07 Integracao

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Integração
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Programa
1. Introdução
2. Fórmulas de Newton – Cotes
a) Regra dos Trapézios
b) Regra 1/3 de Simpson
c) Regra 3/8 de Simpson
3. Quadratura Gaussiana
Integração
Introdução
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Introdução
 O Cálculo Diferencial e Integral ensina que se y = f(x) é 
uma função contínua em [a, b] , então para se obter
basta determinar uma primitiva, isto é, uma função F(x), 
tal que F’(x) = f(x), de forma que
 ba dxf(x) I 
F(a)F(b)dxf(x) I 
b
a
 
Introdução
 Problemas
 Pode não ser fácil, ou impossível, expressar F(x) por meio 
de uma combinação finita de funções elementares
 Há situações nas quais y = f(x) é conhecida apenas em 
um conjunto discreto de pontos
 Solução
 Nessas situações, avalia-se numericamente! ba dxf(x)I
Introdução
 Estratégia
 Para calcular numericamente vamos 
expressar f(x) como um polinômio no intervalo [a,b].
Deduziremos expressões que têm a forma
onde Quando escrevemos 
uma integral na forma acima , estamos implementando o 
formalismo de Newton - Cotes
dxxf
b
a
)(
)(....)()()( 1100 nn
b
a
xfAxfAxfAdxxf 
  ....,,2,1 com , nibaxi 
Integração
Fórmulas de Newton - Cotes
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Fórmulas de Newton - Cotes
 No procedimento de Newton - Cotes o polinômio 
aproxima f(x) em pontos de [a,b], igualmente 
espaçados. Se os subintervalos têm comprimento h, 
então as fórmulas fechadas de Newton - Cotes para 
integração têm a forma
 
n
abhxx
xfAxfAxfAxfA
dxxfdxxf
ii
ii
n
i
nn
x
x
b
a
n
)( onde
)(....)()(
)()(
1
0
1100
0







Fórmulas de Newton - Cotes
 Os coeficientes Ai das formulas fechadas de Newton -
Cotes são determinados de acordo com o grau do 
polinômio aproximador de f(x)
 As fórmulas abertas de Newton - Cotes, construídas de 
forma análoga às fechadas, diferem pelo fato que 
 Neste capítulo, vamos estudar as seguintes fórmulas 
fechadas de Newton – Cotes: 
 Regra dos Trapézios 
 Regra 1/3 de Simpson
 Regra 3/8 de Simpson
 baxx n , e 0 
Fórmulas de Newton - Cotes
 Os coeficientes Ai das formulas fechadas de Newton -
Cotes são determinados de acordo com o grau do 
polinômio aproximador de f(x)
 Neste capítulo, vamos estudar as seguintes fórmulas 
fechadas de Newton – Cotes: 
 Regra dos Trapézios 
 Regra 1/3 de Simpson
 Regra 3/8 de Simpson
Integração
Regra dos Trapézios
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Regra dos Trapézios
 A estratégia da Regra dos Trapézios é aproximar a 
função f(x) por um polinômio de ordem 1 (reta) 
 Veremos que, nessa aproximação a integral da função 
f(x) pode ser aproximada pela área de um trapézio
  ,, e 10 baxx 
Regra dos Trapézios
 Utilizando a Fórmula de Lagrange para expressar 
p1(x), que interpola f(x) em teremos o 
seguinte:
sendo 
 Fazendo h = (x1 – x0)/n, onde nesse caso n = 1 e 
substituindo os fatores de Lagrange no polinômio 
podemos reescrevê-lo assim:
  ,, e 10 baxx 
)()()()()( 11001 xLxfxLxfxp 
01
0
1
10
1
0 )()( xx
xxxLe
xx
xxxL 


h
xxxf
h
xxxfxp 01101 )()()(


   
T
x
x
Idxxf
h
xxxf
h
xx 

 
 )()( 10011
0
 )()(
2 10
xfxfhIT 
Regra dos Trapézios
 Pela nossa aproximação, a integral da função f(x) será 
escrita por:
   dxxpdxxf xb xaba )()( 110
 Note que IT é a área do trapézio de altura h = x1 - x0 e 
de base f(x0) e f(x1)
Regra dos Trapézios
)x(fy 
0y
1xb 0xa 
)x(py 
1y
Regra dos Trapézios
 Ao substituir a área sob a curva f(x) pela área do 
trapézio estamos realizando uma aproximação e 
cometendo um erro. Verifica-se que este erro é 
dado por:
  ],[ onde )(max
12
 
3
baccfabET 
Regra dos Trapézios
 Exemplo: Considere a integral
a) Calcule a integral utilizando a Regra dos Trapézios.
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
Solução:
a) Utilizando a equação de IT, , e, 
sendo a = 1, b = 7, h = 6, temos:
dx
x2
7
1
1
 )()(
2 10
xfxfhIT 


