situações possíveis:
b) .
 Expoente não pode ser representado na máquina pois é 
menor que o mínimo (-5)
 Erro de underflow
c) .
 Expoente não pode ser representado na máquina pois é 
maior que o máximo (5)
 Erro deoverflow
710345.0 x
910875.0 x
Limitações na representação de floats
 Considere ]4,4[;3;10  et
x arredondamento truncamento
1.25
10.053
-253.15
2.71828
0.000002 Underflow Expoente<-4
817235.89 Overflow Expoente>+4
110125.0  110125.0 
210100.0 210101.0 
310253.0  310253.0 
110272.0  110271.0 
Exercícios
 Considere uma máquina com sistema de representação 
de números definido por: base 10, precisão de 4 dígitos 
na mantissa e expoente no intervalo: [-6; 6]. Pede-se:
a) Qual o menor e o maior número em módulo 
representado nesta máquina?
Menor: 0.1000x10-6 = 10-7, Maior: 0.9999x106 = 999900
b) Como será representado o número 189,27 nesta 
máquina se for usado o arredondamento? E se for usado o 
truncamento?
Trunc.: 0.1892x103, Arred.: 0.1893x103
c) Se a = 2578 e b = 0,6 qual o resultado de a + b se for 
usado o arredondamento? E se for usado o truncamento?
Trunc.: 0.2578x104, Arred.: 0.2579x104
Cálculo Numérico
Teoria dos Erros – Erros
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Erros – Tipos 
 Precisão
 Absoluto
 Relativo
 Representação
 Arredondamento
 Truncamento
Erro Absoluto
 Diferença entre o valor exato de um número e o seu
valor aproximado (em módulo)
|x|xEAx 
 EAx só poderá ser determinado se x for conhecido 
com exatidão
 Na prática, usualmente trabalhamos com um 
limitante superior para o erro, ao invés do próprio 
erro ( |E | < ε, sendo ε é o limitante)
Ex: Para   (3,14; 3,15)
<0,01ππ-=EAπ
Erro Absoluto – Considerações 
Erro Absoluto – Considerações 
Ex.: Sejam a = 3876,373 e e = 1,373
Considerando-se a parte inteira de a como ā o erro 
absoluto será:
e a parte inteira de e, ē, o erro absoluto será:
0,373aaEAa  3876373,3876
0,373eeEAe  1373,1
Erro Absoluto – Considerações 
 Obviamente, o resultado do erro absoluto é o mesmo 
nos dois casos
 Podemos então dizer que a e e estão representados 
com a mesma precisão? 
 Não, pois o peso da aproximação em e é maior do que 
em a
 Erro absoluto não é suficiente para descrever a precisão 
de um cálculo
Erro Relativo
 Razão entre o erro absoluto e o valor aproximado do 
número considerado (em módulo)
|x|
EA
|x|
|x|xER xx 
 O erro relativo pode, entretanto, traduzir perfeitamente 
este fato, pois:
 ERx x 100 = Erro Percentual
4
a 100,0000963876
0,373ER 
10  105,373
1
0,373ERe
Erro Relativo – Considerações 
Ex. : Cálculo do erro relativo na representação dos
números ā = 2112,9 e ē = 5,3, sendo |EA| < 0,1
Conclusão: a é representado com maior precisão do que e
Erro Relativo – Considerações 
5107,4
9,2112
1,0 
a
aa
ERa
02,0
3,5
1,0 
e
ee
ERe
Erros de Arredondamento
 Ex. Cálculo de utilizando uma calculadora digital
Valor apresentado: 1,4142136
Valor real: 1,41421356...
 Inexistência de forma de representação de números 
irracionais com uma quantidade finita de algarismos
 Apresentação de uma aproximação do número pela 
calculadora
 Erro de Arredondamento 
2
Erros de Truncamento
 Descarte dos dígitos finais de uma representação exata 
por limitações de representação em vírgula flutuante
Ex.: Representação truncada de em vírgula
flutuante com 7 dígitos
Valor apresentado: 1,4142135
Valor real: 1,41421356...
2
Representação aritmética de ponto 
flutuante no computador – Relembrando...
onde:
é a base em que o computador opera;
é o número de dígitos na mantissa
é o expoente (inteiro com sinal)
e
tddd  )...(. 21

