Lista 2 - Cálculo I

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Lista 02 – Ca´lculo I
1. Encontre os pontos cr´ıticos das func¸o˜es abaixo:
a) F (x) = x4/5(x− 4)2 b) g(x) = x1/3 − x−2/3 c) f(θ) = 2 cos θ + sen2 θ
d) g(θ) = 4θ − tg θ e) f(x) = x2e−3x f ) f(x) = x−2 lnx
2. Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f no intervalo dado:
a) f(x) = e−x − e−2x, [0, 1] b) f(x) = ln(x2 + x+ 1), [−1, 1]
c) f(x) = x− lnx, [12 , 2] d) f(x) = xe−x
2/8, [−1, 4]
e) f(t) = t+ cotg(t/2), [pi/4, 7pi/4] f ) f(t) = 2 cos t+ sen 2t, [0, pi/2]
g) f(t) = 3
√
t (8− t), [0, 8] h) f(t) = t√4− t2, [−1, 2]
3. Mostre que a equac¸a˜o 1 + 2x+ x3 + 4x5 = 0 possui exatamente uma raiz real.
4. Mostre que a equac¸a˜o 2x− 1− senx = 0 possui exatamente uma raiz real.
5. Mostre que a equac¸a˜o x3 − 15x+ c = 0 possui no ma´ximo uma raiz real no intervalo [−2, 2].
6. Mostre que a equac¸a˜o x4 + 4x+ c = 0 possui no ma´ximo duas ra´ızes reais.
7. (a) Mostre que um polinoˆmio de grau 3 possui no ma´ximo treˆs ra´ızes reais.
(b) Mostre que um polinoˆmio de grau n possui no ma´ximo n ra´ızes reais.
8. (a) Suponha que f e´ diferencia´vel em R e posssui duas ra´ızes. Mostre que f ′ possui pelo menos uma
raiz.
(b) Suponha que f e´ duas vezes diferencia´vel em R e posssui treˆs ra´ızes. Mostre que f ′′ possui pelo
menos uma raiz real.
(c) E´ poss´ıvel generalizar as partes (a) e (b)?
9. Se f(1) = 10 e f ′(x) ≥ 2 para 1 ≤ x ≤ 4, qual o menor valor que f(4) pode atingir?
10. Suponha que 3 ≤ f ′(x) ≤ 5 para todos os valores de x. Mostre que 18 ≤ f(8)− f(2) ≤ 30.
11. Existe uma func¸a˜o tal que f(0) = −1, f(2) = 4 e f ′(x) ≤ 2 para todo x?
12. Mostre que
√
1 + x < 1 + 12x se x > 0.
13. Usando o Teorema do Valor Me´dio prove a desiguladade |sen b− sen a| ≤ |b− a| para todo a e b.
14. Prove a identidade: arcsen
x− 1
x+ 1
= 2 arctg
√
x− pi
2
.
15. Para que valores de a e b a func¸a˜o f(x) = ax ebx
2
tem valor ma´ximo f(2) = 1?
16. Encontre uma func¸a˜o f(x) = ax3+ bx2+ cx+ d que tem um valor ma´ximo local igual a 3 em −2 e um
valor mı´nimo local igual a 0 em 1.
17. Suponha que a derivada de uma func¸a˜o f e´ f ′(x) = (x + 1)2(x − 3)5(x − 6)4. Em que intervalos f e´
crescente?
18. (a) Encontre os pontos cr´ıticos de f(x) = x4(x− 1)3.
(b) Que revela o Teste da Derivada Segunda acerca do comportamento de f nestes pontos cr´ıticos?
(c) Que revela o Teste da Derivada Primeira?
19. Nas func¸o˜es abaixo relacionadas,
(a) Encontre os intervalos em que f e´ crescente ou decrescente.
(b) Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo locais de f .
(c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexa˜o.
1
i) f(x) = (lnx)/
√
x ii) f(x) =
√
x e−x iii) f(x) = cos2 x− 2 senx, 0 ≤ x ≤ 2pi
iv) f(x) =
x2
x2 + 3
v) f(x) = x4 − 2x2 + 3 vi) f(x) = senx+ cosx, 0 ≤ x ≤ 2pi
20. Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo locais usando ambos os Testes: da Derivada Primeira e da
Derivada Segunda.
a) f(x) = e−x − e−2x b) f(x) = ln(x2 + x+ 1) c) f(x) = x− lnx
21. Calcule os limites:
a) lim
x→0
ex − 1− x
x2
b) lim
x→0
1− cosx
x2
c) lim
x→+∞x
3e−x
2
d) lim
x→0
(cosecx− cotgx)
e) lim
x→0
(1− 2x)1/x f ) lim
x→0+
(cosx)1/x
2
g) lim
x→+∞
(
2x− 3
2x+ 5
)2x+1
h) lim
x→0
x− senx
x− tgx
h) lim
x→+∞
x√
x2 + 1
22. Encontre o ponto sobre a para´bola y2 = 2x que esta´ mais pro´ximo do ponto (1, 4).
23. Encontre a a´rea do maior retaˆngulo que pode ser inscrito en un semic´ırculo de raio r.
24. Encontre dois nu´meros cuja diferenc¸a e´ 100 e cujo produto e´ o mı´nimo.
25. Se 1200 cm2 de material e´ disponibilizado para fazer uma caixa com uma base quadrada e aberta em
cima, qual o maior volume que se pode obter?