  22 7
1
1
1
2
6
TI 0612245,3
Regra dos Trapézios
 Exemplo: Considere a integral
a) Calcule a integral utilizando a Regra dos Trapézios.
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
Solução:
b) Para o erro, temos que:
Como a derivada segunda de f(x) é f’’(x) = 6x-4, 
logo:
dx
x2
7
1
1
],[ )(max
12
6 
3
baccfET 
 6
12
63 108  TE )1(''12
6 
3
fET
Regra dos Trapézios
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule a integral utilizando a Regra dos Trapézios.
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
Respostas:
a) 1,8591
b) 
dxex10
0,2265TE
Regra dos Trapézios
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule a integral utilizando a Regra dos Trapézios.
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
Respostas:
a) 32
b) 
dxx 56
9
1

384TE
Regra dos Trapézios Repetida
 A Regra dos Trapézios é uma aproximação um pouco 
grosseira para o valor da integral (erros muito grandes)
 Afim de melhorar essa aproximação podemos fazer 
várias subdivisões no intervalo [a, b] e aplicar a Regra 
dos Trapézios repetidas vezes, conforme a figura 
abaixo:
Regra dos Trapézios Repetida
 Dividindo o intervalo [a, b] em n subdivisões iguais de 
largura h, sendo h calculado da seguinte forma:
 Logo, os valores de cada ponto xi das subdivisões 
pode se obtidos através da expressão: 
 Podemos então escrever a integral de f(x) como sendo 
a soma das áreas dos n trapézios pequenos contidos 
dentro do intervalo [a, b]:
tal que Ai = área 
do trapézio i, com i = 1, 2, …, n.
n
abh )( 
hixxi  0
n
b
a
AAAAdxxf  ...)( 321
Regra dos Trapézios Repetida
Sendo
Temos então que o valor numérico da integral calculada 
segundo a Regra dos Trapézios Repetida será
ou, na forma resumida:
 )()(
2 1 iii
xfxfhA  
   
     )()(
2
)()(
2
...)()(
2
)()(
2
)()(
2
)(
11232
2110
nnnn
b
a
xfxfhxfxfhxfxfh
xfxfhxfxfhdxxf




TR
n
i
in
b
a
Ixfxfxfhdxxf 

   

1
1
0 )(2)()(2
)(
Regra dos Trapézios Repetida
 A estimativa para o erro gerado pela aplicação da Regra 
dos Trapézios Repetida é dada por:
sendo n o número de subdivisões no intervalo [a, b].
 Comparando com o erro na Regra dos Trapézios 
Simples, temos:
ou seja: 
],[ onde )(max
12
)( 2
3
baccf
n
abETR 
  )(max
12
)( )(max
12 2
33
cf
n
abEcfabE TRT 
2n
EE TTR 
Regra dos Trapézios Repetida
 Se quisermos fazer o caminho inverso, ou seja, calcular 
quantas subdivisões são necessárias para atingir um 
certo valor de erro, devemos fazer o seguinte cálculo:
)(max
12
)(n 
3
cf
E
ab
TR

Regra dos Trapézios Repetida
 Exemplo: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 10 
subintervalos e a Regra dos Trapézios Repetida. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilizaçãodessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o 
erro seja inferior a 10-3?
dx
x2
7
1
1
Regra dos Trapézios Repetida
Solução:
a) Fazendo 10 subintervalos no intervalo [1, 7] temos h = 0,6
Como , logo: x0 = 1, x1 = 1,6 , x2 = 2,2 , 
x3 = 2,8 , x4 = 3,4 , x5 = 4,0 , x6 = 4,6 , x7 = 5,2 , x8 = 5,8 , 
x9 = 6,4, x10 = 7. Aplicando então a Regra dos Trapézios 
Repetida:
hixxi  0


  

1
1
0 )(2)()(2
n
i
inTR xfxfxf
hI





 

 
2
9
2
8
2
7
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
2
10
2
0
1111111112
11
2
xxxxxxxxx
xx
hITR
Regra dos Trapézios Repetida
Solução:
a) Fazendo 10 subintervalos no intervalo [1, 7] temos h = 0,6
Como , logo: x0 = 1, x1 = 1,6 , x2 = 2,2 , 
x3 = 2,8 , x4 = 3,4 , x5 = 4,0 , x6 = 4,6 , x7 = 5,2 , x8 = 5,8 , 
x9 = 6,4, x10 = 7. Aplicando então a Regra dos Trapézios 
Repetida:
hixxi  0



 

 
222222222
22
4,6
1
8,5
1
2,5
1
6,4
1
0,4
1
4,3
1
8,2
1
2,2
1
6,1
12
7
1
1
1
2
6,0
TRI
0,9134TRI
Regra dos Trapézios Repetida
Solução:
b) Para o erro, temos:
Como a derivada segunda de f(x) é f’’(x) = 6x-4, 
logo:
)(max
12
)( 2
3
cf
n
abETR 
 61012
1) -(7 2
3
08,1  TRE )(max12
)( 2
3
cf
n
abETR
Regra dos Trapézios Repetida
Solução:
c) O número de subdivisões para que o erro fosse menor do 
que 10-3 pode ser obtido por:

  61012
)17(
3
3
329n 
 )(max
12
)(n
3
cf
E
ab
TR
 63,328n
Regra dos Trapézios Repetida
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 10 
subintervalos e a Regra dos Trapézios Repetida. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o 
erro seja inferior a 10-3?
Respostas:
a) 1,7197
b) 
c) 15,051  16 subdivisões
dxex10
0,00227TRE
Regra dos Trapézios Repetida
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 8 
subintervalos e a Regra dos Trapézios Repetida. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o 
erro seja inferior a 10-4?
Respostas:
a) 37,818
b) 
c) 3,84 x 106 subdivisões
dxx 56
9
1

6TRE
Integração
Regra 1/3 de Simpson
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Regra 1/3 de Simpson
 Consideremos agora que se queira aproximar f(x) por 
um polinômio interpolador de ordem 2 (parábola)
Regra 1/3 de Simpson
 Utilizando a Fórmula de Lagrange para expressar p2(x):
com , 
e 
temos ainda que: ,
assim: x0 – x1 = -h x0 – x2 = -2h
x1 – x0 = h x1 – x2 = -h
x2 – x0 = 2h x2 – x1 = h
)()()()()()()( 2211002 xfxLxfxLxfxLxp 
  
  2010
21
0 )( xxxx
xxxxxL 
     2101
20
1 )( xxxx
xxxxxL 

  
  1202
10
2 )( xxxx
xxxxxL 

bhxx  202e e a 010 hxxx 
     
  dxxxxx
h
xf
dxxxxx
h
xfdxxxxx
h
xfI
x
x
x
x
x
xS
102
2
202
1
212
0
2
0
2
0
2
0
2
)(
)(
2
)(




Regra 1/3 de Simpson
S
bx
ax
b
a
Idxxpdxxf    )()( 220
  
  
  
  
  
   )(2)()(2)( 2101200212 xfhh
xxxxxf
hh
xxxxxf
hh
xxxxxp 


 )()(4)(
3 210
xfxfxfhIS 
 Logo,
 resolvendo a integral por 
troca de variáveis, obtemos
Regra 1/3 de Simpson
 De modo análogo à Regra dos Trapézios, na Regra 1/3 
de Simpson estamos realizando uma aproximação e 
cometendo um erro. Verifica-se que este erro é dado 
por
como h = (b – a) / 2  h5 = (b – a)5 / 32, tem-se:
],[ onde )(max
90
4
5
baccfhES 
],[ onde )(max
2880
)( 45 baccfabES 
Regra 1/3 de Simpson
 Exemplo: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Regra 1/3 de Simpson. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
dx
x2
7
1
1
Regra 1/3 de Simpson
Solução:
a) Como agora temos n = 2 subdivisões dentro do intervalo 
[a, b], teremos h = (b – a)/2 = (7 – 1)/2 = 3. Logo: x0 = 1, 
x1 = x0 + h = 4, x2 = 7. 
Assim o valor da integral será:
1,27
 )()(4)(
3 210
xfxfxfhIS 


  222 7
1
4
14
1
1
3
3
SI
Regra 1/3 de Simpson
Solução:
b) Para o erro, temos:
Como a derivada quarta de f(x) é f4(x) = 120x-6 logo
 )(max
2880
)( 4
5
cfabES 324  SE
)(max
2880
)( 45 cfabES

 120
2880
6 
5
Regra 1/3 de Simpson
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Regra 1/3 de Simpson. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
Respostas:
a) 1,719
b) 
dxex10
410439,9 SE
Regra 1/3 de Simpson
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Regra 1/3 de Simpson. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
Respostas:
a) 37,3333
b)
dxx 56
9
1

13824SE
Regra 1/3 de Simpson Repetida
 Vamos agora repetir o procedimento anterior para n
pares de subintervalos. Definimos o número de 
subintervalos pela letra m = 2n
 Por que precisamos definir a variável m?
 A cada par de subintervalos temos 3 pontos para ajustar 
uma parábola ( p2(x) )
Regra 1/3 de Simpson Repetida
 Tomemos 
para m = 2n  m é par
 Aplica-se a Regra 1/3 de Simpson repetidas vezes no 
intervalo [a, b] = [x0, xm]:
tal que Ai = área
do subintervalo i, com i = 1, 2, …, n.
mihxx
m
abh ii ...,,2,1 com 1  
n
b
a
AAAAdxxf  ...)( 321
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Sendo
Temos então que o valor numérico da integral calculada 
segundo a Regra 1/3 de Simpson Repetida será
 )()(4)(
3 2101
xfxfxfhA 
 
   )()(4)(
3
...)()(4)(
3
)()(4)(
3
)()(
12432
210
0
mmm
x
x
b
a
xfxfxfhxfxfxfh
xfxfxfhdxxfdxxf m




))](...)()((4
))(...)()((2)()([
3
)(
131
2420




m
mm
b
a
xfxfxf
xfxfxfxfxfhdxxf
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Logo:
onde:
Valor da função nos pontos de
índices pares dentro do intervalo [a, b], 
excluindo as extremidades
Valor da função nos pontos de
índices ímpares dentro do intervalo [a, b], 
excluindo as extremidades
SR
m
i
i
m
i
im
b
a
Ixfxfxfxfhdxxf 