t
;01 d,,...,1),1(0 tjd j  
e
 Para t = 4, e = 3 e x = 234,57:
x = 0,2345 x 103 + 0,7 x 10-1
fx = 0,2345
gx = 0,7
 Erros de Truncamento e Arredondamento em um 
sistema de aritmética de ponto flutuante:
 Em um sistema que opera em ponto flutuante de t dígitos 
na base 10, e seja x:
x = fx x 10e + gx x 10e-t (0,1 fx  1 e 0,1 gx  1)
Erros de Arredondamento e Truncamento
 Para t = 5, e = 4 e x = 1234,568
x = 0,12345 x 104 + 0,68 x 10-1
fx = 0,12345
gx = 0,68
Erros – Truncamento 
 No truncamento, gx x 10e-t é desprezado e 
e
, visto que |gx| < 1
pois 0,1 é o menor valor possível para fx
1t
e
te
e
te
e
x
te
xx
x 101010
10
100,1
10
10f
10g
x
EA
ER 


 10,1
e
x 10fx 
tete
xx 1010gEA
 
te
x
e
x 10g10fx

e
x
te
x
e
xx f10gfxxEA 1010  
 No arredondamento simétrico (forma mais utilizada):
, se (gx é desprezado)
, se (soma 1 ao último
dígito de fx)
Erros – Arredondamento






tee
x
e
x
1010f
10f
x
2
1gx 
2
1gx 
Erros – Arredondamento 
Se , então:
, visto que |gx| < 1/2
1t
e
te
e
te
e
x
te
xx
x 102
1
10
10
100,1
100,5
10f
10g
x
EA
ER 




 1100,1
2/1
tete
xx 102
110gEA  
2
1gx 
e
x
te
x
e
xx f10gfxxEA 1010  
Erros – Arredondamento
Se , então:
e
e
x
te
tee
x
te
x
x 10f
101/2
1010f
101/2
x
EA
ER 





  tetextetexx 102
1101g1010gEA  
2
1gx 
   teextexexx 1010f10g10fxxEA  


 

 

1t
e
te
e
te
x 102
1
10
101/2
100,1
101/2ER 1100,1
 Erros de Truncamento e Arredondamento em um 
sistema de aritmética de ponto flutuante:
 Sistema operando em ponto flutuante - Base 10
 Erro de Truncamento 
e
 Erro de Arredondamento
e
 Arredondamento gera erros menores, mas aumenta o 
tempo de execução uso do Truncamento 
te
x 10EA
 1tx 10ER 
1t
x 102
1ER tex 102
1EA 
Arredondamento e Truncamento
 Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, 
precisão dupla
 Ex.: Seja x = 0,937 x104 e y = 0,1272 x102. 
Calcular x+y.
 Alinhamento dos pontos decimais antes da soma ( Alinhar 
sempre para o maior expoente dentre os operadores )
x = 0,937 x 104 e y = 0,001272 x 104, 
x+y = 0,937 x 104 + 0,001272 x 104, 
x+y = 0,938272 x 104
 Resultado com 4 dígitos
Arredondamento: x+y = 0,9383 x 104
Truncamento: x+y = 0,9382 x 104
Análise de Erros
 Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, 
precisão dupla
 Ex. : Seja x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x102. Calcular x.y
x.y = (0,937 x 104) x (0,1272 x 102)
x.y = (0,937 x 0,1272) x 106  x.y = 0,1191864 x 106
 Resultado com 4 dígitos
Arredondamento: x.y = 0,1192 x 106
Truncamento: x.y = 0,1191 x 106
Análise de Erros
Análise de Erros
 Considerações
 Ainda que as parcelas ou fatores de uma operação 
possam ser representados exatamente no sistema, não 
podemos esperar que o resultado armazenado seja exato.
 x e y tinham representação exata, mas os resultados x+y
e x.y tiveram representação aproximada.
 Durante as operações aritméticas de um método, os erros 
dos operandos produzem um erro no resultado da 
operação
 Propagação ao longo do processo
Análise de Erros – Propagação
 Ex. : Sejam as operações a seguir processadas em 
uma máquina com 4 dígitos significativos e, fazendo-
se: a = 0,3491 x 104 e b = 0,2345 x 100.
(b + a) − a = b + (a − a) ?
(b + a) − a = (0,2345 x100+0,3491x104) − 0,3491x104 = 
(0,00002345 x104+0,3491x104) − 0,3491x104 
(0,34912345 x104) − 0,3491x104 (arredondamento)
0,3491 x 104 − 0,3491 x104 = 0,0000
b + (a − a) = 0,2345x100 + (0,3491 x 104 −0,3491x104)=
0,2345 x 100 +(0,0000 x 104)= 0,2345 x 100
Análise de Erros – Propagação
 Os dois resultadossão diferentes, quando não 
deveriam ser.
(b + a) − a = 0,0000 e b + (a − a) = 0,2345 x 100
 Causa
 Arredondamento da adição (b + a), a qual tem 8 dígitos 
 A máquina só armazena 4 dígitos (desprezando os 
menos significativos)
Análise de Erros – Propagação
 Resolução numérica de um problema
 Importância do conhecimento dos efeitos da propagação 
de erros 
 Determinação do erro final de uma operação
 Conhecimento da sensibilidade de um determinado 
problema ou método numérico
Análise de Erros – Propagação
 Análise dos Erros Absoluto e Relativo
Expressões para o determinação dos erros nas 
operações aritméticas
Erros presentes na representação das parcelas ou 
fatores, assim como no resultado da operação
 Supondo um erro final arredondado, sendo x e y, tais que:
yx EAy yEAxx  e
Análise de Erros – Propagação
 Adição
 Erro Absoluto
 Erro Relativo
