26. Encontre o ponto sobre a reta y = 4x+ 7 que esta´ mais pro´ximo da origem.
27. Encontre o ponto sobre a elipse 4x2 + y2 = 4 que esta´ mais longe do ponto (1, 0).
28. Encontre a a´rea do maior retaˆngulo que pode ser inscrito na elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
29. Calcule a a´rea entre o gra´fico de f(x) = e−x e o eixo das abscissas, de 0 a 2.
30. Calcule as integrais:
a)
∫ pi
0
f(x) dx onde f(x) =
{
senx, se 0 ≤ x < pi/2
cosx, se pi/2 ≤ x ≤ pi
b)
∫ 2
−2
f(x) dx onde f(x) =
{
2, se − 2 ≤ x ≤ 0
4− x2, se 0 < x ≤ 2
c)
∫ −1
−2
(
4y3 +
2
y3
)
dy d)
∫ √3/2
1/2
6√
1− t2 dt e)
∫ 1
−1
tgx
1 + x2 + x4
dx
f )
∫ pi/4
−pi/4
t4 tg t
2 + cos t
dt g)
∫ 9
4
ln y√
y
dy h)
∫ 2
1
(lnx)2 dx
31. Se F (x) =
∫ x
1
f(t) dt, onde f(t) =
∫ t2
1
√
1 + u4
u
du, ache F ′′(2).
32. Ache o intervalo em que a curva y =
∫ x
0
1
1 + t+ t2
dt e´ coˆncava para cima.
33. Se f(1) = 12, f ′ e´ cont´ınua e
∫ 4
1
f ′(x) dx = 17, ache f(4).
34. Mostre que:
a)
∫ 1
0
x2 cosx dx ≤ 1
3
b)
∫ 1
0
ex cosx dx ≤ e− 1 c)
∫ 1
0
x sen−1 x dx ≤ pi/4
d)
∫ pi/2
pi/4
senx
x
dx ≤
√
2
2
2
35. Calcule o limite lim
h→0
1
h
∫ 2+h
2
√
1 + t3 dt.
36. Se f ′ e´ cont´ınua no intervalo [a, b], mostre que 2
∫ b
a
f(x)f ′(x) dx = [f(b)]2 − [f(a)]2.
37. Calcule as integrais:
a)
∫
x secx tgx dx b)
∫
sen 8x cos 5x dx c)
∫
t sec2(t2) tg4(t2) dt
d)
∫ pi/3
pi/6
cosec3 x dx e)
∫ pi/2
0
cos t√
1 + sen2 t
dt f )
∫
dx
3− 5 senx
g)
∫
dx
3 senx− 4 cosx h)
∫ pi/2
pi/3
dx
1 + senx− cosx i)
∫
dx√
x− 3√x
38. Se m e n sa˜o inteiros positivos, mostre que:
a)
∫ pi
−pi
senmx cosnx dx = 0 b)
∫ pi
−pi
senmx sennx dx =
{
0, se m 6= n
pi, se m = n
c)
∫ pi
−pi
cosmx cosnx dx =
{
0, se m 6= n
pi, se m = n
39. Calcule as integrais:
a)
∫
x3 + 2x2 + 3x− 2
(x2 + 2x+ 2)2
dx b)
∫
2x+ 1
4x2 + 12x− 7 dx c)
∫
ln(x2 − x+ 2) dx
d)
∫
x arctgx dx e)
∫
dx
x2 − 2x dx f )
∫ 2/3
√
2/3
dx
x5
√
9x2 − 1
g)
∫
dx
2
√
x+ 3 + x
h)
∫ 3
1/3
√
x
x2 + x
dx i)
∫ √
1 +
√
x
x
dx
40. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pela para´bola y = x2, a reta tangente a esta para´bola em (1, 1) e o
eixo x.
41. Encontre o nu´mero b tal que que a reta y = b divide a regia˜o limitada pelas curvas y = x2 e y = 4 em
duas regio˜es de igual a´rea.
42. Encontre os valores de c tais que a a´rea da regia˜o limitada pelas para´bolas y = x2 − c2 e y = c2 − x2 e´
576.
43. Suponha que 0 < c < pi/2. Para quais valores de c a a´rea da regia˜o delimitada pelas curvas y = cosx,
y = cos(x− c) e x = 0 e´ igual a a´rea da regia˜o delimitada pelas curvas y = cos(x− c), x = pi e y = 0?
44. Para quais valores de m a reta y = mx e a curva y = x/(x2 + 1) delimitam uma regia˜o? Qual a a´rea
desta regia˜o?
45. Calcule o volume do so´lido que resulta de girar a regia˜o delimitada pelas curvas:
(a) y = 2− x
2
, y = 0, x = 1 e x = 2 sobre o eixo x.
(b) y = 1− x2 e y = 0 sobre o eixo x.
(c) y2 = x e x = 2y sobre o eixo y.
(d) y = x e y =
√
x sobre a reta y = 1.
(e) y = x3 e y = x, x ≥ 0 sobre o eixo x.
continua...
1
1Prof. Carlos Wagner
3