 




2
1
12
1
2
1
20 )(4)(2)()(3
)(



1
2
1
2 )(2
m
i
ixf



2
1
12 )(4
m
i
ixf
Regra 1/3 de Simpson Repetida
 A estimativa para o erro gerado pela aplicação da Regra 
1/3 de Simpson Repetida é dada por:
como h = (b – a) / m e m = 2n  h5 = (b – a)5 / 32n5, 
tem-se:
],[ onde )(max
90
4
5
baccfhnESR 
],[ onde )(max
2880
)( 4
4
5
baccf
n
abESR 
Regra 1/3 de Simpson Repetida
 Comparando com o erro na Regra 1/3 de Simpson 
Simples, temos:
ou seja: 
 Se quisermos fazer o caminho inverso, ou seja, calcular 
quantas subdivisões são necessárias para atingir um 
certo valorde erro, devemos fazer o seguinte cálculo:
, lembrando que m = 2n4 4
5
)(max
2880
)(n cf
E
ab
SR

 )(max
2880
)( )(max
2880
)( 4
4
5
4
5
cf
n
abEcfabE SRS

4n
EE SSR 
Regra 1/3 de Simpson Repetida
 Exemplo: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 10 
subintervalos e a Regra 1/3 de Simpson Repetida. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o 
erro seja inferior a 10-3?
dx
x2
7
1
1
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Solução:
a) Fazendo 10 subintervalos no intervalo [1, 7] temos h = 0,6
Como , logo: x0 = 1 , x1 = 1,6 , x2 = 2,2 , 
x3 = 2,8 , x4 = 3,4 , x5 = 4 , x6 = 4,6 , x7 = 5,2 , x8 = 5,8 , 
x9 = 6,4 , x10 = 7.
Aplicando então a Regra 1/3 de Simpson Repetida:
hixxi  0








 




2
1
12
1
2
1
20 )(4)(2)()(3
m
i
i
m
i
imSR xfxfxfxf
hI
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Solução:
a) Calculando os somatórios:
)()()()()()( 8642
41
2
10
1
2
1
2
1
2 xfxfxfxfxfxf
i
i
m
i
i  




)()()()()()()( 97531
5
2
10
1
12
2
1
12 xfxfxfxfxfxfxf
i
i
m
i
i  





3701,0
8,5
1
6,4
1
4,3
1
2,2
1
2222 
642,0
4,6
1
2,5
1
4
1
8,2
1
6,1
1
22222 
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Solução:
a) Logo:








 




2
1
12
1
2
1
2100 )(4)(2)()(3
m
i
i
m
i
iSR xfxfxfxf
hI
8657,06427,04701,02
7
1
1
1
3
6,0
22 

 SRI
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Solução:
b) Para o erro, temos:
Como a derivada quarta de f(x) é f4(x) = 120x-6 logo
 )(max
2880
)( 44
5
cf
n
abESR 5184,0  SRE
)(max
2880
)( 4
4
5
cf
n
abESR

 12052880
6
4
5
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Solução:
c) O número de subdivisões para que o erro fosse menor do 
que 10-3 pode ser obtido por:
Logo, como m = 2n, precisamos então de 52 subdivisões!

 4 3
5
120
102880
)17( 4 4
5
)(max
2880
)(n cf
E
ab
SR
 85,25n 26n 
Regra 1/3 de Simpson Repetida
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 8 
subintervalos e a Regra 1/3 de Simpson Repetida. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o 
erro seja inferior a 10-10?
Respostas:
a) 1,7183
b) 
c) n = 56  m = 112 subdivisões
dxex10
-6103,6869SRE
Integração
Regra 3/8 de Simpson
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Regra 3/8 de Simpson
 Consideremos agora que se queira aproximar f(x) por 
um polinômio interpolador de ordem 3
 Utilizando a Fórmula de Lagrange para expressar p3(x) 
que interpola f(x) nos pontos:
bhxxhxxhxxx  3,2,,a 0302010
Regra 3/8 de Simpson
 Utilizando a Fórmula de Lagrange para expressar p3(x):
com
e
)()()()()()()()()( 332211003 xfxLxfxLxfxLxfxLxp 
   
    ,)( 302010
321
0 xxxxxx
xxxxxxxL 

   
    ,)( 312101
320
1 xxxxxx
xxxxxxxL 
       321202
310
2 )( xxxxxx
xxxxxxxL 

   
   231303
210
3 )( xxxxxx
xxxxxxxL 

Regra 3/8 de Simpson
 Logo,
8/33 )()(
3
0
S
bx
ax
b
a
Idxxpdxxf   
   
   
   
   
   
   
   
    )(23)(2
)(
2
)(
32
)(
3
210
2
310
1
320
0
321
3
xf
hhh
xxxxxxxf
hhh
xxxxxx
xf
hhh
xxxxxxxf
hhh
xxxxxxxp