 yx
yER
yx
xER
yx
y
y
EA
yx
x
x
EAER yx
yx
yx
)EA(EA)yx(
)EAy() EAx(yx
yx
yx


yxyx EAEAEA 



 yx
EA
yx
EA
yx
EAEA
yx
EA
ER yxyxyxyx
Análise de Erros – Propagação
 Subtração
 Erro Absoluto
 Erro Relativo
)EA(EA)yx(
)EAy()EAx(yx
yx
yx


yxyx EAEAEA 
















 yx
yER
yx
xER
yx
y
y
EA
yx
x
x
EAER yx
yx
yx



 yx
EA
yx
EA
yx
EAEA
yx
EA
ER yxyxyxyx
Análise de Erros – Propagação
 Multiplicação
 Erro Absoluto
 Erro Relativo
muito pequeno
     yxxyyx EAEAEAyEAxyxEAyEAxx.y 
    xyyx EAyEAxyxEAyEAxx.y 
yxx.y ERERER 
xyx.y EAyEAxEA 
y
EA
x
EA
xy
EAy
xy
EAx
xy
EAyEAx
xy
EA
ER yxxyxyyxx.y  .
Análise de Erros – Propagação
 Divisão
 Erro Absoluto
     










y
EA
1
1
y
EAx
EAy
EAx
y
x
y
x
y
x
yyy EAy
y
y
y
EAyy
y
EA
1
1
y 








 1111
Prova em evidência:y
Simplificação:
(desprezam-se os termos de potência >1)
     










y
EA
1
1
y
EAx
EAy
EAx
y
x
y
x
y
x
...
y
EA
y
EA
y
EA
1
y
EA
1
1
3
y
2
yy
y








 



 


 


 
y
EA
y
EA
y
x
y
EA
y
EAx
y
x yxyx 11
Análise de Erros – Propagação
 Divisão
 Erro Absoluto
 



 


 


 
y
EA
y
EA
y
x
y
EA
y
EAx
y
x yxyx 11
2
yx
y
EAx
y
EA
y
x
y
x 
2y
EAEA
y
EA
y
EAx
y
x
y
x yxx
2
y 
muito pequeno
2
yx
yx y
EAxEAy
EA
/
Análise de Erros – Propagação
 Divisão
 Erro Relativo



 
x
y
y
EAxEAy
x
yEA
y
x
EA
ER 2
yx
yx
yx
x/y /
/
yx
yx
x/y ERERy
EA
x
EAER 
Análise de Erros – Propagação 
 Erro Relativo da Adição  Soma dos erros relativos de 
cada parcela, ponderados pela participação de cada 
parcela no total da soma.
 Erro Relativo da Subtração  Diferença entre os erros 
relativos do minuendo e do subtraendo, ponderados 
pela participação de cada parcela no resultado da 
subtração.