Regra 3/8 de Simpson
 Logo,
   
   
   
   dxxxxxxx
h
xf
dxxxxxxx
h
xf
dxxxxxxx
h
xf
dxxxxxxx
h
xfI
x
x
x
x
x
x
x
xS
2103
3
3103
2
3203
1
3213
0
8/3
3
0
3
0
3
0
3
0
6
)(
2
)(
2
)(
6
)(








 )()(3)(3)(
8
3
32108/3 xfxfxfxfhIS 
Regra 3/8 de Simpson
 O erro cometido na aproximação pela Regra 3/8 de 
Simpson é dado por:
como h = (b – a) / 3  h5 = (b – a)5 / 243, tem-se:
],[ onde )(max
80
3 45
8/3 baccfhES 
],[ onde )(max
6480
)( 45
8/3 baccf
abES 
Regra 3/8 de Simpson
 Exemplo: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Regra 3/8 de Simpson. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
dx
x2
7
1
1


  22228/3 7
1
5
13
3
13
1
12
8
3
SI
Regra 3/8 de Simpson
Solução:
a) Como agora temos n = 3 subdivisões dentro do intervalo 
[a, b], teremos h = (b – a)/3 = (7 – 1)/3 = 2. Logo: x0 = 1, 
x1 = x0 + h = 3, x2 = x1 + h = 5, x3 = 7. 
Assim o valor da integral será:
1,105
 )()(3)(3)(
8
3
32108/3 xfxfxfxfhIS 
Regra 3/8 de Simpson
Solução:
b) Para o erro, temos:
Como a derivada quarta de f(x) é f4(x) = 120x-6 logo
 )(max
6480
)( 4
5
8/3 cf
abES 144 8/3  SE
)(max
6480
)( 45
8/3 cf
abES

 120
6480
6 
5
Regra 3/8 de Simpson
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Regra 3/8 de Simpson. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
Respostas:
a) 1,716
b) 
dxex10
4
8/3 10194,4
SE
Regra 3/8 de Simpson
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Regra 3/8 de Simpson. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
Respostas:
a) 37,610
b)
dxx 56
9
1

61448/3 SE
Regra 3/8 de Simpson Repetida
 Vamos agora repetir o procedimento anterior para n trios 
de subintervalos. Definimos o número de subintervalos 
pela letra m = 3n
 Por que precisamos definir a variável m?
 A cada trio de subintervalos temos 4 pontos para ajustar 
uma função de grau 3 ( p3(x) )
Regra 3/8 de Simpson Repetida
 Tomemos 
para m = 3n  m é múltiplo de 3
 Aplica-se a Regra 3/8 de Simpson repetidas vezes no 
intervalo [a, b] = [x0, xm]:
tal que Ai = área
do subintervalo i, com i = 1, 2, …, n.
mihxx
m
abh ii ...,,2,1 com 1  
n
b
a
AAAAdxxf  ...)( 321
Regra 3/8 de Simpson Repetida
Sendo
Temos então que o valor numérico da integral calculada 
segundo a Regra 3/8 de Simpson Repetida será
 )()(3)(3)(
8
3
32101 xfxfxfxfhA 
 
 
 
 )()(3)(3)(
8
3
)()(3)(3)(
8
3
...)()(3)(3)(
8
3
)()(3)(3)(
8
3)()(
123
3456
6543
3210
0
mmmm
mmmm
x
x
b
a
xfxfxfxfh
xfxfxfxfh
xfxfxfxfh
xfxfxfxfhdxxfdxxf m







Regra 3/8 de Simpson Repetida
Temos então que o valor numérico da integral calculada 
segundo a Regra 3/8 de Simpson Repetida será
Logo:
))]()(...)()()()((3
))(...)()((2)()([
8
3)(
125421
3630




mm
mm
b
a
xfxfxfxfxfxf
xfxfxfxfxfhdxxf








 






3
1
13
3
1
23
1
3
1
308/3 )(3)(3)(2)()(8
3
m
i
i
m
i
i
m
i
imSR xfxfxfxfxfhI
Regra 3/8 de Simpson Repetida
 A estimativa para o erro gerado pela aplicaçãoda Regra 
3/8 de Simpson Repetida é dada por:
como h = (b – a) / m e m = 3n h5 = (b – a)5 / 243n5, 
tem-se:
],[ onde )(max
80
3 45
8/3 baccfhnESR 
],[ onde )(max
6480
)( 4
4
5
8/3 baccfn
abESR 
Regra 3/8 de Simpson Repetida
 Comparando com o erro na Regra 3/8 de Simpson 
Simples, temos:
ou seja: 
 Se quisermos fazer o caminho inverso, ou seja, calcular 
quantas subdivisões são necessárias para atingir um 
certo valor de erro, devemos fazer o seguinte cálculo:
, lembrando que m = 3n4 4
8/3
5
)(max
6480
)(n cf
E
ab
SR

 )(max
6480
)()(max
6480
)( 4
4
5
8/3
4
5
8/3 cfn
abEcfabE SRS

4
8/3
8/3 n
EE SSR 
Regra 3/8 de Simpson Repetida
 Exemplo: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 12 
subintervalos e a Regra 3/8 de Simpson Repetida. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o 
erro seja inferior a 10-3?
dx
x2
7
1
1
Regra 3/8 de Simpson Repetida
Solução:
a) Fazendo 12 subintervalos no intervalo [1, 7] temos h = 0,5 
Como , logo: x0 = 1 , x1 = 1,5 , x2 = 2,0 , 
x3 = 2,5 , x4 = 3,0 , x5 = 3,5 , x6 = 4,0 , x7 = 4,5 , x8 = 5,0 , 
x9 = 5,5 , x10 = 6 , x11 = 6,5 , x12 = 7.
Aplicando então a Regra 3/8 de Simpson Repetida:
hixxi  0








 






3
1
13
3
1
23
1
3
1
308/3 )(3)(3)(2)()(8
3
m
i
i
m
i
i
m
i
imSR xfxfxfxfxfhI
Regra 3/8 de Simpson Repetida
Solução:
a) Calculando os somatórios:
)()()()()(2 963
31
3
12
1
3
1
3
1
3 xfxfxfxfxf
i
i
m
i
i  




)()()()()()(3 10741
4
3
12
1
23
3
1
23 xfxfxfxfxfxf
i
i
m
i
i  





256,0
5,5
1
4
1
5,2
1
222 
633,0
6
1
5,4
1
3
1
5,1
1
2222 
)()()()()()(3 11852
4
3
12
1
13
3
1
13 xfxfxfxfxfxf
i
i
m
i
i  





395,0
5,6
1
5
1
5,3
1
2
1
2222 
Regra 3/8 de Simpson Repetida
Solução:
a) Logo:


  395,03633,03256,02
7
1
1
15,0
8
3
228/3SRI








 






3
1
13
3
1
23
1
3
1
31208/3 )(3)(3)(2)()(8
3
m
i
i
m
i
i
m
i
iSR xfxfxfxfxfhI
889,0
Regra 3/8 de Simpson Repetida
Solução:
b) Para o erro, temos:
Como a derivada quarta de f(x) é f4(x) = 120x-6 logo
 )(max
6480
)( 4
4
5
8/3 cfn
abESR
0,5625 8/3  SRE
)(max
6480
)( 4
4
5
8/3 cfn
abESR

 12046480
6
4
5
Regra 3/8 de Simpson Repetida
Solução:
c) O número de subdivisões para que o erro fosse menor do 
que 10-3 pode ser obtido por:
Logo, como m = 3n, precisamos então de 60 subdivisões!

 4 3
5
120
106480
)17( 4 4
8/3
5
)(max
6480
)(n cf
E
ab
SR
 48,19n 20n 
Regra 3/8 de Simpson Repetida
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 12 
subintervalos e a Regra 3/8 de Simpson Repetida. 
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização 
dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o 
erro seja inferior a 10-10?
Respostas:
a) 1,715
b) 
c) n = 46  m = 138 subdivisões!
dxex10
-6
8/3 101,639SRE
Comentários
 Percebemos que à medida que aumentamos o grau do 
polinômio, a convergência do método é mais fácil
 As demais fórmulas fechadas de integração de Newton -
Cotes trabalham com polinômios de graus n=4, n=5, ...
 Para um n qualquer, a fórmula de Newton – Cotes é 
apresentada no próximo slide
Comparativo
 Fórmula de Newton - Cotes para n qualquer
 )( 
0
 nxx ii dxxLA
    dxxLxfxLxfxLxf nnxx n )()(...)()()()( 11000
 )()(...)()()()(
000
1100   nnn xx nnxxxx dxxLxfdxxLxfdxxLxf
   Lagrange de forma utilizando )()( 00 dxxpdxxf nxxxb xa nn
 )(....)()( 1100 nn xfAxfAxfA 
Integração
Quadratura Gaussiana
Prof. Wellington Passos de Paula
wpassos@ufsj.edu.br
Quadratura Gaussiana
 Os métodos de integração numérica apresentados até 
agora (a saber, Regra dos Trapézios e de Simpson) 
tomam como base uma regra simples para escolha dos 
pontos de avaliação da função f(x), onde
 Esses métodos são particularmente adequados para 
dados tabulados de forma regular, tais como algumas 
medidas de laboratório e valores obtidos de programas 
de computador que produzem tabelas
hxx ii 1
Quadratura Gaussiana
 Se, por outro lado, tivermos a liberdade de escolher os 
pontos nos quais a função f(x) é avaliada, então uma 
escolha cuidadosa pode levar a uma maior precisão da 
avaliação da função
 Essa é a proposta do método conhecido por Quadratura 
Gaussiana, Integração Gaussiana ou Integração de 
Gauss-Legendre
Quadratura Gaussiana
 Outra vantagem da Quadratura Gaussiana no erro 
relativo à integração:
 Os erros dos polinômios interpoladores gerados pelas 
fórmulas de Newton-Cotes envolvem a (n+1)-ésima ou 
(n+2)-ésima derivadas. Logo, essas integrações são 
exatas para polinômios de grau < n+1 ou < n+2, 
respectivamente.
 A Quadratura de Gauss integra exatamente polinômios de 
grau < 2n+2
Quadratura Gaussiana
 Partimos então da fórmula para a integral utilizada nos 
métodos de Newton - Cotes
onde os coeficientes Ai e os pontos xi para i = 0, 1, 2, .., n 
devem ser determinados de modo a obter a melhor precisão 
possível
Diferença Importante: Uso de Partições Não-Regulares
     nnba xfAxfAxfAdxxfI   ....)( 1100
Quadratura Gaussiana
 Comecemos então o desenvolvimento para dois pontos:
 Por simplicidade tomemos o intervalo [-1, 1]. Note que 
sempre é possível passar do intervalo [a, b] --> [-1, 1] 
através da transformação:
   1100)( xfAxfAdxxfI ba  
dtabdttxdx )(
2
1)( 
 1,1 para )(
2
1)(
2
1)(  tabtabtx
 Segue
devemos então encontrar valores de A0, A1, t0, t1 que 
tornem a exatidão da integral a maior possível. Para isto 
o método é construído para ser exato para polinômios 
de graus até 3, pois deste modo teremos quatro 
incógnitas (A0, A1, t0, t1) e quatro equações
)(
2
1)(
2
1)(
2
1)( onde
)(
1
1
ababtabftF
dttF