 yx
yER
yx
xERER yxyx








 yx
yER
yx
xERER yxyx
Análise de Erros – Propagação 
 Erro Relativo da Multiplicação  Soma dos erros 
relativos dos fatores.
 Erro Relativo da Divisão  Diferença entre os erros 
relativos do dividendo e do divisor
yxx.y ERERER 
yxx/y ERERER 
Análise de Erros – Propagação 
 Nos erros anteriormente formulados, ainda não 
consideramos o erro de arredondamento ou 
truncamento no resultado final
 A análise completa da propagação do erro é feita 
considerando-se os erros nas parcelas ou fatores e no 
resultado de cada operação efetuada
Ex.: Dada a soma x+y (x e y representados exatamente), 
faça o cálculo de ER(x+y)
Como x e y são exatamente representados, ERx+y se 
resume ao Erro Relativo de Arredondamento (RA) no 
resultado da soma.
EAx= EAy = 0, EAx+y = 0
1t
yx 102
1RAER  
RA
yx
EA
ER yxyx 


Análise de Erros – Propagação
RAER yx 
Análise de Erros – Propagação 
 Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, 
precisão dupla
 Ex.: Seja x = 0,937 x104, y = 0,1272 x102 e 
z = 0,231 x101, calcular x+y+z e ER(x+y+z), sabendo 
que x, y e z estão exatamente representados.
Solução:
Alinhando as vírgulas decimais ( Alinhar sempre 
para o maior expoente dentre os operadores ) :
x = 0,937000 x104
y = 0,001272 x104 e
z = 0,000231 x104
Análise de Erros – Propagação 
 Ex.: Seja x = 0,937 x104, y = 0,1272 x102 e 
z = 0,231 x 101, calcular x+y+z e ER(x+y+z), sabendo 
que x, y e z estão exatamente representados.
Solução:
A soma é feita por partes: (x+y)+z
x+y = 0,937000 x104 + 0,001272 x104
x+y = 0,938272 x104 (arredondamento)
x+y = 0,9383 x 104 = s
s+z = 0,9383 x 104 + 0,000231 x 104
s+z = 0,938531 x 104 (arredondamento)
x+y+z = 0,9385 x 104
Análise de Erros – Propagação 
Solução:
s = x+y = então s = x + y = 0,9383 x 104
Cálculo do Erro Relativo:
EAx=EAy=0, ERx+y=0syxs RAyx
yER
yx
xERER 








ss RAER 
RAERER zszyx  
RA
zs
zER
zs
sERER zszyx 








Análise de Erros – Propagação 
Solução:
EAz=0, ERz=0RAzyx
zER
zyx
yxERER zszyx 









RA
zyx
yxERER szyx 








 
 1
zyx
yxRA
RA
zs
zER
zs
sERER zszyx 













 RAzyx
yxRAER szyx
Análise de Erros – Propagação 
Solução:
3
zyx 0,9998.10ER

 
1t
zyx 102
11
zyx
yxER  


 

3
4
4
109385,0
109383,0 
 


 
 10
2
11ER zyx



 





 1zyx
yxRARA
zyx
yxRAER szyx
Análise de Erros – Propagação 
 Ex. : Supondo que u é representado em um 
computador por ū, que é obtido por arredondamento. 
Obter os limites superiores para os erros relativos de 
v = 2ū e w = ū + ū.
Análise de Erros – Propagação 
 Ex. :
Solução:
1t
u 10ER
2
uv 2
 RAERERER uu 22
1
2 102
12  tuER
RARARA 2
Análise de Erros – Propagação 
 Ex. :
Solução:
1t
vw 10ERER

uuw 
RA
uu
uER
uu
uERER uuw 








11 1010
2
122   ttw RAER
RA
uu
uRAERw 



 2



 RA
u
uRAERw 2
2 RA2
Exercício
Considere uma máquina cujo sistema de 
representação de números é definido por 
. Tal máquina utiliza o arredondamento para os 
dígitos na mantissa. Os números x = 8543 e y = 2477 
foram utilizados em algumas operações nesta máquina. 
Assim, faça o que se pede: 
a) Calcule os erros absolutos (EA) e erros relativos 
(ER) envolvidos no processo de utilização da máquina 
para cada número x e y. 
Resposta:
et 3,10 
]5,5[e
444 10513,3100003,010854,0  xx EREAx
344 10210,1100003,010248,0  yyEREAy
Exercício
Considere uma máquina cujo sistema de 
representação de números é definido por 
. Tal máquina utiliza o arredondamento para os 
dígitos na mantissa. Os números x = 8543 e y = 2477 
foram utilizados em algumas operações nesta máquina. 
Assim, faça o que se pede: 
b) Após a realização das operações x+y e x*y, foi 
percebido que uma das duas operações resultava no erro 
relativo maior. Qual foi?
Resposta:
Erro da multiplicação é maior
et 3,10 
]5,5[e
RAER yx   410445,5 RAER yx   410613,15