 
 
Quadratura Gaussiana
  dxxfI ba )(   dttxtxf )())((11
   110011 )( tFAtFAdttFI  
Quadratura Gaussiana
 Sejam
 Note que qualquer polinômio de grau 3
é combinação das funções acima. Assim, impomos que 
a fórmula da Quadratura Gaussiana seja exata para 
estes polinômios, segue: 
3
3
2
210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF 
)()()()()( 332211003 tFatFatFatFatP 
   
   

)()()()(
)()()()(
13103031210202
11101011010000
tFAtFAatFAtFAa
tFAtFAatFAtFAa






dttFadttFa
dttFadttFa
1
1 33
1
1 22
1
1 11
1
1 00
)()(
)()( dttP )(311
Quadratura Gaussiana
)()( 131030 tPAtPA 


)()()()(
)()()()(
1313121211111010
0303020201010000
tFAatFAatFAatFAa
tFAatFAatFAatFAa


))()()()((
))()()()((
1331221111001
0330220110000
tFatFatFatFaA
tFatFatFatFaA
 Igual à formula da Integração 
quando utilizamos somente dois pontos
Quadratura Gaussiana
 Considerando
podemos determinar as incógnitas A0, A1, t0, t1 através 
de
ou seja, igualamos a equação à integral 
analíticade , gerando então um sistema não-
linear 4 x 4. Vejamos: 
3
3
2
210 )(,)(,)(,1)( ttFttFttFtF 
3,2,1,0 para )( 1100
1
1
1
1
   ktAtAdttdttFI kkkk
kk tAtA 1100 
)(tFk
Quadratura Gaussiana
 Obtemos o sistema
20 10
0
11
0
00
1
1
0   AAtAtAdttk
01 1100
1
11
1
00
1
1
1   tAtAtAtAdttk
3/22 211
2
00
2
01
2
00
1
1
2   tAtAtAtAdttk
03 311
3
00
3
11
3
00
1
1
3   tAtAtAtAdttk
Quadratura Gaussiana
 Resolvendo o sistema, obtemos
de modo que podemos escrever a Fórmula de 
Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de 
graus até 3, como
3/3e1 1010  ttAA






  3333)(
1
1
FFdttFIGauss
Quadratura Gaussiana
 Para 3 pontos, a fórmula da quadratura gaussiana é 
exata para polinômios de graus até 5. Então,
 Analogamente, qualquer polinômio de grau 5 pode ser 
escrito em termos de 
     22110011 )( tFAtFAtFAdttFI  
5
5
4
4
3
3
2
210 )(,)(,)(,)(,)(,1)( ttFttFttFttFttFtF 
Quadratura Gaussiana
 Agora podemos determinar as incógnitas A0, A1, A2, t0, 
t1, t2 através do sistema linear 6 x 6 abaixo:
 Escrevendo explicitamente o sistema:
5,4,3,2,1,0 para
 )( 221100
1
1
1
1

  
k
tAtAtAdttdttFI kkkkk
Quadratura Gaussiana
 Obtemos:
20 210
0
22
0
11
0
00
1
1
0   AAAtAtAtAdttk
01 221100
1
22
1
11
1
00
1
1
1   tAtAtAtAtAtAdttk
3/22 221
2
11
2
00
2
22
2
11
2
00
1
1
2   tAtAtAtAtAtAdttk
05 522
5
11
5
00
5
22
5
11
5
00
1
1
5   tAtAtAtAtAtAdttk
03 322
3
11
3
00
3
22
3
11
3
00
1
1
3   tAtAtAtAtAtAdttk
5/24 421
4
11
4
00
4
22
4
11
4
00
1
1
4   tAtAtAtAtAtAdttk
Quadratura Gaussiana
 Resolvendo o sistema, obtemos
de modo que podemos escrever a Fórmula de 
Quadratura Gaussiana, que é exata para polinômios de 
graus inferiores a 5, como
0e
5
3,
9
8e
9
5
120120  tttAAA
  





  53950985395)(11 FFFdttFIGauss
Quadratura Gaussiana
 A estimativa para o erro gerado pela aplicação da 
Quadratura Gaussiana é dada por:
onde n é o grau do polinômio interpolado
],[ onde )(max
])!22)[(32(
])!1[(2 )22(
3
432
baccf
nn
nE n
n
QG 
 

Quadratura Gaussiana
 Exemplo: Calcule utilizando o Método da 
Quadratura Gaussiana para 2 e 3 pontos.
Solução: 
Temos no intervalo [1, 3]. Fazendo a mudança de 
variáveis
dxeI x3
3
1
xexf 3)( 
   1,1 temos3,1 para
2)(
2
1)(
2
1)(


tx
tabtabtx
2)(t3e 
dtdtabdttxdx 1)(
2
1)( 


  )(
2
1)(
2
1)(
2
1)( ababtabftF
Quadratura Gaussiana
 Exemplo: Calcule utilizando o Método da 
Quadratura Gaussiana para 2 e 3 pontos.
Solução: 
Para 2 pontos:
dxeI x3
3
1
1018,523 :Exato
3
1
  dxeI x






   3333)(3
1
1
3
1
FFdttFIdxe Gauss
x
 




 


  2
3
32
3
3
33 ee 9309,51
Quadratura Gaussiana
 Exemplo: Calcule utilizando o Método da 
Quadratura Gaussiana para 2 e 3 pontos.
Solução: 
Para 3 pontos:
dxeI x3
3
1
1018,523 :Exato
3
1
  dxeI x
   dttFIdxe Gaussx )(3 1131
 

 

  2532253 3
9
53
9
83
9
5 eee
  






5
3
9
50
9
8
5
3
9
5 FFF
1004,52
Quadratura Gaussiana
 A tabela abaixo compara o Método da Quadratura 
Gaussiana com a Regra 1/3 de Simpson para 
dxeI x3
3
1
Exato Gauss 
2 pontos
Gauss 
3 pontos
Simpson 
3 pontos
Simpson
5 pontos
Simpson 
7 pontos
Valor 52,1018 51,9309 52,1004 52,3601 52,1194 52,1053
Erro 0,1709 0,0014 0,2583 0,0176 0,0035
Quadratura Gaussiana
 Exemplo: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Quadratura de Gauss para 2 pontos.
dxe x100
Quadratura Gaussiana
Solução: 
a) Temos no intervalo [0,10]. Fazendo a mudança 
de variáveis
xexf )(
   1,1 temos10,0 para
55)(
2
1)(
2
1)(


tx
tabtabtx
dtdtabdttxdx 5)(
2
1)( 


  )(
2
1)(
2
1)(
2
1)( ababtabftF 5)-(5te5 
Quadratura Gaussiana
Solução: 
a) Para dois pontos:
O erro verdadeiro:
 A Regra dos Trapézios necessitaria de 16 pontos para atingir 
este erro. Através da 1/3 de Simpson seriam necessários 
9 pontos






   3333)(
1
1
10
0
FFdttFIdxe Gauss
x
 




 


  5
3
355
3
35
55 ee 606102,0
393853,0606102,0999955,0Erro 
Quadratura Gaussiana
 Conclusões: 
 As fórmulas da Quadratura Gaussiana produzem 
melhores resultados que aquelas dos métodos de 
Newton-Cotes com partição regulares (Trapézio, 
Simpson)
 Quando aumentamos o número de pontos todos métodos 
melhoram a precisão
 Se o intervalo for grande, no caso de Trapézio e Simpson
Repetidas, podemos criar subintervalos e aplicar 
Quadratura Gaussiana em cada intervalo
 Problema: Se não tivermos f(x) e sim uma tabela de 
dados experimentais, então o método da Quadratura 
Gaussiana não é aplicável
Quadratura Gaussiana
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Quadratura de Gauss para 2 e 3 pontos.
Resposta: 2 pontos 38,287
3 pontos 38,076
dxx 56
9
1

Quadratura Gaussiana
 Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Quadratura de Gauss para 2 e 3 pontos.
Resposta: 2 pontos 1,7179
3 pontos 1,7183
dxex10
Quadratura Gaussiana - Exercícios
1) Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Quadratura de Gauss para 2 pontos.
Resposta: 0,746594
2) Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Quadratura de Gauss para 2 pontos.
Resposta: 13,5049
dxe x
21
0

dxxsenxx )(
4
2
0

Quadratura Gaussiana – Exercícios
3) Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando a 
Quadratura de Gauss para 3 pontos.
Resposta: 3,14107
dx
x2
1
0 1
14 